Uitwerkingen toets 18 maart 2011

Uitwerkingen toets 18 maart 2011

Opgave 1. Alle positieve gehele getallen worden rood of groen gekleurd, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:

• Er zijn zowel rode als groene getallen.

• De som van drie (niet noodzakelijk verschillende) rode getallen is rood.

• De som van drie (niet noodzakelijk verschillende) groene getallen is groen.

Vind alle mogelijke kleuringen die hieraan voldoen.

Oplossing. Stel dat we het getal k rood kleuren. We bewijzen met inductie naar n dat dan ook (2n + 1)k rood is voor alle n ≥ 0. Voor n = 0 is dit natuurlijk waar. Stel dat (2n − 1)k rood is voor zekere n, dan is ook k + k + (2n − 1)k = (2n + 1)k rood. Dit voltooit de inductie. Analoog geldt dat als k groen gekleurd is, dat dan ook (2n + 1)k groen gekleurd is voor alle n ≥ 0.

Zonder verlies van algemeenheid kunnen we aannemen dat 1 rood is. Dan zijn dus alle oneven getallen rood. Stel nu dat er ook een even getal 2m is dat rood is. Omdat nu 1 en 2m beide rood zijn, kunnen we weer makkelijk met inductie laten zien dat 2m + 2n rood is voor alle n ≥ 0. Er zijn nu nog maar eindig veel getallen over die groen kunnen zijn, namelijk de even getallen kleiner dan 2m. Echter, als ´e´en van die getallen groen is, dan moeten ook alle oneven veelvouden van dat getal groen zijn en dat zijn er oneindig veel, tegenspraak. Als anderzijds geen van die getallen groen is, dan hebben we een tegenspraak met de eerste voorwaarde. We concluderen dat er geen even getal is dat rood is. Dus alle even getallen zijn groen.

Deze kleuring voldoet ook aan alle voorwaarden: de som van drie oneven getallen is altijd oneven en de som van drie even getallen is altijd even, waaruit blijkt dat aan de tweede en derde voorwaarde voldaan is. Aan de eerste voorwaarde is duidelijk ook voldaan.

De enige mogelijke kleuringen zijn dus: alle even getallen groen en alle oneven getallen rood, of alle oneven getallen groen en alle even getallen rood. 

Opgave 2. In de scherphoekige driehoek ABC is ∠C groter dan ∠A. Zij E zodat AE een middellijn is van de omgeschreven cirkel Γ van 4ABC. Zij K het snijpunt van AC en de raaklijn in B aan Γ. Zij L het voetpunt van de loodlijn vanuit K op AE en zij D het snijpunt van KL en AB.

Bewijs dat CE de bissectrice van ∠BCD is.

Oplossing I. Door de voorwaarden in de opgave ligt de configuratie vast. Omdat ∠LAD =

∠EAB = ∠ECB vanwege de omtrekshoekstelling op koorde EB van Γ, geldt

∠BDK = ∠ADL = 180^◦− ∠DLA − ∠LAD = 90^◦− ∠LAD = 90^◦− ∠ECB

= ∠ECA − ∠ECB = ∠BCA = 180^◦− ∠BCK.

Hieruit volgt dat BDKC een koordenvierhoek is. Dus ∠BCD = ∠BKD. We gaan nu bewijzen dat ∠BKD = 2∠BCE, waaruit het gevraagde volgt.

Vanwege de raaklijnomtrekshoekstelling geldt ∠EBK = ∠BCE, dus ∠ABK = ∠ABE +

∠EBK = 90^◦+ ∠BCE. Met de hoekensom in driehoek ABK zien we vervolgens dat

∠AKB = 180^◦− (90^◦+ ∠BCE) − ∠BAK = 90^◦− ∠BCE − ∠BAK.

De omtrekhoekstelling vertelt ons dat ∠BAK = ∠EAK + ∠BAE = ∠EAK + ∠BCE, dus we vinden dat

∠AKB = 90^◦ − 2∠BCE − ∠EAK = 90^◦− 2∠BCE − ∠LAK.

Uit de hoekensom in driehoek AKL volgt dat ∠AKL = 90^◦− ∠LAK, dus

∠AKB = ∠AKL − 2∠BCE.

Dit geeft

∠BKD = ∠AKL − ∠AKB = 2∠BCE,

wat is wat we wilden bewijzen. 

Oplossing II. Omdat AE een middellijn is, geldt wegens de stelling van Thales dat

∠EBA = 90^◦ en ook ∠ECA = 90^◦. Verder geldt natuurlijk ∠KLA = 90^◦. Dus vol- gens de stelling van Thales liggen B en L op de cirkel met middellijn DE, dus is BDLE een koordenvierhoek. Wegens de rechte hoeken bij C en L is zo ook CKLE een koorden- vierhoek.

