HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen

Opgave 1: Deze opgave is bedoeld om uit te vinden of u op correcte wijze indices naar boven of beneden kunt halen. We beschouwen twee dimensies, waarbij de indices A, B, ... de waarden 1 of 2 kunnen aannemen. De metrische tensor wordt gegeven door

g _AB =

 F 1 1 0



, (1)

met F een constante. Beschouw de vectoren

a _A = (1, 0), b _A = (0, 1), c ^A = (1, 0), d ^A = (0, 1). (2) (a) Bepaal de inverse van de metrische tensor g ^AB .

Antwoord: De inverse metrische tensor is g ^AB =

 0 1 1 −F



, (3)

en g AB g ^AB = 1 . (b) Bepaal a ^A , b ^A , c A , d A , ~a ·~b, ~a · ~c en ~a · ~d.

Antwoord: Er geldt a ^A = (0, 1) (gebruik a ⁱ = g ^ij a _j ), b ^A = (1, −F ) , c A = (F, 1) , d A = (1, 0) ,

~a · ~b = 1 ~a · ~ c = 1 en ~a · ~d = 0.

Opgave 2: De relatie tussen cartesische (x, y) en poolcoördinaten (r, θ) wordt gegeven door r = p

x ² + y ² en θ = arctan( ^y _x ) en de inverse relaties x = r cos θ en y = r sin θ.

(a) Bereken alle elementen van de transformatiematrices Λ ^α _β

⁰

en Λ ^µ _ν

⁰

voor de transformatie van cartesische (het stelsel zonder accent) naar polaire (met accenten op de indices) coördinaten.

Antwoord: Er geldt (gebruik y = arctan(x) → y ⁰ = _1+x ¹

2

) Λ ¹ ₁

⁰

= _∂x ^∂r = ^x _r

Λ ¹ ₂

⁰

= ^∂r _∂y = ^y _r Λ ² ₁

⁰

= ^∂θ _∂x = ¹

1+ (

^yx

)

²

· − _x ^y

2

= − _r ^y

2

Λ ² ₂

⁰

= ^∂θ _∂y = ¹

1+ (

^y_x

)

²

· ¹ _x = _r ^x

2



 

 



 

 



Λ ^α _β

⁰

=

 _x

r y r

− _r ^y

₂

_r ^x

₂



, en Λ ^µ _ν

0

=

 _x

r −y

y

r x

 . (4)

We hebben gebruik gemaakt van het feit dat voor elke 2 × 2 matrix geldt A =

 a b c d



→ A ⁻¹ = 1

ad − bc

 d −b

−c a



. (5)

(b) Stel f = x ² + y ² + 2xy en in cartesische coördinaten ~V → (x ² + 3y, y ² + 3x) , ~ W → (1, 1) . Bereken f als functie van r en θ, en bepaal de componenten van ~V en ~ W voor de polaire basis door ze uit te drukken als functies van r en θ.

Antwoord: Invullen van x = r cos θ en y = r sin θ geeft direct f = r ² + 2r ² cos θ sin θ . Voor de vectorcomponenten geldt

V ^α

⁰

= Λ ^α _β

⁰

V ^β =

 _x

r y

− _r ^y

₂

_r ^x r

₂

  x ² + 3y y ² + 3x



=

x

³

r + ^y _r

³

+ ^6xy _r

− ^x _r

²2

^y − ^3y _r

2²

+ ^xy _r

2²

+ ^3x _r

2²

!

. (6)

Weer gebruikmaken van x = r cos θ en y = r sin θ levert V ^r = r ² (cos ³ θ + sin ³ θ) + 6r sin θ cos θ , en V ^θ = 3 cos ² θ − 3 sin ² θ + r cos θ sin θ(sin θ − cos θ) .

Op dezelfde wijze gaat de vector ~ W → (1, 1) over in W ^α

⁰

= Λ ^α _β

⁰

W ^β =

 _x

r y r

− _r ^y

2

x r

²

  1 1



=

 _x

r + ^y _r

− _r ^y

2

+ _r ^x

2



. (7)

Invullen van x = r cos θ en y = r sin θ levert W ^r = cos θ + sin θ en W ^θ = (cos θ − sin θ)/r . (c) Bepaal de componenten van ˜df in cartesische coördinaten en verkrijg ze in poolcoördinaten door (i) directe berekening in poolcoördinaten, en (ii) door transformeren van de cartesische componenten.

