H8: Complexe functies

(1)

Hoofdstuk 8:

Complexe functies.

1.

a.

b.   2 i,    3 2i en   4i c. Door de spiegelen in de Re-as.

2. a. 1 1 1 (2 2 3) 4 2 2 3 z i i       en 1 1 2 (2 2 3) (4 2 ) 2 2 3 3 2 3 (2 3 1) z i i i i i              b. 12 1 2 3 1 1 3 arg( ) tan ( _  )_ _, 1 arg( ) 0z  en 1 2 2 4 arg( ) tan ( ) 0,46z _  _ c. 1 2 3 1 1 2 3 1

arg(_z) tan (_  )_  _arg( ) arg( ) _ z

1 2 3 1 1

2 ₂ ₃ 3 2

arg( z ) tan ( ) 1,51  0, 46 arg( ) arg( ) z



      

d. Een tekening lijkt me niet duidelijk om iets aan te tonen. De bewering blijkt uit 2c.

3.

a. z a bi  wordt afgebeeld op f z( )  a bi: spiegeling in de oorsprong.

b. f a bi(  )       a bi 3 2i a 3 (b 2)i: een verschuiving van 3 naar links en 2 omlaag.

c. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 2)( ) 2 2 ( 2 2) f a bi   i a bi  a  b  b  a i 1 2 1 2 2 1 1 4 2 arg( ) tan ( _   )_{ }  en 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 2) ( 2 2) f a bi  a  b  b  a  1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2a ab 2b 2b ab 2a a b a bi          

Een draaiing om de oorsprong over -45o

d. f a bi(  )   i a bi( ) b ai: een draaiing om de oorsprong over -90o_.

e. 1 1

2 2

( ) ( ( )) 2

f a bi  a bi  a bi   bi bi : een projectie op de imaginaire as. f. f a bi(  )  (a bi)  a bi: een spiegeling in de imaginaire as.

4. a. 2 2 1 1 3 3 2 2 cos isin i 3        1 1 2 2 ( ) ( 3) f z    i z b.  cosisin  1 f z( ) z c. z z (a bi ) ( a bi) 2 a 1 2 ( ) ( ) f z  z z

d. Eerst spiegelen in de Re-as (de geconjugeerde nemen) en dan draaien om O over 180o_.

( ) f z  z 5. a. z11, z2 2 en z3  2 i b.  z3 (2 2 )(2 i       i) 4 2i 4i 2 2 6i c. g z( ) (2 2 ) 1 2 21   i    i en g z( ) (2 2 ) 2 4 42   i    i d. _ _ ₂2 _₂2 __{2 2}_en 1 2 1 1 2 4 ( ) tan ( ) Arg z _  _ 













(2)

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 4 4 4 2 2 2 2 ( ) 2 6 2 10 2 2 5 g z z g z z g z z                         en 1 2 1 1 2 4 1 4 1 2 4 4 1 6 3 2 ( ( )) tan ( ) ( ( )) tan ( ) ( ( )) tan ( ) 1, 25 Arg g z Arg g z Arg g z            1 2 ( ) ( ) 0 Arg z Arg z  en 1 1 1 3 2 4 ( ) tan ( ) 0, 464 1, 25 Arg z _  _ _ _ 

e. De zijden van de driehoek OA’B’ zijn allemaal 2 2 keer zo groot als die van driehoek OAB. 6. a. b. g z( ) ( 31      i i) 1 i 3, g z( ) ( 32      i) i 1 i 3 en 3 ( ) ( 3 ) (1 3) 3 3 3 4 g z    i i    i i  i c. f z( )1   3 ( 3 1) i, f z( )2    1 (1 3)i en f z( )3   2 5i d. 2 2 ( 3) 1 2     en 1 1 1 6 3 ( ) tan ( ) Arg     

De afbeelding f bestaat uit een vermenigvuldiging met 2, een draaiing om O over 30o_{en een}

translatie van 2 naar links en 1 omhoog.

7. a. b. f z( )1     i (3 i) 1 3i, f z( )2   i (4 2 )i   2 4i, 3 ( ) (2 3 ) 3 2 f z   i i   i

c. De beeldpunten zijn het spiegelbeeld de in de lijn. d. f x yi(  )  i x yi( ) y xi

( , )x y a ( , )y x : dus gespiegeld in de lijn Re( ) Im( )z  z .