We passen de machtstelling toe op het punt A en de koordenvierhoek BDLE: er geldt AB · AD = AE · AL. De machtstelling op punt A en koordenvierhoek CKLE geeft juist AE · AL = AC · AK. Combineren van beide geeft dat AB · AD = AC · AK. Daaruit volgt met alweer de machtstelling vanuit punt A dat BDKC een koordenvierhoek is. Vanaf hier

kunnen we het bewijs vervolgen als in oplossing 1. 

Opgave 3. Vind alle drietallen re¨ele getallen (x, y, z) die voldoen aan x²+ y²+ z²+ 1 = xy + yz + zx + |x − 2y + z|.

Oplossing I. We herschrijven de gegeven vergelijking als

1

2x²− xy + ¹₂y²+ ¹₂y²− yz + ¹₂z²+¹₂z²− zx + ¹₂x²+ 1 = |x − 2y + z|, oftewel als

1

2(x − y)²+¹₂(y − z)²+ ¹₂(z − x)²+ 1 = |(x − y) + (z − y)|. (1) Substitueer nu a = x − y en b = z − y. Dan geldt x − z = a − b, dus krijgen we

1

2a²+ ¹₂b²+ ¹₂(a − b)²+ 1 = |a + b|. (2) Uit (a − b)² ≥ 0 volgt a² − 2ab + b² ≥ 0, dus 2a²+ 2b² ≥ a²+ b² + 2ab, wat betekent dat a² + b² ≥ ^(a+b)₂ ² met gelijkheid dan en slechts dan als a = b. Verder geldt natuurlijk ook (a − b)² ≥ 0. Dus

|a + b| = ¹₂a²+¹₂b²+¹₂(a − b)²+ 1 ≥ (a + b)² 4 + 1.

Schrijf nu c = |a + b|, dan staat hier

c ≥ c² 4 + 1.

Dit kunnen we herschrijven naar c² − 4c + 4 ≤ 0, oftewel (c − 2)² ≤ 0. Omdat links een kwadraat staat, moet hier wel gelijkheid gelden, dus c = 2. Verder moet nu ook in onze eerdere afschatting gelijkheid gelden, dus a = b. Dit invullen in (2) geeft a²+ 1 = 2, dus a = ±1. Zo vinden we de drietallen (y + 1, y, y + 1) en (y − 1, y, y − 1) voor willekeurige y ∈ R. Invullen in de vergelijking (1) (die equivalent is aan de oorspronkelijke vergelijking) laat zien dat deze drietallen inderdaad oplossingen zijn voor alle y ∈ R. Alle oplossingen worden dus gegeven door (y + 1, y, y + 1) en (y − 1, y, y − 1) met y ∈ R. 

Oplossing II. Leid net als hierboven vergelijking (2) af. Merk nu op dat |a + b| ≤ |a| + |b|

volgens de driehoeksongelijkheid, dus

1

2a²+ ¹₂b²+ ¹₂(a − b)²+ 1 = |a + b| ≤ |a| + |b|.

Dit kunnen we herschrijven als

1

2(|a| − 1)²+¹₂(|b| − 1)²+ ¹₂(a − b)² ≤ 0.

Links staat de som van drie kwadraten, dus deze moeten allemaal gelijk aan 0 zijn. Dus

|a| = 1, |b| = 1 en a = b. Zo vinden we weer de drietallen (y + 1, y, y + 1) en (y − 1, y, y − 1) voor willekeurige y ∈ R. Zie verder eerste oplossing. 

Oplossing III. We onderscheiden twee gevallen: x − 2y + z ≥ 0 of x − 2y + z < 0. In het eerste geval wordt de vergelijking

x²+ y²+ z²+ 1 = xy + yz + zx + x − 2y + z.

We kunnen dit beschouwen als kwadratische vergelijking in x:

x²+ (−y − z − 1)x + (y²+ z²+ 1 − yz + 2y − z) = 0.

We berekenen hiervan de discriminant:

D = (−y − z − 1)²− 4(y² + z²+ 1 − yz + 2y − z) = −3y²− 3z²− 3 + 6yz − 6y + 6z

= −3(y²+ z²+ 1 − 2yz + 2y − 2z) = −3(y − z + 1)².

