Regelmatige betegelingen van het hyperbolische vlak
Laura Siekman
Bachelorscriptie Wiskunde
Augustus 2008
Regelmatige betegelingen van het hyperbolische vlak
Laura Siekman
Begeleider: G. Vegter
Instituut voor Wiskunde en Informatica Postbus 407
9700 AK Groningen
Inhoudsopgave
1 Inleiding 1
2 Historie 3
2.1 Euclidische meetkunde . . . 3
2.2 Hyperbolische (niet-Euclidische) meetkunde . . . 3
2.3 De axiomatische methode . . . 5
2.4 Het Erlanger programma . . . 7
3 Hyperbolische Meetkunde 9 3.1 De Poincar´e-schijf . . . 9
3.2 Het Poincar´e-bovenhalfvlakmodel . . . 14
4 Isometrie¨en 17 4.1 Euclidische isometrie¨en . . . 17
4.2 Hyperbolische isometrie¨en . . . 18
4.2.1 Inversies . . . 18
4.2.2 M¨obius-transformatie . . . 20
4.2.3 Isometrie¨en in de Poincar´e-schijf . . . 23
4.2.4 Isometrie¨en in het Poincar´e-bovenhalfvlak . . . 25
5 Betegelingen 27 5.1 Euclidische Betegelingen . . . 27
5.1.1 Regelmatige betegelingen . . . 27
5.1.2 Het ontstaan van een betegeling . . . 28
5.2 Hyperbolische betegelingen . . . 31
5.2.1 Betegelingen in de Poincar´e-schijf . . . 35
5.2.2 Betegelingen in het Poincar´e-bovenhalfvlak . . . 36
6 M.C.Escher 37 6.1 Escher-betegelingen in de Poincar´e-schijf . . . 37
6.2 Escher-betegelingen in het Poincar´e-bovenhalfvlak . . . 41
6.3 Nabespreking . . . 42
iii
Hoofdstuk 1
Inleiding
Maurits Cornelis Escher was een Nederlandse kunstenaar die bekend stond om zijn houtsnedes en lithografie¨en. Wat zijn tekeningen bijzonder maakte was dat hij graag speelde met wiskundige principes.
Zo tekende hij vaak onmogelijke constructies en figuren die nauwkeurig in elkaar passen.
Figuur 1.1: M.C.Escher
Op 17 juli 1898 werd Escher geboren in Leeuwarden als de jongste zoon van de waterbouwkundig ingenieur George Arnold Escher en diens tweede vrouw, Sarah Gleichman. In 1903 verhuisde de familie naar Arnhem, waar Escher de HBS bezocht. In 1919 ging hij in Haarlem Bouwkunde studeren. Al gauw stapte hij over naar de richting Sierende kunsten.
De eerste stap in zijn kunstzinnige ontwikkeling was gezet. Eschers vroegere werk bestaat vooral uit landschappen en stillevens. Vanaf zijn veertigste begon hij met de ’Escheriaanse’ prenten. Eschers werk is te verdelen in meerdere categorie¨en, waaronder de regelmatige vlakvulling, oneindigheidsbenaderin- gen, onmogelijke ruimtelijke objecten, dimensiekwesties en simultane werelden [14].
(a) Onmogelijke ruim- te. objecten
(b) Regelmati- ge vlakvulling
(c) Simultane werelden
Figuur 1.2: Eschers prenten [14]
Met name de regelmatige vlakvulling is een categorie die wiskundig erg interessant is. Zijn eerste tekeningen in deze categorie zijn in het Euclidische vlak getekend. Later heeft hij deze tekeningen
1
met behulp van zijn goede vriend, de wiskundige Coxeter, ook voor de Niet-Euclidische meetkunde ontworpen.
Dit zijn de regelmatige vlakvullingen in de Poincar´e-schijf, een schijf van regelmatige betegelingen waarbij de figuren kleiner lijken te worden naarmate ze verder van het middelpunt verwijderd raken.
Een mooi voorbeeld hiervan staat op de voorzijde van het verslag. Het bijzondere in deze Poincar´e- schijf is dat al deze figuren, congruent zijn, al doet het Euclidisch oog iets heel anders vermoeden.
Achter het ontstaan van deze Escher-figuren op de Poincar´e-schijf gaat een wiskundige uitleg schuil.
Gedurende het verslag zal deze ontstaansgeschiedenis duidelijk worden.
De concrete vraag die ik zal behandelen in dit verslag is:
Hoe ontstaan regelmatige betegelingen van het Hyperbolische vlak?
Eerst bespreken we de historie van de meetkunde, dan twee modellen van de Hyperbolische meetkunde, dan gaan we kijken naar de isometrie¨en in beide modellen. Uiteindelijk bespreken we de betegelingen, Euclidisch en Hyperbolisch, en zullen uiteindelijk de link leggen met de Escher-tekeningen in het Hyperbolische vlak.
Hoofdstuk 2
Historie
We zullen kort de Euclidische meetkunde bespreken en zo zien hoe de niet-Euclidische meetkunde is ontstaan.
2.1 Euclidische meetkunde
Het woord meetkunde ofwel geometrie komt oorspronkelijk uit het Grieks en betekent aarde-meting.
De geometrie is een wetenschap die zich bezighield met het opmeten van het land. E´en van de grieken was Euclides, een leerling van de Platonische school. Hij leefde rond 300 voor Christus. Euclides is voornamelijk bekend om zijn reeks boeken ”De Elementen”. Voor meer informatie over Euclides en de Euclidische meetkunde zie [17].
Euclides ontwierp een meetkunde die was opgebouwd uit simpele axioma’s en theorema’s. Hij nam aan dat elk deel van de meetkunde gebaseerd is op delen die eerder al bewezen zijn. Hieruit volgt dat er een begin moet zijn en met behulp van deze veronderstelling introduceerde hij vier ongedefeni¨eerde termen: een punt, een lijn, een vlak en een ruimte. Ook ging hij uit van vijf basis axioma’s [13].
Axioma 1. Tussen elke twee punten kan een rechte lijn worden getrokken Axioma 2. Een lijnstuk kan aan beide kanten oneindige ver worden verlengd Axioma 3. Een cirkel kan getekend worden met elk middelpunt en elke straal Axioma 4. Alle rechte hoeken zijn equivalent
Axioma 5. Gegeven een rechte lijn l en een punt p niet op deze lijn, dan is er een unieke lijn door p te trekken die parallel1 loopt aan l
De gehele Euclidische meetkunde is opgebouwd met behulp van deze begrippen.
2.2 Hyperbolische (niet-Euclidische) meetkunde
Er was ´e´en axioma van de Euclidische meetkunde dat voor velen overbodig leek, dit is het vijfde postulaat en wordt ook wel het parallellenpostulaat genoemd.
Opmerkelijk is dat dit axioma geen bewering doet over een lijnstuk maar over de gehele lijn. Als twee lijnen parallel lopen is dat equivalent met dat ze nooit snijden, hoe ver je ze ook verlengt.
Omdat een oneindig lange lijn niet, bijvoorbeeld met een laser, na te bootsen is, kan het axioma niet worden bewezen met behulp van een experiment. De vier andere axioma’s van Euclides hebben een eindig karakter en kunnen dus wel experimenteel worden geverifi¨eerd.
1Een parallelle lijn aan een gegeven lijn l snijdt l nooit, hoever je de lijn ook verlengt.
3
Hierdoor vroeg men zich af of het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de andere axioma’s. Wan- neer het vijfde axioma inderdaad afhankelijk is van de andere axioma’s, dan moet het mogelijk zijn om het af te schaffen en het te bewijzen met behulp van de anderen. Eeuwenlang hebben wiskundigen dit geprobeerd.
E´en van die wiskundigen was Proclus. Hij probeerde de overbodigheid van het postulaat aan te tonen door een parallelle lijn anders te defini¨eren. Proclus zag in dat hem dit niet verder hielp. Hij verschoof namelijk het probleem en hij moest opgeven.
Ook Saccheri (1667-1733) en Lambert (1728-1777) probeerden het parallellenpostulaat te bewijzen met behulp van een bewijs uit het ongerijmde. De hoop was dat er absurde conclusies konden worden getrokken uit het parallellenpostulaat. Later bleken hun conclusies van groot belang te zijn voor de theorema’s van de Niet-Euclidische meetkunde.
Als Saccheri en Lambert de conclusies niet hadden geclassificeerd als absurditeiten, maar als op zichzelf staande feiten, dan zouden z´ıj de ontdekkers zijn geweest van de Niet-Euclidische meetkunde.
Rond de 18eeeuw werd alleen het meetkundig systeem van Euclides geaccepteerd, elk ander systeem dat hier niet mee in overeenstemming was, werd als onzin bestempeld. Toentertijd was Emanuel Kant
´e´en van de invloedrijkste filosofen. Hij verwoorde de Euclidische meetkunde en het gebruik hiervan als een onvermijdelijke noodzaak van het denken [6].
Een groot aantal wiskundigen had jammerlijk gefaald om het parallellenpostulaat te bewijzen met behulp van de ander vier postulaten. Toen hier na jaren geen verandering in kwam, moest men zich neerleggen bij de gedachte dat het parallellenpostulaat onafhankelijk was van de andere vier.
