Departement Wiskunde, Faculteit B`etawetenschappen, UU.
In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A–Eskwadraat.
Het college WISB211 werd in 2008-2009 gegeven door Drs. A.G. Henriques.
Het tentamen is samengesteld/gemaakt door .
Tweede deeltentamen Functies en Reeksen (WISB211) 13 januari 2009
Opgave 1
[2 pt] Zij ρ de (primitieve) derdemachtswortel van 1 met positief imaginair deel en definieer γj : [0, 1] → C door γj(t) := (1 − t)ρj+ tρj+1. Bereken de som van complexe lijnintegralen
X
0≤j<3
Z
γj
1 zdz
Opgave 2
Wat is de convergentiestraal van de reeks f (x) :=P
n≥0nxn?
Opgave 3
(Geen bewijs nodig)
a) Wat is de limiet van de functies fn : R → R, fn(x) := e−(xn)2? Is de limiet uniform op R?
Uniform op R≤0:= x ∈ R|x ≤ 0? Uniform op R≥0:= x ∈ R|x ≥ 0? Uniform op [−1, 1]?
b) Wat is de limiet van de functies gn : R → R, gn(x) := e−(x+n)2? Is de limiet uniform op R?
Uniform op R≤0? Uniform op R≥0? Uniform op [−1, 1]?
c) Wat is de limiet van de functies hn : R → R, hn(x) := e−(x+1n)2? Is de limiet uniform op R?
Uniform op R≤0? Uniform op R≥0? Uniform op [−1, 1]?
Opgave 4
Bewijs dat de reeks
f (x) :=X
k≥0
sin(ekx)ex−k
een continue functie op R definieert.
Opgave 5
Wat is de Fourier getransformeerde van de functie (cos x)3?
Opgave 6
Geef een voorbeeld van een rij van continue functies fn : R → R zodat fn puntsgewijs naar nul convergeert, maar niet uniform op R en zodat fn wel uniform convergeert op (−∞, 0] ∪ [a, ∞) voor iedere a > 0.
Opgave 7
Zij f (x) := max(cos(x), 0) en zij
X
k∈Z
akeikx (*)
de Fourier-reeks van f . Bereken de co¨efficienten ak voor k even. Bereken de co¨efficienten ak voor k oneven, k 6= ±1. Bereken a1 en a−1. Convergeert (*) uniform naar f ? Bereken de som
1
22− 1 − 1
42− 1 + 1
62− 1− 1
82− 1+ 1
102− 1− 1
122− 1 + . . . door x = 0 in te vullen in (*).
