Hoofdstuk 4: Rekenen met kansen

(1)

Hoofdstuk 4:

Rekenen met kansen.

V_1.

a. Van de 1000 auto’s gaan 0,35 0, 40 1000 140   auto’s naar D en 0,65 0,80 1000 520   auto’s naar F. De rest, dat zijn dan 340 auto’s, gaat naar E.

Of ook wel: (0,35 0,60 0,65 0,20) 1000 340     b. P(ACE) 0,65 0,20 0,13   V_2. a.  6  7  42 10 10 100 P(RW) b. c. P(RR) P(RW) P(WR) P(WW)                  6 3 6 7 4 3 4 7 10 10 10 10 10 10 10 10 18 42 12 28 100 100 100 100 1

Het is zeker dat één van de uitkomsten voorkomt. V_3.

a. P(meer dan 2) P(3, 4, 5 of 6)  4₆

b. P(MM)   4 46 6 3616  49 en P(MM)   2 26 6 364  91 c. P(MN)   4_{6 6}2 ₃₆8  2₉

d. Nee, je mist nog de route NM. De kans op deze route is ook 29.

V_4.

a. P(derde prijs)  8005 b.

c. P(derde en eerste prijs) P(WNW)  795 5 4 800 799 798 0,000031     d. P(niets) P(NNN)  _{800 799 798}795 794 793  0,9813 V_5. a.

b. Het aantal routes van (0, 0) naar (p, q) kun je berekenen met _p q_p  _{ } p q_q _

   

c. … om in het punt (5, 2) of (2, 5) te komen. Het gaat om 21 routes. d. De kans op één route is: 12 15

2 2 P(kkmmmmm)   . Er zijn 7 21 2     

  routes, dus de kans op twee keer kop en vijf keer munt is 12 15

2 2 P(2k, 5m) 21   0,1641. 5 800 795 800 4 799 795 799 5 799 794 799 ₇₉₃ 798 794 798 3 798 4 798

(2)

1.

a. De kans dat je uit vaas A een rode knikker trekt is 2025 500400 . Van de 500 keer dat je een knikker trekt, zal het 400 keer een rode zijn en 100 keer een witte.

De kans dat je uit vaas B een rode knikker trekt is 240 60

12

20  400  100. Van de 400 keer dat je uit vaas A een rode knikker hebt getrokken, trek je 240 keer ook een rode knikker uit vaas B (en 160 keer een witte). Van de 100 keer dat je een witte knikker uit vaas A getrokken hebt, trek je 60 keer een rode knikker uit vaas B en 40 keer een witte.

b. Van de 500 keer dat je twee trekkingen hebt gedaan zijn er in 160 60 220  keer een rode en een witte knikker getrokken. P(1R, 1W) 220500 0, 44

c. P(RW) P(WR)  160₅₀₀ ₅₀₀60 0,32 0,12 0, 44  2. a. 4 6 2        volgorden. b. P(2M, 2R) 6 ( ) ( )  ₁₀3 2 ₁₀7 2 0,2646 3.

a. Van de vijf enveloppen moeten er in twee 10 euro zitten.

Een mogelijke volgorde is LLLVV. De kans hierop is: 820850 849 848 847 846819818 30  29 0,001 Er zijn in totaal   5₂ 10

  volgorden met 2 volle en 3 lege enveloppen. P(20 euro) 10 0,001 0,0109   b. 820850 849 848 847 846819 818 817 30 5 P(10 euro) 0,1535 1            en 819 820 818 817 816 850 849 848 847 846 P(0 euro)     0,8352 c. P(hoogstens 20 euro) P(0, 10 of 20 euro) 0,8352 0,1535 0,0109 0,9996    

d. P(meer dan 20 euro) 1 0,9996 0,0004  

4.