De Hongaar Bolyai (1802-1860) en de Rus Lobachevsky (1793-1856) bevestigden dit door in detail een meetkunde te ontwerpen waarin het parallellenpostulaat niet geldt. Toen de enthousiaste Bolyai zijn werk aan Gauss voorlegde, kreeg hij niet de erkenning waar hij op had gehoopt. Gauss deelde zijn idee¨en maar had ze nooit gepubliceerd uit angst voor de reacties. Toentertijd geloofde men, mede door Kant, heilig in het meetkundig systeem van Euclides.
Wat betekent het dat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de andere vier postulaten? Sim- pelweg dat het mogelijk is om een systeem te ontwikkelen dat consistent is aan dat van Euclides. Dit systeem is ook opgebouwd uit een verzameling van axioma’s, waarin het parallellenpostulaat vervan- gen is door een ander postulaat. Zo’n systeem wordt ook wel een niet-Euclidisch systeem genoemd.
Een niet-Euclidisch systeem kan Elliptisch of Hyperbolisch zijn. Wij zullen ons met de Hyperbolische meetkunde bezighouden. In de Hyperbolische meetkunde is het parallellenpostulaat als volgt gedefi- nie¨erd:
Axioma 5’. Gegeven een rechte lijn l en een punt p niet op deze lijn, dan zijn er oneindig veel lijnen door p te trekken die parallel lopen aan l
Om aan te tonen dat de nieuwe meetkunde constistent is, is het niet genoeg om een grote verzameling Niet-Euclidische theorema’s te bedenken, zoals Bolyai en Lobachevski hadden gedaan. In plaats daar- van moet men modellen ontwerpen van de meetkunde waarin aan alle axioma’s van Euclides wordt voldaan, behalve aan het parallellenpostulaat.
In een model worden abstracte begrippen zoals punten, lijnen, rechte hoeken etc. concreet gemaakt.
Het simpelste model van de Hyperbolische meetkunde werd gegeven door Felix Klein. In dit model, een cirkel, kunnen oneindig veel rechte lijnen parallel aan een lijn worden getekend door een gegeven punt, zie figuur 2.1. De lijnen door P lopen allebei parallel aan de onderste lijn. Zo zijn er door P nog oneindig veel lijnen te trekken die allemaal parallel lopen aan de onderste lijn. Het model van Felix Klein was niet het enige model voor de Hyperbolische meetkunde. Zo zijn er ook nog de Poincar´e-schijf en het Poincar´e-bovenhalfvlak, waar we het nog uitgebreid over zullen hebben. Voor meer informatie over het Klein-model verwijs ik naar [16, blz 218-220].
2.3. DE AXIOMATISCHE METHODE 5
Figuur 2.1: Parallelle lijnen door P in het Klein-model
2.3 De axiomatische methode
De axiomatische methode in de wiskunde gaat terug tot de tijd van Euclides. De Griekse wiskunde was ontwikkeld en beschreven in ’de Elementen’. Men was zo onder de indruk van het werk van Euclides dat het ook voor latere generaties van groot belang was in de wiskunde. Zelfs filosofen als Spinoza volgden de axiomatische methode. Voor meer informatie hierover verwijs ik naar [16, 214]
In de 17e en 18e eeuw wordt minder waarde gehecht aan de Euclidische tradities en ontstaat een stijgende lijn in het aantal keren dat de axiomatische methode wordt gebruikt op allerlei gebieden.
De axiomatische methode kan op de volgende manier worden omschreven: Als men een theorema wil bewijzen in een algemeen systeem, is dat hetzelfde als laten zien dat een theorema een logische consequentie is van enkele eerder bewezen proposities. Deze proposities moeten op dezelfde manier ook weer worden bewezen, enzovoorts. Het bewijsproces van wiskundige problemen is daarom een onmogelijke en oneindige taak, tenzij men ergens een beginpunt neemt. Er moeten daarvoor een aantal veronderstellingen worden gedaan, ook wel postulaten of axioma’s genoemd. Deze worden als waarheid aangenomen.
Van deze axioma’s moeten de theorema’s kunnen worden afgeleid door middel van pure logica. Men zegt dat een wetenschappelijk gebied wordt gerepresenteerd in axiomatische vorm als de feiten in zo’n logische volgorde staan dat ze kunnen volgen uit een geselecteerd aantal veronderstellingen.
Er is erg veel keuze in de geselecteerde proposities als axioma’s. De axiomatische methode is erg handig mits er een klein aantal postulaten is en de postulaten simpel zijn. Belangrijk is dat de postulaten consistent zijn; twee theorema’s die van de postulaten zijn afgeleid mogen niet tegenstrijdig zijn. Ook moeten de axioma’s volledig zijn, zodat elk theorema van het systeem ervan afgeleid kan worden. Om beknoptheidsredenen is het van belang dat de axioma’s onafhankelijk zijn; geen van hen is een logische gevolgtrekking van een ander.
Sinds de tijd van Euclides is meetkunde het prototype van de axiomatische aanpak. Eeuwenlang is Euclides’ verzameling van axioma’s onderwerp geweest van intensieve studies. Recent is duidelijk geworden dat zijn postulaten moeten worden gewijzigd en gecomplementeerd als alle elementaire meet- kunde ervan is afgeleid.
Hilbert heeft zich hier mee bezig gehouden en in zijn beroemde boek ”Grundlagen der Geometrie”, zie hiervoor [18], gaf hij een indrukwekkende verzameling axioma’s voor de meetkunde. Op hetzelfde moment deed hij een intensief onderzoek naar hun onderlinge onafhankelijkheid, consistentie en vol- ledigheid. Uiteindelijk ontwierp hij een volledig consistent systeem van axioma’s voor de Euclidische meetkunde.
In elke verzameling van axioma’s moeten ongedefini¨eerde concepten zoals punten en lijnen in de meet- kunde worden geintroduceerd. Hun betekenis of relatie met objecten in de fysische wereld is wiskundig oninteressant. Ze kunnen worden gezien als abstracte objecten waarvan hun wiskundige eigenschappen
in een algemeen systeem geheel worden omschreven. Hun onderlinge relaties worden uitgedrukt in de axioma’s. Voor de sectie verwijs ik naar [16, 214-217].
Het Poincar´e Model In de wiskunde is men vrij om een meetkunde te beschouwen die gedefinieerd is door een willekeurige verzameling van consistente axioma’s over punten, rechte lijnen en cirkels. De bevindingen zijn handig voor fysici wanneer de axioma’s overeenkomen met het fysische gedrag van objecten in het dagelijkse leven.
Neem nu de uitspraak: ”Licht reist langs een rechte lijn”. Als dit de fysische definitie is van een rechte lijn, dan moeten de axioma’s van de meetkunde gekozen worden zodat ze overeenkomen met het gedrag van lichtstralen.
Stel je voor, met Poincar´e, een wereld gemaakt in het binnenste van een cirkel C, zodat de snelheid van het licht, op elk punt binnen de cirkel gelijk is aan de afstand van dat punt tot de rand. Het kan worden aangetoond dat lichtstralen dan de vorm aannemen van cirkelbogen die loodrecht staan op de rand van C. Zie voor meer informatie hierover [16, 223-224]
In deze wereld, zijn de meetkundige eigenschappen van rechte lijnen (gedefinieerd als lichtstralen) ver- schillend van de Euclidische eigenschappen van lichtstralen. Merk op dat het parallellenpostulaat hier niet geldt, omdat er oneindig veel rechte lijnen door het (middel) punt gaan, die de gegeven (kromme) lijn niet snijden, zie hiervoor figuur 2.2. De punten en rechte lijnen in deze wereld hebben dezelfde
Figuur 2.2: Parallelle lijnen
meetkundige eigenschappen als de punten en lijnen in het Klein-model. In andere woorden hebben we een verschillend model voor de Hyperbolische meetkunde. De ruimtes zijn anders gedefinieerd, maar voldoen beide aan de vier postulaten van Euclides en het vervangen parallellenpostulaat. Eu- clidische meetkunde wordt ook toegepast in deze wereld, in plaats van niet-Euclidische rechte lijnen.
De lichtstralen zijn bogen van Euclidische cirkels die loodrecht op C staan. We zien dat verschillende meetkundige systemen dezelfde fysische situatie kunnen beschrijven.
Het concept van een rechte lijn in de Euclidische meetkunde komt overeen met het gedrag van een lichtstraal in een homogeen medium. Hieruit volgt dat C Hyperbolisch is, aangezien er hier oneindig veel lijnen door een punt kunnen worden getrokken die parallel lopen aan een gegeven lijn. Hier- mee bedoelen we dat de fysische eigenschappen van lichtstralen in deze wereld overeenkomen met de eigenschappen van rechte lijnen van de Hyperbolische meetkunde. Voor meer informatie hierover zie [16, 223-224].
2.4. HET ERLANGER PROGRAMMA 7
2.4 Het Erlanger programma
Zoals eerder gezegd houdt meetkunde zich bezig met de eigenschappen van figuren in het vlak of in de ruimte. Deze figuren hebben dusdanig veel en verschillende eigenschappen dat er een classificatie nodig is om orde te brengen. In de elementaire vlakke meetkunde wordt verschil gemaakt tussen de theorema’s die gaan over de congruentie van figuren (waarbij men de concepten ’hoek’ en ’lengte’
gebruikt) en theorema’s die te maken hebben met de gelijkvormigheid van figuren (alleen door gebruik te maken van het concept ’hoek’).