Antwoord: Er geldt f = x ² + y ² + 2xy en dus df = ˜  ∂f

∂x , ∂f

∂y



= (2x + 2y, 2y + 2x) . (8)

In poolcoördinaten hadden we f = r ² + 2r ² cos θ sin θ en een directe berekening geeft df = ˜ 

(˜ df ) _r , (˜ df ) _θ 

= 

∂f

∂r , ^∂f _∂θ 

= 2r + 4r cos θ sin θ, 2r ² (cos ² θ − sin ² θ)

= 2r(1 + sin 2θ), 2r ² cos 2θ
. (9) We gebruiken de goniometrische relaties sin 2x = 2 sin x cos x en cos 2x = cos ² x − sin ² x.

We kunnen deze uitdrukking ook vinden door de cartesische componenten te transformeren. Dit gaat als volgt

˜ df _ν

⁰

= ˜ df _µ Λ ^µ _ν

0

= (2x + 2y, 2x + 2y)

 _x

r −y

y

r x



=  2x ²

r + 2xy r + 2xy

r + 2y ²

r , −2xy − 2y ² + 2x ² + 2xy

 . Gebruikmaken van x = r cos θ en y = r sin θ levert (10)

df ˜ _ν

⁰

= 2r + 4r cos θ sin θ, 2r ² cos ² θ − 2r ² sin ² θ
= 2r(1 + sin 2θ), 2r ² cos 2θ
. (11) (d) Gebruik de metrische tensor in poolcoördinaten om de polaire componenten van de 1-vormen V ˜ en ˜ W geassocieerd met ~V en ~ W te vinden.

Antwoord: De plaatsvector wordt gegeven door ~r = r cos θ~i + r sin θ~j. De eenheidsvectoren worden gegeven door

~ e r = ∂~ r

∂r =

 cos θ sin θ



, en ~ e θ = ∂~ r

∂θ =

 −r sin θ r cos θ



. (12)

De componenten van de metrische tensor worden gegeven door g αβ = g(~ e α , ~ e _β ) . Uitwerken levert g _αβ =  ~e r · ~e _r ~ e r · ~e _θ

~ e _θ · ~e _r ~ e _θ · ~e _θ



=

 cos ² θ + sin ² θ −r sin θ cos θ + r sin θ cos θ

−r sin θ cos θ + r sin θ cos θ r ² cos ² θ + r ² sin ² θ



=

 1 0 0 r ²

 .

De componenten van de 1-vorm ˜ V worden gegeven door (13)

V _α = g _αβ V ^β =

 1 0 0 r ²

  r ² (cos ³ θ + sin ³ θ) + 6r sin θ cos θ 3 cos ² θ − 3 sin ² θ + r cos θ sin θ(sin θ − cos θ)



=

 r ² (cos ³ θ + sin ³ θ) + 6r sin θ cos θ

3r ² cos ² θ − 3r ² sin ² θ + r ³ cos θ sin θ(sin θ − cos θ)

 .

(14)

Evenzo vinden we de componenten van de 1-vorm ˜ W door

W α = g _αβ W ^β =

 1 0 0 r ²

  cos θ + sin θ (cos θ − sin θ)/r



=

 cos θ + sin θ r(cos θ − sin θ)



. (15)

De componenten van vectoren kunnen uit 1-vormen gevonden worden met de inverse metriek.

Er geldt

g ^αβ =

 1 0 0 r ⁻²



. (16)

(e) Bepaal de polaire componenten van ˜ V en ˜ W door transformatie van de cartesische compo- nenten.

Antwoord: In cartesische coördinaten hebben we de vectoren V ^α =

 x ² + 3y y ² + 3x



en W ^α =

 1 1



. (17)

De metrische tensor in cartesische coördinaten is de eenheidsmatrix. We vinden derhalve voor de componenten van de geassocieerde 1-vormen

V α = x ² + 3y, y ² + 3x

en W α = (1, 1) . (18)

