TIJDSCHRIFT VAN HET NEDERLANDSCH RADIO GENOOTSCHAP

(1)

TIJDSCHRIFT VAN HET NEDERLANDSCH RADIO GENOOTSCHAP

D E E L X I S E P T E M B E R 1946 N o. 5

HET BEPALEN VAN DE INTEGRATIECONSTANTEN BIJ DE BEREKENING VAN IN- EN

UITSCHAKEL VERSCHIJNSELEN

door

B. D. H. T E L L E G E N

Natiiurkundig Laboratorium der N .V . Philip/ G loeilampenfabrieken, Eindhoven, Nederland

(Voordracht gehouden voor het Neder landvel? Radioge nootschap op 22 JU aart 1946)

SAMENVATTING

Een m ethode w ordt ontw ikkeld om bij een netw erk, dat een spannings

bron

v

bevat, onder w elks invloed in een bepaalde tak een stroom

i

^vloeit,

bij het optreden van discontinuïteiten in

v

of zijn afgeleiden de daardoor in

i

en zijn afgeleiden ontstaande discontinuïteiten te berekenen m et behulp van de differentiaalvergelijking, w elke het verband tusschen

i

^en

v

^aangeeft.

1.

Probleemstelling

Indi en in een electrisch netw erk, opgebouwd uit lineaire con

stante elementen, een spanningsbron

v

w erkt, onder welks in

vloed in een bepaalde tak een stroom

i

vloeit, bestaat tusschen

i

en

v

een verband, dat uitgedrukt w ordt door een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten van de vorm

(a0 D"

+

ax Dn~ X

+ ... +

a j i

=

(b0 D n + b1Dn~

1 + ... +

b j v.

(1)

H ierin is

D — djdt

, de differentiaaloperator, terw ijl de

a’ s

en

b

s bepaald worden door de grootte van de elementen, w aar

uit het netw erk is opgebouwd. Eén of meer van de

a’s

en ^'s kunnen de w aarde nul hebben.

V erandert

v

sinusvormig met de tijd met een hoekfrequentie

co,

dan bestaat er een oplossing voor

i

, welke eveneens sinus

vormig verandert met de hoekfrequentie

co.

W ij kunnen deze

(2)

174 B. D. H. TELLEGEN

vinden in complexe vorm door in (1)

D

te vervangen door

jco

en

i

en

v

door hun complexe w aarden

I

en

V.

W ij komen dan tot

J _ bo (

^jco

)

4-

b1 (jco)

1 + • • • +

bn y

a0 (jco f

4-

at (jco)n

1 4- . . . 4-

a

⁽

2

⁾

tl

Om gekeerd kunnen wij, indien (2) bekend is, w eer tot de differentiaalvergelijking terugkeeren door eerst beide leden van (2) met de noemer te vermenigvuldigen en daarna

jco

te ver

vangen door

D,

en / en

V

door de momenteele w aarden

i

en

v.

V aak is dit een eenvoudiger weg om tot de differentiaalverge

lijking te komen, dan door deze rechtstreeks af te leiden.

In (1) beschouwen wij nu

v

als functie van de tijd gegeven, dus eveneens het geheele rechterlid van (1), terw ijl

i

gevraagd w ordt. V oor

z

is (1) dus een niet-homogene lineaire differen

tiaalvergelijking met constante coëfficiënten. D e theorie van deze vergelijkingen leert, dat de algemeene oplossing daarvan bestaat uit de algemeene oplossing van de homogene vergelijking ver

m eerderd met een particuliere integraal van de niet-homogene vergelijking en dus in het algemeen de vorm heeft

t — 2 A, e^k

k-n X + particuliere integraal,

w aarin de

p

k's de w ortels zijn van de vergelijking

Ji

,

n

— ¹

a0p

+

ei

j

p

4~ ... 4

-ei

— O en de

A

*s de

n

integratieconstanten vormen.

O ns probleem is thans na te gaan, hoe deze integratiecon

stanten kunnen w orden bepaald. Stel, dat

v

als functie van de tijd gegeven is na een zeker aanvangstijdstip, dat wij met

t —

O zullen aanduiden, dan zijn de stroomen en spanningen in het net

w erk pas geheel bepaald, w anneer ook de energieverdeeling in het netw erk bij

t — O

gegeven is, w at neerkom t op de grootte en richting van de spanningen op de condensatoren en van de stroomen door de spoelen. Deze vormen tezamen de z.g. aanvangsvoorw aarden en het aantal integratieconstanten zal dus gelijk zijn aan het aantal onafhankelijke gegevens, dat noodig is om de energieverdeeling in de aanvangstoestand te bepalen.

D it aantal zal dus hoogstens gelijk kunnen zijn aan de som van het aantal condensatoren en spoelen; in sommige gevallen zal het echter kleiner zijn, bijv. indien het netw erk drie con

(3) (-0

(3)

IN- EN UITSCHAKEL VERSCHIJNSELEN 175

densatoren in driehoek of drie spoelen in ster bevat, daar de energieverdeeling in elk van deze drietallen elementen door slechts twee onafhankelijke gegevens w ordt bepaald.

_In plaats van te vragen naar de stroom door een bepaalde tak kunnen wij ook vragen naar de spanning op een bepaalde tak, in plaats van een spanningsbron kan het netw erk ook een stroom bron bevatten. Deze vragen leiden tot aan (2) analoge differentiaalvergelijkingen, zoodat alle beschouwingen zonder meer ook daarop van toepassing zijn.

2.

Eerste methode

Een eerste methode om de integratieconstanten te bepalen bestaat uit het uitdrukken van de spanningen op de conden

satoren en van de stroomen door de spoelen in de gevraagde stroom

i

en de gegeven spanning

v

en hun afgeleiden. D it is uit de schakeling van het netw erk in het algemeen mogelijk

Fig. 1

zonder te behoeven integreeren. Substitueeren wij voor

i

in deze uitdrukkingen de w aarde (3) en stellen wij hierin daarna

t

= o, dan komen wij tot

n

onafhankelijke lineaire vergelijkingen voor de integratieconstanten, w aaruit deze kunnen w orden be-

W ij zullen deze methode toelichten aan een zeer eenvoudig voorbeeld. Stel, wij vragen in het netw erk van fig. 1 naar de stroom

i,

welke ontstaat onder invloed van de spanningsbron

v.

M et de complexe wisselstroom m ethode is af te leiden, dat

jco C R 2

+ I

ja> C R l R 2 + R T

+

R 2

D e hieraan ten grondslag liggende differentiaalvergelijking is dus

(C R ZR 2D

+

R x + R 9) i= (C R 2D

+ i)

v

. (6) De algemeene oplossing hiervan heeft de gedaante

(4)

-176 B. D. H. TELLEGEN

i = A e a l + f( t) ,

(7)

w aarin

a

=

{R1

-f

R 2)jCRZ R 2

en

f

(7) een particuliere integraal voorstelt.