We kunnen beter zeggen dat theorema’s van de elementaire meetkunde zich bezighouden met lengtes, hoekmetingen, en oppervlakten. Twee figuren zijn gelijk als ze congruent zijn. Dit houdt in dat de ene figuur kan worden verkregen uit de andere figuur met behulp van een isometrie. Een isometrie is een afbeelding die de afstand tussen twee punten invariant laat.
Maar zijn het concept van grootte en de gerelateerde concepten congruentie en gelijkheid essenti¨eel in de meetkunde? In het algemeen kunnen we ons afvragen welke eigenschappen van de figuren invariant zijn onder de klasse van transformaties. (Een transformatie is een algemene term voor vier specifieke manieren om de vorm van een punt, lijn of figuur te bewerken.) De figuren in de meetkunde met deze klasse van transformaties bezitten die eigenschappen.
Felix Klein stelde in 1872 in het artikel The Erlanger Program (voor het complete artikel zie [5]) voor om verschillende typen meetkunde te classificeren met behulp van groepen van transformaties. Je classificeert de typen meetkunde door te kijken of de figuren wel of niet invariant zijn onder verschil- lende klassen van transformaties. Sinds die tijd heeft het een grote invloed gehad op het meetkundige denken. Voor meer informatie verwijs ik naar [16, 165-167].
Hoofdstuk 3
Hyperbolische Meetkunde
Voor de Hyperbolische meetkunde zijn enkele modellen ontworpen, waarvan wij er twee zullen gaan bekijken, het Poincar´e-bovenhalfvlak en de Poincar´e-schijf. Met behulp van de axiomatische methode gaan we aantonen dat het goede modellen zijn voor de Hyperbolische meetkunde. Dit doet men door te laten zien dat het model aan de axioma’s voldoet. Daarvoor moeten we eerst punten, lijnen en cirkels defini¨eren. Daarna zullen we de axioma’s bespreken.
3.1 De Poincar´ e-schijf
In de Poincar´e-schijf wordt R2ge¨ıdentificeerd met C.
d-Punt. Voor extra informatie over de komende alinea’s verwijs ik naar [15, 263-274]. De punten, ook wel d-punten genoemd, in de Niet-Euclidische meetkunde zijn punten op de eenheidsschijf:
D = {z ∈ C : |z| < 1} = {(x, y) ∈ R2: x2+ y2< 1}.
De rand van D wordt gegeven door:
C = {z ∈ C : |z| = 1} = {(x, y) ∈ R2: x2+ y2= 1}.
Merk op dat punten op C niet tot ons model behoren.
d-Lijn. Lijnen in de Poincar´e-schijf worden ook wel d-lijnen genoemd.
Definitie 1. Een d-lijn is het deel van een (Euclidische) gegeneraliseerde cirkel dat in D ligt en C loodrecht snijdt.
Er zijn twee types d-lijnen, lijnsegmenten en cirkelbogen, zie figuur 3.1. Elke d-lijn die geen lijnsegment is, is een cirkelboog, die niet door het middelpunt gaat. De Euclidische raaklijn aan de cirkelboog en door C gaat door het middelpunt van de cirkel en vormt zo een lijnsegment. Elke d-lijn die een lijnsegment is moet een diameter van D zijn, omdat hij C in rechte hoeken snijdt
Parallelle d-lijnen. Om zometeen te kunnen aantonen dat het Poincar´e-schijf voldoet aan Axioma 5’ zullen we de definitie geven van parallelle d-lijnen.
9
Figuur 3.1: d-Lijnen in de Poincar´e-schijf
Definitie 2. Twee d-lijnen die niet in D snijden worden
parallel genoemd als de gegeneraliseerde Euclidische cirkels waar zij deel van zijn snijden op C en ultra-parallel genoemd als de gegeneraliseerde Euclidische cirkels waar zij deel van zijn niet snijden op C ∪ D.
Zie voor een voorbeeld figuur 3.2.
(a) l1, l2, l3 zijn ultraparallel aan l (b) De twee lijnen door z1 zijn parallel aan de lijn door z2, z3
Figuur 3.2: Parallelle d-lijnen
Hoeken tussen d-lijnen. De definitie van een hoek tussen twee d-lijnen hebben we zometeen nodig voor het bewijs dat het Poincar´e-schijf model voldoet aan Axioma 4.
Definitie 3. De hoek tussen twee d-lijnen door een gegeven punt B in D is de Euclidische hoek tussen de raaklijnen door B.
Zie figuur 3.3.
Afstanden in niet-Euclidische meetkunde. We zullen het begrip niet-Euclidische afstand defi- ni¨eren om het begrip cirkel te kunnen defini¨eren. In de Euclidische meetkunde is de afstand tussen twee punten z1en z2 gedefinieerd door de volgende formule:
d(z1, z2) = |z1− z2| z1, z2∈ C.
3.1. DE POINCAR ´E-SCHIJF 11
Figuur 3.3: Hoek tussen twee d-lijnen
In deze sectie zullen we voor de niet-Euclidische meetkunde een analoge formule zien voor de afstand tussen twee punten in D.
De eigenschappen van de afstandsfunctie in de Euclidische meetkunde gelden ook voor de niet- Euclidische meetkunde. In de niet-Euclidische meetkunde zijn er nog enkele extra eigenschappen waar- aan de afstandsfunctie moet voldoen:
1. d(z1, z2) = d(z1, z2) ∀z1, z2∈ D
2. d(z1, z2) = d(M (z1), M (z2)) ∀z1, z2∈ D en voor alle M .
waarbij M een niet-Euclidische transformatie is. Een niet-Euclidische transformatie is een functie die bijvoorbeeld een punt in ons model, naar een ander punt (in ons model) afbeeldt. Het gebeurt ook dat een niet-Euclidische transformatie vaste punten heeft, dus dat een punt op zichzelf wordt afgebeeld.
Meer informatie over niet-Euclidische transformaties staat in: 4.2.1.
Niet-Euclidische transformaties zijn van de vorm: M (z) = az+b
bz+a met |b| < |a|, zie sectie voor de volledige definities: 4.2.2.
Een niet-Euclidische transformatie van bovenstaande vorm heeft de eigenschap dat hij de afstand tussen twee punten behoudt. Neem de niet-Euclidische transformatie:
M : z 7→ z − z1 1 − z1z met |z1| < 1.
Deze afbeelding beeldt z1af op 0, en z2op 1−zz2−z1
1z2. Met behulp van de tweede eigenschap volgt:
d(z1, z2) = d
0,
z2− z1
1 − z1z2
∀z1, z2∈ D.
Dit verzekert ons dat de afstandsfunctie d(z1, z2) een functie is van 1−zz2−z1
1z2
. We zoeken een functie die voldoet aan de vier eigenschappen van de Euclidische afstandsfunctie en ook aan de twee extra eigenschappen. Het blijkt dat de functie tanh−1 eraan voldoet. Voor het bewijs zie: [15, sectie 6.3.5].
Definitie 4. De niet-Euclidische afstand d(z1, z2) tussen de punten z1 en z2 in de eenheidsschijf C is gedefini¨eerd door:
d(z1, z2) = tanh−1
z2− z1
1 − z1z2
De niet-Euclidische afstand tussen z en 0 in de eenheidsschijf D wordt dan:
d(0, z) = tanh−1(|z|)
In figuur 3.4 zie je de tanh−1(|z|) geplot samen met y = x, waarbij x = |z|
Merk op: de Euclidische afstand van het punt z tot de oorsprong is gelijk aan |z|. Door de tanh−1 toe te passen op de Euclidische afstand, kunnen we zo de niet-Euclidische afstand bepalen. Met behulp van de grafiek kunnen we het volgende opmerken:
Figuur 3.4: tanh−1(|z|)
1. Voor een punt dichtbij de oorsprong verschilt de Euclidische afstand van dat punt tot de oor- sprong nauwelijks van de niet-Euclidische afstand van datzelfde punt tot de oorsprong. (Denk hierbij aan twee punten op het aardoppervlak, over een kleine afstand merk je niet dat de aardbol een kromming heeft)
2. Als een punt z de rand van de eenheidsschijf nadert, dan wordt de niet-Euclidische afstand van de oorsprong tot dat punt oneindig groot. (De randen van de eenheidsschijf lijken oneindig ver weg te zijn)
Voor meer informatie zie [15, 284-286].
d-Cirkels We zullen ook d-cirkels introduceren om later aan te tonen dat het Poincar´e-schijf model voldoet aan het derde axioma van Euclides. Dit axioma zegt dat je een cirkel kunt tekenen met elk middelpunt en elke straal.
Definitie 5. Een niet-Euclidische cirkel met niet-Euclidische straal r en niet-Euclidisch middelpunt in c is de verzameling gedefini¨eerd door:
{z : d(c, z) = r, z ∈ D}
De vraag rijst hoe een niet-Euclidische cirkel eruit zal zien. Als het middelpunt overeenkomt met de oorsprong bestaat de cirkel uit de volgende verzameling van punten:
{z : d(0, z) = r, z ∈ D}
dit komt overeen met:
{z : tanh−1(|z|) = r, z ∈ D} = {z : |z| = tanh(r), z ∈ D}
Dit is een Euclidische cirkel met straal tanh(r) met het middelpunt in de oorsprong. Als het middelpunt niet overeenkomt met de oorsprong krijg je een Euclidische cirkel waarbij zijn middelpunt is verschoven richting de rand van D.
Stelling 1. Elke niet-Euclidische cirkel in D is een Euclidische cirkel in D en omgekeerd.
Voor meer informatie zie [15, 289-290].
