Hier zullen we een van de meest voorkomende toepassingen van de ARTbehandelen: de theorie van de oerknal

8 Relativistis he kosmologie

8.1 Introdu tie

In devorige hoofdstukkenhebben we de spe ialeen de algemene relativiteitstheorie behandeld.

De on eptenvangekromde ruimeen tijdzijnbedis ussieerd,we wetenwelk verbanderbestaat

tussen de metriek en de aanwezige massa en energie, en zijn in staat een verkregen metriek te

gebruiken omfysis hmeetbaregrootheden(afstandenentijden) teberekenen. Devolgendestap

die gemaakt kan worden, is het toepassen van de theorie op enkele spe ieke problemen, en

dit is pre ies waar we in dit hoofdstuk mee zullen beginnen. Hier zullen we een van de meest

voorkomende toepassingen van de ARTbehandelen: de theorie van de oerknal. We zullen dan

zien dat een gevolg van de relativiteitstheorie is dat het heelal uitdijt, en dat de snelheid van

uitdijing te berekenen is wanneer we massa en energie kennen waarmee het heelal gevuld is.

Verder zullen we zien dat het model niet ompleet is: waarnemingen laten zien dat er enkele

onvolkomenheden in de oerknaltheorie zijn opgesloten. Deze zullen we behandelen, en daarna

pogen opte lossendoor detheorie uittebreiden meteen nieuw idee: dekosmologis he inatie.

8.2 Het kosmologis h prin ipe

We zullen onsnu gaan bezighouden met de toepassing vande relativiteitstheorie op hetheelal.

Het is belangrijk omin te zien dat de delen van het universum dat we kunnen waarnemen, op

zijnminstinprin ipe,isgelimiteerdtotdegebieden dievoldoende tijdgehad hebbenomonsvia

li htsignalentebereikenvanafdeBigBang. Wegevendits hematis hweerinFig. 58. Eenvraag

Figuur 58:(a) De verleden li htkogel van een waarnemer vormt de grens van het waarneem-

bare gebied dat we de deeltjeshorizon noemen. Als dezewaarnemer inde toekomst een andere

waarnemingdoet,datisditgebiednaarbovenennaar dezijkantengroter geworden. Hetgebied

buiten de randen bevat gebeurtenissendie in de toekomst waarneembaar kunnen worden. Met

li ht ziet de waarnemer sle hts gebeurtenissendie op de li htkegel liggen, maar de gebeurtenis-

sen binnen deze kegel kunnen informatie gestuurd hebben met lagere snelheid. Het diagram

laat zien dat er grenzen zijn aan het waarneembare gebied. (b) Twee sterrenstelsels liggen in

tegengestelde ri htingen van elkaar en op grote afstand, zodat hun li ht het universum toont

toen het veeljonger was. Ze liggen zo ver uitelkaar dat ze onvoldoende tijd hebben gehad om

te ommuni eren: hun verleden li htkegels bereiken de Big Bang voordat ze elkaar snijden. Dit

ishetgebruikelijkebeeldvande BigBangzonder inatieentoont waaromde homogeniteitvan

hetuniversum moeilijk tebegrijpenisvoorhetstandaardBig Bangs enario. Hetvereistdat de

Big Bangop nagenoeggelijke wijzebegonnen isopniet-verbonden lokaties.

omdeevolutievan hetheelalte bes hrijven? Er zijnimmers nogenkele anderenatuurkra hten,

dieveleordesvangroottekra htiger zijndandezwaartekra ht. Ditisinderdaadhetgeval,maar

we moetenonsbedenken dat dezekra htenop kosmis hes haalvrijwelgeeninvloed uitoefenen:

de sterke en zwakke kernkra ht werken alleen op s halen van de orde van femtometers, en de

elektromagnetis he kra ht speelt een verwaarloosbare rol aangezien sterren, sterrenstelsels, en

alle andere materie elektris h neutraal zijn op ma ros opis he s haal. Het gevolg is dan ook

dat alleen de zwaartekra ht een rol kan spelen in de dynami a van het heelal, en dus dat we

relativiteitstheorie kunnen gebruiken omdezedynami a teonderzoeken.