a. P(meer dan twee fout) P(3, 4, 5 of 6 fout) 1 P(0, 1 of 2 fout)   6 1 4 5 3 1 4 4 2 4 3 1 4 4 P(0 fout) ( ) 0,00024 6 P(1 fout) ( ) 0,0044 1 6 P(2 fout) ( ) ( ) 0,0330 2

P(meer dan twee fout) 1 (0,0002 0,0044 0,0330) 0,9624

    _{ }                 

b. P(hoogstens 5 fout) P(0, 1, ..., 4 of 5 fout) 1 P(6 fout) 1 ( )     3₄ 6 0,8220

c. P(minstens 3 en hoogstens 4 fout) P(3 of 4 fout) 6 ( ) ( )3₄ 3 ₄1 3 6 ( ) ( )3₄ 4 ₄1 2 0,4285

3 4

   

  _{ }   _{ }  

(3)

a. P(hoogstens 10) 1 P(11 of 12) 1   363  3336 1211 b. P(min der dan 5) P(2, 3 of 4)  366  16

c. Ja, P(even) P(oneven) 3618  12

6. Hij kan de vijf mensen niet voorzien van een schaar als er 2 of meer linkshandigen in de winkel komen.

5 5 4

P(meer dan 1 links) 1 P(0 of 1 links) 1 (0,72 0,28 0,72 ) 0, 4303 1

 

       

 

7.

a. Als je de eerste knikker (het eerste winnende getal) terug zou leggen, zou je die knikker ook de tweede keer kunnen pakken.

b. P(RR)   2 19 8 722  361

c. P(2 euro) P(RW of WR)     29 87 79 82 187 d. De kans op de twee knikker klopt dan niet meer. 8.

a. P(W en R) P(WR of RW) 2    6 39 9 49 b. P(W en R) P(WR of RW) 2    6 39 8 21

c. Het trekken met één greep komt overeen met een trekking zonder terugleggen. d. P(RWW) 39 10 88  6 51 en P(WRW) 69 10 82  5 121

De kans op een rode en witte bal is verschillend in beide vazen. 9.

a. P(beide prijzen) 10 92  1 451

b. P(beide prijzen)_{1000 999}20  19 0,00038

10.

a. Neem een vaas met 0,9 20.000 18.000  _{witte knikkers (kwaliteit A) en 2.000 rode knikkers.} Trek uit deze vaas 5 knikkers zonder terugleggen.

b. Omdat de steekproef (5 blikken) klein is ten opzichte van de totale populatie (20.000 blikken) veranderen de kansen niet zo heel erg.

c. P(1B en 4A) _{ }5₁ 0,10 0,90 4 0,3281   d. P(min stens 2B) P(2B, 3B, 4B of 5B) 1 P(0B of 1B) 1 (0,90     5 0,3281) 0, 0815 som steen 2 1 2 3 4 5 6 st ee n 1 ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

(4)

11. a. P(0 munt) P(kkkk) ( )  ₂1 4 0,0625 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 4 1 2 4 P(1 munt) P(1m, 3k) ( ) 0,25 1 4 P(2 munt) P(2m, 2k) ( ) ( ) 0,375 2 4 P(3 munt) P(3m, 1k) ( ) 0,25 3 P(4 munt) P(mmmm) ( ) 0,0625    _{ }                 _{ }        b. P(meer dan 2k) P(3k of 4k) P(1m of 0m) 0,25 0,0625 0,3125     c. som 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 1      12. a. b. P(3 jaar) 0,15

c. P(hoogstens 2 jaar) P(0, 1 of 2 jaar) 