3.1. DE POINCAR ´E-SCHIJF 13 De axioma’s Om te zien of ons model goed is, moeten we, nu het d-punt, d-lijn en een cirkel hebben gedefinie¨erd, kijken of het aan de vier axioma’s van Euclides en Axioma 5’ voldoet.
1. Tussen elke twee punten van D kan een d-lijn worden getrokken
Bewijs: Neem de punten a en b ∈ D, neem aan dat a overeenkomt met het middelpunt van D, dan is de lijn die door a en b gaat een diameter van D, en dus een d-lijn. Stel dat het punt a niet overeenkomt met het middelpunt van D, dan zegt Stelling 5, hoofdstuk 4.2.1 dat er een unieke d-lijn bestaat, door deze twee punten, die deel is van een gegeneraliseerde Euclidische cirkel.
2. Een lijnstuk kan aan beide kanten oneindig ver worden verlengd tot een d-lijn
Bewijs: Neem een lijnstuk l, dat ook een gedeelte is van een d-lijn. Bedenk dat dit lijnstuk is opgebouwd uit d-punten, die bevat zijn in D, waarbij de rand C niet in ons model bevat is. Stel dat l een diameter is, als het verlengde van l de rand nadert gaat zijn Hyperbolische afstand naar ∞, dus kan l oneindig ver worden verlengd zonder dat hij de rand C zal bereiken. Ditzelfde argument kan worden gebruikt als l een deel van een d-lijn is die deel is van een gegeneraliseerde Euclidische cirkel.
3. Een cirkel kan getekend worden met elk middelpunt en elke straal
Bewijs: Hierbij kijken we naar Definitie 5 van een niet-Euclidische cirkel, met r ≥ 0 en c ∈ D. We zien dat er geen uitzonderlijke restricties zijn op c en r, dus is het mogelijk een niet-Euclidische cirkel in D te tekenen met elk middelpunt en elke straal. De niet-Euclidische afstand gaat namelijk naar ∞ als je de rand nadert.
4. Alle rechte hoeken zijn gelijk
Bewijs: We nemen aan dat er twee verschillende rechte hoeken zijn. We hebben twee willekeurige, verschillende punten a en b ∈ D. Dan is het mogelijk om twee verschillende d-lijnen door de punten a en b te trekken, zodat deze d-lijnen loodrecht staan op C. Dit is tegenspraak aangezien Stelling 5 zegt dat de d-lijn die door twee punten gaat uniek is. Hieruit volgt dat onze aanname verkeerd is, dus alle hoeken zijn gelijk.
5. Er kunnen oneindig veel rechte lijnen door een gegeven punt worden getrokken die parallel zijn aan een rechte lijn l
Bewijs: Zie figuur 3.5 en merk op dat als l een cirkelboog is, er diameters bestaan die l nooit snijden. De diameters vanuit P en Q, de raaklijnen aan l, verdelen de cirkel in vier stukken.
Tussen de twee diameters vanaf de d-lijn kun je oneindig veel diameters, ofwel d-lijnen trekken, die l nooit snijden.
Figuur 3.5: Parallelle d-lijnen
3.2 Het Poincar´ e-bovenhalfvlakmodel
Evenals bij de Poincar´e-schijf zullen we nu ook in het bovenhalfvlakmodel punten, lijnen en cirkels defini¨eren. We gaan aantonen met behulp van de axiomatische methode dat het Poincar´e-bovenhalfvlak een goed model is voor de Hyperbolische meetkunde.
h-Punt. We zullen een h-punt defini¨eren om zo een h-lijn te kunnen defini¨eren. Een h-punt is een punt uit de volgende verzameling:
H = {z ∈ C| Im(z) > 0}
Merk op dat de x-as geen deel uit maakt van ons model.
h-Lijn. Je hebt twee type h-lijnen, (Euclidisch) rechte lijnen en cirkelbogen, zie figuur 3.6. Een rechte lijn in het Poincar´e-bovenhalfvlak is en h-lijn die loodrecht staat op de x-as. De andere h-lijnen zijn halve cirkels, cirkelbogen waarvan het middelpunt van de cirkel op de x-as ligt.
Figuur 3.6: h-lijnen
Parallelle h-lijnen. Ook hier zullen we parallelle h-lijnen defini¨eren om zometeen te kunnen aan- tonen dat ons model voldoet aan Axioma 5’.
De lijnen l en n in figuur 3.7 zijn niet parallel, want ze snijden. De lijnen k, m en n zijn allen divergent parallel aan elkaar, l en m zijn eveneens divergent parallel. De lijnen k en l zijn asymptotisch parallel omdat ze snijden op de x-as. Voor meer informatie zie: [10].
Figuur 3.7: Parallelle h-lijnen
h-Afstand We zullen de afstand tussen twee punten in het bovenhalfvlak definie¨eren om zo h-cirkels te kunnen definie¨eren. De afstand tussen de punt P en Q in figuur 3.6 wordt als volgt gedefini- eerd:
|P Q| =
ln|P A|
|QA|
waarbij |P A| en |QA| de Euclidische afstand is tussen de punten P en A en tussen de punten Q en A.
3.2. HET POINCAR ´E-BOVENHALFVLAKMODEL 15 h-Cirkel Dit zijn cirkels gedefinieerd als de verzameling van alle h-punten die een gelijke h-afstand hebben tot een gegeven middelpunt. Deze cirkels zijn Euclidische cirkels in het bovenhalfvlak waarvan het middelpunt richting de x-as is verschoven.
De axioma’s Om te zien of dit een goed gedefinieerd model is voor de Hyperbolische meetkunde moeten we kijken of het voldoet aan de axioma’s. In dit model verschillen de bewijzen nauwelijks van die voor het Poincar´e-schijf model. We zullen ze dan ook niet behandelen.
Wel zullen we laten zien dat het model voldoet aan Axioma 5’.
Er kunnen oneindig veel rechte lijnen door een gegeven punt worden getrokken die parallel zijn aan een gegeven h-lijn l
Zie figuur 3.8 en merk op dat door het punt p oneindig veel lijnen kunnen worden getrokken, die parallel lopen aan de h-lijn.
Figuur 3.8: h-Lijnen door P parallel aan de h-lijn
Hoofdstuk 4
Isometrie¨ en
Het Erlanger program kijkt naar de eigenschappen van meetkundige objecten die invariant zijn onder de klasse van transformaties van de beschouwde meetkunde. Een bijectieve transformatie die de afstand tussen punten invariant laat wordt een isometrie genoemd.
4.1 Euclidische isometrie¨ en
In het Euclidische vlak hebben we te maken met vier soorten isometrie¨en: reflectie, translatie, rotatie en glij-reflectie. In het Euclidische vlak zijn transformaties en isometrie¨en hetzelfde.
Translatie Beschouw de transformatie t(z) = z + c (∈ C) met c = a + ib.
Deze beeldt het punt x+iy ∈ C af op (x+a)+i(y +b) en correspondeert daarom met de translatie door de vector (a, b). Deze translatie behoudt hoeken en beeldt cirkels af op cirkels en lijnen op lijnen.
Reflectie Beschouw de transformatie: t(z) = z ∈ C
Deze beeldt het punt x + iy ∈ C af naar x − iy, en correpondeert daarom met een reflectie in de x-as. De afbeelding behoudt hoekgrootte en de ori¨entatie. Net als de translatie beeldt hij cirkels af op cirkels en lijnen op lijnen. Merk op dat je kunt reflecteren in elke willekeurige lijn.
Rotatie rond de oorsprong Beschouw de transformatie: t(z) = az met |a| = 1.
We kunnen a schrijven als: a = cos(θ0) + i sin(θ0), met θ0= Arg(a).
Een punt r(cos(θ) + i sin(θ)) ∈ C wordt door t afgebeeld naar het punt:
r(cos(θ + θ0) + i sin(θ + θ0))
en correspondeert met een rotatie over de hoek θ0= Arg(a) rond de oorsprong.
De rotatie gaat met de klok mee als Arg(a) < 0 en tegen de klok in als Arg(a) > 0. Merk op dat je kunt roteren om een willekeurig punt en dat de rotatie om de oorsprong een speciaal geval is.
Glij-reflectie Een glij-reflectie is een reflectie in een lijn, gevolgd door een translatie langs die lijn.
Beschouw bijvoorbeeld de transformatie: t(z) = z. Zoals we zagen bij de reflectie beeldt deze het punt x + iy af naar het punt x − iy en komt overeen met een reflectie in de x-as. Als we willen transleren langs de x-as volgt dat we ook t(z) = z + c met c ∈ R moeten toepassen. De gehele transformatie is
17
van de vorm: t(z) = z + c met c ∈ R.
Een belangrijke stelling in de Euclidische meetkunde over isometrie¨en is Stelling 2.
Stelling 2. Elke isometrie kan worden uitgedrukt als een compositie van ten hoogste 3 reflecties.
4.2 Hyperbolische isometrie¨ en
We hebben gezien dat in het Euclidische vlak 4 isometrie¨en bestaan. In het Hyperbolische vlak bestaan er drie soorten isometrie¨en: de hyperbolische isometrie, de parabolische isometrie en de elliptische isometrie.
Deze isometrie¨en vormen tezamen een groep en we kunnen ze van elkaar onderscheiden aan de eigen- schappen hoeveel vaste punten ze hebben en waar deze vaste punten zich bevinden.
• Hyperbolische isometrie: Heeft twee vaste punten op de rand.
