Grootheden. 1 Grootheden

Grootheden

1 Grootheden

Zoals we in ons dagelijks leven onze omgeving en relaties beschrijven in een taal, zo gebruikt de wetenschap ook een taal om deze wereld te beschrijven.

Echter de wetenschappelijke taal is een kwantitatieve taal. We beschrijven de objecten met eigenschappen die we kwantitatief, dus met een getal, kunnen uitdrukken. Deze kwantitatieve eigenschappen worden grootheden genoemd.

Dus met een specifiek object kunnen we een aantal grootheden associ¨eren die we kunnen uitdrukken in een getal. Dit getal is een ratio en geeft altijd een verhouding weer tussen de waarde van de grootheid van het betreffende object en een standaard. De waarde van de standaard is per definitie 1, we noemen dit daarom de eenheid. In het verleden werden standaardobjecten zoals een staaf van 1 meter en een gewicht van 1 kg gebruikt als standaarden.

Als we bijvoorbeeld zeggen dat een persoon 1.80m is dan betekent dit feitelijk dat we de grootheid lengte van de persoon hebben bepaald en dat de waarde van deze grootheid 1.80 x zo groot is als de waarde van de standaard meter.

Hetzelfde geldt als we zeggen dat een object een massa heeft van 10.2kg. In dat geval is de grootheid massa en is de waarde van de massa van het object 10.2 x de massa van de standaard kilogram. De specifieke waarde van een grootheid wordt dus bepaald door de specifieke eenheid die men gebruikt.

Men kan dus eenvoudig grootheden omrekenen, conversie, van de ene naar de andere eenheid. Als men de verhouding kent tussen bijvoorbeeld 1 meter en 1 mijl:

1 mijl

1609, 34 meter = 1

rekent met 100 meter eenvoudig om met:

100 meter ∗

 1 mijl 1609, 34 meter



= 1

16.0934 mijl

Om de nauwkeurigheid te verhogen hanteert men tegenwoordig in plaats van een standaardobject voor de bepaling van een eenheid een standaard fysiek proces. Bijvoorbeeld de snelheid van het licht is in een vacu¨um een constante. Nu definieert men de meter zodanig dat c = 299 792 458m.s⁻¹. Deze definitie hangt af van de definitie van seconde. Ook de definitie van de seconde is weer gebaseerd op een meetbaar fysiek proces. Namelijk de duur van een specifieke vorm van straling van het cesium-133-atoom.

Sommige van de grootheden kunnen we bepalen door meting. Een meting is een fysieke vergelijking met een standaard. Deze grootheden worden fun- damentele dimensies genoemd. Alle andere grootheden zijn dan afgeleide grootheden van deze dimensies. Ze zijn producten van machten van deze fundamentele dimensies. Bijvoorbeeld snelheid is een afgeleide grootheid ge- definieerd door: m ˙t⁻¹. Sommige van deze afgeleide grootheden hebben een speciale naam en eenheid gekregen.

2 Fundamentele Dimensies

Hier volgt een lijst met alle fundamentele dimensies uit de natuurkunde en hun bijbehorende S.I. (Internationale Stelsel van Eenheden) eenheden. S.I.

wordt ook wel het metrieke stelsel genoemd. Wij zullen dit stelsel aanhouden in dit boek.

Dimensie Symbool Eenheid Symbool

Tijd t seconde s

Lengte L meter m

Massa M kilogram kg

Elektrische stroom I amp`ere A

Temperatuur T kelvin K

Hoeveelheid materie N mol mol

Lichtsterkte J candela cd

Tabel 1: S.I. Fundamentele Dimensies met hun Eenheden Verder definieert men ook nog dimensieloze eenheden voor hoeken:

1. radiaal (rad), de radiaal is de vlakke hoek tussen twee stralen van een cirkel die op de omtrek een boog afsnijden waarvan de lengte gelijk is aan de straal

2. steradiaal (sr), de steradiaal is de ruimtehoek die, wanneer zijn top samenvalt met het middelpunt van een bol, op die bol een oppervlakte uitsnijdt gelijk aan die van een vierkant met de straal van die bol als zijde.

