Opgave 1: Er geldt n = 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i = a ri x r , waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie.

(1)

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen

Opgave 1: Er geldt n = 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i = a ^r _i x r , waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie.

(a) Schrijf expliciet de vergelijkingen op die worden voorgesteld door de uitdrukking y i = a ^r _i x _r . Antwoord: Stel dat i = 3 (per conventie gaan indices als i, j en k over 1, 2 en 3. Stel verder r = 4 (hiervoor is geen conventie), dan geldt

y _i = a ^r _i x _r →

y 1 = a ¹ ₁ x 1 + a ² ₁ x 2 + a ³ ₁ x 3 + a ⁴ ₁ x 4 , y ₂ = a ¹ ₂ x ₁ + a ² ₂ x ₂ + a ³ ₂ x ₃ + a ⁴ ₂ x ₄ , y 3 = a ¹ ₃ x 1 + a ² ₃ x 2 + a ³ ₃ x 3 + a ⁴ ₃ x 4 .

(1)

(b) Verklaar waarom een uitdrukking als a ii x ⁱ zonder enige betekenis is.

Antwoord: In het algemeen geldt a ij 6= ji . In het geval van uitdrukking a ii x ⁱ is het niet duidelijk of we over de rij- of de kolomindex dienen te sommeren. Ook zouden we nog kunnen bedoelen dat we over de diagonale elementen van de matrix a ij sommeren.

(c) Gebruik de sommatieconventie om

a 11 b ¹¹ + a 21 b ¹² + a 31 b ¹³ + a 41 b ¹⁴ (2) compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).

Antwoord: Er geldt (met n = 4)

a i1 b ¹ⁱ = a 11 b ¹¹ + a 21 b ¹² + a 31 b ¹³ + a 41 b ¹⁴ . (3) (d) Idem voor

a ₁₁ b ¹¹ + a ₁₂ b ¹² + a ₁₃ b ¹³ + a ₁₄ b ¹⁴ + a ₁₅ b ¹⁵ . (4) Antwoord: Er geldt (met n = 5)

a _1i b ¹ⁱ = a ₁₁ b ¹¹ + a ₁₂ b ¹² + a ₁₃ b ¹³ + a ₁₄ b ¹⁴ + a ₁₅ b ¹⁵ . (5) (e) Idem voor

c ¹ _i1 + c ² _i2 + c ³ _i3 + c ⁴ _i4 + c ⁵ _i5 + c ⁶ _i6 + c ⁷ _i7 + c ⁸ _i8 . (6) Antwoord: We hebben (met n = 8) de i vergelijkingen

c ^j _ij = c ¹ _i1 + c ² _i2 + c ³ _i3 + c ⁴ _i4 + c ⁵ _i5 + c ⁶ _i6 + c ⁷ _i7 + c ⁸ _i8 . (7) Opgave 2: Als a ij constanten zijn, bereken dan de partiële afgeleiden

∂

∂x ^k (a ij x ⁱ x ^j ). (8)

Hint: het antwoord is _∂x ^∂

k

(a _ij x ⁱ x ^j ) = a _ki x ⁱ + a _ik x ⁱ = (a _ik + a _ki )x ⁱ . Antwoord: Als we de P-notatie gebruiken, vinden we

P

i,j a _ij x ⁱ x ^j = P

i6=k j6=k

a _ij x ⁱ x ^j + P

i=k j6=k

a _ij x ⁱ x ^j + P

i6=k j=k

a _ij x ⁱ x ^j + P

j=k i=k

a _ij x ⁱ x ^j

= C + P

j6=k a _kj x ^j x ^k +

P

i6=k a _ik x ⁱ

x ^k + a _kk x ^k 2

, (9)

(2)

met C onafhankelijk van x ^k . Dierentiëren naar x ^k levert

∂

∂x ^k



 X

i,j

a _ij x ⁱ x ^j



 = 0 + X

j6=k

a _kj x ^j + X

i6=k

a _ik x ⁱ + 2a _kk x ^k = X

j

a _kj x ^j + X

i

a _ik x ⁱ . (10)

Als we gebruikmaken van de sommatieconventie, vinden we

∂

∂x ^k (a _ij x ⁱ x ^j ) = a _ki x ⁱ + a _ik x ⁱ = (a _ik + a _ki )x ⁱ . (11)

Opgave 3: Beschouw het parabolische coördinatensysteem p, q zoals gegeven in de guur. De transformatiefuncties van gewone cartesische coördinaten x, y naar deze coördinaten zijn

p(x, y) = x en q(x, y) = y − cx ² , (12) met c een constante. De inverse transformatiefuncties zijn

x(p, q) = p en y(p, q) = cp ² + q. (13) (a) Laat zien dat vergelijking (13) inderdaad de correcte inverse transformaties voorstelt.

