Marking Scheme

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

Dark Matter 

A. Cluster of Galaxies  Question A.1 

Answer  Marks 

Potential energy for a system  of a spherical object with mass  4 3

( )3 

M r r  and a test particle with mass dm at a distance r is given by 

  M r( )

dU G dm

r  

0.2 pts 

Thus for a sphere of radius R 

3

2 2 2 4

0 0 0

2 2 5

( ) 4 16

3 4 3

16 15

     

 

     

 



^{R M r}



^{R r}



^R

U G dm G r dr G r dr

r r

G R

  0.6 pts 

Then using the total mass of the system  4 3

3 



M R  

we have 

3 2

 5GM

U R  

0.2 pts 

Total  1.0 pts   

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

Question A.2 

Answer  Marks 

Using the  Doppler Effect,  

) 1 1 (

1

0

0 

 ^{ }

 f  f

f_i , 

where   v c _and v  . Thus the i‐th galaxy moving away (radial) speed c is 

f c f V_ri fⁱ

0

 0



  

Alternative without approximation: 

 

 

0.2 pts 

All the galaxies in the galaxy cluster will be moving away together due to the  cosmological  expansion.  Thus  the  average  moving  away  speed  of  the  ^N galaxies in the cluster is 

. 

Alternative without approximation: 

 

0.3 pts 

Total  0.5 pts   



  1

1 f0

f_i



 



 

 ⁰ 1

i

ri f

c f V

  



  

 



 









 ^N

i i N

i i

cr f

f N f c

Nf f V c

1 0

1

0 0

1





  

 



 





 



 

 ^N

i i

N

i i

cr f

f N

c f f N V cf

1 0

1 0

0 1 1 1

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

Question A.3 

Answer  Marks 

The galaxy moving away speed Vi, in part A.2, is only one component of the  three component of the galaxy velocity.  Thus the average square speed of each  galaxy with respect to the center of the cluster is 

  Due to isotropic assumption 

 

0.5 pts 

And thus the root mean square of the galaxy speed with respect to the cluster  center is 

 

 

Alternative without approximation: 

0.7 pts 





 













 ^N

i

zc zi yc

yi xc

xi N

i

c

i V V V V V V

V N

N V 1

2 2

2 1

2 1 ( ) ( ) ( )

) 1 (





 





 ^N

i

cr ri N

i

c

i V V

V N

N V 1

2 1

2 3 ( )

) 1 (

2 1

2 1

2 2

1

2 3 3

) 2

3 ( )

3 (

cr N

i ri N

i

cr ri cr ri N

i

rc ri

rms V V

V N V V N V

V N V

v 



 



 











  







 

2

1 1

2 0

2 0 1 0 2

1 1

2 0 0 2

0

2

1 0

1

2

0

3

1 2 1 2

3

1 1 1 1

3



 







 



 











   



 



 



 



  

















 



 

















 



 































N

i i N

i i

N

i i N

i i N

i

i i

N

i i N

i i rms

f f

N N f c

f N f

f f f N

f f N f

f c

f f N f

f c N

v

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

 

   

The mean kinetic energy of the galaxies with respect to the center of the cluster  is 

   

0.3 pts 

Total  1.5 pts   

2

1 1

2 0

2 1 0

0 2

1

1 2

0 0 2

0

2

1 0 1

2 0

1 1

3

1 1 1 21 1 1 1

1 2 1 1 1

3

1 1 1 1

3



 



















 



 











   

 



 



















  













 



 



 

















 



 































N

i i

N

i i

N

i i

N

i i

N

i i i

N

i i

N

i i

rms

f N f

N cf

f f f N f

f N f f f

N f

c

f f N f

f c N

v

2 1

2

) 2 1 (

2 ^rms

N

i

c

ave i mv

V N V

K  m



 



Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

Question A.4 

Answer  Marks 

The time average of d/dt vanishes 

0

t

d dt

   

Now 

2

i i

i i i i

i i i

i i i i i i i

i i i

dp dr

d d

p r r p

dt dt dt dt

F r m v v F r K

      

      

  

  

 

   

        

0.6 pts 

Where K is the total kinetic energy of the system. Since the gravitational force on  i‐th  particle comes from its interaction with other particles then 

,

2 tot

( )

( ) ( )

| | | | | |

    

  

         

         

  





     

  

           

      

     

i i ji i ji i ij i ji i ji j

i i j i i j i j i j i j

i j i j i j

ji i j i j

i j i j i j i j i j i j

F r F r F r F r F r F r

m m r r m m

F r r G r r G U

r r r r r r

  

Alternative proof: 

.