Bij elke fundamentele dimensie hoort een standaardobject of standaard me- ting voor het bepalen van de eenheid. Tegenwoordig definieert men de eenhe- den in termen van natuurkundige constanten in plaats van fysieke objecten zoals de standaard meter en standaard kilogram.

1. s: 1 s is gelijk aan de duur van 9 192 631 770 perioden van de straling die overeenkomt met de overgang tussen de twee hyperfijne energieni- veaus van de grondtoestand van het cesium-133-atoom in rust bij het absolute nulpunt

2. m: 1 m is zodanig dat de lichtsnelheid c in vacu¨um gelijk is aan 299 792 458 m.s⁻¹

3. kg: 1 kg is zodanig dat de constante van Planck h gelijk is aan 6, 626 070 15×

10⁻³⁴ kg.m².s⁻¹ Omdat energie en massa equivalent zijn, relateert de constante van Planck ook massa aan frequentie. Tegen 2017 was de Planck-constante met voldoende nauwkeurigheid gemeten in termen van de SI-basiseenheden, om de metalen cilinder, het International Prototype of the Kilogram genoemd, die de kilogram sinds 1889 had gedefinieerd, te vervangen.

4. A: 1 A is zodanig dat de elementaire lading e gelijk is aan 1, 602 176 634×

10⁻¹⁹s.A ofwel C

5. K: 1 K is zodanig dat de constante van Boltzmann k (of kB) gelijk is aan 1, 380 649 × 10⁻²³ kg.m².s⁻².K⁻¹, dit komt overeen met een de oude definitie van de fractie 1/273.16 van de thermodynamische temperatuur van het tripelpunt¹ van water. 1 K is de temperatuur waar een deeltje van een ideaal gas een kinetische energie heeft van 1.5 × 1, 380 649 × 10⁻²³ J = 2.0709 × 10⁻²³ J . Temperatuur is dus

1een toestand waarbij een stof tegelijkertijd voorkomt in de 3 ”hoofdfasen”(vast, vloei- stof en gas) die onderling in evenwicht zijn

feitelijk geen fundamentele eenheid, maar een maat voor kinetische energie.

6. mol: 1 mol is zodanig dat het aantal deeltjes per mol gelijk is aan de constante van Avogadro, N_A, 6, 022 141 79 × 10²³ mol⁻¹ en daarmee gelijk aan het aantal atomen in 12 gram van de koolstof isotoop 12^C. De mol is eigenlijk geen fundamentele eenheid maar een constante. Het wordt in de scheikunde gebruikt omdat de massa van n mol van een bepaalde stof gelijk is aan n × M gram van die stof met M de molaire massa in atomaire eenheden u, in symbolen: n mol.M u → n.M g of n.M g → n mol. De mol is dus een handige conversiefactor tussen u en g: 1 u = 1 g/mol men neemt daarom voor de eenheid van de molaire massa g/mol en rekent dan met mol als eenheid.

7. cd: 1 cd is de lichtsterkte in een bepaalde richting van een bron met een monochrome straling van 540 THz en met een stralingssterkte in die richting van 1/683 kg.m².s⁻³.sr⁻¹. Een candela is ongeveer de lichtsterkte van 1 kaars (candela is het Latijnse woord voor kaars) en dus wordt deze benadering ook weleens gebruikt om de eenheid uit te leggen.

3 Afgeleide Eenheden

Door vermenigvuldiging of deling van de fundamentele eenheden ontstaan nieuw eenheden. Sommige van deze eenheden worden zo vaak gebruikt dat ze een speciale naam en symbool hebben gekregen. Deze eenheden heten afgeleide eenheden.

Figuur 1: S.I. Afgeleide Eenheden

4 S.I. Voorvoegsels

De gemeten waarden voor grootheden lopen sterk uiteen. Men heeft enkele machten van 10 een naam en een symbool gegeven. De naam kan als voor- voegsel voor de naam van de eenheid worden geplaatst en het symbool kan voor het symbool van de eenheid worden geplaatst. Een uitzondering hierop is de kilogram/kg waarbij het voorvoegsel/symbool voor gram/g wordt ge- plaatst.