Watwetenwevanhetheelal? Eenvandeeerstedingendieopvaltwanneerwenaardena hthemel

kijken, isdat heterin elke ri hting hetzelfdeuit lijkttezien. Wanneeriets beter bekeken,lijkt

dit to h niet helemaal zo te zijn: planeten volgen een pad ten opzi hte van de vaste sterren,

meteorenregens vers hijnenop gezettetijdenen op vers hillende plaatsen aande hemel,en hier

en daarlijkt desterrendi htheidgroter dan opeen andereplek. E hter, aldezeonregelmatighe-

den zijn alleen te ontwaren wanneer het heelal bekeken wordt op een s haal zo groot als wij

kunnen zien in een enkel beeld van een teles oop of het blote oog; op een s haal gezien van

enkele honderden megaparse s zijn dezeonregelmatigheden uitgesmeerd, en lijkthet heelalwel

degelijk erg hetzelfde, gezien in alle ri htingen. Deze eigens hap draagt de naam isotropie. De

Figuur 59:De kosmis he mi rogolf a htergrondstraling (CMBR) is een vorm van elektromag-

netis he straling die het universum vult. De CMBR wordt verklaard door de oerknaltheorie

als het nagloeien van het waterstofplasma 380.000 jaar na de oerknal. Dat is de periode van

re ombinatie van protonen en elektronen tot waterstof. De CMBR heeft het spe trum van de

thermis hstralingvaneenzwartli haammeteen temperatuur van2,725K(toteenpre isievan

50 delenop 1miljoen) enisotrooptotongeveer1 deelin10^5.

isotropie vanhetheelalwordt veelmeer kra ht bijgezetwanneerniet alleengekeken wordt naar

deverdeling vanmaterie inhetheelal,maarooknaarde verdelingvanli ht enstraling. Volgens

Gamowbegononsuniversum alseen extreem heteenge omprimeerde neutralebolineen stral-

ingsbad. Vanwege haar grote interne energie expandeerde deze vuurbal zó snel, dat dit pro es

gewoonlijk de Big Bang wordt genoemd. Tegenwoordig vers hilt het gea epteerde `standaard

model' van hetbeginnend universum in details van Gamow's beeld, maar het on ept van een

zias en Wilson. Alin1965 meetten Penzias enWilson dat de aarde gebombardeerd wordtdoor

enorme aantallen fotonen die, ongea ht uit welke ri hting zij komen, allemaal 72

dezelfde ener-

gie hebben (deze energie komt overeen met een temperatuur van ongeveer 2,725 Kelvin). Dit

betekent dat alle zi htbare delen van het heelal dezelfde temperatuur hebben: blijkbaar is ook

destralingsenergie geheelisotroop verdeeldoverhetzi htbare heelal. Re entemeetgegevensvan

de Wilkinson Mi rowave Anisotropy Probe (WMAP) worden getoond in guur 60. De mikro-

Figuur 60: Meetgegevens verzameld met de Wilkinson Mi rowave Anisotropy Probe. Boven:

de temperatuurverdeling in gala tis he oördinaten. Beneden: een referentiekaart die emissie

vande melkweg,hetCygnus ompexen anderebronnen toont.

golfa htergrondstraling wordtgeïnterpreteerd alsde stralingdieovergebleven isvan hetinitiële

stralingsbad van het beginnend universum. Uit de ruimtelijke verdeling van de straling kun-

nen we informatie verkrijgen over het universum toen het ongeveer 380.000 jaar oud. Sinds

72

Ooknukijkenwenaarhetheelalopzeergrotes haal;ditbetekentdatwedelokaleafwijkingenvandeenergie

die tijd hebben de fotonen een roodvers huiving ondergaan door expansie van het universum.

Voor tijden kleiner dan 380.000 jaar na de Big Bang was de temperatuur te hoog voor een

ongestoordevoortplantingvande fotonenen wasbijvoorbeeldookwaterstofgas niet stabiel. De

meetgegevensvanWMAPduidenopeentemperatuurvan2,725Kmet diverseanisotropiën. De

grootsteanisotropieisafkomstigvandebewegingvanonsmelkwegstelseltenopzi htevanhetde

kosmis he a htergrondstraling 73

. Belangrijk zijnvooral de anisotropiënop het 10^{−5 niveaus op}

een s haalvanongeveer 10boogminutentotenkele graden. Dezekleine variatieszijnhet gevolg

vanhetzogenaamdeSa hse-Wolf ee t,waardoor fotonenvan dea htergrondstraling een gravi-

tationeleroodvers huivingkrijgen. Volgenshetinatiemodelligtdeoorsprongvandezevariaties

inquantum u tatiesdie gedurendede inatieeraexpandeerden en resulteerdeninprimordiale

u tuaties. Uit deze laatste u taties is de huidige stru tuur van onsuniversum ontstaan. De

belangrijkste on lusies van WMAPtotnutoe kunnenals volgt wordensamengevat:

• ^{Hetuniversum is}13, 72 ± 0, 12^{miljard jaaroud.}

• ^{Dediameter van hetuniversum isminstens 78 miljardli htjaar.}

• ^{Het universum bestaat uit} 4, 6 ± 0, 1 ^{% gewone} baryonis he materie, uit 23, 3 ± 1, 3 ^%

van een onbekend soort `dark matter' genaamd, omdat deze niet zi htbaar is, maar wel

gravitationeleee tenheeft,enuit72, 1 ±1, 5^{%vanietsdatwe`darkenergy'noemen. Dit}

laatsteiseenhypotetis heenergievormdiehetheleuniversum doordringteneennegatieve

drukuitoefent,waardoor eree tief een afstotendegravitatiekra ht ontstaat.

• ^Dekosmologis he s enario'svoor inatiezijn onsistent metde waarnemingen.

• ^{DeHubble onstanteis} 70, 1 ± 1, 3 ^{km/s/Mp .}

• ^{Als de huidige theorieën worden toegepast op de WMAP} meetgegevens, dan is er een indi atie dat hetuniversum eeuwig zalexpanderen.

Veel van deze on lusies zullen we in het vervolg van dit hoofdstuk aeiden. Naast het over-

tuigende bewijs geleverd door COBE en WMAP, zijn er meer aanwijzingen voor de juistheid

van de Big Bang theorie, bijvoorbeeld de abondantie van de li hte elementen, de zogenaamde

primordiale nu leosynthese.

Ookdematerieverdelingopgrotes haalinhetuniversumisisotroop. Dit wordtgetoondinFig.

61. Inhetbinnengebied, waarhet onderzoek meer volledig is, wordengaten, knopen endraden

zi htbaar,maaropdegrootstes halenisdeverdelingvansterrenstelselsgelijkvoorpraktis helk

gebied in hetuniversum. Wanneer deze isotropie wordt samengevoegd met de geda hte dat de

aardegeenspe ialepositieinneemt, danmoeten weaannemen dat hetheelalervanelke positie

gezien erhetzelfde uitziet(de zogenaamdeaanname van homogeniteit) inalle ri htingen. Deze

ombinatie van isotropie en homogeniteit wordt vaak als startpunt genomen van de toepassing

vanrelativiteitstheorie ophetheelal, en draagtals naamhetkosmologis h prin ipe:

vanaf elke positie in het heelal, lijken materie en energie gelijkmatig verdeeld te zijn, wanneer

bekeken op eens haalvanongeveer100 Mp .

Alswijeenmodelwillen bouwendatdeevolutievanhetheelalsu esvolbes hrijft,danmoetdit

hetkosmologis h prin ipehebben ingebouwd, danweleen manierbevattenwaarop hetop eenof

andere maniereen logis h gevolg isvan de details van het model. Wij zullen inhetvervolg het

kosmologis hprin ipe zelf inbouwen inonzebes hrijving.

73

Erisduseenvoorkeur vooreenreferentiesysteeminhet universum: eensysteemdatis rustistenopzi hte

vandekosmis hea htergrondstraling. DitbreektLorentzinvariantieenleidtooktothetnietgeldenvanbehoud

Figuur 61:De2dFroodvers huivingsurveyheeft spe tragemetenvan245.591 obje ten, voor-

namelijk sterrenstelsels. Getoond worden de hoekposities en roodvers huivingen van deze ster-

renstelsels. Het lijktalsof er mindersterrenstelsels op groteafstand worden gemeten, maar dat

wordt veroorzaaktdoor hetfeitdat dan alleenmaarde helderste stelselszi htbaar zijn.

