Gravitatie en kosmologie

(1)

Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 22 september 2015

Gravitatie en kosmologie

FEW Cursus

(2)

Najaar 2009 Jo van den Brand

Inhoud

• Inleiding

• Overzicht

• Klassieke mechanica

• Galileo, Newton

• Lagrange formalisme

• Quantumfenomenen

• Neutronensterren

• Wiskunde I

• Tensoren

• Speciale relativiteitstheorie

• Minkowski

• Ruimtetijd diagrammen

• Wiskunde II

• Algemene coordinaten

• Covariante afgeleide

• Algemene

relativiteitstheorie

• Einsteinvergelijkingen

• Newton als limiet

• Kosmologie

• Friedmann

• Inflatie

• Gravitatiestraling

• Theorie

• Experiment

(3)

3

Relatieve beweging

Einstein 1905:

Alle natuurwetten blijven dezelfde (zijn invariant) voor alle waarnemers die eenparig rechtlijnig t.o.v. elkaar bewegen.

De lichtsnelheid is invariant – heeft voor alle waarnemers dezelfde waarde.

Einstein 1921 Inertiaalsysteem: objecten bewegen in rechte lijnen als er geen

krachten op werken (Newton’s eerste wet).

Indien een systeem met constante snelheid t.o.v. een inertiaalsysteem beweegt, dan is het zelf ook een inertiaalsyteem.

(4)

Ruimtetijd van de ART

deeltje in rust

x ct

deeltje met willekeurige snelheid

deeltje naar rechts bewegend met constante snelheid

deeltje met lichtsnelheid

45^o

Het belang van fotonen m.b.t. structuur van ruimte tijd: empirisch vastgestelde universaliteit van de voortplanting in vacuum

Onafhankelijk van

bewegingstoestand van de bron golflengte

intensiteit

polarisatie van EM golven

(5)

Minkowskiruimte – dopplerfactor

waarnemer A

x ct

waarnemer B

45^o Waarnemers A en B hebben geijkte

standaardklokken en lampjes

t = tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van A

t’= tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van B

met dopplerfactor k

t

t' k t' kt

t

(6)

B flitst zijn lampje in Q. Waarnemer A ziet dat in R, op tijd

Minkowskiruimte – dopplerfactor

waarnemer A

waarnemer B Vanuit punt P bewegen waarnemers A

en B ten opzichte van elkaar (constante snelheid v van B tov A)

Lampje van A flitst na tijd t gemeten met de klok van A (in E)

B ziet de flits van A na tijd kt (in Q)

P E

Q R

M Afstand van Q tot A:

(vluchttijd radarpuls x lichtsnelheid)/2

M is gelijktijdig met Q als

t k2

t tM

t k2

t k

2 ) 1 (

2

2 

 

 c c k

d t^ER t

RM EM t t  t

t

t_EM  _M 

t

_RM  k²

t



t

_M

M M

t

k

t t

t

  ²  ⁽ ¹⁾

2

2 

 k

M

t t

c k c

d

M 1 v/

/ v 1 tijd

afstand

v 

 





 t

(7)

Minkowskiruimte – inproduct

^waarnemer

Definitie:

Afspraak:

tijden voor P negatief tijden na P positief

Q P

E

O

We kennen de vector toe aan de geordende events P en Q

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

P en Q gelijktijdig als Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct) kunnen we nu

afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft een metriek

Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct) kunnen we nu afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft een metriek

2 1

) 2

,

( t t

 PQ PQ  c

t1

t2

PQ

t1

t2

 0



t2

t1

 0



t   c2t 2

1  0 t t2

 0



t1

t2

 0



2

1 t

t  

(8)

Lorentzinvariantie Minkowski-metriek

Waarnemer A Volgens A:

Q P

A₁

A₂

Dat wil zeggen is onafhankelijk van de inertiele waarnemer door P

Waarnemer B

B₁

B₂ Volgens B:

Er geldt

Scalair product is Lorentzinvariant Definitie:

Met afspraak over het teken!