10ⁿ SI Naam SI Symbool Naam

10²⁴ yotta Y quadriljoen

10²¹ zetta Z triljard

10¹⁸ exa E triljoen

10¹⁵ peta P biljard

10¹² tera T biljoen

10⁹ giga G miljard

10⁶ mega M miljoen

10³ kilo k duizend

10² hecto h honderd

10¹ deca da tien

10⁰ ´e´en

10⁻¹ deci d tiende

10⁻² centi c honderste

10⁻³ milli m duizendste

10⁻⁶ micro µ miljoenste

10⁻⁹ nano n miljardste

10⁻¹² pico p biljoenste

10⁻¹⁵ femto f biljardste

10⁻¹⁸ atto a triljoenste

10⁻²¹ zepto z triljardste

10⁻²⁴ yocto y quadriljoenste

Tabel 2: S.I. Voorvoegsels

Dat de natuur zich over zo’n grote schaal uitstrekt is verwonderlijk. De straal van het universum wordt geschat op 10²⁵m terwijl de straal van een waterstof atoom 10⁻¹¹m bedraagt. De massa van het universum wordt geschat op 10⁵⁴kg en de massa van het waterstof atoomkern is 10⁻²²kg.

5 Andere Eenheden Stelsels

Naast het metrisch stelsel bestaan er ook andere stelsels die met name door ingenieurs in Engelstalige landen wordt gebruikt, Engelse (Imperial Units) en Amerikaanse (US Customary Units, USCS). Engelse eenheden zijn gro- tendeels vervangen door het metrieke stelsel. Amerikaanse eenheden zijn

echter nog steeds het belangrijkste meetsysteem in de Verenigde Staten. Het is daarom voor een wetenschapper of ingenieur van belang te beide stelsel te kennen. Het is verwarrend dat de Engelse en Amerikaanse stelsels dezelfde naam gebruiken maar andere definities van de eenheden.

De Engelse en Amerikaanse stelsels vinden hun oorsprong in de alledaagse praktijk en zijn daarom uiterst geschikt voor dagelijks gebruik in het meten.

Het zijn als het ware ge¨evolueerd en aangepast aan het gebruik.

Voor het meten van lengte worden in USCS bijvoorbeeld de volgende eenhe- den gebruikt.

Eenheid Symbool Conversie USCS Conversie SI

point p 1 ¹²⁷₃₆₀ mm

pica P 6 p ⁷⁶²₃₆₀ mm

inch in 72 p 0.254 m

foot ft 12 in 0.3048 m

yard yd 3 f t 0.9144 m

mile mi 1760 yd 1609 m

Het meest verwarrend in het USCS systeem is het gebruik van pounds voor massa en kracht. De pound voor massa wordt aangeduidt met pound mass, lbm, en de pound voor kracht met pound force, lbf. We hebben:

1 lbm = 0.45359237 kg

De pound force wordt gedefinieerd als het gewicht van een massa van 1 lbm in het aardse zwaartekracht veld:

1 lbf = 1 lbm × g = 32.174 lbm.f t.s⁻²

Het gewicht en de massa van een voorwerp hebben in lbm en lbf eenheden dezelfde waarde.

Met definieert een conversiefactor om de kracht om te rekenen naar een massa x versnelling:

g_c= 32.174 lbm.f t lbf.s² = 1 g_cF = m × a (lbm.f t.s⁻²)

Men definieert ook de eenheid slug voor een massa:

1 slug = 32.174 lbm

zodat 1 pound force een slug een versnelling van 1 f t.s⁻² geeft:

1 lbf = 1 slug.f t.s⁻²

We kunnen een lbf omrekenen naar SI eenheden in N:

1 lbf = 1 lbm × 0.45359237 kg

lbm × 9.80665m s²

= 4.44822 kg.m

s² = 4.44822N

6 Grootheden uit de Mechanica

In de natuurkunde worden vele verschillende grootheden gebruikt met basis en afgeleide eenheden. Hieronder tonen we de belangrijkste grootheden die we tegen komen in de mechanica.