De polaire componenten worden vervolgens gevonden door de transformatie

V _ν

⁰

= Λ ^µ _ν

0

V _µ = x ² + 3y, y ² + 3x

 _x

r −y

y

r x



= 

x

³

r + ^3xy _r + ^y _r

³

+ ^3xy _r , −x ² y − 3y ² + xy ² + 3x ² 

=

 r

³

cos

³

θ

r + ^3r

²

cos θ sin θ

r + ^r

³

^sin _r

³

^θ + ^3r

²

cos θ sin θ

r ,

−r ³ cos ² θ sin θ − 3r ² sin ² θ + r ³ cos θ sin ² θ + 3r ² cos ² θ

= r ² (cos ³ θ + sin ³ θ) + 6r sin θ cos θ, 3r ² cos ² θ − 3r ² sin ² θ + r ³ cos θ sin θ(sin θ − cos θ)
. (19) Evenzo vinden we

W _ν

⁰

= Λ ^µ _ν

0

W _µ = (1, 1)

 _x

r −y

y

r x



=  x r + y

r , −y + x 

= (cos θ + sin θ, r(cos θ − sin θ)) . (20)

Opgave 3: De geometrie van de lege ruimte buiten een sferisch symmetrisch object met massa M , zoals een ster of zwart gat, wordt gegeven door de Schwarzschild metriek. Voor coördinaten x ^µ = (t, r, θ, φ) wordt het lijnelement in de Schwarzschild metriek gegeven door

ds ² = g _µν dx ^µ dx ^ν = −



1 − 2M r

 dt ² +



1 − 2M r

 −1

dr ² + r ² (dθ ² + sin θ ² dφ ² ). (21) Hierbij gebruiken we zogenaamde geometrische eenheden met c = G = 1.

(a) Beschouw de functie

f (x) = (5t ² − 2r ² )/(2M ) ² , (22)

met t en r de Schwarzschild coördinaten. Bepaal de contravariante componenten (∇f) ^α van de gradiënt van f.

Antwoord: We bepalen eerst de covariante gradient (∇f) α :

(∇f ) α =  ∂f

∂t , ∂f

∂r , ∂f

∂θ , ∂f

∂φ



=

 10t

(2M ² ) , −4r (2M ² ) , 0, 0

 (23)

Deze vermenigvuldigen we met de inverse metriek om de gradiënt contravariant te maken:

g ^µν = (g µν ) ⁻¹ =









− 1 − ^2M _r
−1

0 0 0

0 1 − ^2M _r

0 0

0 0 r ⁻² 0

0 0 0 r ⁻² sin ⁻² θ









(24)

(∇f ) ^α = g ^αβ (∇f ) β = 10t (2M ² )



1 − 2M r

 −1

, −4r (2M ² )



1 − 2M r

 , 0, 0

!

(25)

(b) We beschouwen de basisvectoren {~e α } voor een vrijvallende waarnemer. Er geldt

(~ e ₀ ) ^α = ((1 − 2M/r) ⁻¹ , −(2M/r) ^1/2 , 0, 0), (26) (~ e ₁ ) ^α = (−(2M/r) ^1/2 (1 − 2M/r) ⁻¹ , 1, 0, 0), (27) (~ e 2 ) ^α = (0, 0, 1/r, 0), (28) (~ e 3 ) ^α = (0, 0, 0, 1/(r sin θ)). (29) Laat expliciet zien dat deze vectoren een orthonormale set vormen.

Antwoord: We moeten bewijzen dat deze set voldoet aan: (~e 0 )·(~ e 0 ) = −1 (Minkowski), (~e i )·(~ e i ) = 1 en (~e α ) · (~ e _β ) = 0 voor α 6= β:

(~ e 0 ) · (~ e 0 ) =g αβ (~ e 0 ) ^α (~ e 0 ) ^β = −



1 − 2M r



·



1 − 2M r

 −1

·



1 − 2M r

 −1

+



1 − 2M r

 −1

· −  2M r

 1/2

· −  2M r

 1/2

= − 1 − ^2M _r
1 − ^2M _r
= −1

(30)

(~ e 1 ) · (~ e 1 ) = −



1 − 2M r



· −  2M r

 1/2 

1 − 2M r

 −1

· −  2M r

 1/2



1 − 2M r

 −1

+



1 − 2M r

 −1

= −  2M r + 1

 

1 − 2M r

 −1

= 1

(31)

(~ e ₂ ) · (~ e ₂ ) = r ² · 1 r · 1

r = 1 (32)

(~ e ₃ ) · (~ e ₃ ) = r ² sin ² θ · 1

rsinθ · 1

rsinθ = 1 (33)

(~ e ₀ ) · (~ e ₁ ) = −



1 − 2M r



·



1 − 2M r

 −1

· −  2M r

 1/2 

1 − 2M r

 −1 !

