University of Groningen
Topics in inhomogeneous Bernoulli percolation
Carelos Sanna, Humberto
DOI:
10.33612/diss.150687857
IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version below.
Document Version
Publisher's PDF, also known as Version of record
Publication date: 2020
Link to publication in University of Groningen/UMCG research database
Citation for published version (APA):
Carelos Sanna, H. (2020). Topics in inhomogeneous Bernoulli percolation: A study of two models. University of Groningen. https://doi.org/10.33612/diss.150687857
Copyright
Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).
Take-down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.
Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons the number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.
Samenvatting
InditproefschriftbestuderenweenigewiskundigeaspectenvaninhomogeneBernoulli-percolatie op twee verschillende grafen G = (V, E); in beide gevallen beschouwen we een decompositie E0∪E00van de betreffende verzameling kanten E van de graaf, en
voor gegeven𝑝, 𝑞 ∈ [0, 1] kennen we parameters𝑝 en 𝑞 toe, respectievelijk aan de kan-ten in E0en aan die in E00. In zo’n formulering wordt een van de twee verzamelingen
kanten, zeg E00, opgevat als de verzameling inhomogeniteiten.
De eerste graaf, G = (V, E), die we beschouwen wordt verkregen door het Carte-sisch product te nemen van een oneindige samenhangende graaf𝐺 = (𝑉 , 𝐸) en de ver-zameling gehele getallen Z. We kiezen een oneindige collectie C, bestaande uit eindige samenhangende subgrafen van𝐺, en beschouwen het Bernoulli kantpercolatie-model op G dat een kans 𝑞 om open te zijn toekent aan elke kant waarvan de projectie op 𝐺 in een subgraaf uit C ligt, en een kans 𝑝 om open te zijn aan elke andere kant in de graaf. We laten zien dat de kritieke percolatiedrempel 𝑝𝑐(𝑞 )een continue functie op
(0, 1) is, onder de voorwaarde dat de grafen in C voldoende ver uit elkaar liggen en dat hun verzamelingen punten een uniform begrensde cardinaliteit hebben.
De tweede graaf die we beschouwen is het standaard 𝑑-dimensionale rooster, L𝑑
= (Z𝑑
,E𝑑), 𝑑 ≥ 3, waarop we werken met het inhomogene Bernoulli-percolatiemodel waarin iedere kant in het 𝑠-dimensionale hypervlak Z𝑑
× {0}𝑑−𝑠, 2 ≤ 𝑠 ≤ 𝑑, open is met kans 𝑞 en iedere andere kant open is met kans 𝑝.
Daarvoor bewijzen we twee resultaten: Ten eerste bewijzen we de uniciteit van de oneindige cluster in de superkritische fase, voor parameters (𝑝, 𝑞), als 𝑝 ≠ 𝑝𝑐, waar
𝑝𝑐∈ (0, 1) de drempel voor homogene percolatie op L 𝑑
aangeeft; en ten tweede laten we zien dat het kritieke punt (𝑝, 𝑞𝑐(𝑝))benaderd kan worden door de kritieke punten
van "slabs"van eindige dikte, voor elke 𝑝 < 𝑝𝑐.