Grootheid Symbool SI Eenheid SI Afgeleide Eenheid

lengte L m

hoek ∠ rad

massa M kg

tijd t s

omtrek O m

oppervlak A m²

volume V m³

massadichtheid ρ kg.m⁻³

temperatuur θ ^◦C

absolute temperatuur T K

snelheid v m.s⁻¹

hoeksnelheid ω rad.s⁻¹

versnelling a m.s⁻²

hoekversnelling α rad.s⁻²

kracht F kg.m.s⁻² N

gewicht G kg.m.s⁻² N

veerconstante k kg.s⁻² N.m⁻¹

energie E kg.m².s⁻² J

kinetische energie E_k kg.m².s⁻² J potenti¨ele energie E_p kg.m².s⁻² J inwendige energie U kg.m².s⁻² J warmtehoeveelheid Q kg.m².s⁻² J

arbeid W kg.m².s⁻² N.m

vermogen P kg.m².s⁻³ J.s⁻¹ of W

druk p kg.m⁻¹.s⁻² P a

7 Het Meten van Grootheden

In de natuurkunde bestuderen we eigenschappen van objecten die we de- fini¨eren als kwantitatieve grootheden die we kunnen meten. Meten betekent dat we een meetschaal voor de grootheid defini¨eren. Een schaal waarop we eenheden meten is wiskundig gezien een 1 dimensionaal object, een lijn, en de meting is het bepalen van een punt op die lijn. Om vervolgens een getal aan dit punt te kunnen toekennen moeten we een ´e´en dimensionaal co¨ordinatenstelsel voor de lijn defini¨eren. Zo’n co¨ordinatenstelsel bestaat uit de volgende componenten:

ˆ een punt O, de oorsprong, heeft co¨ordinaat 0

ˆ een punt I, de eenheid, heeft co¨ordinaat 1

ˆ ´e´en zijde van de schaal ten opzichte van O is heeft de getallen < 0 en de andere zijde > 0, als conventie nemen we de zijde recht van O meestal als de positieve zijde

Om bijvoorbeeld de temperatuur te meten hebben we de Celsius en Fahren- heit meetschaal. Hoewel beide schalen dezelfde grootheid meten, tempera- tuur, hebben ze een verschillende oorsprong O_C = O_F+32^◦F en is de eenheid verschillend: I_C = 1.8_F. Een temperatuurstijging van 20^◦C tot 21^◦C is een stijging van stijging van 68^◦F tot 69, 80^◦F Fahrenheit.

Elk punt P op de schaal krijgt een co¨ordinaat x = x(P ) bepaalt door de afstand tussen P en O, |OP |, gemeten in eenheden |OI| en een richting + of

− afhankelijk van de ligging ten opzichte van O.

Het meten is een proces dat als volgt verloopt:

ˆ Bepaal het geheel aantal eenheden a in de richting van P tot het punt Q kleiner of gelijk aan P . Als Q = a|OI| = P is het resultaat van de meting a anders ga verder met de volgende stap

ˆ Vanaf Q verdeel de eenheid |OI| in 10 gelijke delen, |OI| × 10⁻¹, en bepaal het geheel aantal delen, d₁, hiervan tot het punt Q₁ kleiner of gelijk aan P . Als Q₁ = P is het resultaat van de meting a.d₁ anders vervolg het proces vanaf Q₁ naar Q₂ met stappen van |OI| × 10⁻². We kunnen dit proces in theorie voortzetten tot elke gewenste mate van nauwkeurigheid, stel 10⁻ⁿ en het resultaat van de meting is:

±a.d₁d₂· · · d_n

Het voorgaand proces is in principe hetzelfde als de deling van twee gehele getallen met rest. Uiteindelijk resultaat een decimaal getal met of een eindig aantal decimalen of een oneindig repeterend aantal decimalen. Dit is een feit uit de wiskunde voor gebroken getallen. Echter in de wiskunde bestaan ook getallen met een oneindig niet repeterend aantal decimalen. Deze getallen heten irrationele getallen. Een voorbeeld is het getal π. Tezamen vormen de gebroken getallen, ook wel rationele getallen genoemd, en de irrationele getallen de verzameling van re¨ele getallen. In de natuurkunde werken we

met de re¨ele getallen. Hoewel een fysieke meeting altijd een rationeel getal oplevert in een beperkt aantal decimalen.

