PyttTogoros
'S
wiskunde tijdschirift voor jongeren
stichiting ivio 31e jaargang
nummer 5
juni 1992
De bal is rond; kan het ronder?
OO Miljoenen liefhebbers over de hele wereld amuseren zich elke week aan de zeer grillige bewegingen van een wonderlijk zwart-wit veelvlak.
Een lichaam, opgebouwd uit twaalf vijfhoeken en twintig zeshoeken: de voetbal.
Eigenlijk moet het ons verbazen dat ze zoiets rond noemen: een voorwerp met 32 zijvlakken! Kan het ronder? Zijn er modellen te ontwerpen die gunstiger zijn?
De vorm van de voetbal hoort thuis in een fascinerende serie half-
regelmatige veelvlakken, waarvan er in totaal dertien bestaan. Hebben ze wel de beste uitgekozen om tegen aan te trappen.
Voetballen met een kubus Een kubus heet officieel een regelmatig zesvlak (fig. la).
Waarin bestaat dat regelmatige?
Wel, alle ribben zijn even lang, alle zijvlakken zijn even grote vierkanten en door de hoekpunten kan een bol. Dat laatste is vooral bij voetballen erg belangrijk. De kubus heeft al een beetje een balvorm. Wat bevalt er ons eigenlijk niet aan?
We zouden ook vier gelijkzijdige driehoeken tegen elkaar kunnen plakken, dan hebben we een
regelmatig viervlak of piramide (fig. lb). Die is duidelijk nog minder geschikt.
Waarin verschilt deze dan van de kubus?
Let eens op de hoek tussen de vlakken. Bij het viervlak is dat 71 °, maar bij de kubus 90°. Dat betekent 'een rondere vorm'. Let verder op het aantal graden per hoekpunt. Bij het viervlak wordt dat 3 X 60° = 180°, maar bij de kubus 3 X 90° = 270°. Dat geeft duidelijk een plattere situatie. De som kan natuurlijk nooit meer
Fig. la. Zesvlak Ib. Viervlak Ie. Aehtvlak ld. Twaalf\'lak Ie. Twintigvlak
Fii;iuir2a. Figuur 2h. Figuur 2c. Figuur 2d. Figuur 2e.
Figuur 5a. 4-6-comhinatie
Fig. 6. Transformaties bij een kubus.
worden dan 360°.
Zo hebben we een criterium gevonden om de kwaliteit van de balvorm te beoordelen.
Figuur 5h. 3-4-combinatie uit een aehtvlak
Andere regelmatige veelvlakken Totaal bestaan er maar vijf regel- matige veelvlakken. Er is nog een aehtvlak (fig. Ie), een twaalfvlak (fig. ld) en een twintigvlak (fig. le).
Bij het aehtvlak voegen we acht driehoeken tegen elkaar, bij het twintigvlak worden het er twintig.
Het twaalfvlak is geformeerd uit twaalf regelmatige vijfhoeken.
Meer mogelijkheden zijn er niet.
Dat is gemakkelijk te bewijzen. Bij één hoekpunt mag het totaal niet boven 360° komen: dan hebben we alleen maar de keus uit 3 x 60°
(viervlak),
4 x 60° (aehtvlak), 5 x 60° (twin-
tigvlak), 3 X 90° (zesvlak)
en 3 X 108° (twaalfvlak). Ga een en ander zelf maar na.
Als we voor het moment uit deze vijf modellen moeten kiezen, lijkt ons het twintigvlak als balvorm de meest ideale. Per hoekpunt hebben we daar al 300° en de hoeken tussen de vlakken zijn er 138°.
Toch vinden we de zaak nog
aardig puntig. Kan het nog anders?
Half-regelmatig
Er zijn een heleboel variaties te verzinnen met aantrekkelijke vormen en eigenschappen. Door geschikte afsnijdingen en verbin- dingen ontstaan half-regelmatige veelvlakken, waarvan nog alle ribben even lang zijn en nog door alle hoekpunten een bol gaat; alle vlakken zijn nog wel regelmatig maar niet meer hetzelfde. We
maken combinaties van driehoeken en vierkanten, vijfhoeken en
zeshoeken enzovoort.
Afgesneden kubus
In figuur 2a zijn de hoekpunten van een kubus zo afgesneden dat er zes achthoeken en acht driehoeken ont- staan. Een ongetwijfeld betere bol- vorm dan bij de kubus. De hoeken tussen de vlakken worden hier 125°.