8. a. Stel   a bi en   c di (1 ) ( )(1 ) ( ) ( ) 0 (1) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) f i a bi i c di a b c a b d i f i a bi i c di c b a d i i                        Uit (2) volgt: c b 0 en a d 1 (3) b c invullen in (1): a0 in (3): d 1 in (1): b 1 Dus   i en    1 i b. Stel   a bi en   c di ( ) ( ) ( ) ( ) 2 (1) (1) ( ) 1 ( ) ( ) (2) f i a bi i c di c b a d i f a bi c di a c b d i i                    

Uit (2) volgt: a c 0 en b d 1 (3) en uit (1) volgt: c b 2 en a d 0 (4)

a c_ena d hieruit volgt: c d In (3): b c 1 ofwel b  c 1 in (4): c   ( c 1) 2c 1 2 ofwel 1 2 1 c Dus 1 1 1 1 2 2 2 2 1 i en 1 1 i        z₁ z₂ z₃ f(z₃) f(z₂) f(z₃)

(3)

9.

a. Een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 5. b.

c. De lengte wordt gekwadrateerd en de hoek met de Re-as wordt twee keer zo groot. d. De beelden liggen op een cirkel met middelpunt O en straal 25.

10.

a. z12, z2 2i, z3 3 en z4 3i

b. z1  z2 2, z3  z4 3, Arg z( )1 Arg z( ) 03  en Arg z( )2 Arg z( )4 12

2 2 2 1 2 2 4 z  z   , z32  z42 32 9, Arg z( )12  Arg z( 32) 0 en 2 2 1 1 2 4 2 2 ( ) ( ) Arg z  Arg z     c. _{f z}_{( ) (}_ _{x yi}_ ₎2 __x2__y2_₂_xyi_{ }_{3 4}_i 2 4 2 xy y x   2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 ( ) 3 3 4 ( 4)( 1) 0 4 1 x _x x y x x x x x x x x                 2 2 x   x  x  i x i 2 2 z   i z i 11. a. r2, 1 1 4    en 1 2 2    b. z 4, 1 2 arg( )z 

c. Een kwart cirkelsector met middelpunt O en straal 4. d. _g₍₀₎_{  }_i2 ₁_,_{g i}_{(2 ) (3 )}_ _i 2 _{ }₉ 2 2 ( 2 2 ) ( 2 ( 2 1) ) 2 2 2( 2 1) ( 2 1) g i    i    i   2 (4 2 2)i (2 2 2 1) ( 2 2 1) (4 2 2)i            12.

a. z2     z z z z r2 en _{arg( ) arg(}_z2 _ _{z z}_{ }_{) arg}_z__arg_z_₂_

b. Als 0 arg( ) z  , dan is _{2 0 0 arg( )}_{  } _z2 _{  }_{ } ₂__{: dus een hele cirkel.}

c. Dezelfde cirkel: z 1

13.

a./c. De horizontale lijn door punt i. b. d. ₍_{a i}_ ₎2 __a2_{ }_{1 2}_{ai u vi}_{ } 1 2 2a v a v   u a 2 1 ( )12v 2 1 41v21

z 4+3i 3+4i 5i -3+4i -4-3i -5i

z2 _7+24i _-7+24i _-25 _-7-24i _7+24i _-25

z -3+i -2+i -1+i i 1+i 2+i 3+i

(4)

14. a. z a : _{f z}_{( )}__a2 _₄ 2 2 a   a en ztop 2. b. _f₍₂__bi_{) (2}_ __bi₎2 _{ }_{4 4}_{bi b}_ 2 _₈_i 2 2 2 b z i   

c. De verticale lijn door 2.

d. _f₍₂__bi_{) (2}_ __bi₎2 _{ }₄ _b2_₄_{bi x yi}_{ } 1 4 4b y b y   x 4 b2  4 (14 y)2  4 161 y2  161 y24 15. a. b.

c. Een liggende parabool met top: -6

d. _{f a}₍ __{3 ) (}_i _ _a__{3 )}_i 2_{  }_{i a}₍ _{3 )}_i __a2_{ }_{9 6}_{ai ai}_{  }₃ _a2_{ }_{6 5}_{ai u vi}_{ } 1 5 5a v a v   u a 2 6 ( )15v 2 6 251 v26 3 6 top top z  i en w   16. a. f i( )   i  (a bi) ( c di i)   ( a d) (  b c i) 3i (1) ( ) ( ) ( ) ( ) f     a bi  c di  a c  b d i i 0 a d a d      0 a c a c     3 1 b c b a b d b a           1 1 2 1 3 b a        a a a 2 4 2 a a     2, 2 1 2 2 2 d c en b i en i            b. _f_{( )}_ _{ }_{ }2_{  }_{   }₍ 2___{) 0}_ 2 (2 ) (2 ) 2 4 2 0

f i   i     i  i dit kan niet want  0.

