Tentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00–17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen. Elk onderdeel is een aantal punten waard, dat vet gedrukt is aangegeven. Het totaal aantal punten is 100. Er zijn vragen in drie categorie¨en: R = reproductie, T = toepassing, I = inzicht.
Schrijf je naam, studentnummer en studierichting op elk blad dat je inlevert. Mo- tiveer steeds je antwoorden: een los antwoord zonder uitleg is niet voldoende. Elke berekening dient van een toelichting te worden voorzien.
(1) [R] Gegeven zijn drie gebeurtenissen A, B, C met P(A) = 3 4 , P(B) = 4 5 , P(C) = 5 6 .
(a) [5] Laat zien dat
23
60 ≤ P(A ∩ B ∩ C) ≤ 3 4 . Hint: Kijk ook naar de gebeurtenissen A c , B c , C c .
(b) [5] Geef voorbeelden, aan de hand van een Venn-diagram, waaruit blijkt dat de ondergrens en de bovengrens bereikt kunnen worden.
(2) [R] Het tripel R-waardige continue stochasten (X, Y, Z) heeft gezamenlijke kansdichtheidsfunctie
f X,Y,Z (x, y, z) = C, 0 ≤ x < y < z ≤ 1, 0, elders.
(a) [4] Bereken C.
(b) [6] Bereken E(X), E(Y ), E(Z).
(c) [4] Bereken cov(X, Y ).
Hint : Integreer steeds eerst over x, daarna over y en vervolgens over z.
(3) [R] Zij X de N 0 -waardige discrete stochast met kansmassafunctie p X (k) = ( C N ( 2 3 ) k , 0 ≤ k < N,
C N ( 1 3 ) k , k ≥ N,
waarbij N ∈ N 0 een parameter is.
(a) [3] Bereken C N .
(b) [5] Bepaal de convergentiestraal van de kansgenererende functie s 7→
G X (s) en leidt een formule af voor G X (s) binnen de convergentiecirkel.
(c) [5] Bereken E(X). Hint: Gebruik de formule in onderdeel (b). Indien de afleiding daarvan niet gelukt is, geef dan een direkte berekening.
(4) [T] Het paar R-waardige continue stochasten (X, Y ) heeft gezamenlijke kans- dichtheidsfunctie
f X,Y (x, y) =
1
2p(1 − x)(1 − y) , 0 ≤ x < y ≤ 1,
0, elders.
(a) [4] Bereken P(X ≥ 1 2 ).
(b) [6] Bereken E(Y | X ≥ 1 2 ).
(5) [I] Gegeven zijn twee paren van stochasten (U 1 , U 2 ) en (V 1 , V 2 ), die elk paars- gewijs onafhankelijk zijn.
(a) [5] Laat zien dat
|cov(U 1 + U 2 , V 1 + V 2 )|
≤ p
[var(U 1 ) + var(U 2 )] × [var(V 1 ) + var(V 2 )].
(b) [5] Laat zien dat, wanneer U 1 , U 2 , V 1 , V 2 elk gemiddelde nul hebben,
|cov(U 1 U 2 , V 1 V 2 )|
≤ p
var(U 1 ) × var(U 2 ) × var(v 1 ) × var(v 2 ).
Hint: Gebruik de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.
(6) [T] Zij (W i ) i∈N een i.i.d. rijtje stochasten, elk standaard normaal verdeeld, en zij N een N-waardige discrete stochast met kansmassafunctie k 7→ p N (k).
(a) [5] Druk de momentgenererende functie M S
N(t) van de som S N = P N i=1
W i uit in termen van de kansgenererende functie s 7→ G N (s) van N . (b) [8] Stel dat N Binomiaal verdeeld is met parameters n = 10 en p = 1 2 .
Bereken E(S N ) en var(S N ). Hint: Gebruik de formule in onderdeel (a).
Indien de afleiding daarvan niet gelukt is, geef dan een direkte berekening.
(7) [T] Zij X = (X n ) n∈N
0de Markovketen met toestandsruimte S = {1, 2, 3} en overgangsmatrix
P =
0 1 4 3 4
1 2 0 1 2
3 4
1 4 0
. (a) [5] Is X irreducibel? Is X aperiodiek?
(b) [5] Bereken de invariante kansverdeling π = (π 1 , π 2 , π 3 ).
(c) [5] Is π reversibel?
(8) [I] Drie kaarten genummerd 1, 2, 3 worden op tafel gelegd, in de volgorde 123.
Achtereenvolgens wordt steeds ´ e´ en willekeurig gekozen kaart opgepakt en weer teruggelegd t´ ussen de twee andere kaarten.
(a) [5] Laat zien dat de aldus gegenereerde 3-rijtjes een Markovketen X = (X n ) n∈N
0vormen.
(b) [5] Wat is de toestandsruimte S van X? Wat is de overgangsmatrix P van X?
(c) [5] Hoe lang duurt het gemiddeld voor het rijtje 123 weer terugkeert?
OPLOSSINGEN
(1) (a) De ondergrens volgt uit de ongelijkheid
P(A c ∪ B c ∪ C c ) ≤ P(A c ) + P(B c ) + P(C c ), de bovengrens volgt uit de ongelijkheid
P(A ∩ B ∩ C) ≤ min{P(A), P(B), P(C)}.
(b) De ondergrens wordt bereikt door A c , B c , C c disjunct te kiezen, de bo- vengrens door A ⊂ B ⊂ C te kiezen.