Om de integratieconstante

A

te bepalen moeten wij uit fig. 1 de spanning op de condensator,

vc,

uitdrukken in

i

en

v

en d aar

na hierin voor

t

de w aarde (7) substitueeren. W ij krijgen zoo

vc

=

v — R x i

=

v

—

A R I e at — R x f (f)

.

V oor 7 = 0 w ordt dit

Vco = v 0 - A R 1 - R ,f (

o ),

w aarin

vco

en

vQ

de w aarden van

vc

en

v

voorstellen bij 7 = 0.

V oor

A

volgt hieruit

A

= — _

R, Vco

^{- /( o ) .} ⁽

8

⁾

3.

Tweede methode

Een tw eede methode om de integratieconstanten te bepalen bestaat uit het uitdrukken van

t

en zijn eerste

n —

I afgeleiden in de spanningen op de condensatoren, de stroomen door de spoelen en

v

en zijn afgeleiden. O ok dit is uit de schakeling van het netw erk in het algemeen mogelijk zonder te behoeven integreeren. Substitueeren wij deze uitdrukkingen in (3) en de

7i

— I daaruit door differentiatie naar 7 afgeleide vergelijkingen en stellen wij hierin daarna 7 = o, dan komen wij w eer tot

n

onafhankelijke lineaire vergelijkingen voor de integratieconstan

ten, w aaruit deze kunnen w orden bepaald.

Passen wij dit toe op het bovenstaande voorbeeld, dan kun

nen wij uit fig. 1 direct aflezen, dat

v - vc i

= ---.

Substitueeren wij dit in (7) en stellen

Rr

7 = 0, dan krijgen wij

vn — v co

₌

_A

+ ƒ (o) ,

w at overeenkom t met (8).

H et onderscheid tusschen de eerste en de tw eede methode w ordt grooter bij netw erken, die leiden tot differentiaalverge

lijkingen van hoogere dan de eerste orde.

(5)

4.

Derde methode

Bij de beide tot nu toe besproken methoden moeten wij uit de schakeling van het netw erk

n

grootheden berekenen, w at soms vrij bewerkelijk kan zijn. W ij willen nu laten zien, dat in vele gevallen alle gegevens, welke noodig zijn om de integratieconstanten uit de aanvangsvoorw aarden te bepalen, in de diffe

rentiaalvergelijking zijn vervat en hierop een derde methode baseeren om deze constanten te berekenen. W ij behoeven d aar

bij, na het opstellen van de differentiaalvergelijking, dus niet meer aan het netw erk te denken en kunnen daardoor veelal op kortere wijze ons doel bereiken.

Laten wij beginnen het geval te beschouwen, w aarbij in de aanvangstoestand geen energie in het netw erk aanwezig is. Om in te zien, dat het geheele verloop van

i

dan verder door de differentiaalvergelijking w ordt bepaald, stellen wij ons voor, dat

v

ook vóór

t —

O gegeven is en wel dat

v

dan steeds de w aarde nul heeft en dat vóór

t —

O geen energie in het netw erk aan

wezig is, zoodat dan ook

z —

O is. Springt

v

bij

t —

O plotse

ling op de w aarde

voy

dan zal (op één uitzondering na, w aarop wij beneden in § 4,3 terugkomen) direct na de sprong van

v

nog geen energie in het netw erk aanwezig zijn, zoodat wij voor de berekening van

i

na

t —

O tot het oorspronkelijk gestelde probleem komen. Nu zal

i

zoowel voor

t

O als voor

t

O aan de differentiaalvergelijking moeten voldoen; bij

t — O

treden echter discontinuïteiten op, zoodat daarbij niet meer van het voldoen aan de differentiaalvergelijking kan w orden gesproken.

Laten wij

v

echter niet met een sprong toenemen doch ge

leidelijk gedurende een korte tijd, welke wij de schakeltijd zul

len noemen, dan zal

i

ook gedurende deze schakeltijd aan de differentiaalvergelijking moeten voldoen, zoodat

i

dan voor alle w aarden van

t

aan één differentiaalvergelijking moet voldoen.

D e aanvangsvoorw aarden worden hierbij gevormd door de eisch

z = o

voor 7 < 0 . V oor het berekenen van

i

voor 7 > 0 zullen wij verder dus aan de differentiaalvergelijking genoeg moeten hebben en wij zullen daarnaast dus niet meer op de schakeling van het netw erk behoeven te letten. Laten wij tenslotte de schakeltijd tot nul naderen, dan komen wij tot de oplossing van het eigenlijke probleem.

Is in de aanvangstoestand wel energie in het netw erk aan

wezig en is deze gegeven door de spanningen op de conden

satoren en de stroomen door de spoelen bij

t —

O, dan moeten

(6)

wij voor het bepalen van de integratieconstanten wel gebruik maken van de schakeling van het netw erk. In vele gevallen ligt het probleem echter anders en treedt in een netw erk, w aarin een spanningsbron

v

w erkt, onder invloed w aarvan in een be

paalde tak een bekend verloopende stroom

i

vloeit, bij

t —

O een sprong in

v

op en w ordt gevraagd te berekenen, hoe

i

daarna verloopt. H et sluiten van een schakelaar leidt bijv. tot zoo n sprong, w ant een schakelaar is op te vatten als een span

ningsbron, w aarvan de grootte gelijk is aan de spanning op de schakelaar, welke spanning bij het sluiten dus plotseling nul w ordt (het openen van een schakelaar is beter op te vatten als een sprong van een stroom bron, w ant een schakelaar komt ook overeen met een stroom bron, w aarvan de grootte gelijk is aan de stroom door de schakelaar, welke stroom bij het openen dus plotseling nul w ordt). Denken wij de sprong in

v

w eer ver

vangen door een geleidelijke verandering in een korte schakeltijd, dan zal

z

voor alle w aarden van

t

w eer aan één differen

tiaalvergelijking moeten voldoen, terw ijl de aanvangsvoorw aarden w orden gevormd door de eisch, dat

i

voor

t <^0

het be

kende verloop heeft. O ok nu zullen wij voor het bepalen van de integratieconstanten dus niet meer op de schakeling van het netw erk behoeven te letten.

Nog iets algemeener kunnen wij het volgende zeggen. Als het verband tusschen

z

en

v

door een differentiaalvergelijking van de orde in

z

w ordt uitgedrukt en

v

als gegeven w ordt be

schouwd en bij

t =

o een sprong m aakt, zal de algemeene uit

drukking voor

z

zoowel voor

t

O als voor

t

O

n

integratie

constanten bevatten. Denken wij de sprong vervangen door een geleidelijke verandering in een korte schakeltijd, dan zal de algemeene uitdrukking voor

z

slechts één stel van

n

integratie

constanten bevatten, zoodat er dus

n

betrekkingen moeten be

staan tusschen de integratieconstanten voor

t<^o

en die voor O O. W ij willen ons nu afvragen, welke vorm deze betrek

kingen aannemen, indien wij de schakeltijd tot nul laten naderen.

