De wortel uit min ´e´en Jaap Top

De wortel uit min ´ e´ en

Jaap Top

JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl

19 april 2011

Marten Toonder, verhaal ‘de minionen’ (1980)

Twee manieren om complexe getallen te beschrijven:

algebra¨ısch, als uitdrukkingen a + b√

−1 met re¨ele a, b;

meetkundig, als punten met co¨ordinaten (a, b) in het xy-vlak.

We gaan op beide in, vergelijk het collegedictaat Differentiaal- en integraalrekening, te vinden op

http://www.math.rug.nl/~top/diffint.pdf

Alternatief, uitstekende inleiding:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Complex_getal

Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a en b re¨ele getallen, en i een nieuw symbool.

Is z = a + bi een complex getal, dan heet a ∈ R ^{het re¨}ele deel van z en b ∈ R het imaginaire deel van z. Notatie Re(z) := a resp.

Im(z) := b.

De verzameling van alle complexe getallen geven we aan met C^. Optellen en vermenigvuldigen in C: Laten z = a+bi en w = c+di complexe getallen zijn. Dan

z + w = (a + bi) + (c + di) := (a + c) + (b + d)i en

zw = (a + bi) · (c + di) := (ac − bd) + (ad + bc)i.

We vatten R op als een deel van C^{, door r ∈} R te zien als het complexe getal r + 0i.

Evenzo hebben we een zekere deelverzameling van de complexe getallen die we de zuiver imaginaire getallen noemen. Dit zijn de complexe getallen van de vorm 0 + bi. Zo’n zuiver imaginair getal schrijven we kortweg als bi.

De rekenregels zeggen in het bijzonder dat (bi)(di) = −bd, dus het product van twee zuiver imaginaire getallen is een re¨eel getal.

Voor b = d = 1 staat hier dat i² = −1.

Optellen en vermenigvuldigen in C voldoet aan voor R ^{al wel-} bekende regels. Bijvoorbeeld z + w = w + z en zw = wz en ook (z + w)z₂ = zz₂ + wz₂. Complexe getallen z hebben een tegengestelde −z, en aftrekken van complexe getallen (z − w) betekent net als voor R dat we bij z de tegengestelde van w optellen.

Minder evident: elk complex getal z 6= 0 heeft een inverse; dat is een w ∈ C zodat zw = 1. Deze inverse wordt, net als in het re¨ele geval, geschreven als z⁻¹. Er geldt

(a + bi)⁻¹ = a

a² + b² − b

a² + b²i,

zoals je nagaat door met a + bi te vermenigvuldigen.

Dit stelt ons in staat om complexe getallen op elkaar te delen:

z/w = z · w⁻¹ (mits w 6= 0).

De complex geconjugeerde van een complex getal z = a + bi is het complexe getal genoteerd als ¯z, gegeven door

z := a − bi.¯

Merk op dat voor elke z = a + bi 6= 0 het product z¯z = a² + b² een positief re¨eel getal is. Er geldt

1

z = z¯ z¯z en

w

z = w¯z z¯z

Dit zijn formules waarmee in de praktijk snel een quotient van compleze getallen in de vorm a + bi geschreven kan worden.

Voorbeelden:

1

2 + i = 2 − i

(2 + i)(2 − i) = 2 − i

5 = 2

5 − 1 5i.

Zo ook

3 + 5i

1 + i = (3 + 5i)(1 − i)

(1 + i)(1 − i) = (3 + 5i)(1 − i)/2 = 4 + i.

Is z = a + bi, dan volgt z + ¯z = 2a en z − ¯z = 2bi. Dit levert formules voor het re¨ele en het complexe deel van z, namelijk

Re(z) = z + ¯z

2 en Im(z) = z − ¯z 2i .

Deze algebra¨ısche benadering is afkomstig van Rafael Bombelli (1526–1572).

Je kan op een meetkundige manier naar C kijken door z = a + bi te zien als het punt (a, b) in het xy-vlak R^2. Optellen in C ^is zo de parallellogramwet voor het optellen van vectoren: a + bi optellen bij c + di is het optellen van de vectoren met beginpunt (0, 0) en eindpunt resp. (a, b) en (c, d).