8 Significante Cijfers

Elke meting is een experiment om de ware hoeveelheid van een grootheid te vinden. Het instrument gebruikt om te meten heeft een bepaalde resolutie, de kleinste schaal die het instrument kan meten. De resolutie bepaalt het aantal significante cijfers van de gemeten waarde. Het minst significante cijfer is meestal een schatting. Bijvoorbeeld als we met een liniaal met een onderverdeling in cm en mm, de lengte meten dan moeten we vaak het aantal mm schatten. We krijgen met de liniaal een meetwaarde van ten hoogste 3 significante cijfers. Het aantal significante cijfers is belangrijk als we gaan re- kenen met meetwaarden. Daarom moeten we leren hoe we van meetgegevens het aantal significante cijfers bepalen en hoe we uiteindelijk de uitkomsten van berekeningen moeten afronden in het juiste aantal significante cijfers.

Regels voor significante cijfers in getallen

1. alle getallen ongelijk aan nul zijn significant

2. 1 of meer nullen tussen twee getallen niet nul zijn significant 3. de laatste nul of nullen na een decimaalteken

Voorbeelden

1. 0,00500 heeft drie significante cijfers 0, 00500 2. 200 heeft 1 significant cijfer 200

3. 200,0 heeft 4 significante cijfers 200, 0

De hoofdregel voor het rekenen met meetwaarden is dat de einduitkomst nooit meer significante getallen kan hebben dan de meetwaarde met het minst aantal significante getallen. We moeten de einduitkomst afronden naar dit aantal significante getallen. Exacte getallen die niet resulteren uit een meting, maar resulteren uit een definitie zoals bijvoorbeeld een conversie factor of de snelheid van het licht, hebben geen invloed op de nauwkeurigheid van een berekening en kunnen buiten beschouwing blijven voor het bepalen van het aantal significante cijfers van de einduitkomst.

We hanteren nu de volgende eenvoudige regels:

ˆ voor optellen en aftrekken ronden we de einduitkomst af op het aan- tal decimalen van het getal met het minst aantal decimalen dat in de berekening is betrokken

ˆ voor het vermenigvuldigen of delen wordt de einduitkomst weergegeven met het aantal significante cijfers van het getal met het minste aantal significante cijfers

ˆ voor het nemen van de logaritme van een getal wordt de uitkomst afgerond in het aantal decimalen dat gelijk is aan het aantal significante cijfers van het getal

In figuur2zien we dat de einduitkomst van een vermenigvuldiging niet nauw- keuriger bepaalt kan worden dan door het aantal significante cijfers van het getal met het minst aantal significante cijfers. In figuur 3 zien we dat voor optellen het aantal decimalen dat nauwkeurig bepaalt kan worden gelijk is aan het aantal decimalen van het getal met het minste aantal decimalen.

Figuur 2: Vermenigvuldigen met Significante Cijfers

Figuur 3: Optellen met Significante Cijfers

9 Nauwkeurigheid

Bij het vaststellen van de waarde van een grootheid speelt de nauwkeurigheid een belangrijke rol. De nauwkeurigheid is de graad van overeenstemming van een gemeten of berekende waarde met zijn daadwerkelijke (ware) waarde.

Daarbij spelen twee aspecten: juistheid en precisie.

In het algemeen moeten meerdere metingen verricht worden om de waarde van een grootheid nauwkeurig te bepalen. De juistheid is de mate waarin de gemiddelde waarde de ware waarde benadert. Als de meting geen systema- tische fouten heeft zal de gemiddelde waarde een goede afspiegeling zijn van de werkelijke waarde.