,

. . . . ⋯ .  

. . . ⋯ .  

. . . ⋯ . …  

. . . ⋯ .  

Collecting terms and noting that   we have 

0.9 pts 

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

. . . ⋯ .

. ⋯ . ⋯ .

.  

Thus we have 

d 2

U K

dt

   

And  by  taking  its  time  average  we  obtain   2 0

t

K dt U

d   and  thus

t

t U

K 2

1

 . Therefore

2

1

 . 

0.2 pts 

Total  1.7 pts   

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

Question A.5 

Answer  Marks 

Using Virial theorem, and since the dark matter has the same root mean square  speed as the galaxy, then we have 

t

t U

K 2

1

  

 

0.3 pts 

From which we have 

  0.1 pts 

And the dark matter mass is then

  0.1 pts 

Total  0.5 pts   

R v GM

M

rms

2 2

5 3 2 1

2 

G M Rv^rms

3 5 ²



g rms

dm Nm

G

M  Rv 

3

5 ²

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

B. Dark Matter in a Galaxy  Question B.1 

Answer  Marks 

Answer B.1: The gravitational attraction for a particle at a distance r from  the  center  of  the  sphere  comes  only  from  particles  inside  a  spherical  volume of radius r. For particle inside the sphere with mass , assuming  the particle is orbiting the center of mass in a circular orbit, we have  

    

0.3 pts 

with  is the total mass inside a sphere of radius     

Thus we have 

   

0.2 pts 

While for particle outside the sphere, we have 

 

0.2 pts 

           

ms

r v m r

m r

Gm ^{s s}

2 0 2

) (

' 

) (

m' r r

n m r r

m ³ _s

3 ) 4 (

'  

Gnm r r

v ^s

2 / 1

3 ) 4

( 



 



 

2 / 3 1

3 ) 4

( 

 





r R r Gnm

v  ^s

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

The sketch is given below 

  Sketch of the rotation velocity vs distance from the center of galaxy 

0.1 pts 

Total  0.8 pts  Question B.2 

Answer  Marks 

The total mass can be inferred from   

Thus 

   

0.5 pts 

Total  0.5 pts   

g s g

s g

R v m R

m R Gm

2 0 2

) (

' 

G R R v

m

m_{R g} ^g

2

) 0

(

' 



Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

Question B.3 

Answer  Marks 

Base on the previous answer in B.1, if the mass of the galaxy comes only  from  the  visible  stars,  then  the  galaxy  rotation  curve  should  fall  proportional to  on the outside at a distance r >  . But in the figure  of problem b) the curve remain constant after r >  , we can infer from 

. 

 to make  constant, then m'(r) should be proportional to r for ,  i.e. for r > ,  with   is a constant.   

  

0.3 pts 

While  for ,  to  obtain  a  linear  plot  proportional  to ,  then  should be proportional to , i.e.  . 

 

0.3 pts 

Thus for  we have 

 

  Thus total mass density    

0.2 pts 

or  

Thus the dark matter mass density  

0.2 pts 

1 r R_g

Rg

r v m r

m r

Gm ^{s s}

2 0 2

) (

' 

)

v(r rR_g

Rg m'(r) Ar A

Rg

r  r m' r( )

r3 m'(r)Br³

Rg

r



^



r

t r r dr Br

r m

0

3

2 '

' 4 ) ( )

(

'  

dr Br dr r r r

dm'( )_t( )4 ² 3 ²

 

4 ) 3

( B

t r 

3

0

2 '

' 4 4 3

g R

R B r dr BR

m

g







_ ^{ 3 022}

g g

R

GR v R

B m 

s g

GR nm r  v⁰² ₂ 

4 ) 3

( 



Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

While for   we have 

 

 

 

 

, or  . 