17.

a. Voer in: y0 nDeriv y x x( , , )1 levert een lijst op met hellingen. De hellingfunctie is weer een

exponentiële functie met groeifactor 1,5.

b. Ook nu is de hellingfunctie weer een exponentiële functie met groeifactor 3. c. cln1,5 0, 405 en cln 3 1,099

z -3+3i -2+3i -1+3i 3i 1+3i 2+3i 3+3i z2_-iz _3-15i _-2-10i _-5-5i _-6 _-5+5i _-2+10i _3+15i

(5)

18. Als a e 2,7182818... is '( ) x ( ) f x e  f x . 19. a. '( ) i ( ) f   i e  i f  b. ( ( )a   i b( )) ' a'( )  i b'( )  i a( ( )  i b( ))  b( )  i a( ) c. b'( ) a( )

d. Als a( ) cos   en b( ) sin  , dan is a'( )  sin en b'( ) cos  

e. 0 0 (0) i 1 f e e  en f(0) cos 0  i sin 0 1   i 0 1 20. _ _ ₁2_{ }₍ ₃₎2 _ _{4 2}_ _en 1 3 1 1 3 arg _tan (  )_{ }  1 3 2 e i  _{ }  2 2 ( 3) 1 2     en 1 1 1 6 3 arg( ) tan ( ) _  _  1 6 2 e i    2 2 ( 2) ( 2) 2       en 1 2 3 4 2 arg tan (  )        3 4 2 e i  _{ }  1   en arg( )  _ __ei 21. 23 2 2 1 1 3 3 2 2 4 e i 4 (cos isin ) 4 ( i 3) 2 2 3i               3 4 3 3 3 1 1 4 4 2 2 2 2 2 (cos3 sin 3 ) 2 ( 1 0) 2 2 2 (cos sin ) 2 ( 2 2) 1 1 (cos 2 sin 2 ) 1 (1 0) 1 i i i e i e i i i e i                                            22.

a. i (cos sin ) cos sin

z r e    r i  r ri 

cos sin (cos sin ) (cos( ) sin( )) i

z r_ _ri  _{ }r _i  _{ }r _{ } i _ _{ }r e

b. 2 2

1 1 1 1 cos sin 1 cos sin

(cos sin ) cos sin cos sin cos sin

i i z r i r i i r                          

1 (cos sin ) 1 (cos( ) sin( )) 1 i

i i e r r r                 23. 2

( 2 ) i k i cos( 2 ) sin( 2 ) cos( ) sin( ) i ( )

f  k e    k i  k   i  e  f 

24.

a. cos(  ) cos en sin(  ) sin

( )

cos( ) sin( ) cos sin 1 (cos sin ) 1

i i e      i     i    i    e b. 14 1 1 1 1 1 4 4 2 2 2 (1 )i e i (1 )(cosi isin ) (1 )(i 2 i 2) 2(1 )(1i i) 2                1 1 3 3 1 1 1 7 3 4 3 12 1 1 2 2 2 2 (1 3) 1 ( 3) 2 ( 2 2) 2 2 5 5 5 i i i i i i i i i i i i i i i e e e e i e e e e i e e e e                                             

(6)

25.

a. _z2 __(cos___i_{sin )}_ 2 __cos2___sin2___{2 sin cos}_i _ ___{cos 2}___i_{sin 2}_

b. _(cos___i_{sin )}_ 3 _₍_ei₎3 __e3i __{cos 3}___i_{sin 3}_

c. _z4 __(cos___i_{sin )}_ 4 _₍_ei₎4 __e4i __{cos 4}___i_{sin 4}_

26. a. _z3_{ }_{8 0} _b. _z5 __{243 243}_ __e(2k)i 1 1 1 2 3 3 3 3 3 ( 2 ) ( 2 ) ( ) 1 1 1 3 3 2 2 2 3 3 3 8 8 8 2 2(cos sin ) 1 3 2(cos sin ) 2 2(cos1 sin1 ) 1 3 k i k i k i z e z e e z i i z i z i i                                   1 1 2 1 2 5 (5 5 ) (5 5 ) 1 2 2 2 5 5 4 4 3 5 5 1 1 4 5 5 243 3 3(cos 0 sin 0) 3 3(cos sin ) 0,927 2,853 3(cos sin ) 2, 427 1,763 3(cos1 sin1 ) 2, 427 1,763 i i z e e z i z i i z i i z i i                                  3 3 5 3(cos15 sin15 ) 0,927 2,853 z  i    i c. _z3 _{   }_{1 1} _e(2k)i _d. 3 ( 2 ) ( ) 1 1 k i z i    e  1 1 2 3( 2 ) (3 3 ) 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 1 1 3 3 3 2 2 1 cos sin 3 cos sin 1 cos1 sin1 3 k i k i z e e z i i z i z i i                            1 1 2 3( 2 ) (3 3 ) 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 1 1 3 3 3 2 2 1 (cos sin ) ( 3 1) (cos sin ) 1 (cos1 sin1 ) ( 3 1) k i k i z i e e z i i i z i i i z i i i                                   27. a. 1 2 1 2 1 4 4 2 ( ) ( 3) r z    en 14 1 4 3 1 1 3 tan _  _  b. 1 13 1 13 2 2 ( i) ( ) n i n _e n _e       28. a. 8 2 1 k i z  e  1 4 1 1 1 1 1 2 4 4 2 2 1 1 3 2 2 3 3 1 1 4 4 4 2 2 cos 0 sin 0 1 cos sin 2 2 cos sin cos sin 2 2 k i z e z i z i i z i i z i i                        5 1 1 1 1 6 4 4 2 2 1 1 7 2 2 3 3 1 1 8 4 4 2 2 cos sin 1 cos1 sin1 2 2 cos1 sin1 cos1 sin1 2 2 z i z i i z i i z i i                          b.