0,19 0,27 0,21 0,67  

d. P(tussen 2 en 5 jaar) P(3 of 4 jaar) 0,15 0,12 0,27    13. a. 0,306 0,250 0,194 0,139 0,083 0,028 1      b. P(laagste aantal is 3) P((3,3), (3, 4), (3,5), (3,6), (4,3), (5,3) en (6,3)) 367 0,194 14. P(0 harten) 39 38 37_{52 51 50}  0, 4135 39 13 38 52 51 50 39 13 12 52 51 50 13 12 11 52 51 50 P(1 harten) 3 0, 4359 P(2 harten) 3 0,1376 P(3 harten) 0,0129               15. a. P(2 bromfiets) _{ }₂4 0,122 0,8782 2 0,0688   b. P(B 0) 0,878  4 0,5943 3 3 4 4 P(B 1) 0,122 0,878 0,3303 1 P(B 2) 0,0688 4 P(B 3) 0,122 0,878 0,0064 3 P(B 4) 0,122 0,0002    _{ }                   aantal munt 0 1 2 3 4 kans 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625

leeftijd aantal percentage

0 570 19 1 810 27 2 630 21 3 450 15 4 360 12 5 180 6 totaal 3000 100 harten 0 1 2 3 kans 0,4135 0,4359 0,1376 0,0129 som=1 B 0 1 2 3 4 kans 0,5943 0,3303 0,0688 0,0064 0,0002 Controle: som is 1

(5)

a. P(inbraak) 4732 579 91 2458925  0,0921 b. P(nog 1 inbraak) ₅₄₂₆579 0,1067 c. d. P(nog 2x) 0, 0168 2 0,00028 17. P(0 enen) 10 9 8 78     7 6 5 31 155 8 7 6 8 2 10 9 8 7 15 8 7 2 1 2 10 9 8 7 15 P(1 één) 4 P(2 enen) 6             18. a. P(1 bord) 1 (0,20 0,07 0,35 0,20) 0,18     

b. bijvoorbeeld: P(één verkocht bord) 0,18 0,05 0, 009  

19.

a. P(1 euro) 1 (0,80 0,06 0,02) 0,12     b. gemiddeld per spel: € 0,62

c. gemiddeld _ 500 0,02 10 500 0,06 5 ... 500 0,80 0   ₅₀₀     _0,62 d. Ook weer € 0,62 e. 0,02 10 0,06 5 0,12 1 0,80 0 0,62        20. a. P(B 0)  10 9 86   5 4 16 P(B 1) 3  10 9 84   6 5 21 P(B 2) 3  10 9 84   3 6 103 en P(B 3) 10 9 84   3 2 301

b. Per spel verwacht je 1,2 blauwe knikkers. Bij 50 keer spelen: 50 1,2 60  _blauwe.

21. a. b. verwachtingswaarde is 2 1  3 2  4 3  ... 11 2 12 1 7 aantal inbraken na de 1e_keer 0 1 2 3 Kans 0,8721 0,1067 0,0168 0,0044 som = 1 aantal enen 0 1 2 kans 0,3333 0,5333 0,1333 som = 1 aantal verkocht 1 2 3 4 5 6 kans 0,18 0,20 0,07 0,35 0 0,20 som = 1 aantal verkocht 0 1 2 3 4 6 kans 0,95 0,009 0,01 0,0035 0,0175 0,01 som = 1

combinatie verw. aantal verw. uitkering

bbb 2 20 aaa 6 30 kkk 12 12 - 80 0 totaal 100 62 som 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 kans 1 36 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361

(6)

22. a.

b. De verwachte winst is 48 0,01 8 0,06 0 0,30       2 0,63 0,30 Nee, per spel mag je 30 cent verlies verwachten.

23.

a. 300 600 0,05 200 600 0, 03 200 500 0, 04 200 400 0,06           

100 300 0,05 €22.900,

    

b. Het gaat om 1000 fietsen, dus een premie van € 22,90 24.

a.

b. De te verwachten kosten:

25 0,128 37,50 0,60 82,50 0,272 € 48,14      c. In 0, 40 0,32 7800 998   _{gevallen geen reparatie.}

25. a.

b. Het te verwachten aantal keer is 1 0,3426 2 0,3089 ... 5 0,0495 2,23      

c. De te verwachten kosten zijn: 1000 0,3426 1320 0,3089 ... 2080 0,0495 €1362,        d. 332 klanten. P(2e keer wel)₃₃₂156100 47% _en 87