 

0.2 pts 

Now to find the constant A. 

 

Thus  and   

We can also find A from the following 

, thus . 

Thus the dark matter mass density (which is also the total mass density 

since   for  . 

for  

 

0.3 pts 

Total  1.5 pts  Rg

r

Ar dr r r dr

r r r

m ^r

R R

g

g  





^{( ')4 ' '}



^{( ')4 ' '}

) (

' ²

0

2  





Ar dr r r m

r

m ^r

R R

g









^{( ')4 ' '}

) (

'   ²

0

2 '

' 4 ) '

(r r dr Ar M

r

R  



^{ }

A r r)4 ² 

( 

 ₂

) 4

( r

r A

  

R g

r

R r dr Ar R Ar m

r

A    



_{4 '}^{2 4 '2 ' ( )}

R

g m

AR 

G A v

2

 0

r v m r

G Arm r

m r

Gm ^{s s s}

2 0 2

2

) (

'  

G A v

2

 0

0

n rR_g

2 2 0

) 4

( Gr

r v

   rR_g

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

C. Interstellar Gas and Dark Matter    

Question C.1 

Answer  Marks 

Consider a very small volume of a disk with area A and thickness r, see Fig.1 

  Figure 1. Hydrostatic equilibrium 

In hydrostatic equilibrium we have 

 

0.3 pts 

 

.  . 

0.2 pts 

Total  0.5 pts   

 

( ( )P r P r(  r A)) g r A r( )  0

2

) ( ' r

r Gm r

P 





2 2

) ( ) '

) ( ( '

r r m Gm r r n

r Gm dr

dP

 p





 

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

Question C.2 

Answer  Marks 

Using the ideal gas law P = n kT where n = N/V where n is the number  density, we have 

  Thus we have 

. 

0.5 pts 

Total  0.5 pts   

Question C.3 

Answer  Marks 

If we have isothermal distribution, we have dT/dr = 0 and   

 

0.2 pts 

From information about interstellar gas number density, we have   

Thus we have 

 

 

0.2 pts 

2

) ( ) '

( )

) ( (

r r m GM r dr n

r dT dr kn

r kT dn dr dP

 p









 



 



 dr

r dT r T

r dr

r dn r n

r Gm r kT

m

p

) ( ) ( ) ( ) ) (

( '

2 2



 



 

 dr

r dn r n

r Gm r kT

m

p

) ( ) ) (

( '

2 0

) ( 3 ) ( ) ( 1







 

 r r r dr

r dn r n

) ( ) 3

(

' ⁰







 

r r Gm

r r kT m

p

Gm’(r)

Solutions/

Marking Scheme

 

T1

 

Mass density of the interstellar gas is   

Thus  

 

 

 

0.3 pts 

 

 

 

0.3 pts 

Total  1.0 pts   

)2

) (

( r r

r m^p

g  



 

 



^{ } _^



r

p dm

g r

r Gm

r dr kT

r r r

r m

0

0 2

) ( ' 3

' 4 ) ' ( ) ' ( )

(

' 

 







 ^ _^

 



 

^r 

p dm

p

r r Gm

r dr kT

r r r

r r m m

0

0 2

2 ( )

' 3 ' 4 ) ' ) (

' ( ) '

(

' 

 

 



2 2 2

2 0

2 ( )

6 4 3

) ) (

( 



 

 







 



 



 

 r

r r Gm r kT r r

r m

p dm

p

2 2

2 2 2

0

) ( )

( 6 3 ) 4

( r r

m r

r r r Gm

r kT ^p

p

dm  





 











 

Solutions/

Marking Scheme T2

 

Earthquake, Volcano and Tsunami

 

A. Merapi Volcano Eruption 

Question  Answer  Marks 

A.1  Using Black’s Principle the equilibrium temperature can be obtained   0 

Thus,  

 

0.5 pts 

A.2  For ideal gas, p v_{e e} RT_e , thus 

   

0.3 pts 

A.3  The relative velocity u_rel  can be expressed as     where   is a dimensionless constant. 

