Consumptiemethoden in het pensioen
Een analyse van verschillende consumptiemethoden ten opzichte van ideale consumptie.
Joran Boeren
Afstudeerscriptie voor de
Bachelor Actuariële Wetenschappen
Studiejaar 2017-2018 Universiteit van Amsterdam
Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics Auteur: Joran Boeren
Studentnummer: 10581499 Datum: 26 juni 2018
Statement of Originality
This document is written by Student Joran Boeren who declares to take full responsibility for the contents of this document.
I declare that the text and the work presented in this document are original and that no sources other than those mentioned in the text and its references have been used in creating it.
The Faculty of Economics and Business is responsible solely for the supervision of completion of the work, not for the contents.
Inhoudsopgave
1 Inleiding 3
2 Theoretisch kader 4
2.1 Optimaal beleid . . . 4
2.2 Niet optimaal beleid . . . 6
3 Model & Methode 7 3.1 Kapitaal over tijd . . . 8
3.2 Verschillende consumptiepatronen . . . 9
4 Resultaten & Analyse 10 4.1 Opname vast bedrag . . . 10
4.2 Opname vast percentage . . . 12
4.3 Opname stijgend percentage . . . 13
4.4 Optimaal beleid . . . 13
4.5 Vergelijken verschillende methoden . . . 14
4.6 Certainty equivalent . . . 15
1
Inleiding
Iedereen wil later van een financi¨eel zorgeloos pensioen genieten. Echter, al een aantal jaar groeien de pensioenen niet meer mee ten opzichte van de inflatie. Bovendien heeft de overheid aangekondigd dat er hervormingen binnen het huidige pensioenstelsel gaan komen. Er komt waarschijnlijk meer vrijheid per individu, waardoor het steeds belangrijker wordt dat we een goed inzicht krijgen in ons eigen pensioen. Bovenberg en Nijman (2017) beschrijven het huidige pensioenstelsel, geven er de voor- en nadelen van en beschrijven een aantal veranderingen die er wellicht in de toekomst gaan komen.
Het Nederlands pensioenstelsel bestaat uit drie pilaren. De eerste pilaar is een, vanaf de pensi-oenleeftijd tot aan sterfte, uitgekeerde annu¨ıteit waar elk staatsburger recht op heeft, ook wel bekend als de AOW. Deze wordt bepaald en betaald door de overheid. De hoogte van de AOW is ongeveer gelijk aan 70% van het minimumloon. De tweede pilaar is het (beroeps)pensioen. Dit pensioen is afhankelijk van de hoogte van het loon en wordt dan ook vaak via de werkgever geregeld. Via dit pensioen kan de kwalitiet van leven na pensioenleeftijd behouden blijven. Tot slot bestaat de derde pilaar uit een vrijwillig zelf gespaard pensioen. Deze groep wordt steeds groter door een toename van het aantal zzp’ers. Juist voor deze groep is het belangrijk dat ze al vroeg in hun carri`ere nadenken over hun pensioen en dat ze hier al vroeg geld voor opzij zetten omdat deze groep niet via hun werkgever een pensioen opbouwt.
Bovenberg en Nijman (2017) beschrijven de voor- en nadelen van de tweede pilaar. Als belang-rijk voordeel van de tweede pilaar noemen Bovenberg en Nijmand (2017) dat een persoon zijn gehele pensioentijd verzekerd is van een inkomen. Verder geldt ook dat vanwege het feit dat pensioenen collectief geregeld zijn, de consument beschermd is tegen persoonlijke fouten en dat de transactie-kosten omlaag gaan. Daarnaast kunnen pensioenfondsen op deze manier ouderen beschermen tegen inflatierisico. Dit is niet mogelijk op de huidige financi¨ele markt, dus vormen pensioenfondsen ook een aanwinst op de financi¨ele markt. Als voornaamste reden voor hervormingen geven de auteurs het feit dat de arbeidsmarkt de afgelopen jaren aan het veranderen is. Mensen gaan meer in deeltijd of onregelmatig werken waardoor de pensioenopbouw niet meer constant is. Verder zijn ook de risico’s steeds minder makkelijk in te schatten, waardoor het vertrouwen in het pensioenstelsel daalt. Tot slot wordt het argument gegeven dat er grote variatie bestaat binnen de bevolking. Door het onderscheiden van leeftijd, geslacht en bijvoorbeeld risico-voorkeur kan de welvaart worden bevorderd.
