Gravitatie en kosmologie

Jo van den Brand & Jeroen Meidam

Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012

Gravitatie en kosmologie

FEW Cursus

Najaar 2009 Jo van den Brand

Inhoud

• Inleiding

• Overzicht

• Klassieke mechanica

• Galileo, Newton

• Lagrange formalisme

• Quantumfenomenen

• Neutronensterren

• Wiskunde I

• Tensoren

• Speciale relativiteitstheorie

• Minkowski

• Ruimtetijd diagrammen

• Wiskunde II

• Algemene coordinaten

• Covariante afgeleide

• Algemene

relativiteitstheorie

• Einsteinvergelijkingen

• Newton als limiet

• Kosmologie

• Friedmann

• Inflatie

• Gravitatiestraling

• Theorie

• Experiment

3

Relatieve beweging

Einstein 1905:

Alle natuurwetten blijven dezelfde (zijn invariant) voor alle waarnemers die eenparig rechtlijnig t.o.v. elkaar bewegen.

De lichtsnelheid is invariant – heeft voor alle waarnemers dezelfde waarde.

Einstein 1921 Inertiaalsysteem: objecten bewegen in rechte lijnen als er geen

krachten op werken (Newton’s eerste wet).

Indien een systeem met constante snelheid t.o.v. een inertiaalsysteem beweegt, dan is het zelf ook een inertiaalsyteem.

Ruimtetijd van de ART

deeltje in rust

x ct

deeltje met willekeurige snelheid

deeltje naar rechts bewegend met constante snelheid

deeltje met lichtsnelheid

45^o

Het belang van fotonen m.b.t. structuur van ruimte tijd: empirisch vastgestelde universaliteit van de voortplanting in vacuum

Onafhankelijk van

bewegingstoestand van de bron golflengte

intensiteit

polarisatie van EM golven

Minkowskiruimte – dopplerfactor



' k

waarnemer A

x ct

waarnemer B

45^o Waarnemers A en B hebben geijkte

standaardklokken en lampjes

 = tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van A

’= tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van B

met dopplerfactor k ' k



B flitst zijn lampje in Q. Waarnemer A ziet dat in R, op tijd

Minkowskiruimte – dopplerfactor

waarnemer A

waarnemer B Vanuit punt P bewegen waarnemers A

en B ten opzichte van elkaar (constante snelheid v van B tov A)

Lampje van A flitst na tijd  gemeten met de klok van A (in E)

B ziet de flits van A na tijd k (in Q)

 k2



P E

Q R

M

M

 k2

k

Afstand van Q tot A:

(vluchttijd radarpuls x lichtsnelheid)/2 2

) 1 (

2

2 

 

 c c k

d ^ER 

M is gelijktijdig met Q als

















M M



 



2

2 

 k

M

 

c k c

d

M 1 v/

/ v 1 tijd

afstand

v 

 





 

Minkowskiruimte – inproduct

Definitie:

Afspraak:

tijden voor P negatief tijden na P positief

2 1

) 2

,

(  

 PQ PQ  c

Q P

E

O

1

2

We kennen de vector toe aan de geordende events P en Q

PQ

P

Q

1

2

 0



P

Q

2

1

 0



P

Q

   c₂ ₂

P

Q

1  0



2

 0

 ^P

Q

1

2

 0



P en Q gelijktijdig als ₁  ₂

Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct) kunnen we nu afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft een metriek

Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct) kunnen we nu afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft een metriek

Lorentzinvariantie Minkowski-metriek

Waarnemer A Volgens A: (PQ PQ , )  c² _{1 2}

Q P

A₁

A₂

1

2

Dat wil zeggen is onafhankelijk van de inertiele waarnemer door P(PQ PQ^{ }, )

Waarnemer B

2'

1'

B₁

B₂ Volgens B: (PQ PQ , )  c² _{1' 2'}

Er geldt _PA1  k^1_PB1  ₁ k^1_1'

2 2 2 2'

PA k PB k

     

1 2 1' 2'

   

Scalair product is Lorentzinvariant Definitie: (PQ,PQ)  c²₁₂

Met afspraak over het teken!