• Parabolische isometrie: Heeft ´e´en vast punt op de rand.
• Elliptische isometrie: Heeft ´e´en vast punt in het gebied.
We zullen hier later nog dieper op ingaan. Voor meer informatie verwijs ik naar [20].
4.2.1 Inversies
We gaan nu kijken naar inversies om hierna de isometrie¨en te kunnen uitdrukken als compositie van cirkelinversies.
Definitie 6. Alle niet-Euclidische isometrie¨en kun je uitdrukken als composities van cirkelinversies.
We weten dat inversie in een lijn punten afbeeldt naar de andere kant van de lijn. En zo beeldt inversie in cirkels punten binnen de cirkel af naar punten buiten de cirkel en andersom.
Nu zullen we de inverse van een punt in een cirkel defini¨eren.
Definitie 7. Laat C de cirkel zijn met middelpunt O en straal r en A een punt in C ongelijk aan O.
Als A0 het punt is op de lijn OA die aan dezelfde kant van O ligt als A en voldoet aan de vergelijking:
OA · OA0= r2 (1)
Dan noemen we A0 de inverse van A tot de cirkel C. Het punt O noemen we het centrum van inversie en C wordt de cirkel van inversie genoemd. Zie figuur 4.1.
We kunnen inversie zien als de generalisatie van reflectie. Om dit te laten zien gaan we kijken wat er gebeurt als we de straal van de cirkel van inversie naar oneindig laten gaan.
Laat A0de inverse zijn van A, de cirkel van inversie heeft straal r. Het lijnstuk AA0snijdt de cirkel in het punt N . Dan volgt dat OA = r + AN en OA0= r − A0N , als we dit invullen in (1) volgt:
(r + AN )(r − A0N ) = r2 Oplossen voor A0N levert:
A0N = AN · r
r + AN = AN 1 + ANr
Nu houden we de punten A en N vast en laten de straal naar ∞ gaan. Zo zien we dat de lengte van A0N naar AN gaat. Met andere woorden, reflectie in een lijn kan worden gezien als de limiet van inversie in een cirkel met groeiende straal.
4.2. HYPERBOLISCHE ISOMETRIE ¨EN 19
Figuur 4.1
Stelling 3. Onder inversie in een cirkel met middelpunt 0 wordt:
• Een lijn geperforeerd in O afgebeeld op dezelfde lijn geperforeerd in O.
• Een lijn niet door O afgebeeld op een cirkel geperforeerd in O.(zie figuur 4.2(a))
• Een cirkel geperforeerd in O afgebeeld op een lijn niet door O.
• Een cirkel niet door O afgebeeld op een cirkel niet door O.(zie figuur 4.2(b))
(a) Lijn niet door O, beeldt af op een cirkel door O
(b) Cirkel geperforeerd in O, beeldt af naar lijn niet door O
Figuur 4.2: Inversie in een cirkel met middelpunt O Voor meer informatie verwijs ik naar: [15, 200-208].
Inversie in d-lijnen
In deze sectie worden enkele definities en stellingen besproken, die o.a. belangrijk zijn voor inversie in d-lijnen.
Een niet-Euclidische reflectie in een d-lijn l is gelijk aan de inverse in de gegeneraliseerde cirkel waar l deel van uitmaakt.
Definitie 8. Als l een d-lijn is en een boog van de Euclidische cirkel C, dan beeldt C af op C en D af op D onder inversie in C.
Voor een bewijs zie [15, 266].
Inversie in de cirkel C beeldt het gebied dat begrensd wordt door de korte boog AB en de d-lijn l af op het gebied dat wordt begrensd door de lang boog AB en de d-lijn l en omgekeerd, zie figuur 4.3.
Figuur 4.3
Definitie 9. De samenstelling van een eindig aantal niet-Euclidische reflecties wordt ook wel een niet-Euclidische transformatie genoemd.
Zometeen zullen we verder ingaan op de niet-Euclidische transformaties in de vorm van M¨obius- transformaties.
Stelling 4. Niet-Euclidische transformaties beelden d-lijnen af op d-lijnen en behouden de grootte van de hoeken.
De volgende stelling hebben we gebruikt bij het bewijs van Axioma 1 en Axioma 4 in de Poincar´e-schijf in sectie 3.1.
Stelling 5. Laat A en B twee verschillende punten zijn van D. Dan bestaat er een unieke d-lijn door A en B.
Voor een bewijs zie [15, 269].
Als men een punt A in D naar een punt B in D wil afbeelden, doet men dit niet in ´e´en keer. Men beeldt het punt A eerst af op de oorsprong waarna nog een reflectie het afbeeldt naar het punt B.
4.2.2 M¨ obius-transformatie
De M¨obiusgroep is de verzameling van alle M¨obius-transformaties, zie Definitie 10, en vormt onder samenstelling de ondergroep van de groep isometrie¨en, overeenkomende met de ori¨entatie bewarende isometrie¨en. Een M¨obius-transformatie is een isometrie die de hoekgrootte en afstand tussen punten invariant laat.
Om problemen in de inversiemeetkunde algebraisch te kunnen oplossen hebben we een algebraische representatie nodig van de inversie transformaties. Elke inversie is van de vorm t(z) = M (z) of t(z) = M (z), waarbij M een zogenaamde M¨obius-transformatie is.
Definitie 10. Een M¨obius-transformatie is een functie M : C → C van de vorm:
M (z) = az + b cz + d met a, b, c, d ∈ C en ad − bc 6= 0
Als c = 0, dan nemen we aan dat M (∞) = ∞, anders nemen we aan dat M (−dc ) = ∞ en M (∞) = ac Stelling 6. Elke M¨obius-transformatie is een inversie-transformatie.
4.2. HYPERBOLISCHE ISOMETRIE ¨EN 21
Voor een bewijs zie [15, 231].
Stelling 7. M¨obius-transformaties behouden de grootte en de ori¨entatie van hoeken en beelden gege- neraliseerde cirkels af op gegeneraliseerde cirkels.
Definitie 11. Neem de M¨obius-transformatie M gedefinieerd in Definitie 10. Dan is A =
a b c d
de bijbehorende matrix van M .
Later in dit hoofdstuk zullen we uitvoerig gaan kijken naar de bijbehorende matrices van M¨obius- transformaties om aan de hand hiervan af te leiden met welk type isometrie we te maken hebben.
Stelling 8. De inverse van de M¨obius-transformatie gedefini¨eerd in Definitie 10 is ook een M¨obius- transformatie, die wordt geschreven in de vorm:
M−1(z) = dz − b
−cz + a Zijn bijbehorende matrix is:
A−1=
d −b
−c a
Merk op dat dit precies de inverse matrix is van A, als ad − bc = 1, zo niet, dan moet met nog met de factor ad−bc1 vermenigvuldigen. Zie voor meer informatie over M¨obius-transformaties [15, 232- 237].
Elke M¨obius-transformatie is te schrijven als een compositie van simpelere transformaties:
• f1(z) = z +cd (translatie)
• f2(z) = 1z (inversie en reflectie)
• f3(z) = −ad−bcc2 z (rotatie)
• f4(z) = z +ac (translatie) De compositie van deze vier geeft:
f4◦ f3◦ f2◦ f1(z) = az + b cz + d
We gaan nu kijken naar het verband tussen de M¨obiusgroep en de groep van alle inversie-transformaties.
We weten van Stelling 6 dat elke M¨obius-transformatie een inversie transformatie is, maar is elke inversie transformatie ook een M¨obius-transformatie?
Het antwoord is nee. Neem bijvoorbeeld een inversie in een lijn, deze kan geen M¨obius-transformatie zijn aangezien hij de ori¨entatie van hoeken omdraait, terwijl een M¨obius-transformatie de ori¨entatie van hoeken behoudt. Toch is er wel een verband.
Bekijk de niet-Euclidische reflectie ρ in de d-lijn l, die is gegeven door de niet-Euclidische transforma- tie:
ρ(z) =αz − 1 z − α
waarbij α het middelpunt van de gegeneraliseerde cirkel van l is.
Merk op dat ρ de samengestelde functie is van de M¨obius-transformatie M (z) =αz−1z−α met de lijnspie- geling B gegeven door: B(z) = z
ρ(z) = (M ◦ B)(z) met z ∈ D
Elke isometrie is een compositie van een eindig aantal reflecties. Dat brengt ons naar het volgende stelling.
Stelling 9. De compositie van de niet-Euclidische reflecties ρ(z) = αz − 1
z − α en σ(z) = βz − 1 z − β is de niet-Euclidische transformatie:
(σ ◦ ρ)(z) = (αβ − 1) + α − β
(α − β)z + αβ − 1 z ∈ D Stelling 10. Elke M¨obius-transformatie van de vorm:
M (z) = az + b bz + a
met |b| < |a| is een compositie van twee niet-Euclidische reflecties en volgens Stelling 11 een niet- Euclidische transformatie.
Voor het bewijs zie [15, 276].
Simultaan kun je aantonen dat elke compositie van een oneven aantal reflecties de M¨obius-transformatie samengesteld met de complex geconjungeerde is. Zo kan elke niet-Euclidische transformatie geschreven worden als de compositie van ten hoogste drie niet-Euclidische reflecties.
Stelling 11. Elke niet-Euclidische transformatie kan geschreven worden als een compositie van ten hoogste 3 niet-Euclidische reflecties.
We weten dat een enkele niet-Euclidische reflectie de ori¨entatie van hoeken tussen d-lijnen omkeerd.