Using dimensional analysis, one can obtain that    0 

3 1 

2 1 

Therefore 

/ / /  

0.5 pts 

Total score  1.3 pts   

Solutions/

Marking Scheme T2

 

B. The Yogyakarta Earthquake 

 

Question  Answer  Marks 

B.1  From the given seismogram, fig. 2 

 

One can see that the P‐wave arrived at 22:54:045 or (4.5 – 5.5)   seconds after the earthquake occurred at the hypocenter. 

0.3  pts 

0.5  pts 

Since the horizontal distance from the epicenter to the seismic station  in Gamping is 22.5 km, and the depth of the hypocenter is 15 km, the  distance from the hypocenter to the station is  

 

0.1  pts 

Therefore, the P‐wave velocity is  27.04 Km

4.7 s 5.75 Km/s  

0.1  pts 

 

   

2 2

22.5 15 km 27.04 km

Solutions/

Marking Scheme T2

 

Question  Answer  Marks 

B.2  Direct wave: 

2 2

direct

1 1

500 15 502.021

s 86.9 s 5.753

t SR

v v

       

0.2  pts 

0.6  pts 

As in the case of an optical wave, the Snell’s law is also applicable to  the seismic wave. 

  Illustration for the traveling seismic Wave 

Reflected wave: 

reflected

1 1

SC CR t  v  v   

cos cos 500 cot 500

SC CR     45   

reflected 1

45 87.3 s t sin

v 

   

 

 

0.4  pts 

 

   

Solutions/

Marking Scheme T2

 

Question  Answer  Marks 

B.3  Velocity of P‐wave on the mantle. The fastest wave crossing the mantle  is that propagating along the upperpart of the mantle. From the figure  on refracted wave, we obtain that 

2

1 1

1 2 2 2

sin 1

; sin v ; cos 1 v

v v v v

        ^{ }

    

1 2

1

15 15 30

cos ; km; km

cos cos

x x

 x

 

     

 

3 500 1 2 sin 500 45 tan

x   x x      

0.4  pts

1.2  pts

The total travel time: 

3

1 2

1 2 1 2 2

45 500 45 tan cos

x x x

t v v v v v





        

1 2 2

cos 45 500 cos 45 sin

t   u  u  u   

where u₁1v₁  and u₂ 1 v₂ . Arranging the equation, we get 



^5002452



^{u222 500t u2  t2 45 2 u1 0}  

whose solution is 

 

2 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2

1

500 45 45 500

45

tv v t v

v t v

  

    

0.5  pts

  From the seismogram, we know that the fastest wave arrived at  Denpasar station at 22:55:15, which is t75 s from the origin time of  the earthquake in Yogyakarta. Thus  

2 7.1 km/s

v   

0.3  pts

Solutions/

Marking Scheme T2

   

Question  Answer  Marks 

B.4  By using Snell’s law and defining psin v  and u1v, we obtain  (0)sin 0 ( )sin ; sin

( )

p u u z p

   u z

     

0.2  pts

1.4  pts

where  ( ) 1 ( )u z  v z   and ₀  is  the  initial  angle  of  the  seismic  wave  direction. 

2

sin ; cos 1

( ) ( )

dx p dz p

ds   u z ds     ^u z ^

    



2 2



1 2



^{2 2}



^{1 2}

dx dx ds p u

p u p

dz ds dz u u p

   

   

 

2

1

2 2 1 2 z

z

x p dz

u p





   

0.5  pts

 

Illustration for the direction of wave 

The distance X is equal to twice the distance from epicenter to the turning  point. The turning point is the point when  . Thus 

0 0

1 ( )_t 1 ; _t

t

p u z z pv

v az ap

   

    



^{2 2 2 2}



0 0 0

2 2 1 2

0 0

( ) 2

2 1 ( ) 1

(1 ( ) )

zt

p v az

X dz p v az p v

p v az ap

      

 



   

0.7  pts

   

 90

Solutions/

Marking Scheme T2

 

Question  Answer  Marks 

B.5  For the travel time,  ; ( ).