Als we de middens verbinden (fig. 2b), komen er driehoeken en vierkanten. Snijden we de punten nog verder weg, dan komen er vierkanten en zeshoeken
(fig. 2c) en ten slotte krijgen we het regelmatig aehtvlak (fig. 2d).
Als de kubus nog verder beknot wordt, ontstaat er een regelmatig viervlak (fig. 2e).
Zo blijken viervlak, zesvlak en aehtvlak duidelijk met elkaar verwant te zijn.
We kunnen nog een variatie op het viervlak maken (fig. 3) door
afsnijdingen te maken op telkens deel van de ribben. Dat lichaam bestaat dan uit vier driehoeken en vier zeshoeken.
Andere variaties
Er zijn nog drie andere variaties op de kubus mogelijk, nl. als we op een andere wijze materiaal weg- snijden.
In de figuren 4a, 4b en 4c staan ze als combinaties van driehoeken en vierkanten, vierkanten, zeshoeken en achthoeken en nogmaals driehoe- ken en vierkanten. Deze laatste ziet er met zijn gedraaide vierkanten heel opmerkelijk uit. Ook hier zijn alle ribben even lang en kan door alle punten een bol. Het lichaam heeft 38 vlakken met hoeken 153°
en 143°, beslist een aantrekkelijk ontwerp voor een voetbal.
Nieuwe ontstaanswijzen
De studie van deze veelvlakken confronteert ons met een fascine- rend proces van transformaties en ontwikkelingen. Bij verder
onderzoek blijkt dat op allerlei wijzen het één uit het ander kan ontstaan. Zo is in figuur 5 te zien dat het lichaam van figuur 2c ook te maken is als de ribben van een
3
Figuur 7a. De voetbal Figuur 7h
Figuur 8a. Figuur 8h. Figuur 8c. Figuur 8d. Figuur 8e.
viervlak op '/3 deel afgesneden worden.
Door de ribben van het viervlak te halveren (fig. 5b), krijgen we weer figuur 2b.
In figuur 6 is getekend wat er achtereenvolgens gebeurt bij een kubus waar telkens weer nieuwe verbindingen gemaakt worden. Na elkaar zien we verschijnen: het viervlak, het aehtvlak, een 3-4-combinatie...
Een andere koers
Het twaalf- en twintigvlak zijn een familie apart. Het blijkt niet
mogelijk op enigerlei wijze deze uit de eerstgenoemde drie licha- men te laten ontstaan. Onderling hebben ze wel een duidelijke relatie.
We gaan uit van het twintigvlak.
Verdeel de ribben telkens in
drieën. Nu verschijnt de traditio- nele voetbal (fig. 7a). Die staat in figuur 7b. Probeer die ook maar eens te plakken. De vijhoeken hebben hoeken van 108°, de zeshoeken hoeken van 120°. Per hoekpunt krijgen we totaal 348° en de hoeken tussen de vlakken zijn hier 138° en 143°. Dat is allemaal tamelijk plat, vandaar dat dit model nogal favoriet is.
In figuur 8a staat een variatie waarbij de middens van de ribben van het twintigvlak verbonden zijn. Er komen zo driehoeken en vijfhoeken. Het lijkt ook een aantrekkelijk voetbalmodel (per hoekpunt 336° en de hoeken tussen de vlakken 143°). Bij het
traditionele geval liggen de hoeken
toch iets gunstiger. Bovendien
komt daar nog een aantrekkelijk
voordeel bij dat de beide typen
4
Figuur I.
driehoek?
In figuur 3 hebben we op de zijden van een willekeurige driehoek ABC vierkanten getekend, net zoals bij de rechthoekige driehoek van figuur 1.
Tevens hebben we de drie hoog- telijnen vanuit A, B en C getrok- ken en die vervolgens weer ver- lengd. Ook hier wordt nu elk vierkant in twee rechthoeken
verdeeld. We gaan nu aantonen dat rechthoeken met een gelijk
romeins cijfer, even groot in oppervlakte zijn.
Bewijs
We tonen dat allereerst aan voor de rechthoeken met nummer I, die samenkomen bij hoekpunt C. Uit de gelijkvormigheid van de
driehoeken ADC en BFC volgt:
EC : BC = DC : AC.