Neemt men een compositie van twee reflecties, dan laat dat de ori¨entatie onveranderd. We noemen een transformatie die de ori¨entatie onveranderd laat, een directe niet-Euclidische transformatie. Een transformatie die de ori¨entatie veranderd wordt indirect genoemd.
Zo valt gemakkelijk af te leiden dat een directe niet-Euclidische transformatie geschreven kan worden als een compositie van ten hoogste twee niet-Euclidische reflecties (een reflectie keert de ori¨entatie om, en twee reflecties laten dus de ori¨entatie onveranderd). Een indirecte transformatie kan zo geschreven worden als een compositie van ten hoogste drie niet-Euclidische reflecties, deze transformatie draait de ori¨entatie om.
Stelling 12. Er bestaat een M¨obius-transformatie die het Poincar´e-bovenhalfvlak op de Poincar´e-schijf afbeeldt, deze is van de vorm f : C ∪ {∞} → C ∪ {∞}. Gedefinieerd door:
f (z) = z − i z + i
Zijn inverse beeldt de schijf af op het bovenhalfvlak en is van de vorm:
f−1 : C ∪ {∞} → C ∪ {∞} met
f−1(z) = −iz − i z − 1
Merk op:
• Deze M¨obius-transformatie is een isometrie ten opzichte van de afstandsfunctie op de schijf en het bovenhalfvlak. Door de transformatie blijft de afstand tussen twee punten behouden, als men punten van de schijf naar het bovenhalfvlak afbeeldt of vice versa.
• Deze M¨obius-transformatie beeldt d-lijnen af naar h-lijnen en d-cirkels naar h-cirkels.
Voor meer informatie zie [4].
4.2. HYPERBOLISCHE ISOMETRIE ¨EN 23
4.2.3 Isometrie¨ en in de Poincar´ e-schijf
We gaan nu kijken naar de isometrie¨en in de Poincar´e-schijf, om zometeen de isometrie¨en te kunnen ontdekken in de figuren van Escher in de Poincar´e-schijf.
Stelling 13. Elke isometrie in de Poincar´e-schijf wordt gegeven door een M¨obius-transformatie van de vorm:
M (z) = az + c
cz + a of M (z) = az + c cz + az waarbij a, c ∈ C en |a|2− |c|2= 1.
Stel we hebben een M¨obius-transformatie van de vorm M (z) = az+bcz+d, met zijn bijbehorende matrix A van de vorm: A = ( a b
c d ) dan defini¨eren we het spoor, ook wel geschreven als tr(), als tr(M ) = a + d.
Merk op dat het spoor de som van de diagonaalelementen is.
Aan de hand van het spoor van de transformatie kunnen we aangeven om welke type transformatie het gaat. De transformatie is:
M (z) =
Parabolisch als tr(M ) = ±2 Elliptisch als tr(M ) ∈ (−2, 2) Hyperbolisch anders
We kunnen alle drie typen isometrie¨en van het Hyperbolische vlak uitdrukken in een compositie van cirkelinversies. We hebben net gezien in sectie 4.2 dat cirkelinversie een conforme afbeelding is, die gegeven is door een M¨obius-transformatie. Deze beeldt lijnen af op cirkels en vice versa. We zullen cirkelinversie gebruiken om de andere isometrie¨en uit te leggen.
Hyperbolische isometrie De hyperbolische isometrie is een compositie van cirkelinversies over twee ultraparallelle lijnen. Zie figuur 4.4, waarin P is de Poincar´e-schijf. De cirkelbogen c1 en c2 zijn
(a) hyperbolische isometrie (b) Beweging isometrie
Figuur 4.4
delen van de cirkels C1 en C2, met middelpunten O1en O2. We inverteren eerst in c1 en beelden zo x af op het punt y. De tweede inversie in c2 beeldt y af op z. De compositie van beide beeldt x dus af op z. De lijn l is een loodrechte tussen c1 en c2.
Ondanks dat de eindpunten van l, a en b niet vast worden gehouden door individuele inversies, worden ze vastgehouden door de hyperbolische isometrie.
Dit houdt in dat inversie in c1 een punt in a afbeeldt op het binnenste van C2en inversie in c2 beeldt het terug af naar het punt a. Simultaan wordt b ergens afgebeeld en later terugafgebeeld op zichzelf door inversie over c1en c2. Inversie in c1(en c2) beelden de rand van D (C) af op zichzelf. Ook laat hij
lijnen die loodrecht staan op c1en c2invariant onder inversie. Het feit dat deze isometrie twee punten vasthoudt op de rand karakteriseert de hyperbolische isometrie.
De lijn l speelt een belangrijke rol om de cirkelboog te bepalen waarlangs de hyperbolische isometrie de punten ”verplaatst”. Bekijk figuur 4.4(b) om zo een idee te krijgen van de ”beweging”van de isometrie.
Deze afbeelding toont enkele cirkelbogen, waarlangs de isometrie punten verplaatst. Bedenk je eens hoe deze afbeelding zou veranderen als de overeenkomstige loodrechte niet l zou zijn, maar een ander lijn in de Poincar´e-schijf. Alle punten verplaatsen zich in ons geval van links naar rechts. De richting van translatie hangt af van de volgorde van de compositie. Als we eerst hadden geinverteerd in c2 en dan in c1, dan had de isometrie punten van rechts naar links verplaatst.
Parabolische isometrie De parabolische isometrie is een compositie van cirkel-inversies over twee parallelle lijnen. Beschouw figuur 4.5. De cirkelbogen c1 en c2, waarover we inverteren, snijden elkaar in het punt a op de rand.
(a) Parabolische isometrie (b) Beweging isometrie
Figuur 4.5
In dit voorbeeld zullen we eerst in c1 en dan in c2inverteren. De inverse van x in c1is gelijk aan y. Zo beeldt de inverse in c2, y af op z. Het totale effect van de parabolische isometrie is dat x op z wordt afgebeeld.
Deze isometrie houdt het punt van intersectie (a) vast. Merk op dat bij inversie over een gegeven cirkel, alle punten op die cirkel naar zichzelf worden afgebeeld. Ondanks dat a een punt is dat zowel op C1
als C2 ligt, beelden beide inversie a af naar zichzelf. Het enkele vaste punt op de rand karakteriseert de parabolische isometie.
De parabolische isometrie is ook analoog aan een translatie. De translaties gaat langs cirkels die snijden in a. Figuur 4.5(b) illustreert de beweging van deze isometrie. Merk op dat de translatie met de klok mee gaat. Ook hier is de richting afhankelijk van de volgorde van de compositie.
Elliptische isometrie De elliptische isometrie is een compositie van circelinversies in twee lijnen, die snijden in het punt x ∈ D. De compositie van inversies, eerst in c1 en dan in c2, houdt alleen het snijpunt van de cirkelbogen vast, x dus. De elliptische isometrie wordt gekarakteriseerd door het feit dat hij ´e´en punt in D vasthoudt.
Figuur 4.6 laat zien dat de effectieve beweging van deze isometrie gelijk is aan een rotatie van 2A.
Waarbij A de scherpe hoek is waar c1 en c2 snijden.
In dit geval is de rotatie tegen de klok in. Als we de volgorde van de compositie veranderen, verandert de rotatie richting mee.
4.2. HYPERBOLISCHE ISOMETRIE ¨EN 25
(a) Elliptische isometrie (b) Beweging isometrie
Figuur 4.6
4.2.4 Isometrie¨ en in het Poincar´ e-bovenhalfvlak
Stelling 14. In het Poincar´e-bovenhalfvlak worden alle isometrie¨en gegeven door de M¨obius-transformatie van de vorm:
M (z) = az + b
cz + d en M (z) = −az + b
−cz + d met ad − bc = 1
Zie voor meer informatie [10]. De isometrie¨en in het Poincar´e-bovenhalfvlak model zijn equivalent aan hun isometrie¨en in de Poincar´e-schijf. Zoals we net gezien hebben en Stelling 12 kan namelijk met een transformatie de schijf op het bovenhalfvlak worden afgebeeld en omgekeerd. De uitwerking van de isometrie¨en verschilt en daarom zullen we die nog bespreken.
Hyperbolische isometrie Beschouw twee divergente parallelle lijnen a en b met een overeenkom- stige loodrechte c, zoals in figuur 4.7(a).
(a) Hyperbolische isometrie (b) Beweging isometrie
Figuur 4.7
De hyperbolische isometrie is de compositie van reflecties in a en b. De beweging van de isometrie staat in figuur 4.7(b) hierboven. Ook hier bepaalt de volgorde van de compositie de richting van de translatie. Merk op dat de isometrie de eindpunten van c vasthoudt en de orientatie behoudt.
Parabolische isometrie De parabolische isometrie is de compositie van reflecties over twee asymp- totische parallelle lijnen a en b. De lijnen snijden elkaar op de x-as in het punt q.
(a) Parabolische isometrie (b) Beweging isometrie
Figuur 4.8
De beweging van deze isometrie, zie figuur 4.8, is een translatie langs cirkels die hun raaklijn in q hebben. Inversie eerst over A en vervolgens over B zorgt dat de beweging met de klok meegaat.
Merk op dat de isometrie het punt q vasthoudt en dat de ori¨entatie behouden blijft.