Tot slot geven Bovenberg en Nijman (2017) voorbeelden van mogelijke veranderingen binnen het pensioenstelsel die momenteel ter discussie staan. Allereerst wordt een collectieve buffer besproken. In de toekomst zullen de pensioenen steeds individueler worden, waardoor het risico ook steeds meer naar de consument verschuift. Om dit risico meer draagbaar te maken wordt een collectieve buffer in het systeem ingebouwd. Dit houdt in dat van alle persoonlijke pensioenen er een vast deel naar een collectieve rekening gaat die nog aan niemand toegekend is. Op deze manier wordt er een buffer
opgebouwd die eventueel aan latere generaties kan worden toegekend. Dit kan echter ook tegengesteld werken, waarbij toekomstige generaties meer af moeten staan aan de buffer dan de huidige, omdat de buffer ver is opgemaakt. Daarnaast kunnen ook de uitbetalingen van het pensioen veranderen door ze variabel te maken in plaats van een constante uitbetaling. Hierdoor krijgt de consument meer in-vloed op de manier waarop hij zijn pensioen wil consumeren. In deze scriptie wordt geanalyseerd wat het optimale consumptiegedrag van een individu is, afhankelijk van zijn preferenties in het lopen van risico.
Om dit te onderzoeken wordt een model opgesteld dat het kapitaal simuleerd van een individu die pensioen opbouwt van zijn 25etot zijn 68een daarna nog tot een leeftijd van 85 dit consumeert. Ver-volgens wordt het optimale consumptiegedrag bepaald, waarna verschillende consumptiemogelijkheden worden vergeleken ten opzichte van dit optimum. Om het optimale consumptiegedrag en verschillende consumptiepatronen te bepalen wordt gebruik gemaakt van eerder geschreven literatuur
In het volgende hoofdstuk wordt de wetenschappelijke literatuur beschreven waarna in hoofd-stuk 3 het model en de opzet van het onderzoek worden besproken. In hoofdhoofd-stuk 4 worden de onder-zoeksresultaten gegeven en geanalyseerd. Tot slot geeft hoofdstuk 5 de conclusie.
2
Theoretisch kader
In dit hoofdstuk worden verschillende theori¨en besproken omtrent het investerings en consumenten gedrag. Allereerst zal het optimale investeringsbeleid en consumentengedrag worden beschreven. Ver-volgens worden verschillende consumptiepatronen geanalyseerd.
2.1 Optimaal beleid
Merton (1969) onderzoekt de optimale verhouding van risicovrije investeringen ten opzichte van investeringen met risico en bepaalt ook het optimale consumptiebeleid. Allereerst wordt het model opgesteld in discrete tijd, wat vervolgens wordt uitgebreid naar het continue geval. Merton (1969) definieert zijn model als volgt:
W (t) = totale pensioenvermogen op tijdstip t
Xi(t) = prijs van het ie aandeel op tijdstip t, (i = 1, . . . , m)
C(t) = consumptie per tijdseenheid op tijdstip t
wi(t) = proportie van totale waarde in het ie aandeel op tijdstip t, (waarbij m
X
i=1
wi(t) = 1)
De budget vergelijking wordt gegeven door: W (t) =Pm i=1wi(t0)XXii(t(t)0) ·W (t0) − C(t0)h (1)
Waarbij t ≡ t0+ h en het tijdsinterval tussen perioden gelijk is aan h.