We zien dat D ≤ 0, terwijl de kwadratische vergelijking alleen een oplossing heeft als D ≥ 0. Er moet dus gelden D = 0. Hieruit volgt y − z + 1 = 0, dus z = y + 1. We krijgen dan met abc-formule x = ^{−(−y−z−1)±}

√ 0

2 = y + 1. Zo vinden we het drietal (y + 1, y, y + 1) voor willekeurige y ∈ R. We moeten hiervoor nog controleren dat x − 2y + z ≥ 0. Dit geldt inderdaad, want x − 2y + z = 2. Dus dit drietal is een oplossing.

Nu bekijken we het geval x − 2y + z < 0. We krijgen weer een kwadratische vergelijking in x:

x²+ (−y − z + 1)x + (y²+ z²+ 1 − yz − 2y + z) = 0.

Deze heeft als discriminant

D = (−y − z + 1)² − 4(y²+ z²+ 1 − yz − 2y + z) = −3y² − 3z²− 3 + 6yz + 6y − 6z

= −3(y²+ z²+ 1 − 2yz − 2y + 2z) = −3(y − z − 1)².

We zien weer D ≤ 0, waaruit weer volgt dat D = 0, dus z = y − 1. We vinden vervolgens x = ^{−(−y−z+1)±}

√ 0

2 = y − 1. Zo vinden we het drietal (y − 1, y, y − 1) voor willekeurige y ∈ R. Er geldt nu x − 2y + z = −2 < 0, dus dit drietal is een oplossing.

Al met al zijn de enige oplossingen (y + 1, y, y + 1) en (y − 1, y, y − 1) voor willekeurige

y ∈ R. 

Opgave 4. Zij n ≥ 2 een geheel getal. Zij a het grootste positieve gehele getal waarvoor geldt 2^a| 5ⁿ− 3ⁿ. Zij b het grootste positieve gehele getal waarvoor geldt 2^b ≤ n.

Bewijs dat a ≤ b + 3.

Oplossing. We bewijzen dit allereerst voor oneven getallen n. Hiervoor geldt modulo 4 dat 5ⁿ ≡ 1ⁿ = 1 en 3ⁿ≡ (−1)ⁿ ≡ −1, dus 5ⁿ− 3ⁿ≡ 2 mod 4. Dus als n oneven is, geldt a = 1. Omdat b ≥ 1, is nu voldaan aan a ≤ b + 3.

Stel nu dat n ≡ 2 mod 4. Schrijf n = 2k met k een oneven positief geheel getal. Merk op dat 5^2k− 3^2k = (5^k− 3^k)(5^k+ 3^k). We hebben net laten zien dat 5^k− 3^kprecies ´e´en factor 2 bevat, aangezien k oneven is. We bekijken nu 5^k+ 3^k modulo 16. Voor m = 1, 2, 3, 4 geldt dat 5^m modulo 16 congruent is aan respectievelijk 5, 9, 13, 1. Omdat 5⁴ ≡ 1 mod 16, geldt dat 5^k ≡ 5 voor alle k ≡ 1 mod 4 en 5^k ≡ 13 voor alle k ≡ 3 mod 4. Voor m = 1, 2, 3, 4 geldt dat 3^m modulo 16 congruent is aan respectievelijk 3, 9, 11, 1. Omdat 3⁴ ≡ 1 mod 16, geldt dat 3^k ≡ 3 voor alle k ≡ 1 mod 4 en 3^k ≡ 11 voor alle k ≡ 3 mod 4. Al met al zien we dat 5^k+ 3^k ≡ 5 + 3 ≡ 8 mod 16 als k ≡ 1 mod 4 en 5^k+ 3^k ≡ 13 + 11 = 24 ≡ 8 mod 16 als k ≡ 3 mod 4. In beide gevallen bevat 5^k+ 3^k precies 3 factoren 2.

We concluderen dat voor n ≡ 2 mod 4 geldt: a = 4. Omdat b ≥ 1, is nu voldaan aan a ≤ b + 3.

We bewijzen nu met inductie naar m dat a ≤ b + 3 voor alle positieve gehele getallen n met precies m ≥ 1 factoren 2. De inductiebasis is m = 1, oftewel het geval n ≡ 2 mod 4.

Hiervoor hebben we dit al bewezen.

Zij nu m ≥ 1 en neem als inductiehypothese aan dat we al a ≤ b + 3 hebben laten zien voor alle getallen n met precies m factoren 2. Bekijk nu een getal n met m + 1 factoren 2. We schrijven n = 2k, waarbij k precies m factoren 2 heeft. Laat voor de duidelijkheid a(k) en b(k) de a en b zijn die horen bij k, en a(n) en b(n) de a en b die horen bij n. De inductiehypothese zegt dat a(k) ≤ b(k) + 3. We willen bewijzen dat a(n) ≤ b(n) + 3.