Antwoord: Dat is een kwestie van triviaal invullen: x = p → p = x en y = cp ² + q → q = y − cp ² = y − cx ² .

(b) Bereken alle acht partiële afgeleiden ∂x ^µ0 /∂x ^ν en ∂x ^µ /∂x ^ν0 . Antwoord: We vinden

∂x ^µ0

∂x ^ν =

∂p

∂x

∂p

∂q ∂y

∂x

∂q

∂y

!

=

1 0

−2cx 1

en ∂x ^µ

∂x ^ν0 =

∂x

∂p

∂x

∂q

∂y

∂p

∂y

∂q

!

=

1 0

2cp 1

. (14)

We veriëren ook direct dat ^∂x _∂x

^µ0^ν

_∂x ^∂x

^ν0^µ

= 1 .

(c) De metrische tensor voor cartesische coördinaten x, y is ds ² = dx ² + dy ² , en hiermee kunnen we de metrische tensor voor deze Euclidische coördinaten schrijven als

g _αβ =

1 0 0 1

. (15)

(3)

De metrische tensor transformeert volgens

g ⁰ _µν = ∂x ^α

∂x ^µ0

∂x ^β

∂x ^ν0 g _αβ . (16)

Bereken de metrische tensor voor het p, q systeem.

Antwoord: Gebruik van bovenstaande relatie levert g _µ0ν0 =

1 + 4c ² p ² 2cp

2cp 1

. (17)

Bijvoorbeeld als we voor de coördinaten-indices µ ⁰ = p en ν ⁰ = q kiezen, dan vinden we

g pq = ∂x ^α

∂p

∂x ^β

∂q g αβ = ∂x

∂p

∂x

∂q g xx + ∂x

∂p

∂y

∂q g xy + ∂y

∂p

∂x

∂q g yx + ∂y

∂p

∂y

∂q g yy = 1 · 0 · 1 + 0 + 0 + 2cp · 1 = 2cp.

(18) (d) Stel dat vector ~ A in het systeem p, q de componenten A ^p = 1 , A ^q = 0 heeft. Bepaal voor deze vector de componenten in het x, y systeem. Begrijp je waarom deze componenten er zó uit dienen te zien? (teken ~e p en ~e q op een typisch punt). Toon verder aan dat A ² = ~ A · ~ A van deze vector dezelfde waarde heeft in beide systemen.

Antwoord: Vectorcomponenten transformeren als A ^α = ∂x ^α

∂x ^µ0 A ^µ0 . (19)

Dit levert

A ^α = ∂x ^α

∂x ^µ0 A ^µ0 =

1 0

2cp 1

1 0

=

1 2cp

. (20)

Dit had je kunnen verwachten, omdat we hebben:

dp = 1 en dq = 0 (21)

dx = dp = 1 (22)

dy = dq + 2cpp = 2cp (23)

In het {xy} systeem vinden we voor het inproduct

A ² = ~ A · ~ A = A _α A ^α = (1 2cp)

1 2cp

= 1 + 4c ² p ² . (24) Merk op dat er geen verschil is tussen de componenten A ^α van de vector en de A α van de 1-vorm.

In het {pq} systeem vinden voor de componenten van de 1-vorm

A µ0 = g µ0ν0 A ^ν0 =

1 + 4c ² p ² 2cp

2cp 1

1 0

=

1 + 4c ² p ² 2cp

. (25)

Voor het inproduct vinden we nu

A ² = ~ A · ~ A = A µ0 A ^µ0 = 1 + 4c ² p ² 2cp

1 0

= 1 + 4c ² p ² (26)

en dat is inderdaad gelijk aan de waarde van het inproduct in het {xy} systeem.

(4)

Opgave 4: De metrische tensor η µν voor de minkowski-ruimte voor coördinaten x ^µ = (ct, x, y, z) wordt gegeven door

η µν =







−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







. (27)

De elektromagnetische veldtensor gegeven wordt door

F ^µν =







0 E x E y E z

−E _x 0 B _z −B _y

−E _y −B _z 0 B x

−E _z B y −B _x 0







, (28)

met (E x , E _y , E _z ) de componenten van de elektrische veldvector ~ E en (B x , B _y , B _z ) de componenten van de magnetische veldvector ~ B . Lorentztransformaties Λ ^ν0 µ geven het verband tussen systeem x ^µ0 en x ^µ die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen als x ^ν0 = Λ ^ν0 _µ x ^µ (a) Toon aan dat geldt

η _αβ = η µν Λ ^µ _α Λ ^ν _β . (29)

Antwoord: Het ruimtetijd-interval is een scalar en dus systeem invariant. Er geldt

ds ² = η _µν dx ^µ dx ^ν = η _µ0ν0 dx ^µ0 dx ^ν0 . (30) We gebruiken nu de denitie van de (Lorentz) transformaties en schrijven