(2) (a) Bereken
1 = Z
R
dx Z
R
dy Z
R
dz f X,Y,Z (x, y, z)
= C Z 1
0
dz Z z
0
dy Z y
0
dx = C Z 1
0
dz Z z
0
dy y
= C Z 1
0
dz 1 2 z 2 = 1 6 C.
Derhalve geldt C = 6.
(b) Bereken
E(X) = 6 Z 1
0
dz Z z
0
dy Z y
0
dx x = 6 Z 1
0
dz Z z
0
dy 1 2 y 2
= 6 Z 1
0
dz 1 6 z 3 = 6 24 1 = 1 4 .
Op analoge wijze vinden we E(Y ) = 1 2 en E(Z) = 3 4 . (c) Bereken
E(XY ) = 6 Z 1
0
dz Z z
0
dy y Z y
0
dx x = 6 Z 1
0
dz Z z
0
dy 1 2 y 3
= 6 Z 1
0
dz 1 8 z 4 = 6 40 1 = 20 3 .
Derhalve volgt dat cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 20 3 − 1 4 × 1 2 = 40 1 .
(3) (a) Bereken 1 =
∞
X
k=0
p X (k) = C N
N −1
X
k=0
( 2 3 ) k + C N
∞
X
k=N
( 1 3 ) k = C N 1 − ( 2 3 ) N
1 − 2 3 + ( 1 3 ) N 1 − 1 3
. Derhalve geldt 1/C N = 3[1 − ( 2 3 ) N ] + 3 2 ( 1 3 ) N .
(b) De convergentiestraal van de kansgenererende functie G X (s) =
∞
X
k=0
p X (k)s k
is gelijk aan s = 3. Omdat N eindig is wordt de convergentiestraal bepaald door de waarden van p X (k) voor k ≥ N . Een berekening analoog aan hierboven geeft
G X (s) = C N 1 − ( 2 3 s) N
1 − 2 3 s + ( 1 3 s) N 1 − 1 3 s
, |s| < 3.
(c) Bereken G 0 X (s) = C N
− 2 3 N ( 2 3 s) N −1 1 − 2 3 s +
2
3 [1 − ( 2 3 s) N ] (1 − 2 3 s) 2 +
1
3 N ( 1 3 s) N −1 1 − 1 3 s +
1 3 ( 1 3 s) N (1 − 1 3 s) 2
. Hieruit volgt
E(X) = G 0 X (1)
= C N −2N ( 2 3 ) N −1 + 6[1 − ( 2 3 ) N ] + 1 2 N ( 1 3 ) N −1 + 3 4 ( 1 3 ) N . (4) (a) Bereken
P(X ≥ 1 2 ) = Z 1
1 2
dx Z 1
x
dy 1
2p(1 − x)(1 − y)
= Z 1
1 2
dx 1
√ 1 − x [− p
1 − y] y=1 y=x = Z 1
1 2
dx = 1 2 .
(b) Merk op dat E(Y | X ≥ 1 2 ) = 1 − E(1 − Y | X ≥ 1 2 ). Bereken vervolgens E
(1 − Y ) 1
X≥ 1 2
= Z 1
1 2
dx Z 1
x
dy
√ 1 − y 2 √
1 − x
= 1 3 Z 1
1 2
dx Z 1
x
dy [−(1 − y) 3/2 ] y=1 y=x = 1 3 Z 1
1 2
dx (1 − x)
= 1 6 [−(1 − x) 2 ] x=1
x= 1 2
= 24 1 .
Derhalve geldt E(Y | X ≥ 1 2 ) = 1 − 12 1 = 11 12 . (5) (a) De Cauchy-Schwarz ongelijkheid geeft
Cov(U 1 + U 2 , V 1 + V 2 ) 2 ≤ Var(U 1 + U 2 ) × Var(V 1 + V 2 ).
Vanwege de onafhankelijkheid binnen elk paar is de variantie van de som gelijk aan de som van de varianties.
(b) De Cauchy-Schwarz ongelijkheid geeft
Cov(U 1 U 2 , V 1 V 2 ) 2 ≤ Var(U 1 U 2 ) × Var(V 1 V 2 ).
Vanwege de onafhankelijkheid binnen elk paar, plus het feit dat alle ge- middelden nul zijn, is de variantie van het product gelijk aan het product van de varianties.
(6) (a) Schrijf
M S
N(t) = E(e tS
N) =
∞
X
k=1
p N (k) E e tS
N| N = k
=
∞
X
k=1
p N (k) E(e tS
k) =
∞
X
k=1
p N (k)
E(e tW
1) k
=
∞
X
k=1
p N (k) [e t
2/2 ] k = G N (e t
2/2 ).
(b) Wanneer N Binomiaal verdeeld is met parameters n = 10 en p = 1 2 , dan geldt G N (s) = ( 1 2 + 1 2 s) 10 . Derhalve volgt dat
M S
N(t) = ( 1 2 + 1 2 e t
2/2 ) 10 . Twee keer differenti¨eren naar t geeft
M S 0
N(t) = 10( 1 2 + 1 2 e t
2/2 ) 9 1 2 te t
2/2 ,
M S 00
N(t) = 90( 1 2 + 1 2 e t
2/2 ) 8 ( 1 2 te t
2/2 ) 2 + 10( 1 2 + 1 2 e t
2/2 ) 9 [ 1 2 + ( 1 2 t) 2 ] e t
2/2 . Hieruit leiden we af
E(S N ) = M S 0
N