Of EC X AC = BC x DC of omdat AC = DC en BC = CF volgt ook:
EC X DC = CF X DC. En daarmee
Figuur 2.
Figuur 3.
is aangetoond dat de rechthoeken met aanduiding I even groot in oppervlakte zijn.
Datzelfde geldt ook voor de beide rechthoeken die bij A samenkomen en de beide die dat bij B doen.
8
Meetkundige survival
O O Dat wiskunde je leven wel eens kan redden ondervond luitenant J. King tijdens de Vietnamoorlog. Hij stortte toen namelijk met zijn
helicopter neer achter de vijandelijke linies en moest vervolgens hals over kop vluchten voor de naderende Vietcong soldaten. Het enige dat hij met zich mee kon nemen waren wat dingen die hij op zak had, waaronder een landkaart van de omgeving en een zakmes (de beide dingen die hij later tijdens zijn avontuur hard nodig zou hebben). Hij wist gelukkig wel aan de naderende Vietcong te ontsnappen, maar met de landkaart die hij bij zich had kon hij toen niet veel meer aanvangen, want door al dat rennen en sluipen langs vijandelijke troepen wist hij totaal niet meer waar hij ergens zat. Wel zag hij toen hij op een gegeven moment voor een open rijstveld stond, in de verte drie hem welbekende bergtoppen. Het waren de bergen Lau Enai, Pou Louat en En Mai. Met veel praktisch vernuft heeft hij toen als volgt vast kunnen stellen waar hij zich bevond.
Hoeken en cirkels
Luitenant King sneed eerst een paar stengels van de rijstplanten af.
Figuur 1.
Vervolgens trok hij zijn jack uit en legde het op de grond. Hij keek toen, met zijn ogen zo dicht mogelijk bij de grond, over zijn jack naar de drie bergtoppen en
legde de stengels van de rijst-
planten zo op zijn jack neer, dat zij de hoeken vormden waaronder hij de bergtoppen zag (fig. I).
Daarna pakte hij zijn mes en sneed hij deze hoeken uit zijn jack, er zorg voor dragend dat de
rietstengels ondertussen niet van hun plaats kwamen. Toen begon hij maar eens om één van de
hoeken die hij uitgesneden had zo op de kaart te plaatsen dat deze hoek precies tussen twee
bergtoppen in kwam te liggen waartussen hij deze hoek had gemeten. Zijn positie zou dan overeen moeten komen met de positie van het hoekpunt (fig. 2).
Hij kwam er echter al gauw achter
10
Figuur 2.
dat dit hoekpunt op vele plaatsen kon liggen. Daarom prikte hij op alle plaatsen waar het hoekpunt op de kaart terechtkwam met zijn mes een gaatje in de kaart. Wie schetste echter zijn verbazing, toen hij er achter kwam dat al deze punten op een stuk van een cirkel bleken te liggen! (fig. 3)
Nu was zijn probleem opgelost, want met de andere hoek uit zijn jack deed hij hetzelfde, en zo wist
hij binnen de kortste keren waar hij zich bevond, namelijk op het punt waar de cirkelstukken elkaar sneden!
Luitenant King zag nu dat hij zich maar een paar kilometer ten oosten van een rivier bevond die langs een Amerikaanse legerbasis stroomde.
Figuur 3.
Hij hoefde zich dus alleen nog maar een weg te banen naar deze rivier en deze vervolgens
stroomafwaarts te volgen om bij de basis uit te komen.
Mazzel met meetkunde
Eigenlijk heeft luitenant King zijn leven te danken aan de volgende meetkundige steUing:
Zij C een cirkel met middelpunt M, en laat A en B twee punten op deze cirkel zijn. Dan geldt voor elk punt P dat op C ligt en aan dezelf- de kant van lijn AB ligt als M:
hoek APB - de helft van hoek AMB.
Als gevolg daarvan maken al deze punten P dezelfde hoek met de
11
Racen met wortel 2
O O Heel wat jonge mensen knutselen met niet aflatend enthousiasme aan treincircuits en mini-racebanen. Met name miniatuur-racebanen die de werkelijkheid zo dicht mogelijk benaderen, zijn bijzonder populair. Het is heel simpel een cirkelbaantje te maken of een acht of een rechthoek met wat afgeronde hoeken. Maar het is werkelijk een sport om een bestaande racebaan zo nauwkeurig mogelijk na te bootsen of zo maar een
interessante omloop in elkaar te knutselen. Er zijn hobbyisten die daar duidelijk feeling voor hebben.