Willen wij de algemene relativiteitstheorie gebruiken omhet heelal tebes hrijven, dan ligt het

voor dehand een metriektekiezendieeen materie- enenergieverdeling oplevertdieinovereen-

stemmingismet hetkosmologis h prin ipe. Ditblijktniet eenheel moeilijketaak tezijn. Inde

eersteplaats haddenwealopgemerktdatzwaartekra htdeenigekra htisdieopdezes haaleen

rol speelt inde evolutie van hetheelal, en dit betekent dat we geenrekeninghoeven te houden

met de ingewikkelde quantumme hanis he details van de andere drie kra hten, danwel de wis-

selwerking van onze metriek met deze kra hten opdat de gewenste homogeniteit en isotropie

gevonden wordt. In plaats daarvan kunnenwe de metrieken de verdelingvan massaen energie

als dire t ge orreleerd zien zonderinvloeden van de andere kra hten. Zo volgt dan ook dat als

de metriekzelfgeenvoorkeursri hting danwel voorkeurspositie kent,de energieverdeling ditook

niet zalhebben.

Het is niet zo heel moeilijk om een metriek te vinden die aan deze eis voldoet. Alvorens dit te

doen,zullenwenueveneenpaarvandeonsalbekendemetriekenbes houwen. Des hwarzs hild-

metriekisisotroop,maarniet homogeen;de metriekdienewtoniaansezwaartekra ht opleverde,

vergelijking(385), is ook isotroop maar niet homogeen. De minkowskimetriek, daarentegen, is

zowel isotroop als homogeen! Maar de minkowskimetriek zou tekort s hieten om het heelal

te bes hrijven, aangezien we al gezien hadden in het vorige hoofdstuk dat deze metriek strikt

genomen alleen een oplossing is van de Einsteinvergelijkingen in de afwezigheid van materie en

energie: een leeg heelal dus. Bovendien beperken we ons met deze keuze van de metriek meer

danhetkosmologis hprin ipe verlangt: hetprin ipe zegtinderdaad dathetheelalervanafelke

positie gezien, inalle ri htingen er hetzelfde uit behoort te zien, maar niet dat dit uitzi ht op

elktijdstip hetzelfdehoefttezijn. Hetisdanooktoegestaanomeentijdsafhankelijkheidaande

minkowskimetriektoetekennen,mitsdezemaarinalleruimtelijkeri htingen hetzelfdeis. Deze

tijdsafhankelijkheidvoegtmentoe door middelvaneen (op ditmoment nog) onbekende fun tie

a(t)^{,genaamd de} s haalfa tor, ende metriekwordtgegevendoor

g_µν =









−1 0 0 0

0 a²(t) 0 0 0 0 a²(t) 0

0 0 0 a²(t)









. ⁽⁴⁰⁶⁾

Deze metriek draagt de naam vlakke Robertson-Walker metriek, en speelt een hoofdrol in de

kosmologie 74

. Defysis hebetekenisvandes haalfa tora(t)^{issnelinteziendoorhet}lijnelement

ds^{2 uittes hrijven. Wevinden}

ds² = −c²dt²+ a²(t)dx²+ a²(t)dy²+ a²(t)dz²

= a²(t)dxⁱdx_i

= a²(t)d~x², ⁽⁴⁰⁷⁾

waar de tweede stap geldt voor een spe iale waarnemer die een afstand wil meten, en voor wie

daarom geldtdt = 0^{. Integrerenomeen eindige afstand}S ^{teberekenen levert} S =

Z

a(t)d~x

= a(t) Z

d~x. ⁽⁴⁰⁸⁾

Blijkbaar is de gemeten afstand S ^{in de vlakke} Robertson-Walker ruimte niets anders dan de afstand R d~x ^{zoals die gemeten zou zijn in een} minkowskimetriek, maal de fun tie a(t)^{. Dit}

verklaart de naam schaal^{fa tor:} a(t) ^{geeft aan hoeveel groter (als} a(t) > 1^{) of hoeveel kleiner}