Er geldt 5ⁿ − 3ⁿ = 5^2k − 3^2k = (5^k− 3^k)(5^k + 3^k). Omdat k even is (hij bevat m ≥ 1 factoren 2) geldt modulo 4 dat 5^k+ 3^k ≡ 1^k+ (−1)^k≡ 2 mod 4. Dus 5^k+ 3^k bevat precies

´

e´en factor 2. Verder bevat 5^k− 3^k precies a(k) factoren 2. Dus a(n) = a(k) + 1. We weten daarnaast dat 2^b(k) ≤ k en 2^b(k)+1 > k, waaruit volgt dat 2^b(k)+1 ≤ 2k en 2^b(k)+2 > 2k. Dus b(n) = b(k) + 1. Nu kunnen we concluderen: a(n) = a(k) + 1 ≤ b(k) + 3 + 1 = b(n) + 3, waarmee de inductie voltooid is.

Dit bewijst dat a ≤ b + 3 voor alle gehele getallen n ≥ 2. 

Opgave 5. Gegeven is een trapezium ABCD met BC k AD. Neem aan dat de bissectrices van de hoeken BAD en CDA elkaar snijden op de middelloodlijn van lijnstuk BC.

Bewijs dat |AB| = |CD| of |AB| + |CD| = |AD|.

Oplossing I. Zij M het midden van BC en zij P het snijpunt van de middelloodlijn van BC met AD. Noem K het snijpunt van M P en de twee bissectrices. Laat L en N de voetpunten zijn van K op respectievelijk zijden AB en DC. Omdat AK en DK bissectrices zijn, geldt |KL| = |KP | = |KN |. Verder ligt K ook op de middelloodlijn van BC, dus

|KB| = |KC|. Omdat driehoeken BLK en CN K ook beide een rechte hoek hebben, zijn ze met (ZZR) congruent.

We onderscheiden nu vier gevallen. Bekijk eerst het geval dat L en N op het inwendige van respectievelijk zijden AB en DC liggen. Merk op dat driehoek KBC gelijkbenig is, zodat ∠KBC = ∠BCK. Dus geldt vanwege 4BLK ∼= 4CN K:

∠ABC = ∠LBK + ∠KBC = ∠NCK + ∠BCK = ∠BCD.

Hieruit volgt dat ABCD een gelijkbenig trapezium is en dat dus geldt |AB| = |CD|.

In het geval dat L en N beide op het verlengde van de zijden AB en DC liggen, kunnen we op analoge wijze laten zien dat |AB| = |CD|.

Nu bekijken we het geval dat L op het inwendige van zijde AB ligt, maar N op het verlengde van zijde DC. Omdat AK en DK bissectrices zijn, geldt |AL| = |AP | en |DN | = |DP |.

Dus geldt vanwege 4BLK ∼= 4CN K:

|AB| + |CD| = (|AL| + |LB|) + (|DN | − |N C|) = |AP | + |LB| + |DP | − |LB| = |AD|.

In het geval dat L juist op het verlengde van AB ligt en N op het inwendige van DC, laten

we op analoge wijze zien dat |AB| + |CD| = |AD|. 

Oplossing II. Zij K het snijpunt van de middelloodlijn van BC en de twee bissectrices.

Spiegel B in de lijn AK en noem het beeld E. Omdat AK een bissectrice is, ligt E op AD, geldt |AB| = |AE| en is AK de middelloodlijn van BE, zodat |KB| = |KE|. Spiegel nu ook C in DK en noem het beeld F . Ook F ligt op AD en verder geldt |DC| = |DF | en

|KC| = |KF |. Als E en F hetzelfde punt zijn, zien we dat |AB| + |CD| = |AE| + |F D| =

|AD|.

Stel nu dat E en F niet hetzelfde punt zijn. Omdat K op de middelloodlijn van BC ligt, geldt |KB| = |KC|. We wisten al |KB| = |KE| en |KC| = |KF |, dus K ligt op gelijke afstand van de vier punten B, C, E en F . Dat betekent dat deze vier punten op een cirkel liggen. We nemen aan dat de volgorde van de punten op deze cirkel BCF E is; het geval dat de volgorde BCEF is, gaat analoog. Er geldt nu

∠F CB = 180^◦− ∠F EB = ∠AEB = ∠EBA.

Analoog geldt ∠EBC = ∠F CD. Dus

∠BCD = ∠F CB + ∠F CD = ∠EBA + ∠EBC = ∠ABC.

Hieruit volgt dat ABCD een gelijkbenig trapezium is en dat dus geldt |AB| = |CD|.