Complexe conjugatie is het overgaan van (a, b) naar (a, −b), dus het spiegelen in de x-as. In het bijzonder zie je zo, dat z = ¯z dan en slechts dan, als z met een punt op de x-as correspondeert, oftewel, als z ∈ R^.

We spreken van het complexe vlak.

De formule z · z = a²+ b² als z = a + bi laat zien, dat z · z gelijk is aan het kwadraat van de afstand tussen (0, 0) en (a, b). Kortom, met

|z| := √

z · z =

q

a² + b²

wordt een re¨eel getal gedefini¨eerd dat in het meetkundige plaatje de lengte van z (als vector) weergeeft. We noemen dit de abso- lute waarde van z. Voor re¨ele z stemt dit overeen met de daar gebruikelijke absolute waarde.

Er geldt |zw| = |z| · |w| en |z + w| ≤ |z| + |w|.

Door z ∈ C (mits z 6= 0) te delen door z’n absolute waarde |z|, houden we een complex getal over met absolute waarde 1. Dit ligt dus in het complexe vlak op de cirkel om 0 met straal 1.

Elk punt op die cirkel heeft co¨ordinaten (cos α, sin α) waarbij α de hoek is die de lijn door 0 en het punt maakt ten opzichte van de positieve re¨ele as (x-as).

De hoek α heet het argument van het complexe getal z, notatie:

arg(z).

Er geldt z = r · (cos α + (sin α)i) waarbij r = |z| en α = arg(z).

De meetkundige interpretatie van C wordt toegeschreven aan de accountant/boekhouder Jean Robert Argand (1768–1826) uit Parijs. Hij schreef er in 1806 een boek over.

Hij voerde het begrip ‘absolute waarde’ van een complex getal in. Het complexe vlak heet ook wel het Argand diagram.

Eerder gaf de Noorse landmeter Caspar Wessel (1745–1818) in 1799 dezelfde meetkundige interpretatie. Maar hij schreef in het Deens...

Pagina uit een engelse vertaling van het boek van Argand

Notatie: e^αi := cos α + (sin α)i. Dit is het complexe getal op de eenheidscirkel, met argument gelijk aan α.

Merk op: e⁰ⁱ = 1 + 0i = 1, en ook voor de gebruikelijke e-macht is e⁰ = 1.

Een berekening waarbij bekende goniometrische identiteiten wor- den gebruikt, laat zien

(cos α + (sin α)i) · (cos β + (sin β)i) = cos(α + β) + (sin(α + β))i.

Oftewel: e^αi · e^βi = e^αi+βi.

Gegeven complexe getallen z en w, schrijf r = |z| en s = |w| en α = arg(z) en β = arg(w). Dan

z · w = r · e^αi · s · e^βi = rs · e^(α+β)i.

Meetkundig is vermenigvuldigen dus: de lengtes (absolute waar- den) vermenigvuldigen, en de hoeken (argumenten) optellen.

Voor z = a + bi schrijven we e^z = e^a+bi := e^a · e^bi. Voor a = 0 is dat de hiervoor gegeven e^bi.

Voor b = 0 is dat de gewone, re¨ele e^a. Er geldt e^z+w = e^z · e^w.

Voor a = 0 en b = π staat er e^πi = cos π + (sin π)i = −1, dus e^πi + 1 = 0.

Formule van Leonhard Euler (1707–1783).

Euler voerde e^z anders in: hij schreef e^z = lim

n→∞(1 + z n)ⁿ.

Invullen z = ix met x re¨eel, en gebruiken dat 1 ≈ cos(x/n) en x/n ≈ sin(x/n) als n heel groot, brengt Euler dan, via de “formule van de Moivre”

(cos(α) + i sin(α))ⁿ = cos(nα) + i sin(nα), tot de conclusie e^ix = cos(x) + i sin(x).

Zie scholierentijdschrift ‘Pythagoras’, april 2011 (“De mooiste formule ooit”).