(als a(t) < 1^{) een gemeten afstand is bij een gegeven} oördinaatafstand, vergeleken met de overeenkomstige gemeten afstand in een minkowskimetriek. Bovendien kunnen we nu de tijds-

afhankelijkheid van de s haalfa tor interpreteren: als a(t) ^{een stijgende fun tie is in de tijd,}

betekent dit dat gemeten afstanden steeds groter worden. De impli atie van dit is enorm: het

betekentdattwee,zeg,sterrenopvaste oördinaatafstand,zi hvanelkaarzullenverwijderenmet

eensnelheidgelijkaan ˙a(t)^{. Vanafdeaardegezien(of,}overeenkomstighetkosmologis hprin ipe, vanaf elk willekeurig punt inhet heelal) lijken deze sterren zi h van elkaar te verwijderen met

een snelheid ˙a(t)^{. Dit geldt voorelke} willekeurige twee sterrenofalle andere materieof straling inhet heelal: alles verwijdertzi h van elkaar met een snelheid gedi teert door de tijdsafgeleide

vande s haalfa tor: we spreken indat gevalvan een uitdijendheelal. Opdezelfde maniervolgt

datalsa(t) ^{eendalendefun tie indetijdis, gemetenafstanden afnemenindetijd, enhet heelal}

krimpt. Detijdsafgeleide ˙a(t)^vande s haalfa torisdaaromeen maatvoordesnelheidwaarmee hetheelaluitdijtof inkrimpt; de tweedetijdsafgeleide ¨a(t)^{van de} s haalfa toris een maatvoor de veranderingvan deuitdijingssnelheid.

8.3 De wet van Hubble

Eenuitdijendofinkrimpendheelalheeftalskenmerkdatdegolengtevanhetli htvandesterren,

oprektofinkrimpt,endaardoordekleurvanditli ht roderdanwelblauwerwordt. Dit betekent

dat, ineen uitdijendheelal, uitgezondensterrenli ht roderaankomt inonze teles open dan het

74

Erzijnnogtweeanderemetriekendenkbaardievoldoenaanhetkosmologis hprin ipe,tewetendesferis he

endehyperbolis heRobertson-Walkermetrieken,endezeleidentoteenruimtedienietalleen uitdijt,maarook

gekromdis. Dezebes hrijvendanookeenheelalwaarinaanvankelijkevenwijdigelopendeli htstralen onvergeren

respe tievelijk divergeren. E hter, de theorie van kosmologis he inatie leidt ertoe dat de vlakke Robertson-

Walkermetriekdebestebes hrijvinggeeftvanhetheelal waarinwij leven. Bovendienwordtdezevormvande

uitgezondenwordtdoor desterren, enbovendien dat dezeroodvers huiving eenmaat isvoor de

uitdijingssnelheid ˙a(t) ^{van het heelal. Dit verband zullen we nu} onderzoeken. We bes houwen hiertoe een li htstraal in dit heelal. Volgens de relativiteitstheorie volgt deze li htstraal een

li hta htig pad,

ds² = −c²dt²+ a²(t)dx²

≡ 0. ⁽⁴⁰⁹⁾

Wenemenhieraan,zonderverliesvanalgemeenheid,dathetli ht zi hlangsdex^{-ri htingvoort-}

beweegt. Alsdezeli htstraalisuitgezondenop tijdstipt_e^{(emissie) en gemetenisop hethuidige}

tijdstip t_o (ontvangst), dan kunnen we deze relatie integreren om tezien hoeveel oördinaataf- standR ^{hetli ht aegttussen deemissie enontvangst. Er geldt}

R = Z _R

0

dx = Z _to

te

cdt

a(t). ⁽⁴¹⁰⁾

We bes houwen nu een waarnemer op grote afstand dieli ht inpulsjes uitzendt, en een tweede

waarnemer diedezepulsjesontvangt; hun onderlinge oördinaatsafstand isR^{. Dezender stuurt}

twee pulsjes weg, een tijd δt_e ^{van elkaar. De ontvanger zal de pulsjes iets later na elkaar ont-}

vangen, aangezien hetheelal ondertussen uitdijt: hijmeet dat de pulsjes een tijdδt_o ^{na elkaar}

aankomen. Aangezien de oördinaatafstand tussen de twee waarnemers niet verandert tijdens

uitdijing van hetheelal 75

,moeternu gelden

c

Z to+δto

te+δte

dt a(t) = c

Z to

te

dt

a(t). ⁽⁴¹¹⁾

Beide kanten van de vergelijking worden vermenigvuldigd met de fa tor c^{; deze delen we weg.}