De precisie is de mate van spreiding van de individuele meetwaarden en kan bijvoorbeeld gemeten worden met de standaardafwijking. Als de spreiding laag is is de meting precies. Door toevallige fouten kan het gemiddelde van een niet precieze meting toch nog een juist zijn.

Door de waarde in een interval weer te geven duiden we de onzekerheid aan:

12, 3 ± 0, 2 de waarde ligt tussen 12,1 en 12,5

Bij een normaal verdeelde stochastische variabele (met een verwaarloosbare systematische afwijking) staat rechts bijvoorbeeld 1, 2, 3 maal de standaard deviatie, de bijbehorende kansen zijn 68%, 95%, 99.7%. We kunnen de mate van precisie ook aanduiden met de relatieve onzekerheid :

relatieve onzekerheid = onzekerheid gemeten waarde

Om de mate van juistheid aan te geven moeten we de werkelijke waarde kennen. Dit kan bijvoorbeeld de algemeen aanvaarde experimentele of theo- retische waarde zijn. We gebruiken daarvoor de relatieve fout :

relatieve fout = gemeten waarde - werkelijke waarde werkelijke waarde

10 Meetfouten

We kunnen meetfouten onderverdelen in systematische en toevallige fouten.

Meetfouten kunnen vele oorzaken hebben.

ˆ Onvolledige definitie: Het experiment is niet eenduidig gespecificeerd zodat het op verschillende manieren kan worden uitgevoerd

ˆ vergeten variabelen (meestal systematisch): Het meest uitdagende on- derdeel van het ontwerpen van een experiment is proberen alle moge- lijke variabelen te controleren, behalve de ene onafhankelijke variabele die wordt geanalyseerd. Bijvoorbeeld de luchtweerstand wordt vergeten bij het meten van de vrije valversnelling.

ˆ Omgevingsfactoren (systematisch of willekeurig): fouten in de directe werkomgeving zijn ge¨ıntroduceerd, bijvoorbeeld: trillingen, tocht, tem- peratuurschommelingen en elektronische ruis of andere effecten van ap- paraten in de buurt.

ˆ Instrumentresolutie (willekeurig): Alle instrumenten hebben een ein- dige precisie. Een meetlat kan bijvoorbeeld niet veel beter worden ge- bruikt om afstanden tot een nauwkeurigheid te onderscheiden dan on- geveer de helft van zijn kleinste schaalverdeling (in dit geval 0,5 mm).

We onderscheiden drie manieren om het resultaat van een meting te bepalen:

– de afwijkings methode, afwijking op een schaal aflezen

– de verschil methode: het verschil tussen een referentiewaarde en de meetwaarde op een schaal aflezen

– de nul methode, een referentiewaarde aanpassen aan de meet- waarde

Een van de beste manieren om preciezere metingen te verkrijgen, is om een nul methode toe te passen. Met deze methode worden proble- men van broninstabiliteit ge¨elimineerd en kan het meetinstrument erg gevoelig zijn en heeft het zelfs geen schaal nodig.

ˆ Kalibratie (systematisch): Indien mogelijk moet de kalibratie van een instrument worden gecontroleerd voordat gegevens worden opgenomen.

Als er geen kalibratiestandaard beschikbaar is, moet de nauwkeurigheid van het instrument worden gecontroleerd door het te vergelijken met een ander instrument dat minstens zo nauwkeurig is, of door de tech- nische gegevens van de fabrikant te raadplegen. Kalibratiefouten zijn meestal lineair (gemeten als een fractie van de volledige schaalwaarde), zodat grotere waarden resulteren in grotere absolute fouten.

ˆ Nulpuntverschuiving (systematisch): Controleer bij het maken van een meting met een micrometer, een elektronische weegschaal of een elek- trische meter altijd eerst de nulwaarde. Stel het instrument indien mogelijk opnieuw op nul, of meet ten minste de nulpuntverschuiving zodat de metingen later kunnen worden gecorrigeerd. Het is ook een goed idee om tijdens het hele experiment de nulwaarde te controleren.

Als een apparaat niet wordt op nul gezet, resulteert dit in een constante fout die significanter is voor kleinere meetwaarden dan voor grotere.