Zwitserland, 1957 (Euler 250)

Wat commercieler, lovelymath.com, 2011:

Toepassing (H.W. Lenstra, Leiden)

Zie http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/

Gegeven een figuur (tekening) in C. We spreken van een figuur met een Droste effect als er een re¨eel getal r 6= ±1 is zodat de figuur onder vermenigvuldigen met r in zichzelf overgaat.

Door de schaling over r bij een Droste effect te combineren met een rotatie over α, krijg je een figuur dat in zichzelf wordt overgevoerd onder vermenigvuldigen met r · e^αi.

Voorbeeld: Escher’s Prentententoonstelling (1956), waarbij r ≈ 22, 6 en α ≈ 2, 75.

Stelling: Elke veelterm f (z) over C van positieve graad heeft een nulpunt in C^.

Dit heet ‘hoofdstelling van de algebra’. O.a. bewezen door Argand en door Gauss.

Bewijsschets: zou f (z) geen nulpunt hebben, dan is 1/|f (z)|

overal gedefinieerd. Deze neemt een maximum aan. Na schuiven z 7→ z + a: maximum voor z = 0. Na ook nog f (z) delen door f (0): mag aannemen f (0) = 1.

Schrijf f (z) = 1 + re^αiz^k+hogere machten, met k > 0, r > 0.

Door voor z een handig gekozen waarde  · r^−1/ke^βi in te vullen, kan je zien dat de aanname ‘maximum in z = 0’ tot een tegen- spraak leidt.

Gehelen van Gauss: Z[i], alle m + ni met m, n ∈ Z^. Met z, w ∈ Z[i] zijn ook z ± w en z · w in Z^[i].

De enige z ∈ Z[i] waarvoor ook 1

z ∈ Z[i], zijn 1, −1, i, −i.

In Z[i] kan je ‘delen met rest’: zijn z, w ∈ Z[i] met w 6= 0, dan bestaan q, r ∈ Z[i] zodat z = qw + r en |r| < |w|.

Bewijs: schrijf z/w = a + bi en rondt a, b af naar de dichtst bijzijnde gehelen m, n. Neem q = m + ni en r = z − qw. Dan

|r|/|w| = |r/w| = |(z/w) − q| = |(a − m) + (b − n)i| ≤ ^q1₄ + ¹

4 < 1, dus |r| < |w|.

‘Priemen van Gauss’ zijn de m + ni ∈ Z[i] die niet verder te ontbinden zijn: m + ni 6= 1, −1, i, −i en als m + ni = z · w voor zekere z, w ∈ Z[i], dan zit ofwel z, ofwel w in {1, −1, i, −i}.

Uit ‘deling met rest’ volgt, dat elke z ∈ Z[i] met z 6= 0 te schrijven is als

z = uπ₁^e1 · . . . · π_n^en

met n ≥ 0 en u = ±1, ±i en de π_j priemen van Gauss.

Voorbeeld: 1 + i, 3, 2 + i, 1 + 2i, 7, 11, 2 + 3i, 3 + 2i, 1 + 4i, 4 + i zijn priemen van Gauss.

Is z = a + bi ∈ Z[i], dan is z · z = a² + b² een geheel getal ≥ 0.

Er geldt z · z = 1 alleen als z = 1, −1, i, −i.

Ook is z · w · z · w = (z · z) · (w · w).

Hieruit volgt, dat als w · w een priemgetal is, dan is w een priem van Gauss.

Elk priemgetal p van de vorm 4k + 1 is te schrijven als som van twee kwadraten: p = a² + b² = (a + bi)(a − bi). Hierin zijn dus a ± bi priemen van Gauss.

Elk priemgetal p van de vorm 4k + 3 is zelf een priem van Gauss.

Immers, zou p = z · w waarbij zowel z als w niet ±1, ±i zijn, dan is zz > 1 en ww > 1 en zzww = p². Dus zz = ww = p. Dit geeft een oplossing van de vergelijking a² + b² = p met gehele a, b.