Lorentzcoördinaten

Waarnemer A (inertieel) E is verzameling puntgebeurtenissen die

gelijktijdig zijn met O (t.o.v. A)

  0 s

Definieer basisvector

Dat is de 3-dim euclidische ruimte op t.o.v. A

e 0  OE

  0

M _







Er geldt

Er geldt ( , )e e _{0 0}  1

 1 s

  2 s

  1 s

  2 s

O E E_ is verzameling puntgebeurtenissen die

gelijktijdig zijn met 

, 0 ( _A )

Q  OE OQ   l  

lA

e0

e1

Orthonormaal stelsel vectoren in E met beginpunt O





Er geldt en ( , ) 1e e _{1 1} 

( , )e e_{i j ij}

   

En ook ( , ) 0e e _{0 i} 

Voor cartesische coordinaten

Minkowski meetkunde

Het invariante lijnelement

Notatie bevat metriek en coordinaten Minkowskimetriek

Lijnelement uitschrijven

Dezelfde tijd: Ruimtelijke termen: Stelling van Pythagoras

Dezelfde plaats: het lijnelement is een maat voor de tijd verstreken tussen twee

gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen Dan geldt

Inverse Basisvectoren mete_

0,1, 2,3

  We hebben gevonden dat

1 als 0 ( , ) 1 als

0 overige gevallen

e e_{ } i

 

  

  

 

 

    

 

 

 

Nieuw symbool

( , )e e_{  }

   

We vinden met lorentzfactor

Tijddilatatie

Het invariante lijnelement

Waarnemer W1: twee gebeurtenissen op dezelfde plaats Waarnemer W2: meet tijdverschil

Snelheid tussen waarnemers

Tijddilatatie is geometrisch effect in 4D ruimtetijd

Tijd tussen twee gebeurtenissen verstrijkt het snelst voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen: eigentijd

Lat passeert waarnemer O’ (dus geldt en )

Lorentzcontractie

Het invariante lijnelement

Kies x-as als bewegingsrichting Er geldt

Waarnemer O beweegt met de lat mee: lengte lat is L

We hebben te maken met tijddilatatie Invullen levert

We vinden

Voor hem vinden de twee gebeurtenissen (passeren van begin en eind van de lat bij O’) op verschillende tijden, gescheiden door

O’ beweegt t.o.v. lat O staat stil t.o.v. lat

Lorentztransformaties

Invullen levert

Minkowski meetkunde: het invariante lijnelement Welke transformaties laten dit element invariant?

We vinden Translaties

Rotaties, bijvoorbeeld

Schrijf

Dit is een rotatie rond de z-as (met t en z constant, terwijl x en y mengen)

Rotatie rond de z-as

Evenzo voor rotaties rond de x- en y-as

Lorentztransformaties

Invullen levert

Welke transformaties laten dit element invariant?

We vinden

Boost, bijvoorbeeld Schrijf

Dit is een boost langs de x-as (met y en z constant, terwijl t en x mengen)

Boost langs de z-as

Evenzo voor boosts langs de x- en y-as Wat is die hyperbolische hoek ?

Rapidity

We hadden

Dat is een kwadratische vergelijking in

Neem differentiaalvorm, kies en schrijf

Kwadrateren, delen door en vergelijken met tijddilatatie

Gebruik de abc-formule Ook geldt

Maniluleer

Waarnemers in S en S’ bewegen met snelheid v t.o.v. elkaar. Systemen vallen samen op t = t’ = 0.

Waarnemer in S kent (x, y, z, t) toe aan het event.

Waarnemer in S’ kent (x’,y ’, z’, t’) toe aan hetzelfde event.

Wat is het verband tussen de ruimtetijd coordinaten voor dit zelfde event?

Lorentz 1902

Lorentztransformaties

Transformaties laten ds² invariant

Lorentztransformaties

Inverse transformatie

(snelheid v verandert van teken) Lorentztransformatie

Relativiteit van gelijktijdigheid

Stel dat in systeem S twee events, A en B, op dezelfde tijd, t_A = t_B, gebeuren, maar op verschillende plaatsen, x_A  x_B.

Invullen levert

Events vinden niet simultaan plaats in systeem S’

Lorentzcontractie (lengtekrimp)

Stel dat in systeem S' een staaf ligt, in rust, langs de x' as.

Een einde op x' = 0, het andere op x' = L'.

Wat is de lengte L gemeten in S?

We moeten dan de posities van de uiteinden meten op dezelfde tijd, zeg op t = 0.

Het linker einde bevindt zich dan op x = 0.

Het rechter einde op positie x = L' / .

Een bewegend object wordt korter met een factor  in vergelijking tot zijn lengte in rust.

Langs bewegingsrichting!

Tijddilatatie (tijdrek)

Een bewegende klok loopt langzamer met een factor  in vergelijking tot toestand in rust.

Deeltjes hebben `ingebouwde’ klokken (verval).

Optellen van snelheden

Een raket is in rust in inertiaalsysteem S' dat met snelheid v beweegt t.o.v. S.

