13.0 Voorkennis
Gegeven is de functie
Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
De functie g(x) = x2 heeft als domein |R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu in |R.
De functie g is continu in een open interval V als het bijbehorende deel van de grafiek van f een ononderbroken kromme is.
De grafiek van valt samen met de grafiek van g(x) = x2 maar voor x = 2 heeft de grafiek van f een perforatie met de coördinaten (2,4).
Toevoegen van het punt (2,4) maakt van f een continue functie in |R.
3 2 2
( ) 2
x x
f x x
3 2 2
2 ( 2)
2( ) 2
2 2
x x x x
f x x met x
x x
3 2 2
( ) 2
x x
f x x
13.0 Voorkennis
lim ( )
x a f x b
betekent dat f(x) onbeperkt tot b kan naderen door x maar dicht genoeg bij a te kiezen.
Als de functie f continu is in a, dan geldt
Als voor de functie f geldt dat , dan is f continu in a.
Voorbeeld 1:
Bereken:
Voorbeeld 2:
Bereken:
lim ( ) ( )
x a f x f a
lim ( ) ( )
x a f x f a
2
2 2
6 4 2 6 0
lim lim 0
3 2 3 1
x x
x x
x
2 2
lim 6
3
x
x x
x
2 2
lim 6
2
x
x x
x
2 6 ( 2)( 3)
lim x x lim x x lim( 3) 5
x
13.0 Voorkennis
Algemeen:
betekent f(x) kan onbeperkt tot b naderen door x maar groot genoeg te nemen.
Voorbeeld 3:
Voorbeeld 4:
|4 – x| = 4 – x als 4 – x ≥ 0 ofwel x ≤ 4.
|4 – x| = -(4 – x) als 4 – x < 0 ofwel x > 4 lim ( )
x f x b
2 3
2 3 2 0
lim lim 2
3 3 1 0 1
x x
x x
x
x
5 1
5 1 5 1 5 1 5 0
lim lim lim lim 5
|4 | (4 ) 4 4 1 0 1
x x x x
x x x x
x x x
13.0 Voorkennis
Algemeen:
Als of als dan is de lijn y = b de horizontale asymptoot van de grafiek van f.
Voorbeeld 5:
De horizontale asymptoot van bovenstaande grafiek is de lijn y = 2.
lim ( )
x f x b
lim ( )
x f x b
2 3
2 3 2 0
lim lim 2
3 3 1 0 1
x x
x x
x
x
13.0 Voorkennis
Voorbeeld 6:
Gegeven is de functie
|4x – 1| = 4x – 1 als 4x – 1 ≥ 0 ofwel x ≥
|4x – 1| = -(4x – 1) als 4x – 1 < 0 ofwel x <
Voor x → ∞ nadert de grafiek de horizontale asymptoot y = 4
|4 1|
( ) 1
g x x
x
14 14
4 1
4 1 4 0
lim lim 4
1 1 1 1 0
x x
x x
x
x
4 1
4 1 4 0
lim lim 4
1 1 1 1 0
x x
x x
x
Voor x → -∞ nadert de grafiek de horizontale asymptoot y = -4 x
13.1 Evenredigheden en inverse functies [1]
• Bij evenredige grootheden hoort een verhoudingstabel;
• Bij evenredige grootheden hoort als grafiek een rechte lijn door (0,0);
• Bij evenredige grootheden hoort een formule van de vorm y = ax;
• Als de ene grootheid k keer zo groot wordt, wordt de andere grootheid dat ook.
13.1 Evenredigheden en inverse functies [1]
Voorbeeld 1:
Aan een schip is zoveel drinkwater aanwezig dat 12 mensen hier 10 dagen kunnen doen.
Let op:
• In dit voorbeeld is y omgekeerd evenredig met x;
• Vermenigvuldig je x met een getal, dan moet je y door hetzelfde getal delen;
• Het product xy is constant, dus xy = a of
• De grafiek is een hyperbool.
Personen (x) 12 24 6 120
Dagen (y) 10 5 20 1
Product 120 120 120 120
y a
x
13.1 Evenredigheden en inverse functies [1]
Voorbeeld 2:
Gegeven is dat y evenredig is met Voor x = 2 is y = 0,1.
Stel de formule op van y.
Er geldt:
Invullen van x = 2 en y = 0,1 geeft
Hieruit volgt:
2 3 2 1
x x
2 3 2 1 y a x
x
2 2 3 0,1 2 2 1
0, 2 0,1 0,5
a a a
1 2
2 3 2 3
2 1 4 2
x x
y x x
13.1 Evenredigheden en inverse functies [2]
De grafieken van f(x) = 2x en g(x) = 2log(x) spiegelen in de lijn y = x.
We noemen f en g nu inverse functies.