-c. Alle oplossingen hebben een modulus van 1, dus liggen ze allemaal op de cirkel met straal 1

d. 14 14 1 ( ) ( ) k i i k k k z e   e   z

(7)

29. a. 1 2 ( 2 ) 2 k i z  i e   b. _z12 _{ }₁ _e2k i 1 1 1 2 2 4 1 4 1 4 ( 2 ) ( ) 1 1 1 1 1 4 4 2 2 1 ₁ ₁ ₁ ₁ 2 4 4 2 2 cos sin 2 2 cos1 sin1 2 2 k i k i i i z e e z e i i z e i i                          1 6 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 4 5 2 2 6 2 2 1, 3 , 3 , , 3 , 3 , k i z e z z i z i z i z i z i               1 1 1 1 7 8 2 2 9 2 2 1 1 1 1 10 11 2 2 12 2 2 1, 3 , 3 , 3 , 3 z z i z i z i z i z i               c. _z6 _{ }_{64 64}_ __e(2k)i _d. _z4 __{81 81}_ __e2k i 1 1 1 1 6 6( 2 ) (6 3 ) 1 2 3 4 5 6 64 2 3 , 2 , 3 , 3 , 2 , 3 k i k i z e e z i z i z i z i z i z i                      1 1 1 4 4(2 ) 2 1 2 3 4 81 3 3, 3 , 3, 3 k i k i z e e z z i z z i             e. _z8 __{256 256}_ __e2k i _f. 8 2 ( 2) 256 256 k i z   e  1 1 1 8 8(2 ) 4 1 2 3 4 5 6 7 8 256 2 2, 2 2, 2 , 2 2, 2, 2 2 2 , 2 2 k i k i z e e z z i z i z i z z i z i z i                       1 4 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 4, 2 2 2, 2 2 , 2 2 2, 0, 2 2 2 2 2 , 2 2 2 k i z e z z i z i z i z z i z i z i                      30. a. 2 2 ( 8) ( 8 3) 16 r       en 1 8 3 2 8 3 ( ) tan ( ) Arg             b. punt C. c./d. 2 3 ( 2 ) 4 _{8 8 3 16} k i z    i  e  1 2 1 1 1 4 3 6 2 4 ( 2 ) ( ) 1 1 1 1 6 6 3 3 5 5 1 1 6 6 6 6 16 2

2(cos( ) sin( )) 3 , 2(cos( ) sin( )) 1 3, 2(cos( ) sin( )) 3 , 2(cos( ) sin( )) 1 3

k i k i D A B C z e e z i i z i i z i i z i i                                           e. z 3i z,  1 i 3, z  3i en z  1 i 3 31. a. ( 3i)12  (2 e16i)12 212e2i 4096(cos 2isin 2 ) 4096  b. (2 2 ) i 8 (2 2e14i)8 (2 2)8e2i 4096 32. a. _z2_₇_z__{12 0}_ _b. _z2_₆_z_{ }_{9 0} _c. _z2_₈_z__{12 0}_ ( 3)( 4) 0 3 4 z z z z         2 ( 3) 0 3 z z    4 2 7 4 2 7 ABC formule z z        

(8)

d. 3 16 0 z  z 2 ( 16) 0 0 4 4 z z z z z         33. a. 2 4 12 ( 6)( 2) z  z  z z b. 2 2 3z 9z120 3( z 3z40) 3( z8)(z5) c. 2 12 ( 4 )( 3 ) z  zi  z i z i d. 4 2 2 16 ( 4)( 4) ( 2)( 2)( 2 )( 2 ) z   z  z   z z z i z i 34. a. _z3_{ }_{1 0} 1 1 2 3 3 3 3 ( 2 ) ( 2 ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 3, 1, 3 ( ) 1 ( 1)( 3)( 3) k i k i k i z e z e e z i z z i P z z z z i z i                              b. _{P z}_{( ) (}_{ }_z ₁₎₍_z2__{bz c}_{ }₎ _z3_{ }₍₁ _{b z}₎ 2_{ }₍_{b c z c z}₎ _{ } 3_₁ 1 0 1 b b     1 0 1 c c     2 ( ) ( 1)( 1) P z  z z  z 35. a. _P_{( 1) ( 1)}_{  } 4_{  }_{6 ( 1)}4_{    }_{7 1 6 7 0}_,_P_{(0) (0)}_ 4_{ }_{6 (0)}4_{  }₇ ₇ 4 4 (1) (1) 6 (1) 7 1 6 7 0 P        