2

(PQ PQ, ) c 1 2

    t t

t1

t2

(PQ PQ, )

 ^{ }

t2'

t1' 2

1' 2'

(PQ PQ, ) c

    t t

1 1

1 1'

PA k PB k

t  ^ t  t ^t

2 2 2 2'

PA k PB k

t  t t  t

1 2 1' 2'

t t t t

2 1

) 2

,

( t t

 PQ PQ  c

(9)

Lorentzcoördinaten

Waarnemer A (inertieel) E is verzameling puntgebeurtenissen die

gelijktijdig zijn met O (t.o.v. A) Definieer basisvector

Dat is de 3-dim euclidische ruimte op t.o.v. A

Er geldt Er geldt

O E E_t is verzameling puntgebeurtenissen die

gelijktijdig zijn met t

Orthonormaal stelsel vectoren in E met beginpunt O

Er geldt en En ook

t  0 s e 0  OE

t  0

M _t

t







0 0

( , )e e 1

    

t 1 s t  2 s

t  1 s t  2 s

, 0 ( _A )

Q  OE OQ   l  

lA

e0

e1



^{e e e}^{  }¹^{, ,}² ³



1 1

( , ) 1e e

   

( , )e e_i _j _ij

    ( , ) 0e e0 _i

   

(10)

Voor cartesische coordinaten

Minkowski meetkunde

Het invariante lijnelement

Notatie bevat metriek en coordinaten Minkowskimetriek

Lijnelement uitschrijven

Dezelfde tijd: Ruimtelijke termen: Stelling van Pythagoras

Dezelfde plaats: het lijnelement is een maat voor de tijd verstreken tussen twee

gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen Dan geldt

Inverse Basisvectoren met

We hebben gevonden dat

Nieuw symbool e_

0,1, 2,3

  1 als 0

( , ) 1 als

0 overige gevallen

e e_ _ i

 

  

  

 

 

    

 

 

 

( , )e e_ _ _

   

(11)

We vinden met lorentzfactor

Tijddilatatie

Waarnemer W1: twee gebeurtenissen op dezelfde plaats Waarnemer W2: meet tijdverschil

Snelheid tussen waarnemers

Tijddilatatie is geometrisch effect in 4D ruimtetijd

Tijd tussen twee gebeurtenissen verstrijkt het snelst voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen: eigentijd

(12)

Lat passeert waarnemer O’ (dus geldt en )

Lorentzcontractie

Kies x-as als bewegingsrichting Er geldt

Waarnemer O beweegt met de lat mee: lengte lat is L

We hebben te maken met tijddilatatie Invullen levert

We vinden

Voor hem vinden de twee gebeurtenissen (passeren van begin en eind van de lat bij O’) op verschillende tijden, gescheiden door

O’ beweegt t.o.v. lat O staat stil t.o.v. lat

(13)

Lorentztransformaties

Invullen levert

Minkowski meetkunde: het invariante lijnelement Welke transformaties laten dit element invariant?

We vinden Translaties

Rotaties, bijvoorbeeld

Schrijf

Dit is een rotatie rond de z-as (met t en z constant, terwijl x en y mengen)

Rotatie rond de z-as

Evenzo voor rotaties rond de x- en y-as

(14)

Lorentztransformaties

Invullen levert

Welke transformaties laten dit element invariant?

We vinden

Boost, bijvoorbeeld

Schrijf

Neem een constante boost langs de x-as (met y en z constant, terwijl t en x mengen)

Boost langs de z-as

Evenzo voor boosts langs de x- en y-as Wat is die hyperbolische hoek ?

(15)

Rapidity

We hadden

Dat is een kwadratische vergelijking in

Neem differentiaalvorm, kies en schrijf

Kwadrateren, delen door en vergelijken met tijddilatatie

Gebruik de abc-formule Ook geldt

Manipuleer

(16)

Einsteins sommatieconventie

• Vector en 1-vorm geven een scalar

• Sommatie index is een dummy index, want uiteindelijk krijgen we een getal

• Problemen

Vrije indices horen overeen te komen Nu tel je appels en peren op

Links een 1-vorm, rechts een scalar

Sommatie index maar 1x gebruiken Verschillende objecten

Gradient is een 1-vorm

V

p c

V p V

p V

p₀ ⁰  ₁ ¹  ₂ ²  ₃ ³  

 

x

 



(17)

Euclidische ruimte

• Vlakke ruimte met afstand tussen punten als invariant

• Pythagoras

Evenzo in 3 dimensies

Stel we hebben vectorcomponenten Wat is dan de 1-vorm componenten ?