Dere hterkant vandeze vergelijkingkunnen we s hrijven als

Z _to

te

dt a(t) =

Z _te+δte

te

dt a(t)+

Z _to+δto

te+δte

dt a(t) +

Z _to

to+δto

dt

a(t). ⁽⁴¹²⁾

Wildit gelijkzijnaan de linkerkant van devergelijking (411), dan moet gelden

Z te+δte

te

dt a(t) +

Z to

to+δto

dt

a(t) = 0. ⁽⁴¹³⁾

Als we aannemen dat δt_o ^en δt_e ^{zó kleinzijn dat de}s haalfa tormaar weinig verandert indeze integralen (dit wil zeggen: we nemen aan dat het heelal veel minder snel uitdijt dan de pulsen

naelkaaruitgezondenworden), dan kunnenwe a(t)^{als onstant nemen, en zegtdezelaatsteeis}

dat

δt_o

δt_e = a(t_o)

a(t_e). ⁽⁴¹⁴⁾

Dit is een relatie tussen de tijden tussen pulsjes zoals gemetenen zoals verzonden. Dit vers hil

wordt dire t bepaald door de grootte van het heelal tentijde van uitzending (t_e^{) en ontvangst}

(t_o^{). Alswededuurtussendepulsjesnuopvattenalsde}trillingstijdvaneenli htgolf,dankunnen we een uitspraak doen overde verhouding in frequentie ω ≡ 2πδt^{−1 (kleur) van het li ht zoals}

verzonden en ontvangen. We vinden dan de formulevoor de kosmologis he roodvers huivingz^.

75

Indekosmologiegebruikenweeen oördinatenstelseldatmetdeuniverseleexpansiemeeoprekt. Wenoemen

dergelijke oördinaten,meebewegende oördinaten.

sterrenstelsel met roodverschuiving : z = 0,004

sterrenstelsel met roodverschuiving : z = 0,004

Golflengte [ Angstrom ]

Figuur 62:De kosmologis he roodvers huiving. De spe tra van twee sterrenstelsels worden

getoond als de ontvangen intensiteit alsfun tie van de golengte (1 Angstrom= 10^{−10 m). De}

heldere lijnen van de twee spe tra orresponderen met een vers huiving van ∆λ/λ ≡ z = 0, 1^.

Dit wordtde kosmologis he roodvers huiving genoemd.

Er geldt

1 + z ≡ ω_e

ω_o = a(t_o)

a(t_e). ⁽⁴¹⁵⁾

We zien dat de roodvers huiving z ^{een maat is voor de} verandering van de kleur van hetli ht, ten gevolge van de uitdijing van het heelal. Experimenteel gezien betekent dit, dat we door

metingvandekleurvers huivingvansterrenli ht kunnenbepalenwatdehuidigewaardeisvande

s haalfa tor,tenopzi hte vandietentijdedathetli htuitgezondenwerd. Ditgeeftonsdaarmee

een maat voor de tijdsevolutie van de s haalfa tor, en daarmee voor de uitdijingssnelheid van

hetheelal.

Voor sterren die niet te ver weg staan van onze teles open heeft het li ht niet veel tijd nodig

om de afstand te overbruggen, en kan de s haalfa tor nooit heel erg veranderd zijn tussen de

momentenvanuitzendingenontvangstvanhetsterrenli ht. Ditbetekentdat wedes haalfa tor

tentijde van uitzending, a(te)^{,goed kunnen benaderen door de T}aylor-reeks

a(t_e) ≈ a(to) + ˙a(t_o)(t_e− to). ⁽⁴¹⁶⁾

Ingevuld inde formulevoor de kosmologis he roodvers huiving, volgt opdeze manier

1 + z = a(to)

a(t_e) ≈ a(to)

a(t_o) + ˙a(t_o)(t_e− to)₋₁

≈ 1 + ˙a(t_o)

a(to)(t_o− te), ⁽⁴¹⁷⁾

waar inde laatste stap de wiskundige regel isgebruikt dat (1 + x)^m ≈ 1 + mx^{, welke geldt als} mx ≪ 1^{; dit is hier het geval, aangezien} (t_e − to) ^{een maat is voor de afstand tussen zender}