examen van juni 2002

Examen Numerieke Analyse I, lic. Wiskunde, 31 mei 2002 1

1. Leg uit waarom de complexiteit van de “Fast Fourier Transform” voor een complexe datavector van lengte n = 2^k van orde O(n log n) is.

2. Gegeven is een re¨ele matrix A∈ IR^m×n met m > n en rang(A) = n en een vector b∈ IR^m. Laat z de oplossing (het minimum) zijn van het kleinste-kwadratenprobleem

z = arg min

x∈IRⁿkAx − bk²2. (1)

a. Bewijs dat z oplossing is van (1) als en slechts als z voldoet aan de normaalvergelijkingen

A^TAz = A^Tb . (2)

b. Beschrijf de “Modified Gram Schmidt”-algoritme voor de berekening van een QR-ontbinding van de matrix A en laat vervolgens zien hoe je hiermee de oplossing z van probleem (1) kunt berekenen.

c. Leg uit aan de hand van de volgende 3× 2 matrix, waarinηde relatieve machineprecisie is,

A :=





1 1

ε 0

0 ε



, ε:= ¹₂√η, (3)

waarom MGS beter is voor het oplossen van het kleinste-kwadratenprobleem (1) dan de normaalvergelijkingen (2).

3. De methode van Euler voor de integratie van het beginwaardeprobleem

y⁰= f (x, y) , y(a) = A, (4)

wordt gegeven door de formule z_k+1 = z_k+ h f (x_k, z_k) waar{x0=a , x₁, x₂, · ··} een mono- tone rij abcissae is, waar z_k de benadering van y(x_k) is en waar h := x_k+1− xk de stapgroote van de k-de stap is. Een variant hierop is de “verbeterde polygoonmethode” of ”gewijzigde Eulermethode”:

z_k+1= z_k+ h f (x_k+¹₂h , z_k+¹₂ f (x_k, z_k)) . (5) Neem aan dat f voldoend glad is (minstens C²in beide variabelen).

a. Laat zien, dat deze methode (5) overeenkomt met de middelpuntsregel voor de integratie van de functie x7→ f (x) als f niet van y afhangt.

b. Laat zien, dat deze methode (5) van orde 2 is (als f ∈ C²).

c. Bepaal het stabiliteitsinterval van deze methode, dit is het gedeelte van de (negatieve) re¨ele as, dat in het gebied van voorwaardelijke stabiliteit ligt.

d. Bij het integreren van de vergelijking y⁰ = y exp(x− y) van y(0) = 1 naar y(1) met n = 2, 4, 8, 16, 32 64 en 128 integratiestappen van gelijke lengte vinden we de volgende benaderingen znvoor y(1):

Examen Numerieke Analyse I, lic. Wiskunde, 31 mei 2002 2

n zn zn− zn/2 log(zn− zn/2)/ log(2) 2 1.60239872198024

4 1.60261505811426 0.00021633613402 -12.1744 8 1.60261372462912 -0.00000133348514 -19.5163 16 1.60261020271186 -0.00000352191727 -18.1152 32 1.60260912206420 -0.00000108064765 -19.8196 64 1.60260883834258 -0.00000028372162 -21.7490 128 1.60260876640717 -0.00000007193540 -23.7287

Komen deze uitkomsten overeen met wat je verwacht op grond van de theorie (motiveer!) en kun je er een betere waarde voor de integraal mee berekenen?