η µν dx ^µ dx ^ν = η µν (Λ ^µ _α dx ^α )

Λ ^ν _β dx ^β

= η µν Λ ^µ _α Λ ^ν _β dx ^α dx ^β . (31) De laatste stap volgt uit het feit dat vermenigvuldiging commutatief is voor de factoren in elke gegeven term van de geïmpliceerde sommatie. Vervolgens herlabelen we de indices aan de rechterzijde, zodat µ → α, ν → β, α → µ en β → ν. Dit levert

η _µν dx ^µ dx ^ν = η _αβ Λ ^α _µ Λ ^β _µ dx ^µ dx ^ν . (32) We trekken nu de linkerzijde af van de rechter en halen de gemeenschappelijke factor dx ^µ dx ^ν buiten haakjes. Dan vinden we

η _µν − η _αβ Λ ^α _µ Λ ^β _µ

dx ^µ dx ^ν = 0. (33)

Dit moet gelden voor elke mogelijke vierverplaatsing, waarvan de componenten dx ^µ volledig willekeurig zijn. Dat kan alleen gelden wanneer de grootheid tussen haakjes gelijk is aan nul.

Hieruit volgt dan

η _µν − η _αβ Λ ^α _µ Λ ^β _µ

dx ^µ dx ^ν = 0 ⇒ η _µν = η _αβ Λ ^α _µ Λ ^β _µ . (34) De gevraagde uitdrukking kunnen we weer vinden door indices te herlabelen.

(b) Toon aan dat geldt

F ^µν η µα η _νβ u ^α u ^β = 0. (35)

Antwoord: Een fundamentele eigenschap van de elektromagnetische veldtensor is dat F ^µν =

−F ^νµ . Dan geldt

F ^µν η µα η _νβ u ^α u ^β = −F ^νµ η µα η _νβ u ^α u ^β . (36)

(5)

We herlabelen nu indices aan de rechterzijde, zodat µ ↔ ν en α ↔ β. Dan vinden we

F ^µν η µα η _νβ u ^α u ^β = −F ^µν η _νβ η µα u ^β u ^α = −F ^µν η µα η _νβ u ^α u ^β . (37) De laatste stap volgt weer uit de commutativiteit van vermenigvuldiging. We zien dat beide zijden gelijk zijn, afgezien van het minteken. Omdat er geen vrije indices zijn, is het resultaat een scalair getal. De enige scalar die gelijk is aan het negatieve van zichzelf is nul. Daarom impliceert de structuur van de elektromagnetische veldtensor

F ^µν η µα η νβ u ^α u ^β = 0. (38)

Opgave 5: We bevinden ons in de minkowski-ruimte en hebben tensor X µν en vector V ^µ met componenten

X _µν =







2 0 1 −1

−1 0 3 2

−1 1 0 0

−2 1 1 −2







, en V ^µ = (−1, 2, 0, −2). (39)

Bepaal de componenten van (a) X ^µ ν

Antwoord: We gebruiken de metriek om een index omhoog te halen. We geven het resultaat in matrixnotatie, waarbij de eerste index de rij en de tweede index de kolom aangeeft. We vinden

X ^µ _ν = η ^µα X αν =







−2 0 −1 1

−1 0 3 2

−1 1 0 0

−2 1 1 −2







. (40)

(b) X µ ^ν

Antwoord: We gebruiken weer de metriek om een index omhoog te halen en vinden

X _µ ^ν = η ^αν X µα =







−2 0 1 −1

1 0 3 2

1 1 0 0

2 1 1 −2







. (41)

(c) Merk op dat we voor een gegeven tensor elk willekeurig aantal indices kunnen symmetriseren.

We geven dit aan door deze indices tussen ronde haakjes te plaatsen, zoals X ^(µν) . Om te symmetriseren nemen we de som over alle permutaties van de relevante indices en delen door het aantal termen. Bepaal X ^(µν) .

Antwoord: Hiertoe zullen we eerst X ^µν moeten bepalen. Hiervoor gebruiken we nogmaals de metriek om een index omhoog te halen van het bij a) verkregen antwoord:

X ^µν = η ^αν X ^µ _α =







2 0 −1 1

1 0 3 2

1 1 0 0

2 1 1 −2







. (42)

Er geldt

X ^(µν) = 1

2 (X ^µν + X ^νµ ) = 1 2







4 1 0 3

1 0 4 3

0 4 0 1

3 3 1 −4







. (43)

(6)

(d) We kunnen ook antisymmetriseren, waarbij in de som elke term die een oneven aantal permutaties vereist een minteken krijgt. We geven dat aan met vierkante haakjes [..]. Bepaal X [µν] . Antwoord: Er geldt

X _[µν] = 1

2 (X _µν − X _νµ ) = 1 2







0 1 2 −3

−1 0 2 1

−2 −2 0 −1

−1 −1 1 0







. (44)