+



1 − 2M r

 −1

· −  2M r

 1/2

= 0

(34)

(~ e 0 ) · (~ e 2 ) = 0 (~ e 0 ) · (~ e 3 ) = 0 (~ e 1 ) · (~ e 2 ) = 0 (~ e 1 ) · (~ e 3 ) = 0 (~ e 2 ) · (~ e 3 ) = 0 (35)

(c) Bepaal de covariante componenten van elk van deze basisvectoren.

Antwoord: Om de covariante basisvectoren te bepalen, vermenigvuldigen we met de metriek:

(~ e ₀ ) _α = g _αβ (~ e ₀ ) ^α = −1, −



1 − 2M r

 −1

 2M r

 1/2

, 0, 0

!

(36)

(~ e ₁ ) _α = g _αβ (~ e ₁ ) ^α =  2M r

 1/2

,



1 − 2M r

 −1

, 0, 0

!

(37) (~ e ₂ ) _α = g _αβ (~ e ₂ ) ^α = (0, 0, r, 0) (38) (~ e ₂ ) _α = g _αβ (~ e ₂ ) ^α = (0, 0, 0, rsinθ) (39) (d) Bepaal de contravariante componenten van de basisvectoren ~e ^α die duaal is aan de gegeven set basisvectoren.

Antwoord: Er moet gelden ˜ w ^β (~ e α ) = δ ^β α . Door deze vergelijkingen voor de verschillende vectoren

~ e _α in te vullen, kunnen we ˜ w ^β per component bepalen.

˜

w ⁰ (~ e ₀ ) = −( ˜ w ⁰ ) ⁰ −



1 − 2M r

 −1

 2M r

 1/2

( ˜ w ⁰ ) ¹ = 1 (40)

˜

w ⁰ (~ e 1 ) =  2M r

 1/2

( ˜ w ⁰ ) ⁰ −



1 − 2M r

 −1

( ˜ w ⁰ ) ¹ = 0 (41) Uit vgl. 41 volgt dat ( ˜ w ⁰ ) ¹ = − ^2M _r
1/2

1 − ^2M _r
( ˜ w ⁰ ) ⁰ en invullen in vgl. 43 geeft uiteindelijk ( ˜ w ⁰ ) ⁰ = − 1 − ^2M _r
−1

en ( ˜ w ⁰ ) ¹ = ^2M _r
1/2

.

˜

w ¹ ~ e ₀ ) = −( ˜ w ¹ ) ⁰ −



1 − 2M r

 −1

 2M r

 1/2

( ˜ w ¹ ) ¹ = 0 (42)

˜

w ¹ (~ e 1 ) =  2M r

 1/2

( ˜ w ¹ ) ⁰ −



1 − 2M r

 −1

( ˜ w ¹ ) ¹ = 1 (43) Uit vgl. 42 volgt dat ( ˜ w ¹ ) ⁰ = − 1 − ^2M _r
2M

r

1/2

( ˜ w ¹ ) ¹ en invullen in vgl. 40 geeft uiteindelijk ( ˜ w ¹ ) ⁰ = − 1 − ^2M _r
−1 2M

r

1/2

en ( ˜ w ¹ ) ¹ = 1 .

˜

w ² (~ e ₂ ) = ( ˜ w ² ) ² r = 1 (44)

˜

w ³ (~ e ₃ ) = ( ˜ w ³ ) ³ rsinθ = 1 (45) Uit vgl. 44 volgt ( ˜ w ² ) ² = ¹ _r en uit vgl. 45 volgt ( ˜ w ³ ) ³ = _rsinθ ¹ en dus kunnen we contravariante vectoren duaal aan de gegeven set basisvectoren schrijven als:

˜ w ⁰ =











− 1 − ^2M _r
−1 2M

r

1/2

0 0











˜ w ¹ =









− 1 − ^2M _r
−1 2M r

1/2

1 0 0









˜ w ² =







 0 0

1 r

0









˜ w ³ =







 0 0 0

1 rsinθ







 (46) (e) Beschouw de vector ~a met contravariante componenten

~a = (4, 3, 0, 0) (47)

op punt (0, 3M, 0, 0). Bepaal de componenten a ^α en a α van deze vector in de gegeven orthonor- male basis.