13.1 Evenredigheden en inverse functies [2]
Gegeven zijn de functies en
De grafieken van een functie en de bijbehorende inverse functie zijn elkaar spiegelbeeld in de lijn y = x.
De bovenstaande twee functies zijn elkaars inverse. Je kunt het
functievoorschrift van g vinden door bij het functievoorschrift van f de
variabelen x en y te
verwisselen en y vrij te maken.
( ) 3 4 f x 2
x
2 2
( ) 3 g x x
x
3 4
2 3 4
2
( 2)(3 ) 4
3 6 2 4
3 2 2
(3 ) 2 2
2 2
3
x y
x y
y x
y xy x
y xy x
y x x
y x
x
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [1]
Algemeen:
Als of als dan is de lijn y = b de horizontale asymptoot van de grafiek van f.
Voorbeeld 1:
De horizontale asymptoot van bovenstaande grafiek is de lijn y = 2.
lim ( )
x f x b
lim ( )
x f x b
2 3
2 3 2 0
lim lim 2
3 3 1 0 1
x x
x x
x
x
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [1]
Voorbeeld 2:
Stel de formule op van de horizontale asymptoot van de functie
De horizontale asymptoot van bovenstaande grafiek is de lijn y = 3.
In dit voorbeeld maak je gebruik van de volgende eigenschappen:
en
Let op:
Als x hele grote waarden aanneemt is er sprake van een horizontale asymptoot. Het punt (-2, 3) ligt echter op de grafiek van f.
Een verticale asymptoot vind je door de noemer gelijk te stellen aan nul.
De teller mag niet tegelijkertijd ook nul worden.
2 2
2
3 6
3 6 3 0
lim lim 3
4 1 4 1 0
x x
x x x
x
x
2 2
3 6
( ) 4
x x
f x x
lim n 0
x
a
x lim n 0
x
a x
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [1]
Voorbeeld 3:
Stel de formule op van de asymptoten van de functie
Stap 1:
Bepaal de verticale asymptoten
Stap 2:
Bij deze formule met absolute waarden zijn er twee horizontale asymptoten:
|2x3 – 1| = 2x3 – 1 als 2x3 – 1 ≥ 0 ofwel x ≥ en dus als x → ∞
|2x3 – 1| = -(2x3 – 1) als 2x3 – 1 < 0 ofwel x < en dus als x → -∞
3 3
2 1
( ) 1
f x x
x
3 3
3 3 1
2 3 1
2
1 0 2 1 0
1 1
x x
x x
x x
3 1 2
3 1 2
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [1]
Voorbeeld 3:
Stel de formule op van de asymptoten van de functie
Stap 3:
Bepaal de horizontale asymptoten
De horizontale asymptoten zijn de lijnen y = 2 en y = -2
3 3
2 1
( ) 1
f x x
x
3 3 3
3 3
3
2 1
2 1 2 1 2 0
lim lim lim 2
1 1 1 1 1 0
x x x
x x x
x x
x
3 3 3
3 3
3
2 1
2 1 2 1 2 0
lim lim lim 2
1 1 1 1 1 0
x x x
x x x
x x
x
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [2]
Voorbeeld:
Bereken de asymptoten van Stap 1:
Bereken de verticale asymptoten:
De verticale asymptoten zijn de lijnen x = 2 en x = -2.
Stap 2:
Een gebroken functie waarvan de graad van de teller één hoger is dan de graad van de noemer, heeft een grafiek met een scheve asymptoot.
Met behulp van staartdelen kun je achter deze scheve asymptoot komen.
3 2
2
2 4 5
( ) 4
x x x
f x x
2 3 2
2 3 2
3 2
4 0 2 4 5 0
4 2 4 5 0
2 2 2 4 5 0
x x x x
x x x x
x x x x x
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [2]
Voorbeeld:
Bereken:
Stap 2:
3 2
2
2 4 5
( ) 4
x x x
f x x
x2 - 4 / x3 + 2x2 – 4x - 5 \ x x3 - 4x
--- - 2x2 - 5
x2 - 4 / 2x2 -5 \ x + 2
2x2 -8 --- -
3 en dus
Hieruit volgt dat de scheve asymptoot de lijn y = x + 2 is.
2
( ) 2 3 f x x 4
x
2 2
3 3
lim lim 0
4 4
x
x
xx
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [2]
De grafiek van de functie f heeft een scheve asymptoot y = ax + b voor x → ∞.
als voor grote waarden van x de
grafiek van f vrijwel gaat samenvallen met de lijn y = ax + b, dus als
De richtingscoëfficiënt a kan berekend worden met:
Verder valt af te leiden:
lim( ( ) ( )) 0
x f x ax b
lim '( )
a x f x
lim( ( ) ( )) 0
lim( ( ) ) 0
lim( ( ) )
x
x
x
f x ax b f x ax b
b f x ax
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [3]
Oplossen van goniometrische vergelijkingen:
Vergelijkingen van de vorm
sin(A) = C en cos(A) = C los je op met de
exacte waarde cirkel.