4,1. De contuiuïleitéeiéchen

Bij het tot nul naderen van de schakeltijd zal in

v

een sprong ontstaan en

v

dus discontinu w orden; /

v dt,

w aarvoor wij soms

D v

_{_2} zullen schrijven, zal echter continu blijven en eveneens _{_3}

ü v

,

D v

, enz. W^ij denken in (2) nu aan een

v

met een eindige schakeltijd, integreeren

(n

-f l)-m aal naar de tijd en

(7)

laten de schakeltijd daarna tot nul naderen. D an krijgen wij

(aQDn + aI D" — 1 + . . . + a„) D 1 = 1 + +

+ . . . + b„ D~ n ~V- (9)

O p grond van het bovenvermelde is het rechterlid van (9) een continue functie van de tijd. In het linkerlid kunnen wij

D

² als de afhankelijk veranderlijke beschouwen. D e theorie der differentiaalvergelijkingen leert, dat er dan oplossingen van (9) bestaan, welke, als

a0^Ao,

;z~maal continu differentieerbaar zijn, zoodat

D ~ n

~ 1

i

en zijn eerste

n

afgeleiden alle continu zullen zijn.

W ij schrijven (2) nu in de vorm

Dn

(

a0 i

—

b0 v)

+

DU

*

(ax i — bI v)

+ . . . +

i — bn v') —

o . (10) Integreeren wij dit ^-m aal naar de tijd bij een eindige schakeltijd en laten deze daarna tot nul naderen, dan ontstaat

(

ci0 i

—

bQ v)

+

D (ei

j.

i

—

bx v)

+ . .. +

D (an

² —

bn v)

= o . V an alle termen, behalve de eerste, w eten wij, dat deze con

tinu zijn, dus moet ook de eerste term continu zijn:

(a0i — b0v)

moet continu zijn. (11) D at wil zeggen, dat, als

v

bij

t = O

een sprong m aakt, dus bijv.

een bedrag

A v

toeneemt,

i

bij

t - o

eveneens een sprong moet maken en wel een bedrag

A i

moet toenemen bepaald door

aQ A i

—

bQ A v

= o.

Integreeren wij (10)

(n —

i)-m aal, dan ontstaat

D (aQ i

—

b0 v)

+

(ax i — bx v)

+ . . . +

D n

+ * (

an

¹

— bn v)

= o . V an alle termen, behalve de eerste twee, w eten wij, dat deze continu zijn, dus moet ook de som van de eerste tw ee term en continu zijn:

D (aQ i

^—

b0 v)

+ (

ax i — bx v)

moet continu zijn. (12) D oor telkens eenmaal minder te integreeren komen wij tot meer grootheden, die continu moeten zijn, en tenslotte, door(10)een^

maal te integreeren, to t:

D?l

— 1

(a0 i - b0v)

+

D11 ~

2

(at i

-

bz v)

+ ... +

(an- xi - bn_1 v)

moet continu zijn. (13)

(8)

180 B. D.'H. TELLEGEN

W ij hebben hiermee de

n

gezochte betrekkingen gevonden. O ok als

v

continu is en

Dv

een sprong m aakt, of als

v

en

Dv

con

tinu zijn en

Dv*

een sprong m aakt, enz. blijven deze alle juist.

W ij vatten het resultaat als volgt samen.

Laten v en z twee functies van t zijn, waartusschen een verband bestaat

,

dat gegeven wordt door een tineaire di ff er en tiaalverge tij hing met constante coëfficiënten van de gedaante

(a0 D n

+

D "~

1 + ... +

a„) i= (b0

+

bz j f ~

1 + ... +

v . Doortoopen v en z etk een oneindige rij van functies, wetke tot een limietfunctie naderen

,

dan zulten voor deze timiet de n grootheden

(,ao 1 ~ b0 v)

,

D

(

a0 i

—

b0 v)

+

(g1 z ^{— bx v) ,}

^...

D (a0 i — b0 v)

+

D (g1 z — bI v)

+ ... + (

a

n_x

i

—

bn_1v^

continue Juncties van t zijn, indien ci0zf.

o

en

/

v dt in de timiet con

tinu blijft.

M aakt

v

of een afgeleide van

v bij t

= O een sprong, dan is uit de voorw aarde

„aQi

-

b0v

continu" het verband tusschen

i

vóór en na de sprong te bepalen, hiermee uit de voorw aarde

(a0 i

—

b0v)

-t-

a1z — bYv

continu" het verband tusschen

D i

vóór en na de sprong, enz. Is

i

voor

t <fo

bekend, dan zullen hier

door de w aarden van ^z en de eerste ^{n — I} afgeleiden direct na de sprong in

v

w orden bepaald. H ebben wij in het bijzonder te doen met een spanningsbron

v,

welke bij

t —

o geschakeld w ordt in een systeem, w aarin geen energie aanwezig is, dan zullen direct na het schakelen

a0 i - b0v, D (a0 i - b0 v)

+

ax i - b1 v,

enz. nog nul zijn. D oor evenals bij de boven besproken tw eede methode de gevonden w aarden voor

i

en zijn eerste ¹¹

—

¹ af

geleiden bij

t —

o te substitueeren in (3) en de ¹¹

—

¹ daaruit door differentatie naar

t

afgeleide vergelijkingen voor

t —

O, komen wij w eer tot

n

onafhankelijke lineaire vergelijkingen voor de integratieconstanten.

Passen wij dit toe op het voorbeeld van fïg. 1, w aarin volgens

(6) a0 = CR1 J\2

en

b0 = CR2f

dan komen wij to t:

CR

i

1 — CR2 v

moet continu zijn bij

t = O,

dus tot

A i — A vfR l

, w at ook direct uit fig. 1 is af te lezen.

4,2.

Discontinuïteiten van verschillende orde

W ij kunnen de beteekenis van de differentiaalvergelijking voor de schakeltijd ook nog op de volgende wijze onderzoeken.

(9)

Indien

v

gedurende de schakeltijd snel monotoon toeneemt, zal

Dv

een scherp maximum vertoonen,

Dv*

een scherp maximum gevolgd door een nulpunt en daarna een scherp minimum, enz.

(fig. 2). N adert de schakeltijd tot nul, dan naderen deze tot discontinuïteiten van verschillende geaardheid : in

v

onstaat een

Fig. 2

sprong, in

Dv

w ordt het maximum oneindig groot, terw ijl het oppervlak eindig blijft, d.w.z. in

Dv

ontstaat een stoot, in

Dv*

ontstaat een discontinuïteit, die wij van de tweede orde zullen noemen, terw ijl wij een stoot een discontinuïteit van de eerste en een sprong een discontinuïteit van de nulde orde zullen noemen.

V oor

i

geldt hetzelfde: in / ontstaat een sprong, in

Di

een stoot, enz.Letten wij nu op de differentiaalvergelijking in de vorm (10), dan kunnen wij zeggen, dat de discontinuïteiten van de hoogste orde alleen in de eerste term zitten. D aar deze niet door dis

continuïteiten van lagere orde kunnen worden opgeheven, moet

a0i — bQ v

continu zijn, w ant dan w ordt

D'1

(

aQi — b0v)

een dis

continuïteit van hoogstens de

(n —

l)e orde. De discontinuïteiten van de hoogste orde, die dan nog kunnen voorkomen, zijn die van de

(n —

l)e orde en deze kunnen alleen van de eerste twee term en afkomstig zijn, w aarvoor wij kunnen schrijven:

D n ~

1

{D (aQ i — bQ v)

+

(a1 i - b1 v)} .

O m dat deze discontinuïteiten van de

(n —

i)e orde elkaar moeten opheffen, moet

D (aQ i

—

b0v)

+

(aI i - b1 v)

continu zijn, en zoo vervolgens. W ij komen zoo dus tot dezelfde voorw aarden, als wij boven hebben gevonden. W ij kunnen deze dus ook opvat

ten als de voorw aarden, dat achtereenvolgens de discontinuïteiten van de

n

, de

(n —

i) , . . . , de eerste orde elkaar opheffen.

d,

3

. Het geval a

0

^{— o}

Is

a0 = O

en

b0

^ O, dan stellen wij

i

=

Dq

, w aarin dus

q

de

(10)

lading voorstelt, welke door de bew uste tak is gevloeid. D aarm ee gaat de differentiaalvergelijking over in

(a1 Dn

⁺^cl²

Dn

^{* +} ^{. . .} ⁺

cin D) q

^{= (}

b0 D

⁺ ^bx

D

⁺^{• • •} ^{4- ^«)}

v

^. (14) Is

a1

O, dan zijn hierop de gehouden beschouwingen w eer toe te passen, w at leidt tot:

(a1 q

—

bQ v)

moet continu zijn, enz. (15) M aakt

v

een sprong, dan zal ook

q

een sprong maken, zoodat in

i — Dq

een stoot zal ontstaan.

N etw erken van deze aard zijn bijv. netw erken, w aarbij de spanningsbron

v

ligt in een maas, welke alleen uit condensato

ren bestaat, en w aarbij wij vragen naar de stroom door een van deze condensatoren. M aakt

v

een sprong, dan zullen de spanningen op de condensatoren ook sprongen maken en in de stroomen door de condensatoren zullen dus stooten ontstaan.

B evat het netw erk aanvankelijk geen energie, dan zal de elec- trische energie direct na de sprong van

v

dus niet meer nul kunnen zijn.

Een zeer eenvoudig voorbeeld krijgen wij uit het netw erk van fig. ^1, indien wij daarin

R x —

O maken. D aarm ee gaat (6), indien wij tevens

t — Dq

stellen, over in

R aDq

⁼

(C R 2D

⁺

i) v

. ⁽¹⁶⁾ M et (15) volgt hieruit, dat

R 2 q — CR2v

continu moet zijn bij

t —

O, dus dat

A q — C A v,

w at wij voor het geval

R z = O

ook direct uit fig. 1 kunnen afle zen.

Een overeenkomstig geval kunnen wij krijgen, indien wij een netw erk met een stroom bron beschouwen, w aarbij in iedere maas, welke de stroom bron bevat, een spoel voorkomt. Een voorbeeld hiervan w ordt gegeven door het in § 5 te onderzoeken netw erk van fig. 3. M .aakt de stroom bron een sprong, dan zullen de stroomen door de spoelen ook sprongen maken en inde spanningen op de spoelen zullen dus stooten ontstaan. B evat het netw erk aan

vankelijk geen energie, dan zal de magnetische energie direct na de sprong van de stroom bron dus niet meer nul kunnen zijn.

H et geval

a0 —

O,

ax

= O,

bQ qA o

kan in netw erken zonder elec- tronenbuizen niet voorkom en1), wel in netw erken met electro- nenbuizen. Is

a2 yA

o, dan kunnen wij dit behandelen door

i — D s

te stellen.

i) Zie bijv. W . N ijenhuis en F. L. Stum pers, Physica ⁸^, 289, 1941.

(11)

4,4.

Het geval j v dt discontinu

T reedt in

v

geen sprong, doch een stoot op, dan zal /

v dt

een sprong vertoonen, dus discontinu zijn. Stellen wij in dit ge"

val

v — D cp,

dan zal

cp

een sprong maken en dus /

op dt

continu zijn. D oor

v — D cp

te substitueeren in de differentiaalvergelijking komen wij tot de onderzochte gevallen terug. Treedt in

v

een discontinuïteit van de tw eede orde op, dan kunnen wij stellen

v

=

D2ip

en zal /

xp dt

continu zijn.

5.

Periodieke spanningsbron met discontinuïteiten

W ij kunnen van het gevondene ook gebruik maken voor het berekenen van de periodieke stroomen in een netw erk onder invloed van een periodieke spanningsbron, welke discontinuïtei

ten vertoont. Als voorbeeld hiervan zullen wij onderzoeken een versterkerbuis met steilheid A en hooge inwendige w eerstand, aan welks rooster een zaagtandvorm ige spanning

v

w ordt toe

gevoerd en w aarbij gevraagd w ordt naar de stroom

i

door een in de anodeketen opgenomen spoel, w aaraan een tw eede spoel parallel is geschakeld. V ervangen wij de versterkerbuis door een stroom bron

Sv,

kan komen wij tot de in fig. 3 geteekende

schakeling. H ierin stellen

L I

en 7vx de zellinductie en de w eer

stand voor van de spoel, w aardoor wij de stroom willen be

rekenen, en

L2

en

R 2

de overeenkomstige grootheden van de tw eede spoel. U it de figuur is ai te lezen

J ik <2.

T -A ²

R Jd

jco (L x + Ld) + R x + R-2

zoodat de differentiaalvergelijking luidt

{(£, +

L,) D

+

R, + R2)i

=

(L2 S B + R 2S )

^v

.

(17) V erloopt

v

zaagtandvormig, zooals in fig. 4 is aangegeven, dan

(12)

is voor — ⁷

i <^co t <^7i, v

=

E

^cd

t'n

en is de algemeene oplossing van de differentiaalvergelijking daarvoor

i — A e

⁺

71 c o t+ ^ —^

^{Z2 /}(* . + ^lj^—---— co, (18)

L R 2y Ti

^t

R 2 SE

zooals gemakkelijk kan w orden geverifieerd.

A

is hierin de in-

Bij ^cd^{t =} ^tz m aakt

v

een sprong. U it de differentiaalverge

lijking volgt op grond van de boven ontwikkelde theorie, dat daarbij

(L1

+

L2) i

—

L

2

Sv

continu moet blijven. V ragen wij naar de periodieke oplossing voor

t

, dan zal

i

na de sprong van

v

bij ^cd^t

—

⁷ⁱ dezelfde w aarde moeten hebben als bij ^cd^t

=

^{— 7}r, dus komen wij to t

{<£, +

L') i -

Z2

Sv)(at = n =

{(Z, + Z2)

i

- Z2

S

^v

}m/ „

(19) D it leidt tot

(Z, + Z2)

R

-f- I I

R 7t

2

L o. L co_{I I} ₂

R

4- I I

R 71

2

+ ^— R±— 'S E + ! A a---— ^ . — col

R, + R2 (R1

+ Z 2)2

n

( (Z. + Z2) (

Ae

+

L*

“ -

R,

Ri + R-.

. SE

+ I^tA ⁱ b A l . — A + U S E

(R> + R 2y

^ji I

H ieruit volgt voor de integratieconstante de w aarde_♦

L z R 2

-

L9 R

^t ________

SE

(Rx

+

R)(LX*

+

L 2) n

A

= ⁽

20

⁾

\L

^t +

L,

^CD

6. Periodiek openen en o Lui ten oan een schakelaar W ij kunnen de gevonden methode eveneens toepassen voor

(13)

het berekenen van de periodieke stroomen en spanningen in een netw erk onder invloed van periodiek zich openende en slui

tende schakelaars. W ij zullen dit toelichten aan een eenvoudig voorbeeld, w aarbij de physische beteekenis van de af te leiden voorw aarden voor de integratieconstanten direct uit de schake

ling is af te lezen. In fig. 5 is de gelijkspanningsbron

E

aan

gesloten op een keten bestaande uit

R, L

en

C

in serie. O ver

C

staat een schakelaar, welke periodiek geopend en gesloten

L R

4^{- -} ^ ö ü o ^ - w ir - i

\ i^{t - = c}

— r

Fig. 5

w ordt. Laten wij onderstellen, dat de schakelaar bij

t

= O,

t — T,

t = 2

T,

enz. gesloten w ordt en dat deze bij ^t=

aT, t

= (i

+ a)T, t

= (2 +

a)T,

enz. geopend /w ordt (o <

a

< i). W ij vragen naar de periodieke stroom en spanning van de schakelaar.

O p eenvoudige wijze is af te leiden, dat tusschen

i

en

v

de differentiaalvergelijking bestaat

(C LD 2

+

CRD

+

i)v

+

{LD

+

R) i = E . (21)

V oor

o< ^t< ^aT

is de schakelaar gesloten, dus

v

= O, en volgt uit de differentiaalvergelijking

i

= A

ept + E/R , (22)

w aarin

A

de integratieconstante is en

p

= —

R/L.

V oor

aT < ^t< ^T

is de schakelaar open, dus

i

= O, en volgt uit de differentiaalvergelijking

V = B ^ 9'1 + + E (23)

w aarin

B T

en de integratieconstanten zijn en

qx

en

q

2 de beide w ortels van de vergelijking

CL q2

-b

CR q + l = O.

Bij ^t

— aT

w ordt de schakelaar geopend en m aakt dus z een sprong. D aar het rechterlid van de differentiaalvergelijking con

tinu is, behoeven wij voor het onderzoek van de discontinuï

teiten alleen op het iinkerlid daarvan te letten. H ieruit volgt, dat

CLv

en

CLDv

+

CRv

+

Li

beide continu zijn bij

t

=

aT.

U it de eerste voorw aarde volgt

(14)

v aT

^{-f- o}

w aarin wij met de index

a T -\- O

aanduiden het tijdstip direct na het openen van de schakelaar en met

aT

— O het tijdstip direct vóór het openen ervan. Hierm ee volgt uit de tweede voorw aarde

(C Dv

+

i)aT+

o = +

i)aT_

w at leidt tot

C Dv aT

-f- o (25)

De betrekkingen (24) en (25) zijn eenvoudig physisch te inter- preteeren: (24) drukt uit, dat de spanning op de condensator bij het openen van de schakelaar niet verandert, en (25), dat de stroom door de spoel daarbij niet verandert, w ant bij ge

sloten schakelaar is deze stroom gelijk aan

i

en bij geopende schakelaar gelijk aan

CDv.

U it (24) en (25) volgt met (22) en

(23)

*B 1 eVl + B^e** + E*

= O (26)

en

C{q B t o aT* eHï

+

q2 B2 ev> ) = A paT „ q aT. . e + E/R .

(27) Bij

t — T

w ordt de schakelaar gesloten en m aakt dus

v

een sprong. U it de differentiaalvergelijking volgt, dat

z

dan een stoot zal krijgen, en dus stellen wij daarin

i

=

Dq.

D aarm ee volgt, dat

CL v

+

L q

en

CL Dv

-f

CR v

-f

L Dq

+

R q

beide continu zijn bij

t = T.

D oor de eerste voorw aarde met

R/L

vermenigvuldigd van de tw eede af te trekken w ordt

q

geëlimi

neerd, zoodat wij komen tot

CL Dv

+

L Dq

continu of

C Dv

+

i

continu bij

t — T.

H ieruit volgt

iT+o = CDVT-o ■

(28) Analoog aan (25) drukt dit uit, dat de stroom door de spoel bij het sluiten van de schakelaar niet verandert. W enschen wij, dat de verschijnselen periodiek zijn, dan zal

i

direct na

t = T

gelijk moeten zijn aan

i

direct na

t —

O. U it (28) volgt dan met (22) en (23)

A + E !R = C (q 1B 1 T

+

q, B

2

T)

. (29) D oor (26), (27) en (29) w orden de integratieconstanten bepaald.

(15)

B estaat de schakelaar uit een gastriode, op welks rooster een periodieke spanning w erkt, die de buis periodiek doet doorslaan, dan is de tijd, gedurende welke de stroom doorgaat, doorgaans een zeer klein deel van de periode. Om voor dit geval de spanning

op

de condensator te berekenen kunnen wij in de vergelijkingen voor de integratieconstanten

a

tot nul laten naderen en kunnen dan tevens

A

elimineeren. W ij komen dan tot

B l + B, + E = o

(30)

en

qlB,

+

q2 B

^q

=q, B t eq' T

+ ^'a

eqT*

. (31) Vergelijking (30) drukt uit, dat de spanning direct na de door

slag, dus direct na

t = O,

nul is. Vergelijking (31) kunnen wij rechtstreeks afleiden door op te merken, dat in dit geval

t

bij

t =

O,

t — Ty

enz. een stoot krijgt en overigens nul is. In (21) stellen wij daarom w eer

i — Dq.

Evenals boven kunnen wij dan uit de differentiaalvergelijking af leiden, dat

C Dv

+

i

continu is bij de doorslag. N u is

i

zoowel voor als na de doorslag nul en dus moet

Dv

continu blijven. Plw sisch wil dit zeggen, dat direct vóór en na de doorslag de stroom door de condensator en dus ook die door de spoel dezelfde is. W enschen wij weer, dat de spanning periodiek zal verloopen, dan zal

Dv

dus juist na

t —

O en juist vóór

t — T

dezelfde w aarde moeten hebben, w at leidt tot (31).

7.

Slotopmerking

Bij alle beschouwingen over de invloed van discontinuïteiten van stroom- of spanningsbronnen moeten wij ons wel voor oogen houden, dat de werkelijkheid hierdoor steeds slechts w ordt be

naderd. D iscontinuïteiten in m athem atische zin komen niet voor, alleen min of meer snelle overgangen. H et zal dan ook steeds van de aard van het probleem afhangen of de benadering van zoo n overgang door een discontinuïteit toelaatbaar is. H ebben wij bijv. te doen met een spanningsbron

v,

welke verloopt, zooals in fig. 6a is aangegeven, dan kunnen wij deze trachten te

(16)

benaderen door een spanningssprong, zooals fig. 6b aangeeft.

H et verschil tusschen fig. 6a en fig. 6b, geteekend in fig. 6c, w ordt dan verw aarloosd. Is deze verw aarloozing niet toelaat

baar, dan kunnen wij fig. 6c benaderen door een tweede-orde- discontinuïteit en deze aan de sprong van ^fig. 6b toevoegen.

V erloopt

v

, zooals fig. 7 aangeeft, en laten wij de schakeltijd

7

tot nul naderen, dan zal, als de hoogte van de top daarbij con

stant w ordt gehouden,

J v dt

in de limiet continu blijven, terwijl, als het oppervlak van de top constant gehouden w ordt,

j v dt

in de limiet een sprong zal maken. H et zal dus w eer van de aard van het probleem afhangen, hoe wij

v

mogen benaderen:

door een sprong alleen, of door een sprong en een stoot. D it alles doet de vraag ontstaan, in hoeverre de invloed van een willekeurige overgang overeenkom t met die van een reeks dis

continuïteiten van verschillende orde.

DISCUSSIE

I r d e L a n g e : G aan de beschouw ingen nog door, als de coëfficiënten van de differentiaalvergelijking niet m eer constant zijn, doch continue of discontinue functies van de tijd ?

Ir i e l l e g e n : D it is inderdaad het geval, als de coëfficiënten continue functies van de tijd zijn. In de om geving van een discontinuïteit in v kunnen deze dan nl. als constant w orden beschouw d. H et afleiden van de differentiaalvergelijking uit de complexe uitdrukkingen door jco door D te vervangen is dan echter niet m eer mogelijk. V eranderen de coëfficiënten discontinu, doordat in het netw erk w ordt geschakeld, dan kunnen wij dit tot de beschouw de gevallen terugbrengen door, zooals in § ⁴ is opgem erkt, het sluiten van een schakelaar op te vatten als een sprong in een span

ningsbron en het openen als een sprong in een stroom bron.

(17)

EEN EENVOUDIGE REKENWIJZE VOOR HET BEREKE

NEN VAN STROOMKRINGEN WAARIN FREQUENTIE- GEMODULEERDE SPANNINGEN WERKEN

door

}. W . A L E X A N D E R

(Voordracht voor hei Genootschap gehouden op 5 jJIei 19-16)

INLEIDING

H et berekenen van stroomkringen, w aarin een spanning w erkt die sinusvormig met den tijd varieert, is een betrekkelijk een

voudig probleem. De symbolische rekenwijze, die hier bekend w ordt verondersteld, geeft een elegante oplossing van dit vraag

stuk. Deze methode is echter niet meer toe te passen, wanneer, zooals bij frequentie modulatie, de spanning niet meer sinusvor

mig met den tijd varieert.

In principe zou dit vraagstuk op te lossen zijn door de frequentie-gemoduleerde spanning in al zijn componenten te split

sen volgens v a n d e r P o l 1), vervolgens al deze sinusvormig met den tijd veranderlijke componenten op den betreffenden stroom kring te laten werken, en de resultaten bij elkaar op te tellen.

Deze methode is bijv. toegepast door R o d e r .2) Een direct antw oord w ordt trouw ens niet eens verkregen, w ant uiteinde

lijk moeten langs grafischen weg of met behulp van een reken

machine bepaalde gevallen uitgerekend worden. D it is een zeer moeizame en weinig overzichtelijke bezigheid.

Een andere weg is geopend door C a r s o n en F r y 3), die in hun theoretische afleiding van de experimenteele resultaten van

x) V a n d e r P o l, Frequentiem odulatie, Tschr. N ed. R ad. Gen. 4, 1929, 57.

2) R o d e r, Proc. Inst. R ad. Eng., 25, 1937, 1017.

3) C a r s o n and F ry , V ariable frequency electric circuit theory, B.S.

T.J., 16, 1937, 513.

(18)

190 J. W. ALEXANDER

A r m s t r o n g een volledig antw oord op het onderhavige vraag

stuk hebben gegeven. E chter kunnen noch de resultaten, noch de afleiding daarvan eenvoudig en overzichtehjk genoemd w or

den. O ok voor geroutineerde rekenaars met de symbolische rekenwijze blijft het geheel zeer weinig aantrekkelijk.

Al eenvoudiger w ordt het geheele probleem bij de bereke

ningen volgens V e l l a t J), die met behulp van Fourier-integra- len tot een zeer korte afleiding komt van zijn hoofdformule. De verdere toepassing leidt echter w eer tot vellen vol rekenw erk, zoodat de navolging van deze methode bepaald moed vereischt.

D oor deze lange berekeningen gaat niet alleen het overzicht over de essentieele punten verloren, m aar ontstaat ook een groote kans op rekenfouten.

H et is daarom , dat in het volgende eenige beschouwingen w oiden voorgedragen, aansluitend aan de rekenwijze volgens V e 11 a t, w aardoor het mogehjk is met weinig rekenw erk de

zelfde resultaten te bereiken, terw ijl de physische ondergrond veel duidelijker zichtbaar blijft.

§ 1.

Als probleem w ordt gesteld de vraag naar de spanning die ontstaat op een impedantie w anneer er een frequentiegemo- duleerde stroom

i

doorheen vloeit. D aar de uitdrukking hier

voor ten grondslag ligt aan onze beschouwingen, zal de afleiding hier in het kort herhaald worden.

De frequentiegem oduleerde stroom kan voorgesteld worden d o o r:

i = IeH.“>ot+ h m dt) t

(1)

Indien

com

geen functie van den tijd was, zou de frequentie gelijk zijn aan a>0 +

com.

Deze frequentie is 2

n

X het aantal trillingen per seconde. Bij frequentiem odulatie is het aantal trillingen per seconde niet constant,

de

frequentie is dus niet meer op te geven. In dit geval is het begrip momenteele fre

quentie door H e l m h o l t z ingevoerd. Hiermede is de momen

teele frequentie de afgeleide naar den tijd van den phase hoek, dus

) V e 11 a t, D er E m pfang frequenzm odulierter W ellen, E .N .T . 18 1941, 61.

(19)

BEREKENEN VAN STROOMKRINGEN 191

com = — (co .

dt t

-t- o

I co jfi dl)

— co o + CO;« (2) w aarin co,« met den tijd varieert.

V oor de verdere berekening is het noodig om de vergelijking van den stroom in een anderen vorm te schrijven n.1.

f

t ^{. + oo} ^.

i = JeJ K ' + j d ')= j f ( Q ) ey ^ t d ü (3)

- oo

volgens de integraaltheorem a van F o u r i e r .

