Functionaalanalyse (WISB315) 2 februari 2007

Departement Wiskunde, Faculteit B`etawetenschappen, UU.

In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A–Eskwadraat.

Het college WISB315 werd in 2006/2007 gegeven door H. Hanßmann.

Functionaalanalyse (WISB315) 2 februari 2007

• Als je een onderdeel van een opgave niet kunt maken, mag je dat onderdeel uiteraard wel in de volgende onderdelen gebruiken.

• Boek(en), cursusmateriaal en aantekeningen mogen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden. Breuken, faculteiten etc. hoeven niet te worden uitgewerkt.

Opgave 1

Zij H een separabele Hilbertruimte met volledig orthonormaalsysteem (ek)_k∈N en T : H → H de d.m.v. T ek= e2k gedefinieerde continue lineaire operator.

a) Laat zien dat T een isometrie is en bereken de geadjungeerde operator T^∗.

b) Bepaal de eigenwaarden van T^∗. Hint: je kunt hiervoor de voor de linker shift gebruikte constructie aanpassen.

c) Ga na dat elke eigenruimte van T^∗ oneindige dimensie heeft.

d) Bereken het spectrum σ(T ).

Opgave 2

Zij H een (oneindig-dimensionale) Hilbertruimte. Schrijf

F (H) := {T ∈ L(H)| im T is gesloten, dim(im T )^⊥< ∞ en dim ker T < ∞}

voor de verzameling van zogenaamde Fredholmoperatoren.

a) Laat zien dat voor een zelfgeadjungeerde compacte operator A de operator id −A een Fredhol- moperator is.

b) Laat zien dat voor elke compacte operator A de operator id −A een Fredholmoperator is.

c) Zij E nu een Banachruimte en T ∈ L(E). Doel van deze deelopgave is om een uitbreiding van de definitie van Fredholmoperatoren naar deze setting te vinden. Geef een vervanging voor (im T )^⊥ die in het geval van een Hilbertruimte dezelfde dimensie heeft. Gebruik deze om de verzameling F (E) ⊆ L(E) van Fredholmoperatoren op E te defini¨eren. Ga na dat ook dan voor elke compacte operator A de operator id −A een Fredholmoperator is.

Opgave 3

Gebruik op `<sup>2</sup> het volledig orthonormaalsysteem (en)n met en = (δkn)<sub>k∈N</sub> om de continue lineaire operator T : `²→ `² als volgt te defini¨eren:

T e2k−1 = 1

k(e2k−1− e2k) T e2k = 1

k(e2k−1+ e2k)

a) Geef de matrix A ∈ M2×2(R) ⊆ M^2×2(C) aan die T t.o.v. e^2k−1en e2kop de door deze vectoren opgespannen invariante deelruimte representeert. Is A over R diagonaliseerbaar? Hoe ziet de Jordan normaalvorm van A over C eruit?

b) Laat zien dat T compact is. Is T zelfs een Hilbert-Schmidt operator?

c) Bereken T^∗T en de spectrale representatie

T^∗T = X

λ∈σ(T^∗T )

λπλ.

d) Hoe ziet de polaire decompositie van T eruit?