Voorbeelden van examenvragen
1. Beschouw volgende twee functies
f : R → R : x 7→ e−2x(cos x + 2 sin x) en g : R → R : x 7→ e−x(cos x + sin x).
Wat kan je zeggen over het bestaan en de eventuele waarde van de limieten lim+∞
f
g en lim
+∞
f0 g0.
Geef commentaar met de regel van de l’Hˆopital in het achterhoofd.
2. (a) Zij (yn)n een begrensde rij in C. Toon aan dat voor elke rij (xn)n in C waarvoor de reeks Pnxn absoluut convergeert, geldt dat de reeks Pn(xnyn) ook absoluut convergeert.
(b) Veronderstel nu dat (yn)neen rij is in C die de eigenschap heeft dat voor elke (xn)n
in C waarvoor de reeks Pnxn absoluut convergeert, geldt dat de reeksPn(xnyn) ook absoluut convergeert. Mag je besluiten dat (yn)n begrensd is? Argumenteer!
3. Beschouw volgende verzameling F van functies van [0, 1] naar R:
F = {f : [0, 1] → R | f continu , ∃δ ∈ ]0, 1] , ∀x ∈ [0, δ] : f (x) = 0}.
We beschouwen de supremummetriek d∞ op F .
Is (F, d∞) volledig? Zo ja, bewijs; zo neen, wat is de vervollediging?