(e) X ^λ _λ

Antwoord: Dit komt overeen met het spoor van X ^µ ν en we vinden X ^λ _λ = −4 . (f) V ^µ V µ

Antwoord: We gebruiken de metriek en vinden V µ = (1, 2, 0, −2) . De contractie levert

V ^µ V _µ = V _µ V ^µ = (1 2 0 − 2)







−1 2 0

−2







= −1 + 4 + 0 + 4 = 7. (45)

(g) V µ X ^µν

Antwoord: Uitwerken levert

A ^ν = V _µ X ^µν =







(1 · 2) + (2 · 1) + (0 · 1) + (−2 · 2) (1 · 0) + (2 · 0) + (0 · 1) + (−2 · 1) (1 · −1) + (2 · 3) + (0 · 0) + (−2 · 1) (1 · 1) + (2 · 2) + (0 · 0) + (−2 · −2)







=





 0

−2 3 9







. (46)

Opgave 6: We bekijken nu wat lineaire algebra met tensoren.

(a) Toon aan dat geldt

(x ¹ , x ² , x ³ )





a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33







 x ¹ x ² x ³



 = a ij x ⁱ x ^j . (47)

Antwoord: Er geldt

(x ¹ , x ² , x ³ )





a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃







 x ¹ x ² x ³



 = (x ¹ , x ² , x ³ )



 a 1j x ^j a 2j x ^j a _3j x ^j



 = x ⁱ (a ij x ^j ) = a _ij x ⁱ x ^j . (b) Schrijf de kwadratische vorm 3x ² + y ² − 2z ² − 5xy − 6yz = 10 door gebruik te maken van (48) een symmetrische matrix.

Antwoord: Bovenstaande kwadratische vorm wordt gegeven door de niet-symmetrische matrix

A =





3 −5 0

0 1 −6

0 0 −2



 . (49)

(7)

We vinden de symmetrische equivalente matrix door elk niet-diagonaal element te vervangen door de halve som van dat element en haar spiegelbeeld in de diagonaal van de matrix. De gevraagde representatie wordt dus

(x, y, z)





3 −5/2 0

−5/2 1 −3

0 −3 −2







 x y z



 = 10. (50)

Uitwerken hiervan levert weer 3x ² + y ² − 2z ² − 5xy − 6yz = 10 .

(c) In een orthonormaal coördinatenstelsel wordt de afstand d(~x, ~y) tussen de punten met plaatsvec- toren ~x en ~y gegeven door

d(~ x, ~ y) = |~ x − ~ y| = q

(~ x − ~ y) ^T (~ x − ~ y). (51) We voeren de coördinatentransformatie ~x ⁰ = A~ x of ~x = B~x ⁰ met B = A ⁻¹ uit. Wat is de formule voor de afstand d(~x ⁰ , ~ y ⁰ ) in het getransformeerde systeem?

Hint, het antwoord is

d(~ x, ~ y) = q

(~ x ⁰ − ~ y ⁰ ) ^T G(~ x ⁰ − ~ y ⁰ ) = d(~ x ⁰ , ~ y ⁰ ) (52) met G ≡ B ^T B = (A ⁻¹ ) ^T A ⁻¹ = (A ^T ) ⁻¹ A ⁻¹ = (AA ^T ) ⁻¹ .

Antwoord: Het is een kwestie van invullen. Dit levert d(~ x, ~ y) = p

(~ x − ~ y) ^T (~ x − ~ y)

= p

(B~ x ⁰ − B~ y ⁰ ) ^T (B~ x ⁰ − B~ y ⁰ )

= p

(B(~ x ⁰ − ~ y ⁰ )) ^T B(~ x ⁰ − ~ y ⁰ )

= p

(~ x ⁰ − ~ y ⁰ ) ^T B ^T B(~ x ⁰ − ~ y ⁰ )

= p

(~ x ⁰ − ~ y ⁰ ) ^T G(~ x ⁰ − ~ y ⁰ )

= d(~ x ⁰ , ~ y ⁰ ),

(53)

met G ≡ B ^T B = (A ⁻¹ ) ^T A ⁻¹ = (A ^T ) ⁻¹ A ⁻¹ = (AA ^T ) ⁻¹ .

We kunnen tensornotatie gebruiken en de productregel voor matrices om te bewijzen dat geldt (AB) ^T = B ^T A ^T . Het bewijs gaat als volgt Stel dat A ≡ [a ij ] _mn (dus m rijen en n kolommen), B ≡ [b ij ] _nk , en AB ≡ [c ij ] _mk . Voor alle i en j hebben we

a ⁰ _ij = a _ji , b ⁰ _ij = b _ji , c ⁰ _ij = c _ji . (54) Er geldt dus A ^T = h

Opgave 1: Er geldt n = 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i = a ri x r , waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie.

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen