Uniforme convergentie

Analyse: van R naar R hoorcollege

Uniforme convergentie (4)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Puntsgewijze convergentie

Bekijk de rij van functies fn(x ) = xⁿ op [0, 1]. Dan wordt depuntsgewijze limietvan fn

gegeven door f (x ) := lim

n→∞fn(x ) = lim

n→∞xⁿ=

(0 als x < 1, 1 als x = 1.

We zien dat f niet continu is op [0, 1].

Definitie 24.1

Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fⁿ)puntsgewijs convergeertnaar f als voor alle x ∈ S geldt

n→∞lim fn(x ) = f (x ).

In symbolen betekent dit

∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat

|f_n(x ) − f (x )| <  als n > N.

Belangrijk is dat N hier van x afhangt.

Uniforme convergentie

Definitie 24.1

Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fⁿ)puntsgewijs convergeertnaar f als

∀ > 0 ∀x ∈ S ∃N ∈ N zodat

|f_n(x ) − f (x )| <  als n > N.

We kunnen dit sterker maken door de N in de definitie onafhankelijk van x te laten zijn:

Definitie 24.2

Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fⁿ)uniform convergeertnaar f als

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat

|f_n(x ) − f (x )| <  voor alle x ∈ S als n > N.

Uniforme convergentie

Definitie 24.2

Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn)uniform convergeertnaar f als

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat

|f_n(x ) − f (x )| <  voor alle x ∈ S als n > N.

We bekijken nogmaals fn(x ) = xⁿop [0, 1]. Gezien is dat fn→ f puntsgewijs, waar f (x ) = 0 voor x < 1 en f (1) = 1. Als deze convergentie ook uniform is, moet voor

 > 0 er een N zijn zodat

|fn(x ) − f (x )| <  voor alle x ∈ [0, 1] als n > N en dus

|x^N| <  voor alle x ∈ [0, 1).

Neem nu x = 2^−1/N ∈ (0, 1). Dan is |x^N| = 2⁻¹. We zien dus dat we geen uniforme convergentie fn→ f hebben.

Voorbeeld van uniforme convergentie

Definitie 24.2

Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn)uniform convergeertnaar f als

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat

|fn(x ) − f (x )| <  voor alle x ∈ S als n > N.

Bekijk fn(x ) = ¹_nsin(nx ) voor x ∈ R. Claim fn→ 0 uniform op R. Er geldt

|f_n(x ) − 0| =

_n¹sin(nx )  ≤¹_n.

Dus we zien dat voor N = ¹_ geldt |fn(x )| <  als n > N.

Uniforme convergentie en continu¨ıteit

Stelling 24.3

Stel dat fn→ f uniform op een verzameling S. Als elke f_n continu is in x0∈ S, dan is f dat ook.

Bewijs: zij  > 0. We bekijken

|f (x) − f (x0)|≤ |f (x) − f_N(x )| + |fN(x ) − fN(x0)| + |fN(x0) − f (x0)|.

Vanwege uniforme convergentie is er N zodat geldt

|f (x) − fN(x )| <₃^ voor alle x ∈ S . Vanwege continu¨ıteit van fN is er δ > 0 zodat

|f_N(x ) − fN(x0)| < ₃^ als |x − x₀| < δ.

Conclusie: voor |x − x0| < δ geldt |f (x) − f (x₀)| < ^₃+^₃+₃^ = .

Suprema en uniforme convergentie

Definitie 24.2

Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn)uniform convergeertnaar f als

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat

|fn(x ) − f (x )| <  voor alle x ∈ S als n > N.

We kunnen dit herformuleren als volgt:

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat sup

x ∈S

|f_n(x ) − f (x )| <  als n > N

oftewel

n→∞lim sup

x ∈S

|fn(x ) − f (x )| = 0.

E´en manier om uniforme convergentie aan te tonen is dus om het maximum van

|f_n(x ) − f (x )| te bepalen en te laten zien dat dit naar 0 gaat als n → ∞.

Uniforme convergentie en integraal

Definitie 24.2

Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fn)uniform convergeertnaar f als

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − f (x )| <  voor alle x ∈ S als n > N.

Stelling 25.2

Zij (fn) een rij continue functies en stel dat fn→ f uniform op [a, b]. Dan geldt

n→∞lim Z b

a

fn(x ) dx = Z b

a

f (x ) dx .

Bewijs: zij  > 0. Er bestaat N zodat voor n > N geldt |fn(x ) − f (x )| <_b−a^ voor alle x ∈ [a, b]. We bekijken

Z b a

fn(x ) dx − Z b

a

f (x ) dx    

=    

Z b a

fn(x ) − f (x )
dx    

≤ Z b

a

fn(x ) − f (x ) dx .

≤ Z b

a



b − adx = .

Uniform Cauchy

Definitie 24.2

Zij (fn) een rij re¨eelwaardige functies op S ⊆ R. We zeggen dat (fⁿ)uniform convergeertnaar f als

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat

|f_n(x ) − f (x )| <  voor alle x ∈ S als n > N.

Definitie 25.3

We zeggen dat een rij re¨eelwaardige functies (fn) op S ⊆ Runiform Cauchyis als

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fⁿ(x ) − fm(x )| <  voor alle x ∈ S als n, m > N.

Eenvoudig in te zien: als (fn) uniform convergent, dan ook uniform Cauchy.

Volledigheid

Stelling 25.4

Zij (fn) een rij functies die uniform Cauchy is op S ⊆ R. Dan convergeert fnuniform naar een zekere functie f op S .

We hebben

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat

|f_n(x ) − fm(x )| <  voor alle x ∈ S als n, m > N. (∗) dus in het bijzonder hebben we voor elke (vaste) x dat

∀ > 0 ∃N ∈ N zodat |fn(x ) − fm(x )| <  als n, m > N.

Voor elke x is de rij fn(x )
dus een Cauchyrij van getallen. Deze convergeert;

definieer f (x ) := limn→∞fn(x ).

Zij  > 0 en neem N als in (∗). Er geldt nu voor m > N dat

|f (x) − f_m(x )| =   lim

n→∞fn(x ) − fm(x )    = lim

n→∞|f_n(x ) − fm(x )| ≤  Dit geldt voor alle x ∈ S , dus hiermee is uniforme convergentie bewezen.