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [3]
Oplossen van goniometrische vergelijkingen:
sin(A) = C geeft A = B + k ∙ 2π of A = π – B + k ∙ 2π cos(A) = C geeft A = B + k ∙ 2π of A = – B + k ∙ 2π
sin(A) = sin(B) geeft A = B + k ∙ 2π of A = π – B + k ∙ 2π cos(A) = cos(B) geeft A = B + k ∙ 2π of A = – B + k ∙ 2π
Voorbeeld:
Voor x op [0, 2π] is gegeven de functie
Het punt A is een snijpunt van de grafiek met de x-as.
De lijn k raakt de grafiek in A en snijdt de asymptoten in de punten B en C.
Bereken exact de coördinaten van B en C.
sin(2 ) ( ) 1 2sin( ) f x x
x
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [3]
Voorbeeld:
Voor x op [0, 2π] is gegeven de functie
Het punt A is een snijpunt van de grafiek met de x-as.
De lijn k raakt de grafiek in A en snijdt de asymptoten in de punten B en C.
Bereken exact de coördinaten van B en C.
Stap 1:
Bereken de verticale asymptoten.
1 – 2sin(x) = 0 ⋀ sin(2x) ≠ 0 sin(x) = ½ ⋀ 2x ≠ k ∙ π
De verticale asymptoten zijn de lijnen
sin(2 ) ( ) 1 2sin( ) f x x
x
5
1 1
6 2 6 2 2
x k x k x k
1 5
6 6
x x
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [3]
Voorbeeld:
Voor x op [0, 2π] is gegeven de functie Bereken exact de coördinaten van B en C.
Stap 2:
Bereken de coördinaten van punt A.
sin(2x) = 0 x = k ∙ ½π => A(1½π,0) Stap 3:
Bereken de afgeleide van f(x).
sin(2 ) ( ) 1 2sin( ) f x x
x
2
2
(1 2sin( )) [sin(2 )]' sin(2 ) [1 2sin( )]'
'( ) (1 2sin( ))
(1 2sin( )) [2 cos(2 )]' sin(2 ) 2 cos( )]'
'( ) (1 2sin( ))
2 cos(2 ) 4sin( ) cos(2 ) 2sin(2 ) cos( )
x x x x
f x x
x x x x
f x x
x x x x x
13.2 Asymptoten bij gebroken functies [3]
Voorbeeld:
Voor x op [0, 2π] is gegeven de functie Bereken exact de coördinaten van B en C.
Stap 4:
Stel de vergelijking van raaklijn k op.
y = -⅔x +b
Invullen van A(1½π, 0) geeft b = π.
k: y = -⅔x + π Stap 5:
Bereken de coördinaten van B en C.
sin(2 ) ( ) 1 2sin( ) f x x
x
1 6 2
2 2 2 9 3
2 1 4 1 1 2 0 0 2 4
'(1 )
(1 2 1) 3
f
8 2 1
3 6 9
5
2 4
3 6 9
y y
8 1
6 9
5 4
6 9
( , ) ( , ) B
C
13.3 Limieten en perforaties [1]
Voorbeeld 1:
Gegeven zijn de functies fq(x) =
De linkerlimiet is:
De rechterlimiet is:
De limiet bestaat als Er moet gelden: 4 = -2 + q.
Hieruit volgt: q = 6.
Voor q = 6 is de functie fq continu is in 2. Een grafiek is continu als er sprake is van een ononderbroken kromme.
2 2
2 x voor x
x q voor x
2
2 2
lim ( ) limq 4
x f x x x
2 2
lim ( ) lim(q ) 2
x f x x x q q
lim ( )2 q
x f x
2 2
lim ( ) lim ( )q q
x f x x f x
13.3 Limieten en perforaties [1]
Voorbeeld 2:
Voor 0 < p < 1 zijn gegeven de functies fp(x) = Voor welke p bestaat ?
De limiet bestaat als de linker- en rechterlimiet aan elkaar gelijk zijn:
18 2
sin( ) 2
2 p x voor x x voor x
2 2
lim ( ) limsin(p ) sin(2 )
x f x x p x p
18 2 18 2 12
2 2
lim ( ) limp 2
x f x x x
lim ( )2 p
x f x
1 2
5 1
6 6
5 1
12 12
1 5
12 12
sin(2 )
2 2 2 2
1 1
p
p k p k
p k p k
p p
13.3 Limieten en perforaties [2]
Gegeven is de functie
Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
De functie g(x) = x2 heeft als domein |R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu in |R.
