Coördinaten Transformaties
„
Matrices
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a A
• Een matrix is een rechthoekige set getallen
• We stellen de matrix voor met een hoofdletter A in dit geval
• Het element op de i-de rij en j-de kolom geven we aan met aij. Merk op dat de index in dit geval begint bij 1 (dat is gebruikelijk voor de indices i, j en k. Voor a en b gaat de index over 0, 1, 2 en 3.
• Gegeven twee matrices A en B als we B optellen bij A (dat is de vorm A+B) dan als A is (nm), moet B ook (nm), anders is A+B is niet gedefinieerd
• De optelling produceert het resultaat , C = A+B, met elementen:
Matrices – Optellen
ij ij
ij A B
C
12 10
8 6
8 4 7 3
6 2 5
1 8
7 6 5 4
3 2 1
• Gegeven twee matrices A en B als we B
vermenigvuldigen met A (dat is de vorm AB) dan als A (nm) is, moet B (mp) zijn, d.w.z. het aantal kolommen van A moet gelijk zijn aan het aantal rijen van B. Anders is AB niet gedefinieerd.
• De vermenigvuldiging produceert het resultaat C = AB, met elementen:
(In feite vermenigvuldigen we de eerste rij van A met de eerste kolom van B en stoppen het resultaat in element c11 van C. Enzovoort...).
Matrices – Vermenigvuldigen
m
k
kj ik
ij a b
c
1
96 66
95 55
76 44
6 2
3 3
8 6
3 2 9
8 5 4
7 6 2
Matrices – Vermenigvuldigen (voorbeelden)
26+ 63+ 72=44
6 2
3 3
8 6 5
4 6
2 Undefined!
2x2 x 3x2 2!=3
2x2 x 2x4 x 4x4 is toegestaan. Resultaat is een 2x4 matrix In indexnotatie
kj n
k
ik
ij A B
C
1
• Er geldt AB ≠ BA
• Matrix vermenigvuldiging is additief:
A(B+C) = AB + AC
• Eenheidsmatrix voor vermenigvuldiging is I.
• De getransponeerde van een matrix A wordt aangegeven met AT en wordt verkrijgen door omwisselen van rijen en kolommen van A:
Matrices – Opmerkingen
23 13
22 12
21 11
23 22
21
13 12
11
a a
a a
a a
a A a
a
a a
A a T
2D Geometrische Transformaties
Translatie
Rotatie Schalen
Shear
Translatie van vectoren
Stel we hebben vector en willen een translatie uitvoeren met vector . De nieuwe vector wordt gevonden uit de som
y x
d y y
d x x
' '
In matrixvorm:
y x
d d y
x y
x ' '
v d
d v
v
'
d
v
d v
v
'
Schalen van een vector
We kunnen een vector schalen met sx langs de x as en met sy langs de y met matrixvermenigvuldiging
Hierbij kunnen we “schaalfactoren” gebruiken
Om de grootte van de vector te verdubbelen hebben we schaalfactor 2, om te halveren gebruiken we schaalfactor 0,5
y s y
x s x
y x
' '
x sxx
syy y
y x s
s y
x
y x
0
0 '
'
Definieer , dan krijgen we
y x
s S s
0
0 v Sv
'
Rotatie van vectoren
We draaien een vector over een hoek :
a
a
a
a
a
a
a
a
cos sin
cos sin
sin cos
) sin(
) sin(
|'
| '
sin cos
sin sin
cos cos
) cos(
) cos(
|'
| '
|
|
|'
|
y x
l l
l OP
y
y x
l l
l OP
x
l OP OP
P(x,y) P’(x’,y’)
x’ x y’
y
a
l O
y x y
x
cos sin
sin cos
' '
Als we van stelsel O naar O‟ transformeren, is dit ook hoe de eenheidsvectoren transformeren
Componenten transformeren
Voorbeeld coördinatentransformatie:
We roteren het coördinatenstelsel over een hoek :
y x y
x
e e e
e
1 1 '
1 ' 1
cos sin
sin cos
a
b e
e
'
ee11'
Vector is onafhankelijk van coördinatenstelsel V Vaea Va'ea'
V
' O O
basisvectoren transformeren
y x y
x
V V V
V
cos sin
sin cos
' '
b
a V
V ' 1
vectorcomponenten transformeren
'
e2 e2
Poolcoördinaten
We hadden ook
, , r O
y x O
Poolcoördinaten
We hadden ook
j e
e i
e
e1 x , 2 y
Vector is onafhankelijk van coördinatenstelsel V Vaea Va'ea'
V