Iemand vuurt een kogel af in systeem S' met snelheid u_x' in S'.

Wat is de snelheid van de kogel in S ?

'

u

Een kwestie van afgeleiden nemen …

Het klassieke antwoord

Als u_x' = c, dan u = c en

lichtsnelheid gelijk voor alle systemen!!!

November 26, 2021 Jo van den Brand 22

Viervectoren

Positie-tijd viervector x^, met m = 0, 1, 2, 3

Lorentztransformaties

November 26, 2021 Jo van den Brand 23

Viervectoren

Lorentztransformaties

In matrixvorm

algemeen geldig met

November 26, 2021 Jo van den Brand 24

Lorentzinvariantie

Ruimtetijd coordinaten zijn systeem afhankelijk

Invariantie voor

Analoog zoeken we een uitdrukking als

Met metrische tensor

Hiervoor schrijven we de invariant I als een dubbelsom

Net als r² voor rotaties in R3

Co- en contravariante vectoren

Invariant

Contravariante viervector Covariante viervector

Deze notatie wordt ook gebruikt voor niet-cartesische systemen en gekromde ruimten (Algemene Relativiteitstheorie)

Dit is de uitdrukking die we zochten.

De metriek is nu ingebouwd in de notatie!

November 26, 2021 Jo van den Brand 26

Viervectoren

Viervector a^ (contravariant) transformeert als x^

We associeren hiermee een

covariante viervector Ruimte componenten

krijgen een minteken Ook geldt

Invariant

Scalar product

Er geldt

November 26, 2021 Jo van den Brand 27

Snelheid

Snelheid van een deeltje t.o.v. het LAB: afstand gedeeld door tijd (beide gemeten in het LAB)

Een hybride grootheid. Er geldt Proper snelheid: afstand in LAB gedeeld door eigentijd (gemeten

met klok van het deeltje)

viersnelheid

Er geldt

Impuls en energie

Definieer relativistische impuls als

Indien behouden in S dan niet in S'

Ruimtelijke componenten Klassieke impuls p = mv

Tijdachtige component Definieer relatv. energie Energie-impuls viervector

November 26, 2021 Jo van den Brand 29

Energie

Taylor expansie levert

Rustenergie van deeltje Klassieke kinetische energie Merk op dat enkel veranderingen in energie

relevant zijn in de klassieke mechanica!

Relativistische kinetische energie Massaloze deeltjes (snelheid altijd c)

November 26, 2021 Jo van den Brand 30

Botsingen

Energie en impuls: behouden grootheden!

Merk op dat E en p niet (Lorentz) invariant zijn!

Massa is Lorentzinvariant Massa m is geen behouden grootheid!

Voorbeeld 1

begintoestand

Massa’s klonteren samen tot 1 object

eindtoestand

Energiebehoud levert

Na botsing is object in rust!

Na botsing hebben we een object met massa M = 5m/2. Massa is toegenomen:

kinetische energie is omgezet in rustenergie en de massa neemt toe.

November 26, 2021 Jo van den Brand 32

Voorbeeld 2

Deeltje vervalt in 2 gelijke delen

eindtoestand begintoestand

Men noemt M = 2m de drempelenergie voor het verval.

Heeft enkel betekenis als M > 2m

Voor stabiele deeltjes is de bindingsenergie negatief. Bindingsenergie maakt net als alle andere interne energieën deel uit van de rustmassa.

Energiebehoud

(zie vorige opgave)

November 26, 2021 Jo van den Brand 33

Voorbeeld 3

Verval van een negatief pion (in rust): ^-   + ^-

Vraag: snelheid van het muon

Energiebehoud

Relatie tussen energie en impuls Dit levert

Massa van neutrino is verwaarloosbaar!

Voorbeeld 3 – vervolg

Snelheid van het muon Gebruik

Invullen van de massa’s levert v_ = 0.271c

Relatie tussen energie, impuls en snelheid

Voorbeeld 3 – viervectoren

Er geldt

Energie en impulsbehoud

Hiermee hebben we weer E_ en p gevonden en weten we de snelheid.