De getallen -1 en 1 zijn nulpunten van P(z).

b. _{P z}_{( ) (}_ _z_₁₎₍_z_₁₎₍_z2__{az b}_ _{) (}_ _z2_₁₎₍_z2__{az b}_ ₎__z4__az3_{ }₍_b ₁₎_z2__{az b}_ 0 a b7 _{P z}_{( ) (}_ _z_₁₎₍_z_₁₎₍_z2__{7) (}_{ }_z ₁₎₍_z_₁₎₍_{z i}_ ₇₎₍_{z i}_ ₇₎ 36. a. _P_{(1) 1}_{            }4 _{2 1}3 _{3 1}2 _{4 1 4 1 2 3 8 4} , 4 3 2 (2) 2 2 2 3 2 4 2 4 16 16 12 8 4 0 P              

De deler 2 is een nulpunt.

b. _{P z}_{( ) (}_ _z_₂₎₍_z3__az2__{bz c}_{ }₎ _z4_{ }₍_a ₂₎_z3_{ }₍_b _{2 )}_{a z}2_{ }₍_c _{2 )}_{b z}_₂_c 2 2 0 a a     2 0 3 3 b b       2 3 4 2 c c       3 ( ) ( 2)( 3 2) P z  z z  z

Een nulpunt van _{Q z}_{( )}__z3_₃_z_₂_is

1 z  . Dus _{Q z}_{( ) (}_ _z_₁₎₍_z2_{ }_{cz d}₎__z3_{ }₍₁ _{c z}₎ 2_{ }₍_{c d z d}₎ _ 1 0 1 c c     1 3 2 c d d d         2 ( ) ( 1)( 2) Q z  z z  z 2 2 2 ( ) ( 2)( 1)( 2) ( 2)( 1)( 2)( 1) ( 2) ( 1) P z  z z z  z  z z z z  z z

(9)

37.

a. _{P z}_{( )}__z3_₅_z2_₈_z_{ }_{4 (}_z_₂₎₍_z2_₃_z__{2) (}_ _z_₂₎₍_z_₂₎₍_z_{ }_{1) (}_z__{2) (}2 _z_₁₎

De multipliciteit van z 2 is 2 en het andere nulpunt is z 1.

b. _{P z}_{( )}__z3_₃_z2_₃_z_{  }_{1 (}_z ₁₎₍_z2_₂_z_{  }_{1) (}_z ₁₎₍_z_₁₎₍_z_{  }_{1) (}_z ₁₎3

1

z  is het enige nulpunt met multipliciteit 3.

c. 4 3 2 3 2 2 ( ) 4 5 2 ( )( 3 2 ) ( )( 3 2) P z z  iz  z  iz z i z  iz  z z z i z  iz  2 ( )( )( 2 ) ( ) ( 2 ) z z i z i z i z z i z i       

De multipliciteit van z i is 2. De andere oplossingen zijn: z0 en z2i.

d. 4 3 2 3 2 2 2 2

( ) 2 ( )( ) ( )( ) ( )

P z z  iz z  z i z iz z z i z i  z z i

Deze functie heeft twee nulpunten z0 en z i, beide met multipliciteit 2.

38.

a. 3 2

(1) 1 1 1 1 0

P      . Een nulpunt van P is z1.

b. 3 2 2 ( ) 1 ( 1)( 2 1) P z z z   z z z  z c. P z( ) 0 2 2 1 0 2 1 ( 1) 0 1 1 z z z z z z             39. _{P z}_{( )}__z4_{ }_{1 (}_z2_₁₎₍_z2_{  }_{1) (}_z ₁₎₍_z_₁₎₍_{z i z i}_ ₎₍ _ ₎ 40. a. _{P z}_{( )}__z4_₈_z2_{ }₉ _w2_₈_w_{ }_{9 (}_w_₉₎₍_w_₁₎ b. _{P z}_{( )}__z4_₈_z2_{ }_{9 (}_z2_₉₎₍_z2_{  }_{1) (}_z ₃₎₍_z_₃₎₍_{z i z i}_ ₎₍ _ ₎ 41. a. _z6 _{  }_{1 1} _e2k i 1 1 1 6 6(2 ) 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 2 4 5 2 2 6 2 2 1 1 1, 3, 3, 1, 3, 3 k i k i z e e z z i z i z z i z i                    b. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1)( 3)( 3)( 1)( 3)( 3) P z  z z  i z  i z z  i z  i c./d. 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 1 2 2 2 Re( )1 z   z i   i      z 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2 2 3)(2 2 3) 4 4 1 ( ( )2 (2 3) ) ( )1 z z   i  i       z

e. z2 en z4 zijn elkaars geconjugeerde. 3

1 1 1 1 1

2 4 ( 2 2 3)( 2 2 3) 4 4 1

z z    i   i    f. _{P z}_{( ) (}_{ }_z ₁₎₍_z_₁₎₍_z2_{ }_z ₁₎₍_z2_{ }_z ₁₎

(10)