332

P(3e keer wel) 100 26% e.

f. De te verwachten kosten zijn: 1320 0,47 1600 0,26 1840 0,19 2080 0, 08 €1552,        

26.

a. Vaas met 80 genummerde ballen. Trek hieruit 5 ballen zonder terugleggen. b. P(3w, 2m) 5 20_{80 79 78 77 76}19 18 60 59 0,0839

2  

      

  Zijn winst is dan 3 10 10 €20,    c. P(0 w) 60_{80 79 78 77 76 75}5958 57 56 55 54 53 52 51   ₇₄_{73 72 71}  0,0458 59 19 60 58 57 56 55 54 53 20 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 10 P(2 w) 0,2953 2                 d. P(4 w) P(3 w) P(2 w)   _{80 79 78 77}2019 18 17  4 20_{80 79 78 77}1918 60  6 _{80 79 78 77}20196059 0,2589 Dat is 1 op 3,86 winst 48 8 0 -2 kans 0,01 0,06 0,30 0,63 kosten 25 37,50 82,50 kans 0, 40 0,32 0,128  _0,60 0, 40 0,68 0,272  aantal keer 1 2 3 4 5 kans 0,3426 0,3089 0,1723 0,1267 0,0495 som = 1 aantal examens na de 1e_keer 1 2 3 4 kans 0,47 0,26 0,19 0,08

(7)

a. P(4 meedoen) ( ) 41 4 0, 0039 b. P(1 doet mee) 4  1₄ ( )3₄ 3 0, 4219

c. 3 4

4

P(hoogstens 3) 1 P(4 niet meedoen) 1 ( )    0,6836

d. P(min stens twee) P(twee, drie of vier doen mee) 1 P(nul of 1 doet mee)     1 (( )3₄ 40,4219) 0,2617

T_2.

a. P(B, BBB) 20 2030 30 29 28 1918 0,1872

b. P(ten min ste 1 wit) 1 P(geen wit) 1 0,1872 0,8128    

c. P(1B, 3w) P(B, WWW) P(W, één B)   20 10_{30 30 29 28}  9  8 10₃₀ 3 20 10_{30 29 28}  9 0,0936 T_3. a. P(som 3) 2    1 1_{4 3} ₁₂2  1₆ b. P(som 6) 2    1 1_{4 3} ₁₂2 ₆1 c. T_4. a. b. E(verschil) 0 ₁₂3  1 ₁₂5  2 ₁₂3  3 ₁₂1 1,17 c. E(som) 2           ₁₂1 3 ₁₂2 4 ₁₂3 5 ₁₂3 6 ₁₂2 7 ₁₂1 4,5 T_5. a. P(D) P(AD of BD) 0,60 0, 01 0, 40 0,07 0,034      b. P(G) 1 P(D) 1 0,034 0,966     c. d. P(DDD) 0,034 3 0,000039 e. P(GGG) 0,966 3 0,9014 T_6. a. 97464 97385 79  b. 0,00081

c. P(leeft min stens 1 jaar) 1 0,00081 0,99919  

d. P(sterft over twee jaar) 0,99919 0, 00088 0,00088   e. P(28 jaar) 10000097633 0,00083 0,00081 f. Nee. som 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 som 2 3 4 5 6 7 kans 1 12 122 123 123 122 121 verschil 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 1 0 4 3 2 1 verschil 0 1 2 3 kans 3 12 125 123 121

(8)

T_7.

a. 97859 9777897859 0,00083

b. P(leeft min stens 1 jaar) 1 P(leeft 0 jaar) 0,99917   c.

d. P(min stens 3 jaar leeft) 1 P(0, 1 of 2 jaar)  

1 (0,00083 0,99917 0,00073 0,99927 0,00075) 0,9977

      