Merk op dat

Kwadrateren levert

en

We vinden E_

Evenzo

Einsteins sommatieconventie

• Vector en 1-vorm geven een scalar

• Sommatie index is een dummy index, want uiteindelijk krijgen we een getal

• Problemen

V

p c

V p V

p V

p V

p₀ ⁰  ₁ ¹  ₂ ²  ₃ ³  

Vrije indices horen overeen te komen Nu tel je appels en peren op

Links een 1-vorm, rechts een scalar

Sommatie index maar 1x gebruiken Verschillende objecten

 

x

 

 Gradient is een 1-vorm

Euclidische ruimte

• Vlakke ruimte met afstand tussen punten als invariant

• Pythagoras ^ds

^{ dx}

^{ dy}

 

 





dx

dx dx dx dx dx

g dx

dx

ds

    

2 2

2

( , )

1 0

0

1 dx dy

dy dy dx

dy dx dx dy

ds dx

T



 



 



 

 



 



 



 



 



 



 

dy

dx ds

Evenzo in 3 dimensies

Stel we hebben vectorcomponenten





 



  3



2 a

Wat is dan de 1-vorm componenten ?

a

) 3 , 2

 (

a

Minkowskiruimte

• Licht gedraagt zich onafhankelijk van de waarnemer

• Golffronten zijn behouden voor bewegende waarnemers

• Beschouw bolgolven vanuit de oorsprong

2 2 2

2 ( , )

1 0

0

1 c dt dr

dr dr cdt

dr cdt cdt dr

ds cdt

T





 



 







 



 







 



 



 



 

cdt

dr ds

 





dx

dx dx dx g

dx dx

ds

   

0

: O'

0

: O

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

 

 

 

 









t d c z

d y

d x

d

dt c dz

dy dx

We hebben nu ruimtetijd en weer een invariant (een scalar).

Trouwens, elke is een scalar en dus invariant!



b

a

Minkowskiruimte

• Metrische tensor

• Beschrijft de vlakke (hyperbolische) ruimte van de speciale relativiteitstheorie



 









 











1 0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1







g

Beschouw 2D hyperbolische ruimte, cdt en dx Stel we hebben vectorcomponenten

 

 



  3



2 a

Wat zijn dan de 1-vorm componenten ?

a

a

 ( 2 , 3 )

Wat is de lengte van ?

a a

 a

a

  2  2  3  3  5

Kan positief, nul of negatief zijn! Metriek heeft signatuur 2: een pseudo- riemannse variëteit

0

1

0

e  

e  

Minkowskiruimte

• Ruimtetijd geometrie

Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk de kortste? Wat zijn de lengten?

A B

C

A’

C’

B’

ct

x

2 2

2 ( )

)

(s   ct x

Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC?

Idem voor driehoek A’B’C’

|AB| = 5, |BC| = 3, |AC| = wortel(-3² + 5²) = 4

Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C

|A’B’| = |B’C’| = wortel(-3²+3²) = 0 en |A’C’| = 6 Pad is A’B’C’ met lengte 0.

t c x

x t

c s

 

 















0 )

( )

( ^{2 2 2}

Tweelingparadox

2 2 2 2

( )s   (c t)     x (c  )

Tweelingparadox

A=(0,0) C=(20,0)

B=(10,8) ct

x

Smith en Jones zijn tweelingen, beiden 30 jaar oud. Jones vliegt naar Sirius en reist met 8/10 van de lichtsnelheid. Als hij Sirius bereikt, komt hij meteen terug.

Jones, gaat snel, maar Sirius is ver. Jones is 20 jaar weg en als hij terugkeert is Smith 50.

Hoe oud is Jones?

2 2 2 2

( )s   (c t)     x (c )

S J

Euclidisch versus minkowskiruimte

• Afstand s

tussen oorsprong O en P

2 2

2 x y

s  

y

x

Euclidisch

ct

x

2 2

2

2 c t x

s   

Minkowski

Minkowskiruimte

• Bewegende waarnemers

2 2

2

2 c t x

s   

) (

'

) (

'

vt x x

c x ct v ct













Voor de x’ as: stel ct’=0. Dan volgt ct = x.

Voor de schaal op de x’ as: stel x’=1 en ct’=0.

Dan volgt x=.

Voor de ct’ as: stel x’=0. Dan volgt ct = x/.

Voor de schaal op de ct’ as: stel ct’=1 en x’=0.

Dan volgt ct=.

Minkowskiruimte: causale structuur

tijdachtig: ds² negatief lichtachtig: ds² = 0

ruimteachtig: ds² positief toekomst

verleden

Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen causaal verbonden zijn met gebeurtenis P.

Er buiten kan geen causaal verband bestaan.