42. a. _z8 _{  }_{1 1} _e2k i 1 1 1 8 8(2 ) 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 4 2 2 5 6 2 2 1 1 7 8 2 2 1 1 1, 2 2, , 2 2, 1, 2 2 , 2 2 k i k i z e e z z i z i z i z z i z i z i                      

b. De oplossingen liggen op de eenheidscirkel, beginnend bij het punt 1 en dan telkens 1 4 radialen verder. c. z1z5 , z2 z8 , z3 z7 en z4 z6. d. _{P z}_{( )}__z8_{ }_{1 (}_z_₁₎₍_z_₁₎₍_z2_₁₎₍_z2__z _{2 1)(}_ _z2__z _{2 1)}_ 43. a. _{P i}_{(2 ) (2 )}_ _i 4_{ }_{2 (2 )}_i 3_{ }_{6 (2 )}_i 2_{   }_{8 2}_i _{8 16 16}_ _i__{24 16}_ _i_{ }_{8 0}

b. z 2i is dan ook een nulpunt.

c./d. 4 3 2 2 2 ( ) 2 6 8 8 ( 4)( 2 2) 0 P z z  z  z  z  z  z  z  2 2 2 4 2 4 0 2 2 0 2 2 1 1 z z z z i z i z    i z i                    44. a. 4 3 (1) 1 8 1 3 1 4 1 8 3 4 0 P            , 4 3 3 2 ( ) 8 3 4 ( 1)( 7 7 4) P z z  z  z  z z  z  z b. 4 3 2 (1) 1 4 1 5 1 4 1 4 1 4 5 4 4 2 P               4 3 2 4 3 2 4 3 2 3 2 ( 1) ( 1) 4 ( 1) 5 ( 1) 4 ( 1) 4 1 4 5 4 4 18 (2) 2 4 2 5 2 4 2 4 16 32 20 8 4 0 ( ) 4 5 4 4 ( 2)( 2 2) P P P z z z z z z z z z                                            Omdat ₂3_{    }_{2 2}2 _{2 2 0}_is 3 2 2 2 2 ( 2)( 1) z  z    z z z  Dus 3 2 2 2 2 ( ) ( 2)( 2 2) ( 2)( 2)( 1) ( 2) ( 1) P z  z z  z  z  z z z   z z  45. a. _z6 _{   }_{1 1} _e(2k)i 1 1 1 1 6 6( 2 ) (6 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 6 2 2 1 1 3 , , 3 , 3 , , 3 k i k i z e e z i z i z i z i z i z i                      b. _{P z}_{( )}__z6_{ }_{1 (}_z2_₁₎₍_z2__z _{3 1)(}_ _z2__z _{3 1)}_ 46. a. _{P z}_{( ) (}_ _z_₁₎₍_z5__z4_{ }_z3 _z2_{  }_z ₁₎ _z6_₁

b. _z6_{ }_{1 0}_{: zie opgave 41a.}

(11)

d. 7 6 5 4 3 2 8

( ) ( 1)( 1) 1

R z  z z z z z  z z   z z 

De nulpunten van R(z) zijn gelijk aan de nulpunten van 8

( ) 1

P z z  (zie opgave 42a) en 1 z . 47. 12 6 6 ( ) 1 ( 1)( 1) 0 R z z   z  z   6 6 1 0 1 0 z    z   opgave 41f: 6 2 2 1 ( 1)( 1)( 1)( 1) z   z z z  z z  z en opgave 45b: 6 _{1 (} 2 ₁₎₍ 2 _{3 1)(} 2 _{3 1)} z   z  z z  z z 

Dus R(z) is te ontbinden in twee eerstegraads factoren en vijf tweedegraads factoren met reële coëfficiënten.