Maar kan er nu ook sprake zijn van een systeem?
Ja, dat kan
In figuur 4 zien we het bekende raceparcours de 'Nürburgring', gelegen in de Duitse Eifel.
Jaarlijks wordt daar onder meer de lOOO-km prijs verreden. Er zijn fabrieken die de benodigde
onderdelen leveren om zelfs zo'n vrij ingewikkelde baan te kunnen imiteren. Hoe 'versieren' die fabrieken dat? Welke
standaardmaten maken ze en waarom juist die? Het is niet zo moeilijk om daar achter te komen.
Basisfiguur
De Marklin-fabriek levert rechte baanstukken met de volgende
lengten: 44, 62, 106, 150, 212, 300
en 424 mm. Verder krommme delen in de vorm van een kwart cirkel met straal 150 mm en
achtste cirkels (45°) met straal 150, 300 en 450 mm.
Hoe is men tot deze vreemde combinatie gekomen? Bij de verder bestudering zullen we nu alleen platte baanvakken
bestuderen, dus zonder viaducten.
Verder verwaarlozen we de breedte van de baan: als we een circuit ontwerpen en tekenen, geven we alleen de ligging van de hartlijn aan.
Na enig speuren blijken de enig
voorkomende hoeken 45° en 90° te
zijn en A/2 de meest opmerkelijke
14
r-s r-s r-s r-s r-s
factor. De basisfiguur is de bekende driehoek (fig. 1) met hoeken 45°, 45° en 90°. De zijden verhouden zich als I : 1 : A/2 of als
1 : 1 : 1,415.
Je ontdekt al spoedig dat ^ 12 uit 150 is afgeleid doordat 150 met A/2 vermenigvuldigd is. Evenzo is
150=:V2x 106. In figuur I is te zien hoe het hele systeem is opgezet.
De basislengte (de enige exacte!) is 150 mm. Dit is de straal van een kwart en achtste cirkel en we
stellen deze r. Deze r is schuine zijde van de gelijkbenige driehoek met rechthoekszijden s. Er gelden dan dus deze relaties:
r = W2 of s = V2''V2
Door verder te bouwen aan de figuur ontstaan de stukken 25, 2r
Figuur 1.
en 4r. Ook de verschilmaten (r-s) en (2s-r) zijn in de handel en blijken een belangrijke rol te spelen in de opbouw van circuits, speciaal als het om kromme delen gaat.
Hoe (r-s) en (2s-r) onderling nog weer samenhangen kun je zien in de beide nog ingetekende
driehoekjes. Controleer de relaties maar; telkens is de schuine zijde A/2 X zo groot als de desbetreffende rechthoekszijde. Bij de kwartcirkel is de koorde 2s en bij de achtste cirkel de projectie van de boog op de straal (r-s).
Een bocht is des te scherper
naarmate de straal ervan kleiner is.
Er worden nog vlakker bochten geleverd van 45° met straal 2r en 3/-.
15
Figuur 2. baan uit 10 delen 3 kwartcirkels (r)
1 achtste cirkel (r) 2 achtste cirkels (2r)
1 achtste cirkel (3) 2 stukken s, 1 stuk r Legpuzzel
In figuur 2 is een eenvoudig circuit ontworpen, bestaande uit 10 onder- delen. De bocht met straal r is dus het scherpst en komt 4 x in dit ontwerp voor. Daar is dus de kans het grootst dat de auto de baan uitvliegt; bij de bocht met straal 2r is dit risico kleiner.
Men kan een x- en y-as zo kiezen dat de figuur op een functionele wijze verdeeld wordt door middel van lijnen in x- en y-richting en onder 45° daarmee. De legpuzzel bestaat dan uit een aantal recht- hoeken en verder uit driehoeken en cirkeldelen met maten zoals in figuur 1 aangegeven. Zo kun je ook controleren of het ontwerp klopt.
I I
Figuur 3. Som(o) = O en toch sluit de baan niet
Sluitend... of niet?
Als de baan wil kloppen moet de som van alle draaiingen bij
eenmaal rond steeds 360° zijn. Tel in figuur 3 eens de bochten: naar buiten gekeerd noem je bol of positief, naar binnen hol of
negatief. De straal doet hierbij niet ter zake.