2 2

2

dx dy

ds  

 

 





dx



dx dx dx dx dx g

dx dx

ds

²

    

2 2

2

( , )

1 0

0 1 dx dy

dy dy dx

dy dx dx dy

ds dx

T



 



 



 

 



 



 



 



 



 



 

dy dx

ds 



 



  3



2 a

a



) 3 , 2

 ( a



O

P

(18)

Minkowskiruimte

• Licht gedraagt zich onafhankelijk van de waarnemer

• Golffronten zijn behouden voor bewegende waarnemers

• Beschouw bolgolven vanuit de oorsprong

We hebben nu ruimtetijd en weer een invariant (een scalar).

Trouwens, elke is een scalar en dus invariant!

2 2 2

2 ( , )

1 0

0

1 c dt dr

dr dr cdt

dr cdt cdt dr

ds cdt

T





 



 







 



 







 



 



 



 

cdt

dr ds

 





dx



dx dx dx g

dx dx

ds

²

   

0 : O'

0 : O

2 2

2

2 2 2

2 2

 

 

 







t d c z

d y

d x

d

dt c dz

dy dx



b



O a

P

(19)

Minkowskiruimte

• Metrische tensor

• Beschrijft de vlakke (hyperbolische) ruimte van de speciale relativiteitstheorie

Beschouw 2D hyperbolische ruimte, cdt en dx

Stel we hebben vectorcomponenten

Wat zijn dan de 1-vorm componenten ? Wat is de lengte van ?

Kan positief, nul of negatief zijn! Metriek heeft signatuur 2: een pseudo- riemannse variëteit



 









 









1 0

0 0

0 1

0 0

1 0

0 0

0 1





g

 

 



  3



2 a

a



a

_

 ( 2 , 3 )

a a

²

 a

_

a

^

  2  2  3  3  5

0

1

0

e  

e  

(20)

Minkowskiruimte

• Ruimtetijd geometrie

Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk de kortste? Wat zijn de lengten?

A B

C

A’

C’

B’

ct

x

Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC?

Idem voor driehoek A’B’C’

|AB| = 5, |BC| = 3, |AC| = wortel(-3²+ 5²) = 4

Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C

|A’B’| = |B’C’| = wortel(-3²+3²) = 0 en |A’C’| = 6 Pad is A’B’C’ met lengte 0.

Tweelingparadox

2 2

2 ( )

)

(s   ct  x

t c x

x t

c s

 

 















0 )

( )

( ² ² ²

2 2 2 2

( )s   (c t)     x (c t)

(21)

Tweelingparadox

A=(0,0) C=(20,0)

B=(10,8) ct

x

Smith en Jones zijn tweelingen, beiden 30 jaar oud. Jones vliegt naar Sirius en reist met 8/10 van de lichtsnelheid. Als hij Sirius bereikt, komt hij meteen terug.

Jones, gaat snel, maar Sirius is ver. Jones is 20 jaar weg en als hij terugkeert is Smith 50.

Hoe oud is Jones?

S J

2 2 2 2

( )s   (c t)     x (c t)

(22)

Euclidisch versus minkowskiruimte

• Afstand s

²

tussen oorsprong O en P

y

x

Euclidisch

ct

x

Minkowski

2 2

2 x y

s   s²  c²t²  x²

(23)

Minkowskiruimte

• Bewegende waarnemers

Voor de x’ as: stel ct’=0. Dan volgt ct = x.

Voor de schaal op de x’ as: stel x’=1 en ct’=0.

Dan volgt x=g.

Voor de ct’ as: stel x’=0. Dan volgt ct = x/.

Voor de schaal op de ct’ as: stel ct’=1 en x’=0.

Dan volgt ct=g.

2 2

2

2 c t x

s   

) (

'

) (

'

vt x x

c x ct v ct







 g

g

(24)

Minkowskiruimte: causale structuur

tijdachtig: ds² negatief lichtachtig: ds² = 0

ruimteachtig: ds² positief toekomst

verleden

Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen causaal verbonden zijn met gebeurtenis P.

Er buiten kan geen causaal verband bestaan.

P