48.

a. De getallen z z1, 3 en z2, z4 zijn elkaars geconjugeerde.

b. 2 2 ( ) ( 1 )( 1 )( 3 2 )( 3 2 ) ( 2 2)( 6 13) P z   z i z i z  i z  i  z  z z  z  4 3 2 8 27 38 26 z z z z     

c./d. Het gaat om een vierdegraads functie en er zijn maar 2 nulpunten. Dus de nulpunten hebben beide multipliciteit 2 of één van beide heeft multipliciteit 3 (hoofdstelling van de algebra). e. _{P z}_{( ) (}_ _{z i}_ _{) (}2 _z_{ }_{1 2 )}_i 2_,_{P z}_{( ) (}_ _{z i}_ _{) (}3 _z_{ }_{1 2 )}_i _of_{P z}_{( ) (}_ _{z i z}_ ₎₍ _{ }_{1 2 )}_i 3 49. a. b. 1 12 12 2 2 3 ( ) 3 ( 3) 1 i f z     i  , 1 1 2 ₂ ₂ 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 i i f z       i  , 3 3 ( ) 3 i f z   ,i 1 1 4 ₂ ₂ 2 2 4 4 ( ) 2 2 ( 4) 4 i f z       i   c.

d. De punten worden geprojecteerd op de eenheidscirkel.

e. ( ) ₂ ₂ 2 2 2 2 y x x y x y x yi f x yi i x y         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 y y x x x y x y x y x y x y x y f x yi _ _             

De punten f(z) liggen op de eenheidscirkel. f. Voor alle punten  op de eenheidscirkel.

50.

a. Arg f z( ( ))Arg( z) Arg( ) Arg( )z b. f z( )    z   z

2 1 3 6 1 2 ( ) ( ) Arg Arg         2 2 1     

(12)

51.

a. V1 is de lijn waarvoor geldt: Re( ) Im( )z  z (de lijn y x in R2)

Onder f wordt de hoek met de positieve reële as verdubbeld en de lengte gekwadrateerd. De beelden komen terecht op de positieve imaginaire as.

b. V2 zijn de twee halve lijnen: Arg z( ) tan ( ) 1,111 21 

  en Arg z( ) tan ( )1 21  2, 03



   

c. De eerste halve lijn wordt afgebeeld op de halve lijn Arg z( ) 2 1,11 2, 21   , en de tweede halve lijn op Arg z( ) 2,03 2 2   2, 21. Het beeld van V2 is dus een halve lijn met

richtingscoëfficiënt 1 3

1  .

d. Voor een complex getal z x axi  geldt tan a (de richtingscoëfficiënt van de halve lijn

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) 2 (1 ) 2

f z  x axi x  ax i a x x a  ax i

Dit beeldpunt ligt op de halve lijn met richtingcoëfficiënt _x22₍₁ax__a22₎ ₁_2_aa2 .

52.

a. De punten _ei _cos(_{ }_) _isin(__)₍_{Arg e}₍ i₎_{ }__{) en}_ei __cos___i_sin_₍_{Arg e}₍ i₎__

) zijn elkaars geconjugeerde. Dat wil zeggen dat sin(  ) sin. b. Uit a volgt ook dat cos( ) cos

c. _ei _cos(_{ }_) _isin(_{ }_) cos___isin_

d. _ei __ei _cos___isin__cos(_{ }_) _isin(_{ }_) cos___isin__cos___isin__2cos_ e. cos

2

i i

e  e   

f. _ei __ei _(cos___isin ) (cos(_ _ _{ }_) _isin(__)) cos_ ___isin__cos___isin__2 sin_i _ sin 2 i i e e i       53. a. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 i 1 i i Im( 1 i)           b. _yi_{   }₁ _i _{1 (}_y_₁₎_i _ ₁2_₍_y_₁₎2 _ _y _c. _{x yi}   ₁ _i _y 2 2 1 2 1 2 2 1 y y y y y dus z i        2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 1 2 1 2 2 2 x y y x x y y y y x x              2 1 2 1 y x  x 54. a. _f₍₁_{ }_i_{) (}_{a bi}_ _{)(1 )}__i 2_{ }₍_{c di}_{)(1 ) (}_{ }_i _{a bi}_ _{) 2}_{     }_{i c d ci di} ( 2b c d) (2a c d i) 0         2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f i  a bi i   c di i  a bi       ci d a d   b c i i 1 a d b c      2d c d 0 c d      2 1 1 0 1 b b d b d d b             1 1 2 0 0 b c d b b b         1 en 1 i      

(13)

b. 2 2 2 ( ) ( 1) 0 f          2 2 1 0 ( ) 1 ( ) 1 3 ( ) ( ) 0 3 1 3 0 3 1 3 3 0 f i i c di i ci d i f i a bi i i a bi i d en c a en b en i i en                                            

55. _ei _cos___isin_ _{ }1_dus_ei_{ }_{1 0}

T_1.

a. g is de projectie op de reële as.

b./c. h veroorzaakt een spiegeling in de oorsprong. d. De functie f stelt een draaiing voor.

e. 1 3

2

( ( )) ((2 3 ) ) (2 3 ) ( ) tan ( ) ( ) 0,983 ( )