In figuur 2 tref je 3 bochten van 90° bol, 3 van 45° bol en 1 van 45°
hol; totaal dus:
3x90° -I- 3x45° = 8x45° = 360°
(één keer rond).
Toch is deze controle niet
voldoende, om te bewijzen dat het ontwerp sluit. Kijk maar naar figuur 3.
Daar zijn we inderdaad eenmaal
rondgedraaid, maar het eind B valt
niet samen met het begin A. Elk
baanstuk kan een verplaatsing in
de x-richting en een in de y-
16
Krachten bij brugfii
O O O Een brug dient om op gelijk niveau een kloof of een rivier te pas- seren. De eenvoudigste manier is: een balk erover. Maar zo kom je meest- al niet ver. De Romeinen hadden al intelligentere oplossingen. Uit die tijd resten ons nog boogbruggen. De verbindingen tussen pijlers en muren bestonden meestal uit halve-cirkelvormige gewelven. In de 16e eeuw wer- den er ook ellipetische boogbruggen gebouwd. Zo kon het wegdek lager blijven. Een voorbeeld daarvan is de brug over de Arno bij Florence. Met de komst van smeedijzer verschijnen in het begin van de vorige eeuw de eerste vakwerkbruggen, zoals veel spoorwegbruggen in ons land.
Vier typen
In figuur I vind je de voor ons interessante mogelijkheden.
Allereerst de vlakke overspanning, de balkbrug. Het bovenste plaatje is de passage van een dal,
daaronder van een rivier. In beton kun je zo 120 m overbruggen, in staal tot 250 m. Je komt al verder als je het wegdek via pijlers aan kabels ophangt. Zo overspan je wel 2000 m. Nog interessanter wordt de hangbrug, het wegdek hangt aan stalen trossen. Ten slotte hebben we boogbruggen. Bij passage van een kloof "staat" de brug op de boog; bij een rivier hangt de brug meestal aan de boog.
We beperken ons nu verder tot hang- en boogbruggen.
De ideale vorm
Een cirkel heeft een constante kromming. Als op een gewelf alleen krachten werken naar het middelpunt gericht, dan is deze vorm het gunstigt. Om die reden hebben bijvoorbeeld tanks met vloeibaar gas de bolvorm. In het geval, zoals bij bruggen, dat er alleen verticale krachten werken, blijkt de paraboolvorm ideaal.
Zo hebben parabolische gewelven de eigenschap dat bij een
regelmatige verdeling van evengrote verticale krachten er
19
Figuur I. Typen bruggen geen dwarskrachten binnen de draagconstructie optreden. Via de parabool worden krachten dan afgeleid naar de funderingen.
Onderzoek
In figuur 2 staat een hangbrug waaraan een wegdek hangt. We verwaarlozen nu even het gewicht van de draagconstructie ten
opzichte van die van het wegdek.
De kabelveelhoek ABCDEGH hangt bij de eindpunten A en H 20
aan twee pijlers. Het brugdek is in dit geval in zes evengrote secties verdeeld, die via verticale stangen aan de punten A, B, C, D, E en G zijn opgehangen. De onderling gelijke krachten F,, F2 ... zijn elk een zesde deel van het brugdek- gewicht.
De kabeldelen AB, BC ... worden alle op trek belast. Daardoor ontstaan in elk deel trekkrachten die even groot en tegengesteld gericht zijn. Dat is volgens de wet actie en reactie zijn even groot en tegengesteld.
Door geringe uitrekking van een kabelsegment worden de
eindpunten ervan naar elkaar toegetrokken.
Zo wordt in segment BC het punt C in de richting van B getrokken met een kracht ST en omgekeerd B in de richting van C met de even grote tegengestelde kracht S2.
De naar links wijzende
spanningskrachten voorzien we van een plusteken, de naar rechts wijzende van een minteken.
Zo werken op elk hoekpunt van de boogveelhoek drie krachten: twee spankrachten en een gewichtskracht.
Bij evenwicht moet de som van die drie krachten telkens nul zijn.
Dus bijvoorbeeld:
F| - H S | - S 2 = 0 : F 2 - t - S 2 - S 3 = 0 enz.
Als we zo'n drietal vectoren kop- aan-staart achter elkaar zetten, ontstaat een sluitende driehoek.
Voor de hoekpunten B en C zijn
die driehoeken apart getekend. We
Figuur 2. Krachten in hangbrug kunnen nog iets verder gaan. In figuur 2 hebben we (iets vergroot) een vectordiagram bijgevoegd
waarbij we de vijf vectordriehoeken tegen elkaar aan hebben gezet. Een overeenkomstig tweetal is gearceerd.
Parabool
Voor wie handig in wiskunde is, valt uit figuur 2 een heleboel af te lezen.
Vooreerst kunnen we afleiden dat de punten A, B, C, D, E, G en H op een parabool komen te liggen.
Een paar tips.
In het rechterdeel van figuur 2 hebben we drie rechthoekige driehoeken aangegeven die ieder gelijkvormig zijn met een
overeenkomstige in het
vectordiagram. Bij enig speuren blijkt daaruit dat de hoogten van deze driehoeken zich verhouden als 1 : 3 : 5 (fig. 3). Daaruit volgt dan weer dat de punten E, G en H
Figuur 3. Vectoren en stangen
hoger liggen boven de top D in de verhouding I : 4 : 9 en dat wijst op een kwadratische functie en daarbij hoort de parabool.
De voorwaarde is dus wel dat de verticale stangen onderling gelijke afstanden hebben en de krachten F in alle hoekpunten even groot zijn.
Dit is gemakkelijk uit te breiden in het geval van bijvoorbeeld 19 secties, zoals bij de getekende hangbrug van figuur I.
21
Kans bij de familiespelshow
O O De NCRV heeft veel maandagavonden de Teds familiespelshow op het scherm gebracht. Hierbij moesten op het eind kinderen voor een bord gaan staan waarop bijvoorbeeld 12 kaarten waren aangebracht met dieren Daaruit moesten ze dan kiezen welke dieren ze eng vonden, tot een totaal van zes.
Vervolgens verschenen de ouders ten tonele en die moesten dan raden welke dieren de kinderen hadden aangewezen.
Ze mochten daarbij nog hoogstens twee keer mis raden.
Hoe groot is de kans dat, zuiver op het toeval afgaande, de ouders succes hebben?
Oplossing
Model: het probleem komt overeen met een trekking zonder terug- legging uit een vaas met zes witte en zes zwarte ballen: de witte
ballen staan model voor de door de kinderen gekozen dieren, de
zwarte voor de dieren die ze niet hebben gekozen.
Je moet berekenen:
a. de kans op zes witte ballen (bij 6x trekken)
b. de kans op 6 witte en 1 zwarte bal (bij 7x trekken.)
Die zwarte bal staat dus voor die ene keer dat de ouders mis raden.
Dat mag dus niet de laatste of 7^
keer zijn, want dan hadden de ouders daarvoor al 6x goed geraden!
De laatste bal mag dus nooit zwart zijn.
c. de kans op 6 witte en 2 zwarte ballen, waarbij (om dezelfde reden als zojuist) de laatst getrokken bal niet zwart mag zijn, want dan zouden de ouders daarvoor al alle zes de dieren
geraden hebben.
Samenvatting
a. staat voor: de ouders raden alle zes in één keer goed.
b. hetzelfde in zeven pogingen en c. hetzelfde in acht pogingen.
Berekening
a. P(w,w,w,w,w,w) =
6^. i_. A-i-J.-± =
12 II 10 9 8 7 0,0010823
b.P(5 wit en I zwart, wit) levert, omdat die ene zwarte nog op zes verschillende plaatsen staan kan:
6 . P(z,w,w,w,w,w,w) =
6.6^. 6^. A - A - l.A-lj=
12 II 10 9 8 7 6 0,0064935
c.P(5 wit en 2 zwart, wit) - 21 . P(z,z, w,w,w,w,w,wit) = 21 ._6- 5_. 6. 5_. A- 3_. 2_. J_
12 11 10 9 8 7 6 5
= 0,0227273, waarbij 21 =(2)
24
Grafieken met een zaklamp
O O Door met een zaklamp op een muur te schijnen kun je allerlei wiskundige grafieken laten verschijnen.
Schijn eerst maar eens met je zaklamp loodrecht naar de muur toe. De omtrek van de lichtbundel op de muur heeft nu de vorm van een cirkel.
Door met je zaklamp nu een beetje
schuiner te gaan schijnen krijg je een ellips.