N u berust de verdere redeneering op het feit, dat de modu

latie gebeurt met een frequentie die klein is ten opzichte van de draaggolffrequentie. Bij het moduleeren blijven wij dus in de buurt van de draaggolffrequentie en het heeft zin om te zien w at er gebeurt in de omgeving van de draaggolffrequentie co0.

D aartoe schrijven wij :

= CO o + CD O )

w aarin co0 dus een constante w aarde heeft.

H ierdoor gaat (3) over in:

t = IeJ m°t jf( Q ) ej m‘ da,

+ co (5)

- OO

V oor elke component van den stroom heeft de impedantie ^ een andere w aarde

Z (Q).

Zoodoende luidt de vergelijking voor de spanning aan de klemmen van die impedantie

+ oo .

E = I ed m° ‘ j Z (ü) f {Q) eJ c° d co

(⁶)

- OO

Volgens T a y lo r kan nu de impedantie

Z (Q)

ontwikkeld w orden in de omgeving van de draaggolffrequentie. W ij ver

w achten dus een uitdrukking voor de spanning, w aarin de mo- dulatiefrequentie de rol speelt van de omgevingsfrequentie. M et behulp van (d) is

Z { Ü ) = Z {(Oo) + 2 11

^{- 1}

n' Z (0Jo)

(7) D it gesubstitueerd in (6) levert:

(20)

192 J. W. ALEXANDER

+ 00 • . o° T / x +00

cD0f f ( Q ) e JCti' dco + 2 — Z K (co0) / co*

_{- 00} _n

— i n ! - 00

H et is mogelijk de integraal uit deze uitdrukking te verdrij

ven op de volgende m anier:

Volgens (3) en (5) is immers:

t eJƒ " ’ <U = ƒ ƒ (£) e3(otd(a*

(9)

— OC

D oor herhaald differentieeren naar den tijd w ordt verkregen:

j / t

^CO

(it r r / r\\ i U> t 7 com l — ) f (<ö) co eJ d co — OO

co„,) rj/ ^{ƒ ^}_o = ƒ - OO^{+ 00} ^. rfco

/ O . ' " \ 7 f CO / I a / f\\ 3 7 &) / T

(co,* - 37 co,„ co„, - co,„) * _{- OO}

3 = ƒ (ß) co <? "

^CD M et invoering van de differentiaal operator:

— ( cow y kan hiervoor geschreven worden

d

d t

\ n —

ⁱ

CO

ni

+ 00 .

ƒ ƒ (fi) co” r⁷ " ^

,⁷'ƒ ' _CO

— OO D it gesubstitueerd in (8) levert:

f ( OL y

E

=

l d a>°t + Jl

₀ " " Z(co0) + 1 — Z w (co0)_I. _{» = .} _n! _J

(

10

⁾

= /Z (11)

Bij deze berekening is aangenomen, dat de reeksontw ikkeling voor de impedantie een geldige reeks opleverde.

§ 2.

In d eze paragraaf zal een vereenvoudiging van deze algemeene formule w orden afgeleid, die aangeeft een eenvoudige, practisch

(21)

bruikbare betrekking tusschen den stroom en de spanning. Deze is wel niet theoretisch zonder beperkingen, m aar, zooals zal worden aangetoond, voldoet de betrekking aan eischen, w aar

aan in de practijk in het algemeen zal voldaan zijn.

V oor den frequentiegem oduleerden stroom treedt dus als im

pedantie op :

Z = Z

(co0) +

2

i -

Z {n)

(ft>0)

A„

71 — I •

Denken we ons echter het geval in, dat de stroom niet fre- quentiegemoduleerd w as, m aar sinusvormig tijdsafhankelijk was met de frequentie

Q =

coQ + co, w aarin co dus niet van den tijd afhangt. In dit geval zou voor de impedantie geschreven kunnen w orden:

I ( ii

Z (ü) = Z (a>0) + 2 —

71— I 72 .

(03o)

co

Ter nadere vergelijking schrijven wij beide reeksen uit:

Z

⁼

Z

(co0) +

Z ^

(co0)

A z

H^---₂_.

Z

(co0)

A

2 ^-⁴^-— ₃_*

Z ^ (co0)A 3

+ ^... (14)

= Z (c⁰o) ^{+ Z} (l) (c⁰o) ^{Ü)m H}----2* .^{- Z {2)}⁽²⁾ (cOo) ((Ojn — J CD⁷⁷¹) +

+

—

_{3 •} z (3) (COo) (co,3 - ³

j

^<0 ^co⁷¹¹ co w) T . . .^"^V

Z (fl) = Z (^cüo) + Z (l)(cOo

) 03

+ -ï- Z (2)(co„)O)2 + Z (3)(co0) co3 + ... (15) V oor gelijkheid van beide reeksen moet allereerst

co =

wm

(16)

D it beteekent, dat

Q

= co0 + co = co0 + cow , zoodat volgens (2)

Q = °>^m

V oor gelijkheid van beide reeksen moet dus in de eerste plaats voor de frequentie, w aarm ede de impedantie bedreven w ordt,

de momenteele frequentie genomen worden.

D it is echter niet de eenige voorw aarde voor gelijkheid van beide reeksen. H et is tevens noodig dat de term en uit de eerste reeks, die niet voorkomen in de 2de, te verw aarloozen zijn t.o.v. de andere termen.

(22)

194 J. W. ALEXANDER

H et is nu de bedoeling van dit betoog om aan te toonen, dat in practisch alle gevallen aan deze voorw aarde is voldaan.

Bij de afleiding van de algemeene formule (11) zijn geen beper

kende bepalingen gem aakt, en deze formule is dus algemeen geldig. M aar in de practijk w orden er vanzelf al beperkingen ingevoerd, w aaraan wij zoo gewend zijn, dat zij niet meer als beperkingen gevoeld worden. Zoo zullen wij toch alleen m aar moduleeren met frequenties die klein zijn t.o.v. de draaggolffrequentie. Zoo zullen wij ook altijd wel ergens in het totale circuit een kring gebruiken, die op de draaggolffrequentie is afgestemd en minstens zoo breed is, dat de modulatie ook tot zijn recht kan komen. Aan den anderen kant zal de kring ook w eer niet te breed mogen zijn, ter wille van de selectiviteit en de versterking. W ij zullen dus nu aantoonen, dat bij gebruik van een kring aan de genoemde voorw aarden is voldaan.

D e vergelijking voor de impedantie van een kring luidt:

Z(Q) = Z.

■ 0 —

COo ^

I + 7 ² ---_{CD o}

Q

w aarin Z r de w eerstand voor de afstem- of draaggolffrequentie voorstelt, terw ijl

Q

de qualiteitsfactor is.

