Formule van Euler

(1)

Eigenschappen complex conjugeren

z = z voor alle z ∈ C.

z ± w = z ± w voor alle z, w ∈ C.

z · w = z · w voor alle z, w ∈ C.

z w

= z

w voor alle z, w ∈ C, w 6= 0.

zⁿ = zⁿ voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

I.A.M. Goddijn Faculteit EWI

October 2, 2011 1

(2)

Als z = r (cos θ + i sin θ) en w = s (cos φ + i sin φ) dan z w = r s (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))

z w = r

s(cos(θ − φ) + i sin(θ − φ)) (w 6= 0) 1

z = 1

r(cos θ − i sin θ) (z 6= 0)

waaruit bijna alle eigenschappen van modulus en argument volgen.

(3)

Eigenschappen modulus

|z|² = z · z voor alle z ∈ C.

|z + w| ≤ |z| + |w| voor alle z, w ∈ C.

|z · w| = |z| · |w| voor alle z, w ∈ C.

|z

w| = |z|

|w| voor alle z, w ∈ C, w 6= 0.

|zⁿ| = |z|ⁿ voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

October 2, 2011 3

(4)

Eigenschappen argument

arg(z · w) = arg z + arg w voor alle z, w ∈ C.

arg

z w

= arg z − arg w voor alle z, w ∈ C w 6= 0.

arg zⁿ = n arg z voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

(5)

Gevolg

Formule van de Moivre

(cos(θ) + i sin(θ))ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (z 6= 0 en n ∈ Z)

Abraham de Moivre (1667-1754)

October 2, 2011 5

(6)

Binomiaalvergelijkingen

Definitie

Een binomiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm zⁿ = c (c ∈ C, n ∈ N\{0}).

Deze vergelijking heeft precies n verschillende oplossingen.

Hiernaast zijn getekend de 6 verschillende oplossingen van z⁶ = 1 + i.

(7)

Formule van Euler

Leonard Euler (1707-1783) Definitie

e^iθ = cos θ + i sin θ Eigenschappen

e^iθ = 1.

e^iθ · e^iφ = e^{i(θ + φ)}.

(e^iθ)ⁿ = e^inθ voor alle n ∈ Z.

October 2, 2011 7

(8)

Er zijn dus drie verschillende schrijfwijzen voor een complex getal z.

z = a + bi, a, b ∈ R z = r(cos θ + i sin θ) met r = |z| en θ = arg z

z = re^iθ met r = |z| en θ = arg z

(9)

Definitie

e^z = e^a · e^ib voor z = a + bi, a, b ∈ R.

Eigenschappen e⁰ = 1.

|e^z| = e^a voor alle z = a + bi, a, b ∈ R.

e^z · e^w = e^z+w voor alle z, w ∈ C.

October 2, 2011 9