Ga nu nog .schuiner schijnen, tot op het precieze moment dat je geen ellips meer op de muur ziet; de figuur die je dan op de muur ziet is
Hyperbolen in de huiskamer
26
Een belangrijke eigenschap van de ellips
o Een ellips is de verzamling punten (P) waarvan de afstand tot twee vaste punten (F^ en F2) constant is (hier a -h b). Figuur I.
Zo'n ellips is eenvoudig te lekenen als je twee spijkertjes in F^ en F2 be- vestigt en er een lusje garendraad omheenlegt waarvan de lengte a -h b -i- c is. Met een potloodpunt trekken we het lusje strak en bewegen het rond.
Nu een eenvoudig probleem: Hoe construeren we een raaklijn in P'!
(fig. 2). We letten even niet op de gestippelde lijnen.
Trek F|P en F-,P. Verieng daarna F^P met PQ = F2P-
Trek F2Q en construeer vanuit P een loodlijn hierop. Deze loodlijn is de raaklijn in P aan de ellips.
Het bewijs is niet moeilijk: het komt erop neer aan te tonen, dat P het enige punt op deze loodlijn is, dat ook op de ellips ligt, ofwel, dat elk ander punt van de loodlijn buiten de ellips ligt.
Nemen we nu eens een willekeurig punt van de loodlijn: P'.
We verbinden dit met Fj, Fj en Q.
We bewijzen nu dat
F\F + F2P'>F\P + F2P.
Dan kan P' nooit op de ellips liggen, want anders zouden de sommen van beide lijnstukken gelijk moeten zijn.
F^F + F2P' = F^F + FQ
en de laatste som is groter dan F\Q omdat in een driehoek (hier F^P'Q) twee zijden altijd groter zijn dan de derde.
We kunnen nu dus een raaklijn in een bepaald punt van een ellips construeren.
We gaan nog iets verder (fig. 3).
LP]=LP2 (wannt PF2Q is gelijk- benig).
LP] = LP^ (overstaande hoeken), dus LP2 = L Py
Als we ons de ellips denken als een spiegelende strip, dan zal een lichtstraal, uitgaande van f] altijd
Figuur 2.
De methode van de kleinste kwadraten
O O Werken met kleinste kwadraten is een manier om meetwaarden te middelen.
Stel je hebt een aantal punten waarvan de theorie zegt dat hun grafiek een rechte door de oorsprong is. Zo'n lijn heeft als algemene vergelijking y = ex, waarbij c een constante voorstelt, overeenkomend met de helling van die rechte.
Maar ... metingen geven nooit exacte uitkomsten en zo komen de meetpunten ook nooit op een rechte.
We moeten, een beetje op goed geluk, die rechte dan maar trekken tussen die meetpunten door. Toch is hier wel een wetenschappelijke oplossing voor: de methode van de kleinste kwadraten.
Het resultaat zou het meest
bevredigend zijn als de meetpunten die boven die rechte uitkomen samen evenveel van die lijn afwij- ken als de punten eronder. Zo'n afwijking in verticale zin geven we aan met de griekse letter 5. We streven er dus naar dat:
SS; - O, waarbij de griekse letter Z het somteken verbeeldt en i het rangnummer van het betreffende meetpunt.
We stellen 5j positief als het
meetpunt boven die lijn uitkomt en negatief als het eronder ligt.
Moeilijkheid
Maar daar ligt nu juist het pro- bleem. Hoe moetje van tevoren weten of zo'n punt er ten slotte boven of onder komt? Zo lijkt dat in ons voorbeeld beslist twijfel- achtig voor het laatste punt met coördinaten x = 8 en y = 5,6.
Wanneer je zo'n verschil in het
kwadraat zet, maakt het niet meer uit of het plus of min is: je krijgt dan altijd een positieve uitkomst.
En daarom stellen we voor om niet de som van alle afwijkingen zo klein mogelijk te maken, maar de som van alle afwijkingen in het kwadraat.
Algemeen
Stel we hebben een aantal punten met coördinaten (xj, ya
(zie tabel).
Aan de beste lijn stelt men niet alleen de eis dat E i nul is, maar ook dat X i minimaal is.
We vinden dan:
5; = (cxj - yi)2 = c2xi - 2cxiyj -i- yi2 Z5i = c2Sxi - 2cXxjyi -I- Syi2 Dit is een tweedegraadsfunctie van c. Het minimum vinden we door de eerste afgeleide naar c nul te stellen:
2clxi2 - 2lxiyi = O
30