Elliptisch isometrie Deze isometrie is een compositie van twee cirkelinversies over de lijnen A en B die snijden in het punt q, zie figuur 4.9. De beweging van de isometrie is een horolatie.1Als de lijnen
(a) Elliptische isometrie (b) Beweging isometrie
Figuur 4.9
snijden onder een hoek van 2r radialen, dan horoleert de isometrie punten r radialen. De isometrie heeft ´e´en vast punt, q, en behoudt de orientatie. Voor meer informatie over dit hoofdstuk verwijs ik naar: [10].
1Een horolatie is een rotatie-achtige actie
Hoofdstuk 5
Betegelingen
In dit hoofdstuk gaan we de betegelingen bespreken, eerst zullen we het over simpele Euclidische betegelingen gaan hebben en later over de Hyperbolische betegelingen.
Een betegeling is een vlakvulling die ontstaat door met ´e´en vorm een heel vlak te vullen, zonder dat er gaten of overlappunten ontstaan. Het woord betegeling, in het engels tesselation, is afgeleid van het Griekse woord ’tesseres’, wat vier betekend. Dit komt omdat de eerste betegelingen werden gemaakt met behulp van vierkante tegels.
5.1 Euclidische Betegelingen
In het Euclidische vlak bestaan verschillende soorten betegelingen, waaronder regelmatige, semi- regelmatige en demi-regelmatige betegelingen. Wij gaan het hebben over de regelmatige betegelingen.
Dit zijn namelijk ook de betegelingen waar de regelmatige vlakvullingen van M.C.Escher vaak op zijn gebaseerd.
5.1.1 Regelmatige betegelingen
Als men het heeft over een regelmatige betegeling kan dit verschillende dingen betekenen:
• De tegels zijn regelmatige veelhoeken.
• Het patroon van betegelen is regelmatig.
Het is cruciaal dat de tegels congruent zijn aan elkaar. Dit houdt in dat ze elkaars beeld zijn onder een isometrie.
Regelmatige veelhoeken
Als de tegels regelmatige veelhoeken1 zijn, dan zijn er maar drie soorten betegelingen mogelijk. De hoekgrootte van deze regelmatige veelhoek moet namelijk een deler zijn van 2π, om te zorgen dat er geen overlap of gaten ontstaan in de betegeling. Dit is alleen het geval bij een driehoek, een vierkant en een zeshoek. Zie hiervoor figuur 5.1.
Bij deze betegelingen komen 6 driehoeken (π3 · 6 = 2π), 4 vierkanten (π2 · 4 = 2π) en 3 zeskanten (2π3 · 3 = 2π) in de hoeken bij elkaar. Dit kan ook als volgt worden gerepresenteerd: {3, 6}, {4, 4}, {6, 3}
en wordt het Sch¨afli-symbool genoemd.
1Regelmatige n-hoek: figuur met n gelijke zijden en n gelijke hoeken
27
Definitie 12. Het Sch¨afli-symbool {n,k} geeft aan dat er k n-hoeken bij de hoekpunten bij elkaar komen.
Figuur 5.1: driehoek, vierkant en zeshoek
Het patroon van betegelen is regelmatig
Men kan ook kijken naar betegelingen waarbij het patroon van betegelen regelmatig is. Dit houdt in dat men een raster over de betegeling kan leggen, zodat elk rastervak er hetzelfde uitziet. Deze betegeling wordt eveneens gemaakt met behulp van ´e´en tegel (Merk op dat bij een betegeling van regelmatige veelhoeken het patroon ook regelmatig is).
De tegel hoeft geen regelmatige veelhoek te zijn, maar mag elke vorm hebben, zolang het gehele vlak gevuld kan worden met behulp van deze ene tegel, zonder overlap of gaten. Deze manier van regelmatig betegelen gebruikte M.C. Escher ook in zijn tekeningen. In figuur 5.2 zijn enkele voorbeelden te zien, waar hij een tegel ontwierp in de vorm van een vlinder, een hond of zelfs een ruiter.
(a) Vlinders (b) Bulldog (c) Ruiter
Figuur 5.2: Regelmatig patroon [11]
5.1.2 Het ontstaan van een betegeling
Regelmatige veelhoeken
Een betegeling van regelmatige veelhoeken kan worden gemaakt met behulp van isometrie¨en in het Euclidische vlak. De isometrie¨en zijn: reflectie, rotatie, translatie en glij-reflectie. We hebben gezien in sectie 4.2 dat deze allen kunnen worden uitgedrukt in een compositie van reflecties.
Neem als voorbeeld een vierkante tegel en spiegel hem in zijn zijden. Het nieuwe figuur dat is ontstaan, is opgebouwd uit vijf vierkanten. Door bij dit nieuwe figuur de vierkanten te spiegelen in zijn zijden, vergroot je opnieuw de betegeling. Dit proces kan men eindeloos herhalen, zodat een oneindig groot vlak geheel gevuld wordt met vierkanten.
Ditzelfde patroon kan men verkrijgen door een vierkant te roteren om een hoek van o.a. π2. Herhaalt men dit proces bij elke hoek, dan ontstaat ook een oneindig grote tegelvloer van vierkante tegels.
5.1. EUCLIDISCHE BETEGELINGEN 29 Natuurlijk kan dit ook door het vierkant te transleren langs zijn zijden of met behulp van glij-reflectie.
Al deze isometrie¨en leveren op dezelfde manier, maar dan met driehoeken of zeshoeken, ook een regelmatige betegeling op.
Willekeurig gevormde tegels
Vaak zijn de willekeurig gevormde tegels ontstaan uit ´e´en van de drie regelmatige veelhoeken, die je kunt gebruiken voor de betegeling. Dit kan op meerdere manieren:
Neem ´e´en van de drie regelmatige veelhoeken, die geschikt zijn voor de betegeling. Deze kan men zo intekenen en inkleuren, dat er door de transformaties de mooiste figuren ontstaan. Figuur 5.2(a) is hier een mooi voorbeeld van.
Ook kan men ´e´en van de tegels bewerken, tot een bijzonder figuur. Neem als begintegel bijvoor- beeld een vierkant. Knip er aan de onderzijde een driehoek uit en plak deze aan de bovenzijde van dit vierkant. Met deze nieuwe tegel is het nog steeds mogelijk om een regelmatige betegeling te maken.
Merk op: Het tegelpatroon kan niet met behulp van rotatie ontstaan, maar door translatie langs de zijkanten of reflectie in de zijkanten.
Door dit proces gedetailleerder te doen, kunnen hier de wonderlijkste tegels uit ontstaan, waarin soms de begintegel niet of nauwelijks meer is terug te vinden. In figuur 5.3 worden bij de driehoek, in figuur 5.4 bij het vierkant en in figuur 5.5 bij de zeshoek enkele voorbeelden gegeven.
(a) Vissen (b) Vliegende vissen (c) Vlinders
Figuur 5.3: Basistegel een driehoek [1]
(a) Engelen en Duivels (b) Ruiter (c) Hagedis
Figuur 5.4: Basistegel een vierhoek [1]
(a) Reptielen (b) Zeepaarden
Figuur 5.5: Basistegel een Zeshoek [1], [12]
In tabel 5.1 staat per betegeling aangegeven met behulp van welke isometrie ze zijn gemaakt.
Merk op:
• Het is bij regelmatige betegelingen met bijzonder tegels niet meer mogelijk om alle tegels door middel van spiegeling te verkrijgen, omdat de tegels niet meer symmetrisch zijn.
• Translatie en rotatie behouden de ori¨entatie en glij-reflectie keert de ori¨entatie om.
• Met translatie bedoelen we translatie over een tegelzijde.
• Met rotatie bedoelen we rotatie over een hoek van 2πk waarbij k het aantal veelhoeken is dat in de hoekpunten bij elkaar komt, vergelijk dit met het Sch¨afli-symbool.
De isometrie reflectie staat niet in onze tabel, omdat het een bijzondere glij-reflectie is, zie 4.1
5.2. HYPERBOLISCHE BETEGELINGEN 31 Figuur Translatie Rotatie Glij-Reflectie
Vissen ×
Vliegende vissen ×
Vlinders ×
Engelen ×
Ruiter ×
Hagedissen ×
Reptielen ×
Zeepaard ×
Tabel 5.1: Isometri¨een van de betegelingen
5.2 Hyperbolische betegelingen
We hebben in sectie 5.1.1 gezien dat er drie regelmatige basis betegelingen zijn in het Euclidische vlak. In het Hyperbolische vlak zijn er oneindig veel. Voordat we gaan kijken naar de betegelingen van het Hyperbolische vlak, zullen we eerst de niet-Euclidische driehoek introduceren zodat we aan de hand van de niet-Euclidische driehoek enkele eigenschappen van de Hyperbolische meetkunde kunnen verduidelijken. Daarna gaan we kijken naar het Voronoi-diagram, zodat we kunnen aantonen dat er in een betegeling geen overlappingspunten of gaten ontstaan.
d-Driehoeken Een driehoek in de niet-Euclidische meetkunde wordt ook wel een d-driehoek ge- noemd en bestaat uit drie verschillende punten in de eenheidsschijf D, die niet allemaal op dezelfde d-lijn liggen, zie figuur 5.6. E´en of twee van de zijden van de d-driehoek kunnen diameters zijn van D, maar in het algemeen zijn de zijden delen van Euclidische cirkels.
Figuur 5.6: d-driehoek in de Poincar´e-schijf
Een van de basis resultaten in de Euclidische meetkunde is dat de hoekensom van een driehoek gelijk is aan π. Dit is overigens niet waar voor d-driehoeken voor de niet-Euclidische meetkunde.
Stelling 15. De som van de hoeken van een d-driehoek is kleiner dan π.
Voor het bewijs zie [15, 298].
In niet-Euclidische meetkunde zijn er vele stellingen over d-driehoeken die analoog zijn aan de stellingen over Euclidische driehoeken.
Stelling 16. Laat ABC een d-driehoek zijn waarvan ∠ABC = ∠ACB, dan zijn de zijden AB en AC van gelijke lengte.
Voor een bewijs zie [15, 299-300].
Stelling 17. Als de som van de drie hoeken A, B en C, kleiner is dan π, dan bestaat er een unieke d-driehoek met de hoeken A, B en C. Deze driehoek is uniek op hyperbolische isometrie na.
Stel je hebt een d-driehoek met de hoeken van de vorm: πk,πl,πn, met k, l, n ∈ N. Als 1k+1l+n1 < 1 dan kun je kunt met deze driehoek het gehele hyperbolische vlak betegelen. Bij elke hoek is het mogelijk door respectievelijk 2k − 1, 2l − 1, 2n − 1 keer in ´e´en van de aanliggende zijden te spiegelen, zodat bij alle hoekpunten samen een hoek van 2π wordt gevormd.
Elke hyperbolische regelmatige n-hoek kan worden opgedeeld in n d-driehoeken, deze d-driehoeken zijn allen congruent.
Als de driehoek waaruit de n-hoek is opgebouwd hoeken heeft van de vorm πn,mπ en πk waarbij n, m, k ∈ N, dan kan hiermee ook worden betegeld. De hoek van een regelmatige n-hoek is dan 2 · mπ of 2 · πk, dus nog steeds een deler van 2π. Zo kan men een geheel aantal van deze regelmatige veelhoeken het vlak betegelen.
Hoe groter een driehoek is, hoe kleiner zijn hoeken zijn. Dit geldt niet alleen voor de driehoek, maar voor alle regelmatige n-hoeken in het Hyperbolische vlak. Bij allen worden de hoeken kleiner, naarmate de veelhoek groter wordt. Hoe kleiner de veelhoek is, hoe meer hij lijkt op zijn Euclidische variant.
Voor de driehoek en de zeshoek zie figuur 5.7
(a) Driehoek (b) Zeshoek
Figuur 5.7
De volgende definitie zegt iets over de congruentie van figuren in de eenheidschijf D.
Definitie 13. Twee figuren in de eenheidsschijf D zijn d-congruent als er een niet-Euclidische trans- formatie bestaat die de ene naar de andere afbeeldt.
Stelling 18. Gelijkvormige d-driehoeken zijn d-congruent.
Voor een bewijs hiervan zie [15, 300-301].
Alle d-driehoeken in figuur 5.8 hebben dezelfde hoeken en zijn dus gelijkvormig. Met behulp van stelling 18 volgt dat ze d-congruent zijn aan elkaar.
Dit lijkt erg onwerkelijk, aangezien de driehoek steeds kleiner lijken te worden als ze verder verwijderd raken van het middelpunt. Het is een gevolg van de manier hoe we niet-Euclidische transformaties en
5.2. HYPERBOLISCHE BETEGELINGEN 33
Figuur 5.8
niet-Euclidische afstanden hebben gedefinieerd, waardoor alle driehoeken zijden hebben van dezelfde niet-Euclidische lengte en hoeken hebben van dezelfde grootte.
Stelling 19. Voor elke n ≥ 3 bestaat er een regelmatige n-hoek in het Hyperbolische vlak.
Maar wat gebeurt er als de driehoek, of de veelhoek die is opgebouwd uit driehoeken, geen hoeken heeft van de vorm: πk,πl,πn? Hoe weten we dan zeker dat het gehele vlak gevuld wordt, zonder dat er overlappingspunten of gaten ontstaan? Om dit aan te tonen, zullen we enkele begrippen introduceren, zoals het Voronoi-diagram.
Voronoi-diagram In het Euclidisch vlak ontstaat een Voronoi-diagram door voor alle punten het gebied te tekenen waarbinnen alle punten het dichtst bij dat punt liggen. Zie hiervoor figuur 5.9.
Figuur 5.9: Voronoi-diagram [8]
Neem nu een raster van punten allen op dezelfde afstand van elkaar. Het Voronoi-diagram wat hierdoor ontstaat is gelijk aan een betegeling met vierkanten.
Omgekeerd werkt dit ook, neem een beteling van vierkanten. Spiegel zijn middelpunt in de zijden, zo onstaat het regelmatige rasterpatroon van punten.
In het Hyperbolische vlak werkt dit op dezelfde manier, al zijn de afstanden hier anders gedefinieerd.
We definieren de groep G als volgt:
Definitie 14. G is de groep die wordt voortgebracht door spiegelingen in de zijden van de tegel van een vaste regelmatige n-hoek.
Deze groep is een discrete ondergroep van de groep van M¨obius-transformaties die D invariant laten.
De groep bestaat uit zowel directe als indirecte transformaties.
We nemen c0 het centrum van een tegel. Dit middelpunt komt overeen met het middelpunt van de omschreven cirkel van een willekeurige tegel.
C := {g · c0 | g ∈ G}
Voor alle g ∈ G is een tegel als volgt gedefinieerd:
Definitie 15.
Tg = {z ∈ D| d(gc0, z) ≤ d(hc0, z), ∀h ∈ G}
Tg wordt ook wel de fundamentele veelhoek van de groep G genoemd.
Stelling 20. De verzameling tegels {Tg|g ∈ G} heeft de volgende eigenschappen:
• Voor twee tegels, Tg en Th geldt:
Tg= Th of int(Th) ∩ int(Tg) = ∅
• ∪g∈GTg= D
Hieruit volgt dat de tegels niet overlappen en er geen gaten in de betegeling ontstaan. Voor het bewijs van deze Stelling verwijs ik naar hoofstuk 2.4 van [19]
Het is dus inderdaad mogelijk om met elke willekeurige regelmatige veelhoek een hyperbolische bete- geling te ontwerpen zonder dat er gaten of overlappingspunten ontstaan. Om te zien of een betegeling Hyperbolisch is kunnen we gebruik maken van het Sch¨afli-symbool.
Sch¨afli-symbool Nu zullen we de betegelingen gaan bekijken van het Hyperbolische vlak. Met behulp van het Sch¨afli-symbool {n,k} , zie Definitie 12, kun je bepalen of een betegeling Euclidisch, Hyperbolisch of Elliptisch is. Dit werkt als volgt:
1 n+1
k =
< 12 Hyperbolisch
= 12 Euclidisch
> 12 Elliptisch
We gaan uit van een betegeling met Sch¨afli-symbool {n,k}, dan komen er k regelmatige veelhoeken in de hoeken bij elkaar. De hoek van zo’n veelhoek is daar dan 2πk . Aangezien een regelmatige n-hoek n gelijke hoeken heeft, die gelijk zijn aan 2πk , volgt dat de hoekensom dan gelijk is aan n ·2πk.
De hoekensom van een regelmatige n-hoek is gelijk aan (n − 2) · π in het Euclidische vlak. Neem de Euclidische driehoek, zijn hoekensom is inderdaad π = (3 − 2)π. Bij het vierkant is de hoekensom 2π = (4 − 2)π en bij de zeshoek is de hoekensom 4π = (6 − 2)π. In het Hyperbolische vlak is de hoekensom kleiner dan (n − 2) · π. Als:
n · 2π
k = (n − 2) · π volgt dat {n,k} alleen Euclidisch kan zijn. Als
n · 2π
k < (n − 2) · π moet {n,k} Hyperbolische zijn.
Met behulp van stelling 15 kunnen we gemakkelijk inzien dat de hoekensom van een n-hoek in het Hyperbolische vlak inderdaaad kleiner is dan (n − 2) · π en dat de betegeling Hyperbolisch is. Je kunt namelijk elke niet-Euclidische regelmatige n-hoek opdelen in n niet-Euclidische gelijkbenige driehoe- ken.
In het Hyperbolische vlak kun je een willekeurig aantal regelmatige n-hoeken bij elkaar laten komen, zolang
1 n+1
k < 1 2 .
5.2. HYPERBOLISCHE BETEGELINGEN 35
5.2.1 Betegelingen in de Poincar´ e-schijf
We gaan nu kijken naar enkele regelmatige Hyperbolische betegelingen in de Poincar´e-schijf. In figuur 5.10 zie je enkele voorbeelden met hun bijbehorende Sch¨afli-symbool. De figuur 5.10(a) is ontstaan door vier regelmatige vijfhoeken, met hoeken van 2π4, in de hoekpunten bij elkaar te laten komen.
Figuur 5.10(b) is ontstaan door vijf vierhoeken, van 2π5 , in de hoekpunten bij elkaar te laten komen.
Met behulp van de rekenregel kunnen we nagaan dat het inderdaad een Hyperbolische betegeling is, namelijk 14 + 15 < 12. En als {n,m} een hyperbolische betegeling is, {m,n} natuurlijk ook. Op dezelfde manier kunnen we voor de andere betegelingen ook nagaan dat het Hyperbolische betegelingen zijn.
(a) {5,4} betegeling (b) {4,5} betegeling (c) {10,3} betegeling
(d) {8,3} betegeling (e) {4,8} betegeling (f) {7,7} betegeling
(g) {6,4} betegeling (h) {6,6} betegeling
Figuur 5.10: Hyperbolische betegelingen [2]