ˆ Fysieke variaties (willekeurig): Het is altijd verstandig om meerdere metingen te verrichten over een zo breed mogelijk bereik. Door dit te doen, worden er vaak variaties zichtbaar die anders onopgemerkt zouden blijven. Deze variaties kunnen nader bestudeerd worden, of ze kunnen gecombineerd worden om een gemiddelde waarde te vinden.

ˆ Parallax (systematisch of willekeurig): Deze fout kan optreden wanneer er enige afstand is tussen de meetschaal en de indicator die is gebruikt om een meting te verkrijgen. Als het oog van de waarnemer niet recht op de aanwijzer en de schaal is uitgelijnd, kan de waarde te hoog of te laag zijn (sommige analoge meters hebben spiegels om deze uitlijning te vergemakkelijken).

ˆ Instrumentafwijking (systematisch):De meeste elektronische instrumen- ten hebben aflezingen die in de loop van de tijd afwijken. De hoeveel- heid drift is over het algemeen geen zorg, maar af en toe kan deze bron van fouten aanzienlijk zijn.

ˆ Vertragingstijd: Sommige meetinstrumenten hebben tijd nodig om een evenwicht te bereiken, en een meting uitvoeren voordat het instru- ment stabiel is, zal resulteren in een meting die te hoog of te laag is.

Een bekend voorbeeld is het nemen van temperatuurmetingen met een thermometer die nog geen thermisch evenwicht heeft bereikt met zijn omgeving.

11 Wetenschappelijke en Ingenieurs Notatie

Getallen in de wetenschap kunnen heel klein of heel groot zijn. Aangezien de nauwkeurigheid die we met een meting kunnen bereiken altijd beperkt is leidt dit tot getallen met veel nullen. Om die reden wordt het getal in

wetenschappelijke notatie geschreven als het product van een getal tussen 0 en 10, (d.w.z. 1 cijfer voor het decimaalteken dat een punt of komma is in respectievelijk Engels of Nederlands gebruik), ook wel mantissa genaamd en een macht van 10:

d₁, d₂d₃· · · d_n× 10ⁿ

Bijvoorbeeld in plaats van 85.000 schrijven we 8, 5 × 10⁴ of in plaats van 0,004 schrijven we 4, 0 × 10⁻³. De exponent geeft aan hoeveel plaatsen het decimaalteken naar rechts (voor een positieve exponent) of naar links moet worden geschoven (voor een negatieve exponent). Dus om de exponent te bepalen tel het aantal nullen rechts of links het laatste cijfer dat niet nul is.

In computer notatie in een programmeertaal voert men wetenschappelijke getallen in met de volgende notatie (hiervoor wordt altijd de decimale punt gebruikt):

d₁.d₂· · · d₃En

waarbij de macht van 10 vervangen is door het symbool E of e. Bijvoorbeeld 8.5e4 en 4.0e-3.

Om twee getallen in wetenschappelijke notatie op te tellen of af te trekken volgt men de volgende stappen:

1. maak de exponent van beide getallen gelijk

2. tel de mantissa op (of trek de getallen af) zonder de machten van 10 3. breng de mantissa uit de vorige stap terug tot ´e´en cijfer voor het deci-

maalteken en pas de exponent uit de eerste stap aan Bijvoorbeeld tel op 2.0 × 10⁵ en 5.0 × 10⁶.

1. 2 × 10⁵ en 50 × 10⁵ 2. 50 + 2 = 52

3. 5.2 × 10⁶

Vermenigvuldigen (of delen) van getallen in wetenschappelijke notatie gaat als volgt:

1. vermenigvuldig (of deel) de mantissa zonder de machten van 10 2. tel op (of trek af) de exponenten van de machten van 10

3. breng de mantissa uit de eerste stap terug tot ´e´en cijfer voor het deci- maalteken en pas de exponent uit de vorige stap aan

De ingenieurs notatie kan het getal tot drie cijfers voor het decimaalteken hebben en is de macht van 10 een veelvoud van 3. Bijvoorbeeld 85000 wordt 85 × 10³.