Eigenschappen hoogtepunt [ 1 ] Copyright © 2004 Krimpenerwaard College (dk)
Twee (belangrijke) eigenschappen van
het hoogtepunt van een driehoek en een gevolg daarvan Dick Klingens
Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel april 2004
Stelling 1a. Een zijde-spiegelbeeld van het hoogtepunt van een driehoek ligt op de omcirkel van die driehoek.
Bewijs. Zie figuur 1, waarin we uitgaan van zijde BC als spiegelas.
figuur 1
In deze figuur zijn AHa en BHb hoogtelijnen en is H het hoogtepunt. Het tweede snijpunt van de hoogtelijn uit A met de omcirkel is H'. De grootte van hoek C (= BCA) is c en die van H'BC is x.
Nu is:
- H BC′ = 12bg CH( ′)=H AC′ = ; x
- wegens x + c = 90° (in driehoek AHaC) is AHHb = c, en dan AHHb = BHHa = c (overstaande hoeken), en ook:
- BH H′ a = 12bg AB( )=BCA= . c
Dus is driehoek BH'H gelijkbenig met tophoek B en met hoogtelijn BHa , zodat Ha het midden is
van HH'. Waarmee Stelling 1a bewezen is.
Ook de omgekeerde stelling van Stelling 1a is juist, zoals eenvoudig is na te gaan:
Stelling 1b. Ligt in een driehoek een zijde-spiegelbeeld van een punt van een hoogtelijn op de omcirkel van de driehoek, dan is dat punt het hoogtepunt van de driehoek.
We bewijzen vervolgens de tweede (belangrijke) eigenschap van het hoogtepunt.
Stelling 2. In een driehoek is de lengte van het verbindingslijnstuk van een hoekpunt met het hoogtepunt (het bovenste hoogtelijnstuk) gelijk aan twee maal de afstand van het omcentrum van de driehoek tot de zijde waarop die hoogtelijn staat.
Bewijs. In figuur 2a gaan we uit van hoekpunt A. Verder is:
Eigenschappen hoogtepunt [ 2 ] Copyright © 2004 Krimpenerwaard College (dk)
- O het middelpunt van de omcirkel, Z het zwaartepunt van de driehoek en A' het midden van de zijde BC van driehoek ABC;
- V de vermenigvuldiging met centrum Z en factor − . 12
Zij nu H = V (O). Dan is V (A') = A, immers AA' is zwaartelijn, en dus ook V (OA') = HA.
Daarbij is dan OA′//HA. Omdat OA′ ⊥BC, is ook HA⊥BC. AH is dus hoogtelijn van driehoek ABC. De lijn AH snijdt BC in Ha en de omcirkel ook in het punt H'.
figuur 2a figuur 2b
Vanwege de vermenigvuldiging V is dan: AH = ⋅2 OA′.
We tonen vervolgens aan dat H het hoogtepunt is van driehoek ABC.
Zij O' het BC-spiegelbeeld van O. Nu is ook AH = OO', zodat AHO'O een parallellogram is (AH en OO' zijn gelijk en evenwijdig). Daaruit volgt, met R als lengte van de straal van de omcirkel:
O H′ =OA=R En vervolgens is:
OB= =R O B′ =O C′
O' is dus het middelpunt van de cirkel door B, H, C. Maar deze cirkel is het BC-spiegelbeeld van de omcirkel.
En dan is dus H Ha =H H′ a, immers H' is dan het BC-spiegelbeeld van H, waarmee via Stelling
1b volgt dat H het hoogtepunt is van driehoek ABC.
We kunnen nu met behulp van bovengenoemde eigenschappen de volgende stelling bewijzen.
Stelling 3. De middens van de zijden, de voetpunten van de hoogtelijnen en de middens van de bovenste hoogtelijnstukken van een driehoek liggen op dezelfde cirkel, de negenpuntscirkel (ook wel Feuerbach-cirkel of Euler-cirkel genoemd).
(Eerste) Bewijs. Zie figuur 2b. Zij V (H, 12) de vermenigvuldiging met centrum H en factor 12. Het beeld van de omcirkel (via H', zie Stelling 1a) is dan een cirkel (met straal 12R ) die door het punt Ha gaat, en dus ook door de andere voetpunten Hb en Hc van de hoogtelijnen. Bij deze vermenigvuldiging gaan de hoekpunten over in de middens Ea, Eb, Ec van de bovenste hoogtelijnstukken (zie Stelling 2).
Zij V (Z, -12) de vermenigvuldiging met centrum Z en factor -12. Het beeld van de omcirkel is dan een cirkel (ook met straal 12R ) die door A' gaat, en dan ook door de middens B' en C' van de andere zijden.
Eigenschappen hoogtepunt [ 3 ] Copyright © 2004 Krimpenerwaard College (dk)
In beide gevallen is het middelpunt van die beeldcirkel het midden N van het lijnstuk OH.
Stelling 3 kan overigens ook zonder gebruik te maken van de vermenigvuldigingen V worden bewezen.
Tweede bewijs van Stelling 3. Zie daartoe figuur 3. Daarin zijn A', B', C' de middens van de zijden en A", B", C" de middens van bovenste hoogtelijnstukken van de hoogtelijnen AD, BE en CF.
figuur 3
Beschouw dan allereerst de vierhoek B'C'B"C".
Het lijnstuk B'C' is middenparallel in driehoek ABC en het lijnstuk B"C" is middenparallel in driehoek HBC. Dus B'C' en B"C" zijn beide gelijk aan 12BC en evenwijdig met BC. Waaruit volgt dat vierhoek B'C'B"C" een parallellogram is.
In driehoek ABH is B"C' middenparallel en dus evenwijdig met AD, zodat B C′′ ′ ⊥BC , en dus ook B C′′ ′⊥B C′′ ′′. B'C'B"C" is daardoor een rechthoek. De diagonalen van die rechthoek snijden elkaar in het punt N. De punten B', C', B", C" liggen dan op een cirkel met het punt N als middelpunt.
Door (bijvoorbeeld) de vierhoek A'C"A"C' te bekijken kunnen we aantonen dat ook de punten A' en A" op die cirkel liggen.
Het lijnstuk A'A" is een middellijn van de cirkel met middelpunt N. Omdat hoek A'DA" recht is, ligt (volgens de cirkelstelling van Thales) ook het punt D – en analoog ook het punt E en het
punt F – op deze cirkel.
