examen van april '97

Examen Numerieke Analyse I, april 1997

maak iedere opgave op een apart vel papier, zet op ieder vel je naam en het nummer van de opgave.

1. Laten x en y∈ IRⁿ vektoren zijn. Het inproduct x^Ty van deze vektoren kan uitgerekend worden met de algoritme

S := 0;

for k:= 1 to n do S := S + x[k] * y[k]

Laat zien dat voor de berekende waarde f l(S) van het inproduct geldt:

| fl(S) − S |≤ nηkxk2 kyk2, (1)

als η de machineprecisie is van de gebruikte machine.

2. Gegeven is een re¨ele matrix A∈ IR^m×n met m > n en rang(A) = n en een vector b∈ IR^m. Laat z de oplossing (het minimum) zijn van het kleinste-kwadratenprobleem

z = arg min

x_∈IRⁿkAx − bk²2. (2)

a. Bewijs dat z oplossing is van (2) als en slechts als z voldoet aan de normaalvergelijkingen

A^TAz = A^Tb . (3)

b. Geef de “Modified Gram Schmidt”-algoritme voor de berekening van een QR-ontbinding van de matrix A en laat vervolgens zien hoe je hiermee de oplossing z van probleem (2) kunt berekenen.

c. Laat met formule (1) zien dat de opbouw van afrondfouten bij de uitvoering van MGS kleiner is dan bij de standaard Gram-Schmidt orthogonalisatie van A.

d. Leg aan de hand van de volgende 3× 2 matrix,

A :=



 1 1

ε 0

0 ε



 , ε := ¹₂√

η , (4)

uit, waarom MGS beter is voor het oplossen van het kleinste-kwadratenprobleem (2) dan de normaalvergelijkingen (3). Hierbij is η de relatieve machineprecisie.

3. Laat f een tweemaal continu differentieerbare re¨ele functie zijn op het interval [0 , 1].

a. Bewijs de interpolatieformule van Lagrange: Bij iedere x∈ [0 , 1] is er een ξ ∈ (0 , 1) zodat f (x) = (1− x) f(0) + x f(1) +¹₂x (1− x) f⁰⁰(ξ) . (5) b. Laat ∆ := {0 = t₋₁ = t0 < t1 < · · · < tn = tn+1 = 1} een verzameling knopen zijn op het interval [0 , 1] en {B_k¹| k = −1 · · · n − 1} de verzameling B-splines van eerste orde op deze knopen. Deze B-splines vormen een basis in de ruimte M^1,0(∆) van eerste orde splines op ∆.

Bewijs, dat er een constante C bestaat zodat voor alle f ∈ C²[0 , 1] geldt:

kf(x)−S∆(x)k∞≤ C h²kf⁰⁰k∞ als h := max

0≤k≤n | tk−tk−1| en S∆(x) :=

Xn k=0

f (tk) B_k¹₋₁(x) .

4. Laat f een tweemaal continu differentieerbare re¨ele functie zijn op het interval (a , b) en laat α een nulpunt van f zijn in dat interval. Geef een afleiding van het Newton-Raphson proces voor het benaderen van dit nulpunt van f en laat zien dat dit proces lokaal kwadratisch convergeert naar α van f als f⁰(α)6= 0 .

1