Eentje van a, b is oneven en de andere even. Van de kwadraten a², b² is er daarom een deelbaar door 4, de andere is van de vorm (2` + 1)<sup>2</sup> = 4(`² + `) + 1. De som a² + b² is dus van de vorm 4k + 1, tegenspraak. Dus inderdaad is zo’n p een priem van Gauss.

Ter gelegenheid van het International Congress of Mathemati- cians in Amsterdam in 1954, liet de wis– en natuurkundige Balthasar van der Pol (1889–1959) door linnenfabrikant E.J.F. van Dis- sel & Zn (Eindhoven) theedoeken maken met priemen van Gauss erop.

Toepassing: 2010, bachelorscriptie van Henk-Jaap Stelwagen, Groningen:

π = 3, 14159 · · · nauwkeurig benaderen met behulp van de priemen van Gauss

(en ook met die van Eisenstein: net zoiets voor Z^[−1+

√−3

2 ]...).

Basis: tan(π/4) = 1, dus π/4 = arctan(1). Nu nog die arctan- gens nauwkeurig benaderen...

arctan(x) = x − 1

3x³ + 1

5x⁵ − 1

7x⁷ + 1

9x⁹ − . . . , immers, klopt als x = 0, en afgeleide links is ¹

1+x², en afgeleide rechts is

1 − x² + x⁴ − x⁶ + x⁸ − . . .

Dit herkennen als meetkundige reeks geeft eveneens ¹

1+x². Invullen x = 1 geeft

π = 4 × (1 − 1

3 + 1

5 − 1

7 + 1

9 − . . .),

een formule bedacht door de Schotse wis– en sterrenkundige James Gregory (1638–1675).

Probleem: heel veel termen nodig om een acceptabele nauwkeurigheid te krijgen.

Voorbeeld: 100 termen geeft π ≈ 3, 1316 · · ·, 1000 termen geeft π ≈ 3, 1406 · · ·,

10000 termen geeft π ≈ 3, 14149 · · ·.

De gebruikte reeks convergeert erg langzaam.

Dat probleem treedt niet op als arctan(x) voor veel kleinere x met deze reeks wordt benaderd.

Strategie: vind getallen z₁ = m₁ + i, z₂ = m₂ + i, . . . , z_t = m_t + i in Z[i] met alle m_j groot, en zo, dat

z₁ · z₂ · . . . · z_t = n + ni voor zekere gehele n.

Voor elke j is dan arg(z_j) = arctan( ¹

m_j), en de som van die argumenten is π/4. Dus

π = 4 arctan(1/m₁) + 4 arctan(1/m₂) + . . . + 4 arctan(1/m_t) en als de m_j groot zijn, is dit nauwkeurig met de arctangens reeks te benaderen.

Hoe vind je zulke z_j = m_j + i?

Stelwagen: kies een stel priemen van Gauss (bijvoorbeeld de kleinste 100), zodat als w er in zit dan ook w.

Maak een collectie gehelen van Gauss m + i, die in hun priemont- binding alleen maar priemen van Gauss uit de gekozen selectie hebben.

Nu zoek je daaruit producten die iets geheels maal 1+i opleveren.

Dat geldt, als in het product

• de priem 1 + i een oneven aantal keren voorkomt;

• elke andere priem w evenvaak voorkomt als w.

Met lineaire algebra vind je die producten gemakkelijk!

(278+I)³⁷(268+I)⁹(255+I)¹⁹(191+I)⁻¹⁴(157+I)²³(117+I)⁷(50+I)¹⁹(32+I)

is zo’n product, en met ongeveer 30 termen van de arctangens reeks levert dat 100 correcte decimalen van π.

Kees Stip (‘Trijntje Fop’): Op een bok

In Siddeburen was een bok

die machtsverhief en worteltrok.

Die bok heeft onlangs onverschrokken de wortel uit zichzelf getrokken,

waarna hij zonder ongerief

zich weer in het kwadraat verhief.

Maar ’t feit waardoor hij voort zal leven is, dat hij achteraf nog even

de massa die hem huldigde met vijf vermenigvuldige.

Siddeburen, bok gemaakt door Ron van Dijk