U it (17) volgt voor Z (l) en Z ^ en Z (3) :

^ (I) ( O = - ^. ² ^Ö

j — Zr

^,(²⁾ (COo) = - 2 I ^ I Zr ²^Q ^'(3) (COo)

= j 6 l ^ \ Z ,

²

Q

CO

^o ^CD, ^CD,

N u is voor een sinusvormig met den tijd veranderlijke modu(18) latie met frequentie

p

en den frequentiezw aai ^ ])

CDS

= s cos p t

₍₁₉₎

Substitutie hiervan in (14) levert met weglating van de con

stante ^{Z (co0) :}

2

Q

x / ²

Q

J

— Zr s cos pt

_CD, + — . ^— ² (---) Z r _{CD o} (j~ cos* pt ⁺

j s p sin pi)

+ g .

j 6

( j ^{Z r}

(cos0 pt

— ³

j s cos p t . — sp sin pt

+

sp cos pt)*

+ ...

J) Op

zw aai, ter voorstel van P r o f . H u y d t s schrijf ik hier i.p.v.

onderscheiding van de letter Z voor im pedantie. voor den

(23)

=

Z 9

—

j 2 Q

---- i*

co

o

cos pt —

[--- )

12 Q co,

, .

(s cos pt + j s p sin pt)

² ² . .

+

j

(—?) _co_o

(cos3 pt

+ ³

j s1 p sin pt cos pt + s p 2 cos pt)

. . .

2 Ö

Bij nadere beschouwing, blijkt dat voor ---_(O_o

p

^I de 3e, 5e en ⁶e term te verw aarloozen zijn t.o.v. de andere. Zoo valt bijv.

de ⁶e term direct weg tegen de le, en de le en 3e kunnen samen geschreven w orden a ls :

.2

Q

- J ----r_CO, i + l

— )

_{CO o} /

cos (pt - bgtg

— _{CO o}

P

Bij weglating van de 3e term ontstaat er een fout in den phase

2 Q

hoek van de grootte van ---_{CO o}

p

en een fout in de am plitude van

f 2 Q

V 2

Q

grootte van (---- ƒ) . Evenzoo valt voor ---

co,

^{CO o}

p

I de 5e term weg tegenover de ²e, enz.

De grootte van deze factor moet nader gepreciseerd worden, w ant zonder meer is niet direct te zien hoe groot ze is. Zooals bekend is, kon voor de frequentiebreedte van een kring gede-

Vo _S

finieerd w orden . Bij invoering van een breedtefactor

f

^b = — die dus aangeeft hoeveel keer de kring breeder is dan de dubbele zw aaifrequentie, w ordt de cirkelfrequentie van den zw aai:

v0 n

s ~ ^q T ^b

Als verdere steeds optredende factor bij frequentiem odulatie- problemen is te noemen de zw aaifactor

f s ,

die aangeeft de ver

houding tusschen den maximalen zw aai en de maximale modu- latiefrequentie

p

dus

f s

=

— s

2

Q

In dit geval w ordt

p

--- dus_{CO o}

S 2

Q

^Vc

n

i ²

Q

fs

^COo

Q f

^B

fs

^COo ^/ ^b

fs

Een gebruikelijke w aarde van

fs ⁼

5 en van

f

^b

—

E5> zoodat

(24)

196 J. W. ALEXANDER

voor een practisch norm aal geval

p

²

w0 Q 7 > 5

hetgeen dus inderdaad <C<C I. D it beteekent dat practisch de verw aarloozingen toegepast mogen worden, zoodat aan de genoemde voorw aarden is voldaan.

De

concliuie

van deze § luidt dus, dat practisch bij frequen- tiemodulatie de

impedantie berekend kan worden aio voor oiniuvor- micj veranderlijke élroomen, echter moet dan voor de frequentie de mo

-

menteele frequentie cjeoubolitiieerd worden

. In formule gescheven dus :

(

21

⁾

§ 3.

In deze paragraaf zullen eenige toepassingen van het hier

voor afgeleide gegeven worden. H iervoor kiezen wij den afge- stemden kring. V oor de impedantie daarvan moet dus nu ge

schreven w orden

Z (coM)

dus

E — I

^{Z '} = /

Zr

.

OOM —00

^{o ^}

i ^{+ ; 2} ---

00

^r^,

Q

^{I +}^{j 2} ⁰⁰⁰⁰^m^,

Q

⁽

22

) daar immers

ooM

=

oo0

+

oom

, w aarin

oom

=

s cospt

.

Ter vereenvoudiging zullen wij

oom(Oo Q = X = 2 ---— Q =

^ s cos pt

oo.

_{f .}

cos pt

(23)

B

noemen, w aarbij op te merken is dat

\x\

<C I.

W ij kunnen ons nu afvragen, w at er na frequentiedetectie van deze spanning ontstaat. D e frequentiedetector bestaat uit een modulatieomvormer, gevolgd door een gelijkrichter. De mo- dulatieom vorm er met zijn hellende frequentiekarakteristiek kan beschreven w orden door een impedantie die dus evenredig is aan

x

. N a den modulatieomvormer ontstaat dus een spanning evenredig aan

I

+ j x x

N a den gelijkrichter ontstaat hieruit een spanning evenredig met de amplitude van deze spanning, dus met

i

X I + X

(25)

M et een geringe fout kan hiervoor geschreven w orden

I -- ; r₂ ₁

= X

^{---= —}x 3 l₂

f

^b

cos p t

---²I I ƒj

cos3 pt

N u bevat de term

cos3pt

ook de term

cos

³ zoodat de 3e graads distorsie als verhouding van de am plituden van de 3e tot de le harmonische oplevert

2/^2

D, - I J - = I f - Ö 3 8/ j ² o>:

/;. Bij toepassing van een begrenzer verloopt de berekening van de distorsie iets anders. In dit geval speelt de amplitude geen rol meer en is alleen de phase maatgevend. W ij moeten dus schrijven:

7 7 JiSPo—v)

E = I Z (

^u

>

^m

)

=

\ I\e^

<f° ——— = /i

+ j x

w aarin

q)Q

=

(p0 t

+ ƒ _o

t s cos pt

en ⁹⁹ =

bg tg x.

M et een kleine fout is

F ₁ +

X

W

⁼

X

^---

X 3

Laagfrequent ontstaat na begrenzing en na detectie een span

ning, die evenredig is aan de phasevariatie met den tijd, dus

d_ (<p0 - y)

dt —

coo +

cos pt — x

+

x

p p .

— C0o

+

S COS pt

H----

COS p t

---

S171 pt cos pt

f s f l

H ieruit volgt direct voor

D

„ :

a ₃=- ⁱ₄

fß S

^.3p - ⁴^I

fs fß

^I =

2

^p^{^ / n 3}

—

^Cüo ^q

U it deze berekeningen is direct in te zien, dat met begrenzer alle distorsies (ook de hoogere graads) evenredig zijn met de laagfrequente m odulatiefrequentie, terw ijl zij zonder begrenzer

daarvan onafhankelijk zijn.

c. Als derde voorbeeld kiezen wij de berekening van de 3e graads distorsie, die afkom stig is van een bandhlter.