( )

ds dt

dt u z

v z ds

   

Thus 

2

2 2 1 2

( )

dt dt ds u

dz  ds dz  u p

   

and therefore 

   

1.0  pts 

1.0  pts 

B.6  The total travel time from the source to the Denpasar can be calculated  using previous relation 

 

2

2 2 1 2

0

( ) 2 ( )

( )

zt

T p u z dz

u z p





   

Which is valid for a continuous  ( )u z . For a simplified stacked of  homogeneous layers (Figure F), the integral equation became a  summation 

 

2 2 2 1 2

( ) 2

N

i i

i i

u z T p

u p

 



   

0.6  pts 

1.0  pts 

2 ∆

2 ∆

2 ∆

2 0.1504 6

0.1504 0.143

2 0.1435 9

0.1435 0.143

2 0.1431 15

0.1431 0.143 151.64 second 

Note  that  the  actual  travel  time  from  the  epicenter  to  Denpasar  is  75  seconds. By varying the parameters of velocity and depth up to suitable  value of observed travel time, physicist can know Earth structure. 

0.4  pts 

Total score 5.7  pts 

2

2 2 1 2 2 2 1 2

0 0

0 0

1 1

2 2

( )

( ) (1 ( ) )

 

   



^t



^t

z z

T u dz dz

v az

u p p v az

Solutions/

Marking Scheme T2

 

C. Java Tsunami 

Question  Answer  Marks 

C.1  The center of mass of the raised ocean water with respect to the ocean  surface is h/2.  Thus 

4  

where ρ is the ocean water density. 

0.5  pts

0.5  pts

C.2  Considering  a  shallow  ocean  wave  in  Fig.  5,  the  whole  water  (from  the  surface until the ocean floor) can be considered to be moving due to the  wave motion. The potential energy is equal to the kinetic energy. 

1 4

1

4  

Where x 2  and U   is the horizontal speed of the water component. 

The water component that was in the upper part    should be equal to  the  one  that  moves  horizontally  for  a  half  of  period  of  time  2,  i.e. 

2

⁄ ⁄ . 2

Thus we have 

 

 

0.7  pts

1.2  pts

Accordingly, 

    

Thus 

 

0.5  pts

C.3  Using  the  argument  that  the  wave  energy  density  is  proportional  to  its  amplitude   with   is amplitude and   is a proportional constant  Because the energy flux is conserve, then  

  for an area   where the wave flow though. 

Then,  

  

 

(Therefore  the  tsunami  wave  will  increase  its  amplitude  and  become  narrower as it approaches the beach). 

1.3  pts

1.3  pts

Total score 3.0 

Solutions/

Marking Scheme T2

 

Total Score for Problem T2: 

Section A :   1.3 points  Section B :  5.7 points  Section C :  3.0 points  Total : 10 points 

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

Cosmic Inflation 

A. Expansion of Universe Question A.1 

Answer  Marks 

For any test mass   on the boundary of the sphere,  

/ (A.1.1) 

where   is mass portion inside the sphere 

0.2 

Multiplying equation (A.1.1) with  and integrating it gives 

1

2  

where   is a integration constant 

0.6

Taking  , and     0.2 

8 3

2   0.2 

Therefore, we have    0.1 

Total  1.3   

           

Question A.2 

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

The  2^nd  Friedmann  equation  can  be  obtained  from  the  1^st law  of  thermodynamics  : 

. 

0.1

For adiabatic processes  0 and its time derivative is  0.  

0.1 

For the sphere   3 /    0.1 

Its total energy  is     0.2 

Therefore   3    0.1 

It yields  

3 0 

0.2 

Therefore, we have  3.  0.1 

Total  0.9   

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

Question A.3 

Answer  Marks 

Interpreting   as total energy density, and substituting      in to the 2^nd Friedmann equation yields: 

3 1 0 

0.1 

∝   0.2 

(i) In case of radiation, photon as example, the energy is given by  /  then its energy density  ∝  so that   

0.3 

(ii) In case of nonrelativistic matter, its energy density nearly  ≃ ∝  since dominant energy comes from its rest energy  , so that  0 

0.3 

(iii) For a constant energy density, let say   constant,  ∝  so that  1. 