De functie g is continu in een open interval V als het bijbehorende deel van de grafiek van f een ononderbroken kromme is.
De grafiek van valt samen met de grafiek van g(x) = x2 maar voor x = 2 heeft de grafiek van f een perforatie met de coördinaten (2,4).
Toevoegen van het punt (2,4) maakt van f een continue functie in |R.
3 2 2
( ) 2
x x
f x x
3 2 2
2 ( 2)
2( ) 2
2 2
x x x x
f x x met x
x x
3 2 2
( ) 2
x x
f x x
13.3 Limieten en perforaties [2]
Voorbeeld 1:
Gegeven is de functie
Geef de perforatie van deze functie.
De factor (x – 5) komt in de teller en noemer van de functie voor.
Hieruit volgt dat de x-coördinaat van de perforatie gelijk is aan 5.
De y-coördinaat kan als volgt gevonden worden:
De perforatie is nu: (5, ¼)
2 2
8 15
( ) 2 15
x x
f x x x
2 2
8 15 ( 3)( 5)
( ) 2 15 ( 3)( 5)
x x x x
f x x x x x
2 1
8 4
5 5
( 3)( 5) ( 3) 5 3
lim lim
( 3)( 5) ( 3) 5 3
x x
x x x
x x x
13.3 Limieten en perforaties [2]
Voorbeeld 2:
Gegeven is de functie
Bereken exact de twee waarden van a waarvoor de grafiek een perforatie heeft met de coördinaten van deze perforaties.
Er is een perforatie bij a = 1 en a = -3
De perforaties zijn: (-½, -4) en (1½, 4) 4 2 4 3
( ) 2
a
x x
f x x a
4 2 4 3 (2 1)(2 3)
( ) 2 2
a
x x x x
f x x a x a
1 1 1
2 2 2
1
(2 1)(2 3)
lim ( ) lim lim (2 3) 1 3 4
2 1
x x x
x x
f x x
x
1 1 1
2 2 2
1 3 1 1
(2 1)(2 3)
lim ( ) lim lim(2 1) 3 1 4
2 3
x x x
x x
f x x
x
13.4 Limieten bij exponentiële en logaritmische functies [1]
• In de grafiek is de exponentiële standaardfunctie f(x) = 2x getekend;
• Df = |R, Bf = (0, →) met de x-as als asymptoot (Dit volgt uit: );
• Elke functie gx met g > 1 heeft deze vorm;
• Voor g > 1 is
lim 2x 0
x
lim x 0
x g
13.4 Limieten bij exponentiële en logaritmische functies [1]
• In de grafiek is de de exponentiële standaardfunctie getekend;
• Df = |R, Bf = (0, →) met de x-as als asymptoot. (Dit volgt uit: );
• Elke functie gx met 0 < g < 1 heeft deze vorm;
• Voor 0 < g < 1 is
12lim x 0
x
12 ( ) x f x
13.4 Limieten bij exponentiële en logaritmische functies [1]
Voorbeeld:
Stel van elke asymptoot van de grafiek van de formule op.
Verticale asymptoten:
Horizontale asymptoten
y= -½ y = 2
2 1
( ) 2
x x
f x e
e
2 0 2 1 0
2 2 1
ln(2)
x x
x x
e e
e e
x
1 2
2 1 2 0 1
lim 2 0 2
x x x
e
e
2 1
2 1 2 0
lim lim 2
2 2 1 0
1
x x
x x x
x
e e
e
e
13.4 Limieten bij exponentiële en logaritmische functies [2]
• In de grafiek is de functie f(x) = 2log(x) getekend met lim log( )x2 x
13.4 Limieten bij exponentiële en logaritmische functies [2]
Voorbeeld 1:
Gegeven is de functie ln( ) ( ) ln( ) 1 f x x
x
0 ln( )
ln( )
ln( ) ln( )
lim lim
ln( ) 1 ln( ) 1
1 1
lim 1
1 1 0
1 ln( )
x x
x
x x
x x
x
ln( )
ln( )
ln( ) ln( )
lim lim
ln( ) 1 ln( ) 1
1 1
lim 1
1 1 0
1 ln( )
x x
x
x x
x x
x
13.4 Limieten bij exponentiële en logaritmische functies [2]
Voorbeeld 2:
Gegeven is de functie
Stel de formules van de asymptoten op.
Verticale asymptoot:
2ln(x) – 1 = 0 ln(x) = ½ x = e½ = √e
Horizontale asymptoot:
( ) 4
2ln( ) 1 f x x
ln( )
4 4
lim lim 0
2ln( ) 1 2ln( ) 1
x x x x