P

We onderscheiden

Groeptheorie

Groep G

Eindige (of discrete) groep

Kleinste groep (triviale groep) met n = 1 heeft enkel element g = 1 G met oneindig aantal elementen gespecificeerd door N parameters:

Compacte groep G: parameters zijn eindig

Lie groep G: de afgeleiden naar parameters bestaan

Definitie: het identiteits-element is de oorsprong van parameterruimte Definitie: de generatoren spannen vectorruimte op Vectorproduct levert element

Structuurconstante(n)

Invariantie scalair product

Lorentzgroep

Lorentztransformatie in matrixvorm

In matrixnotatie Er geldt

Unieke inverse bestaat De groep is niet-Abels

Elementen (de transformaties) vormen de Lorentzgroep

De metriek behandelt de 3 ruimtelijke dimensies anders de 1 tijddimensie 4 x 4 reele matrices hebben 16 reele parameters

Achtereenvolgende transformaties leveren ook weer een element

Er zijn echter 10 relaties vanwege

De groep wordt beschreven door 6 = 16 – 10 parameters

Merk op

We laten in de proper Lorentzgroep geen reflecties toe, en eisen ook

Generatoren Lorentzgroep

6 parameters:

3 Euler rotatiehoeken (orthogonale transformaties die lengte 3-vector behouden) 3 boosts (hyperbolische rotaties die lengte 4-vector behouden)

Rotatie om z-as

Boost langs z-as

We schrijven transformatie als

Generator L wordt geitereerd tot volledige transformatie; L is reele 4 x 4 matrix We staan enkel “proper” transformaties toe

L is traceless en reeel. Ook geldt

Generatoren Lorentzgroep

Inverse

Dus gL spoorloos en L spoorloos en mixed symmetry Er geldt

Boosts en rotaties Neem logaritme en gebruik

We kiezen als basis in parameterruimte

In de eerste rij herkennen we de rotatiematrices

We hadden met

Rotatie om z-as

Kies parameters

Dan

Verder

Exponentiatie

Dit levert

Dit levert de bekende rotatie  om de z-as

We hadden met

Boost langs z-as

Kies parameters

Dan

Verder

Exponentiatie

Dit levert

Dit levert de bekende boost  langs de z-as

Hermitische operatoren J_i van impulsmoment

Connectie met quantummechanica

We hebben voor Lorentzgroep gevonden Niet-Abelse groep

Relateer generatoren aan fysische observabelen: Hermitische operatoren Definieer

Dan geldt

Lie algebra Generatoren

Noether theorema, Casimiroperatoren

Stroom viervector

Elektrodynamica

Maxwellvergelijkingen

Faraday tensor

Er geldt

Continuiteitsvergelijking Maxwellvergelijkingen

Volgt uit

Nul-component: arbeid verricht door deze kracht per tijdseenheid

Elektrodynamica

Lorentztransformaties

We vinden onveranderd, terwijl

Vierkracht

Dan geldt met Schrijf

Energie-impulstensor van elektromagnetisch veld Ruimtelijke-componenten: Lorentzkracht

Energie-impulstensor is symmetrisch Energiedichtheid

Traagheid van gasdruk

• SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen (traagheid neemt toe)

Volume V

2 2

2 1 2

1 mv 



Druk P

• Oefen kracht F uit, versnel tot snelheid v << c

• SRT: lorentzcontractie maakt de doos kleiner

V P s

d

F     

v

• Energie nodig om gas te versnellen

V c v

PV P c Vv v

V P mv

E _{2 2} ²

2 2

2

2 1 2

1 2

1 2

1 



 

 











  

extra traagheid van gasdruk

2 2

2 2

1 1 1

2

v v

L L L

c c

 

      

Energie-impuls tensor: `stof’

• Energie nodig om gas te versnellen

– Afhankelijk van referentiesysteem – 0 – component van vierimpuls

V c v

E P

2

1 



 

  

 

• Beschouw `stof’ (engels: dust)

– Verzameling deeltjes in rust ten opzichte van elkaar

– Constant viersnelheidsveld

U

(x )

N

 nU

deeltjesdichtheid in rustsysteem

• Bewegend systeem

– N⁰ is deeltjesdichtheid

– Nⁱ deeltjesflux in xⁱ – richting

massadichtheid in rustsysteem   nm energiedichtheid in rustsysteem c²

• Rustsysteem

– n en m zijn 0-componenten van viervectoren





















 0 0 0 n N^

























0 0 0 mc mU

p^{ }

is de component van de tensor^{c2   0,  0 pN}















p N mnU U  U U

T

  

Energie-impuls tensor: perfecte vloeistof

• Perfecte vloeistof (in rustsysteem)

– Energiedichtheid – Isotrope druk P



diagonaal, met

T

T

 T

 T

• In rustsysteem

• In tensorvorm (geldig in elke systeem)

We hadden

T

  U

U

Probeer ^

 U

U

c

T P 



 

  



stof

We vinden









 U U Pg

c

T P  



 

  



stof Verder geldt