0.3 

Total  1.2   

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

Question A.4 

Answer  Marks 

(i) In case of  0, for radiation  we have  constant. So by comparing  the parameters values with their present value,   ,  

.

.  

0.2 

Because  0 0, 0, then

2 2  . 

where   after taking  1. 

0.2

(ii)  for  non‐relativistic  matter  domination,  using  ,    and  similar way  we will get 

.

where  . 

0.4

(iii) for constant energy density,  

ln ′ 

Where  ′ is integration constant and  .  Taking condition  1,  

ln  

 

0.4 

Total  1.2   

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

Question A.5 

Answer  Marks 

Condition for critical energy condition: 

3

8  

Friedmann equation can be written as 

t Ω t  

Ω 1        (A.5.1) 

0.1 

Total  0.1   

      Question A.6 

Answer  Marks 

Because  0,  then  1  corresponds  to  Ω 1,  1 

corresponds to Ω 1 and  0 corresponds to Ω 1 

0.3 

Total  0.3   

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

B.  Motivation To Introduce Inflation Phase and Its General Conditions  Question B.1 

Answer  Marks 

Equation (A.5.1) shows that 

Ω 1  .  

0.1

In a universe dominated by non‐relativistic matter or radiation, scale factor can  be  written  as  a  function  of  time  as    where  1  (   for  radiation and   for non‐relativistic matter ) 

0.2 

Ω 1   0.2 

Total  0.5  Question B.2 

Answer  Marks 

For a period dominated by constant energy provides the solution   so 

that   

0.1 

Ω 1   0.2 

Total  0.3   

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

Question B.3 

Answer  Marks 

Inflation  period  can  be  generated  by  constant  energy  period,  therefore  it  is  a 

phase where  1 so that   (negative pressure). 

0.2  Differentiating Friedmann equation leads to 

8

3  

2 2 3 2 . 

4 3

3  

0.4 

So that because during inflation  , it is equivalent with condition  

0 (accelerated expansion)  0.1 

As  a  result,    /   / 0  or  / 0  (shrinking 

Hubble radius). 

0.2

Total  0.9   

Question B.4 

Answer  Marks 

Inflation condition can be written as  0, with  /  as such 

1 1 0 ⟹ 1 

0.2 

Total  0.2   

   

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

C.  Inflation Generated by Homogenously Distributed Matter   

Question C.1 

Answer  Marks 

Differentiating  equations (4)  and employing equation 4 we can get 

2 3

1

2  

0.3 

Therefore     0.1 

The  inflation  can  occur  when  the  potential  energy  dominates  the  particle’s  energy  ≪ )  such that  / 3 . 

0.2 

Slow‐roll approximation:    3 ′  0.1 

Implies 

       (C.1.1) 

0.3 

we also have 

3 3  

  

Therefore 

      (C.1.2) 

0.4 

d / ′       (C.1.3) 

  / ′  

0.3 

Total  1.7 

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

D. Inflation with A Simple Potential  

Question D.1 

Answer  Marks 

Inflation ends at  1. Using  Λ /  yields 

2 _end 1 ⟹

√2  

0.5 

Total  0.5   

     

Question D.2 

Answer  Marks 

From equations (C.1.1), (C.1.2) and (C.1.3) we can obtain  1

2

where is a integration constant. As 0 at then . 1

2 4

0.2 

1 2 1

4   0.2

2 4   0.2 

so that 

16 16

0.1 

Solutions/

Marking Scheme

 

T3

 

1 2 6 1 2 2

4   0.1 

To obtain the observational constraint  0.968  we need   5.93 which  is inconsistent with the condition  0.12.  There is no a closest integer  that  can  obtains  0.12.  As  example,  for  6  leads  a  contradiction  0

0.27  and for  5 leads a contradiction 0 0.2 .     

0.1 

Total  0.9