Arg f z _ Arg _ i z_{ } Arg _ i _Arg z _  _Arg z _ _Arg z

T_2.

a. 2

1 2, 2 3 2 3

r  r  en   

b. De lengte van z wordt gekwadrateerd en de hoeken verdubbeld c. 4 f z( ) 9 en 2 1

(14)

T_3. a. 1 i 2 en 1 4 (1 ) Arg   i  , dus 1 4 1 i 2e i b. 10 ( 2e41i)10 32e2,5i 32(cos( 2,5 )  isin( 2,5 )) 32      i 32i c. 1 1 1 22i  2 2 en 1 1 1 2 2 4 ( ) Arg  i   , dus 1 1 1 14 2 2 2 2 i i e     1 4 10 1 10 1 2,5 1 2 32 32 ( 2 _e i) _e i _i       2 2 2 2 3 i  2 (2 3)  en 4 1 2 3 1 2 3 (2 2 3) tan ( ) Arg  i     , dus 1 3 2 2 3 4 i  e i 1 1 3 33 10 10 (4 e i) 1048576 e i 524288 524288 3i         T_4. a. 3 3 (z i ) (z i ) 3 2 3 2 2 3 3 3 3 6 2 0 z iz z i z iz z i iz i         

Bij wegwerken van de haakjes blijft er een tweedegraads vergelijking over. b. Ja, dat kan.

c. _w3 _{ }₁ _e2k i 2 3 1 1 1 1 1 1, 2 2 2 3, 3 2 2 3 k i w e w w i w i          d. 1 1 2 2 3 z i i z i  _{  }  12 12 3 z i i z i  _{  }  1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( 3)( ) (1 3) 3 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 z i i z i z i i i i i z i i i                      1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 3)( ) (1 3) 3 1 3 z i i z i z i i z          T_5. a. _z8_₈₂_z4__{81 0}_ 1 1 2 2 4 4 4 2 4 2 ( 1)( 81) 0 1 81 81 : 1, , 1, 3 : 3, 3 , 3, 3 k i k i k i k i z z z e z e z e z z i z z i z e z z i z z i                             b. _z4_₄_z3_₅_z2 _₄_z_₄ 4 3 2 3 2 2 2 4 5 4 4 ( 2)( 2 2) ( 2)( 2)( 1) 0 2 1 2 z z z z z z z z z z z z z z z i z i                         c. _z3_₃_z2_₃_z_₁ 3 2 2 2 3 3 1 ( 1)( 2 1) ( 1)( 1) 0 1 z z z z z z z z z            

(15)

d. 4 3 2 2 2 3 6 12 3 ( 2 4) 0 0 1 5 1 5 z z z z z z z z z             

e. Vergelijking b heeft een oplossing z2 met multipliciteit 2; vergelijking c heeft een oplossing z1 met multipliciteit 3 en vergelijking d heeft een oplossing z0 met multipliciteit 2.

T_6.

a. _P_{( 2) ( 2)}_{  } 5_{ }_{( 2)}3_{  }_{8 ( 2)}2_{ }_{8 0}_:

2

z  is een nulpunt van P(z). b. z 1 en z1 c. _{P z}_{( )}__z5_{ }_z3 ₈_z2_{  }_{8 (}_z ₂₎₍_z4_₂_z3_₃_z2_₂_z__{4) (}_{ }_z ₂₎₍_z_₁₎₍_z3_₃_z2_₆_z_₄₎_ 3 2 2 (z 2)(z 1)(z 3z 6z 4) (z 2)(z 1)(z 1)(z 2z 4)             d. _z2_₂_z_{ }_{4 0} 2 12 2 1 3 1 3 z_   _{ }i _ z_{ }i T_7. a. b. 3 i 2 en 1 1 1 6 3 ( 3 ) tan ( ) Arg  i   

De afstand van de punten van A tot de oorsprong worden met 2 vermenigvuldigd en vervolgens gedraaid over 30o_.

c. Het beeld van A onder g wordt 2 naar links en 1 omhoog verschoven.

d. Nu wordt A alleen maar 30o_{linksom gedraaid.}

T_8.

a. f a bi(  )     a bi 2 a 2 bi Im( (f a bi ))b

b. Lijnen die evenwijdig lopen aan de vector 

T_9.

a. A is de eenheidscirkel. De functie f veroorzaakt een verschuiving van 2 naar links en 3 omhoog. Het beeld is dus een cirkel met middelpunt -2+3i en straal 1.

b. B is een cirkel met middelpunt i en straal 3. Het beeld is weer een cirkel met middelpunt -2+4i en straal 3.

c. 1

4

( )

Arg z   is de halve lijn die begint in 0 en een helling heeft van 1. Deze lijn wordt 2 naar links en 3 omhoog verschoven.