Antwoord: Op het punt (0, 3M, 0, 0) geldt r = 3M en θ = 0. Als we dit invullen in de metriek kunnen we ook de covariante componenten bepalen:

g µν,(0,3M,0,0) =









1

3 0 0 0

0 3 0 0

0 0 9M ² 0

0 0 0 0







 (48)

a ^α =







 4 3 0 0









a _α = g _αβ a ^β =









− ⁴ ₃ 9 0 0







 (49)

Opgave 4: Een intelligente mier beweegt zich over een vlakke plaat gemaakt van invar (daarvan is de uitzettingscoëciënt gelijk aan nul), die is voorzien van een Cartesisch coördinatensysteem {x ¹ , x ² } . De plaat heeft niet overal dezelfde temperatuur: de temperatuur varieert als functie van de afstand r tot de oorsprong. Dit heeft tot gevolg dat de meetlat waarmee de mier afstanden meet krimpt en uitzet. De mier heeft overigens geen idee van temperatuur.

Opgave a) Laat zien dat de mier de volgende covariante metriek zal vinden voor het Cartesische coördinatensysteem {x ¹ , x ² } ,

g ₁₁ (x) = g ₂₂ (x) = f (r), g ₁₂ (x) = g ₂₁ (x) = 0, r = p

(x ¹ ) ² + (x ² ) ² . (50) Laat ook zien dat f(r) kleiner is naarmate de temperatuur van de plaat hoger is.

Antwoord: De temperatuur op de plaat varieert als functie van de afstand r tot de oorsprong en de lengte van de meetlat is hier afhankelijk van. De metrische tensor geeft aan hoe de mier afstanden dient te bepalen uit de gemeten coördinaten. Er geldt

ds ² = f (r)dx ² ₁ + f (r)dx ² ₁ . (51) Als de temperatuur toeneemt, neemt de afstand tussen coördinaatlijnen op de meetlat toe (de afstand op de plaat verandert niet). De metriek dient hiervoor te corrigeren en dus zal f(r) moeten afnemen met toenemende temperatuur.

Opgave b) Omdat de mier intelligent is, gaat hij liever over op poolcoördinaten {ξ ¹ , ξ ² } ,

x ¹ = ξ ¹ sin ξ ² , x ² = ξ ¹ cos ξ ² . (52) Laat zien dat in termen van deze coördinaten de metriek gegeven wordt door

g ₁₁ (ξ) = f (ξ ¹ ), g ₂₂ (ξ) = (ξ ¹ ) ² f (ξ ¹ ), g ₁₂ (ξ) = g ₂₁ (ξ) = 0. (53) In het vervolg gebruiken zowel de mier als wij deze coördinaten.

Antwoord: De originele vector ~x = x ¹ ~i + x ² ~j gaat over in ~x = ξ ¹ sin ξ ² ~i + ξ ¹ cos ξ ² ~j . Voor de nieuwe eenheidsvectoren geldt

~ e _ξ

1

= ∂~ x

∂ξ ¹ =

 sin ξ ² cos ξ ²



en ~ e _ξ

2

= ∂~ x

∂ξ ² =

 ξ ¹ cos ξ ²

−ξ ¹ sin ξ ²



. (54)

Voor de metriek vinden we dan g µν =  ~e _ξ

1

· ~e _ξ

1

~ e _ξ

¹

· ~e _ξ

2

~ e _ξ

²

· ~e _ξ

1

~ e _ξ

²

· ~e _ξ

2



=

 sin ² ξ ¹ + cos ² ξ ¹ sin ξ ² · ξ ¹ cos ξ ² + cos ξ ² · −ξ ¹ sin ξ ²

−ξ ¹ cos ξ ² sin ξ ² + cos ξ ² · −ξ ¹ sin ξ ² (ξ ¹ ) ² sin ² ξ ¹ + cos ² ξ ¹



=

 1 0

0 ξ ¹
2

 .

(55)

Inclusief schaalfactor vinden we

 f (ξ ¹ ) 0 0 ξ ¹
2

f (ξ ¹ )



. (56)

Opgave c) Geef de contravariante metriek.

Antwoord: Omdat de metriek diagonaal is, wordt de contravariante metriek eenvoudig gegeven

door 

1/f (ξ ¹ ) 0 0 1/ ξ ¹
2

f (ξ ¹ )



. (57)