De Schone Slaapster
Peter D. Gr¨unwald December 16, 2008
Een studente, laten we haar Roosje D. noemen, heeft geld nodig en doet daarom vrijwillig mee aan een door wiskundigen en psychologen georganiseerd experiment. Het experiment gaat als volgt te werk: Roosje krijgt op zondagavond een slaapmiddel.
Vervolgens werpt de experimentator een eerlijke munt. De uitkomst bepaalt hoe het experiment verder verloopt. Roosje wordt op maandag wakker gemaakt, en moet di- rect als zij wakker is een vraag beantwoorden. Als de munt op kop was geland, is het experiment vervolgens afgelopen. Maar als de munt op munt was geland, gaat het experiment verder: Roosje wordt nog een keer voor 24 uur in slaap gebracht, wordt op dinsdagochtend weer wakker gemaakt, en moet weer dezelfde vraag beantwoorden. Het experiment is vervolgens afgelopen. Het slaapmiddel veroorzaakt een mild geheugen- verlies, waardoor Roosje, als zij wakker gemaakt wordt, zich niet kan herinneren of ze al eens eerder wakkergemaakt is. Roosje weet dus niet of het maandag of dinsdag is als ze wakker gemaakt wordt, en dat wordt haar ook niet verteld. Roosje wordt wel van te voren, op zondag, verteld hoe het hele experiment in zijn werk gaat.
De vraag die, ´e´en of twee keer, aan Roosje wordt gesteld is: “Beste Roosje, wat is volgens jou de kans dat de munt op ‘kop’ is geland?”
De kwestie is nu: is het juiste antwoord 1/2 of 1/3? Onder de naam “sleeping beauty problem” is hierover heel wat afgeschreven door wiskundigen, speltheoretici en filosofen.
In eerste instantie lijkt het duidelijk dat het antwoord 1/2 moet zijn. Wanneer Roosje wakker wordt weet ze niet m´e´er dan voordat het experiment begon. Voordat het experiment begon was de kans op “kop” 1/2, dus dat is nu nog steeds zo. Of...?
We kunnen het ook van een andere kant bekijken. Stel dat we dit experiment 1000 keer herhalen. Dan krijgen we, met grote kans, (ongeveer) 500 keer kop en (ongeveer) 500 keer munt. Dat betekent dat Roosje 1500 keer wordt wakker gemaakt: 1000 keer op maandag, en 500 keer ook nog eens op dinsdag. Van die 1500 keren is de munt 500 keer kop: op dinsdag (500x) is de munt altijd munt, en op maandag is hij 500x kop en 500x munt. Dus volgens deze redenering zou de kans op kop gelijk moeten zijn aan 500/1500 = 1/3.
1/3 lijkt dus, bij nader inzien, het juiste antwoord vanuit Roosje’s perspectief. Maar als we dit accepteren (er zijn kansrekenaars die het niet accepteren) doemen een aantal
1
nieuwe vragen op:
1. Vanuit het perspectief van de experimentator is het antwoord toch echt 1/2. Het lijkt niet mogelijk te zijn een enkele kansruimte te definieren waarin we formeel kunnen uitdrukken dat de kans “voor Roosje” 1/3 is en “voor de spelleider” 1/2.
Wat is hier aan de hand? Moeten we het standaard formalisme voor kansbereken- ing (maattheorie) uitbreiden?
2. Stel, we herhalen het experiment een aantal keren. Bij “gewone” kansrekening kunnen we, bij n onafhankelijke herhalingen van een experiment met uitkom- stenruimte Ω = {kop, munt} en verdeling P (kop) = p, een nieuwe product- uitkomstenruimte Ωn = Ω × . . . Ω definieren, met daarop de product-verdeling P(n). In deze nieuwe ruimte geldt dan bijvoorbeeld de centrale limitietstelling:
het aantal keren ‘kop’ gedeeld door n is asymptotisch normaalverdeeld met vari- antie 1/(p(1 − p)n). Maar kan dat nu nog wel? Als we het schone slaapster- experiment een aantal keren herhalen, weten we al van te voren dat het aantal keren dat de uitkomst ‘munt’ is een even getal moet zijn (!). Geldt de centrale limietstelling in de gebruikelijke vorm dan nog, of moeten we hem veranderen?
3. Bovenstaande problemen suggereren dat het hele probleem gewoon onzinnig is.
Maar er zijn realistischer, ingewikkelder problemen in de speltheorie waarbij het- zelfde fenomeen optreedt. Het betreft hier een fundamenteel probleem met het aanpassen van kansverdelingen gegeven nieuwe informatie. Normaalgesproken doen we dat met conditioneren (voorwaardelijke kansen), maar als een deel van de relevante informatie, waarop we normaalgesproken zouden conditioneren, niet beschikbaar (in dit geval “vergeten”) is, dan is de standaard definitie van con- ditioneren niet meer altijd bruikbaar, en het is niet duidelijk hoe we de definitie precies moeten uitbreiden.
In dit project gaat het erom (1) een literatuurstudie te maken over het sleeping beauty probleem en de verschillende antwoorden, (1/2, 1/3 of “onzinnige vraag”), en bijbe- horende motivaties, in kaart te brengen; (2) zelf een oplossing te bedenken; (3) het onderzoeken in hoeverre het probleem binnen het standaard formalisme van de kan- srekening ondergebracht kan worden, en, zonodig, (4), te speculeren hoe het standaard formalisme uitgebreid zou kunnen worden opdat Doornroosje weer rustig kan gaan slapen.
2