De auteur schrijft dit om tot: W (t) − W (t0) = Pm i=1wi(t0) egi(t0)h− 1 · W (t0) − C(t0)h − C(t0)h (2)
Met gi(t0)h ≡ log(Xi(t)/Xi(t0)) de rate of return per tijdseenheid op het ie aandeel. Deze wordt
gegenereerd door een stochastisch proces. In de discrete tijd defini¨eerd Merton(1969) gi(t0)h als volgt:
gi(t0)h = (αi− σi2/2)h + ∆Yi (3)
Met αi het verwacht rendement constant en Yi gegeneerd door middel van een Gaussian random walk
Yi(t) − Yi(t0) ≡ ∆Yi= σiZi(t)
√
h (4)
met Zistandaardnormaal verdeeld. Verder is σ2i de variantie per tijdseenheid van Yi, en het gemiddelde
van ∆Yi is 0.
Vergelijking (2) kan nu met behulp van (3) omgeschreven worden tot: W (t) − W (t0) =Pm1 wi(t0)(e(αi−σ
2
i/2)h+∆Y − 1)(W (t0) − C(t0)h) − C(t0)h (5)
Hieruit volgt vervolgens: E(t0) W (t) − W (t0) = Pm 1 wi(t0)αiW (t0) − C(t0) h + o(h2) (6) en E(t0) (W (t) − W (t0))2 = Pmi=1 Pm
j=1wi(t0)wj(t0)E(t0)(∆Yi∆Yj)W2(t0) + o(h2) (7)
Vervolgens neemt de auteur de limiet van h → 0 om het continue geval te bepalen. Vergelijkingen (4) en (5) worden dan: dYi = σiZi(t) √ dt (40), en dW =Pm 1 wi(t)αiW (t) − C(t)dt + Pm1 wi(t)σiZi(t)W (t) √ dt (50)
De stochastische differentiaal vergelijking (5’) is de generalisatie van de budget vergelijking in de continue tijd onder onzekerheid.
Nu de algemene budgetvergelijking is opgesteld onderzoekt Merton (1969) het geval waarbij er twee aandelen zijn. Een met risico en een zonder. Hij defenieert dit model als volgt:
w1(t) ≡ w(t) = proportie ge¨ınvesteerd in het aandeel zonder risico
w2(t) = 1 − w(t) = proportie ge¨ınvesteerd in het aandeel met risico
g1(t) = g(t) = winst op het aandeel met risico (var(g1) > 0)
g2(t) = r = winst op aandeel zonder risico (var(g2) = 0)
Als g(t)h = (α − σ2/2)h + ∆Y herschrijft de auteur verglijkingen (5), (6), (7) en (50) als volgt: W (t) − W (t0) = w(t0)(e(α−σ 2/2)h+∆Y ) − 1) + (1 − w(t0))(erh− 1)· (W (t0) − C(t0)h − C(t0)h (9) E(t0) W (t) − W (t0) = w(t0)(α − r) + r W (t0) − C(t0) h + o(h2) (10) E(t0) (W (t) − W (t0))2 = w2(t0)W2(t0)σ2h + o(h2) (11) dW =(w(t)(α − r) + r)W (t) − C(t)dt + w(t)σZ(t)W (t)√dt (12) Het maximalisatie probleem wordt vervolgens weergegeven door: max ERt
0 e
Onder restrictie van de budgetvergelijking (12), C(t) ≥ 0,W (t) > 0,W (0) = W0 > 0 en U (C) een
strikt concave functie (U0(C) > 0, U00(C) < 0) en waarbij B(W (T ), T ) het langlevenrisico weergeeft. Vervolgens beschrijft Merton (1969) bovenstaande vergelijkingen op een dynamisch programmeerbare manier waardoor het stelsel van de optimaliteit condities kan worden bepaald.
Alhoewel dit stelsel in het algemeen lastig op te lossen is, kan het makkelijker worden opgelost door een nutsfunctie te kiezen van een constante risicoaversie (Merton, 1969). De auteur kiest vervolgens voor een nutsfunctie gedefinieerd door U (C) = cγ/γ, γ < 1 en γ 6= 0.
Na het oplossen van het stelsel vergelijkingen ontstaan de optimale oplossingen: C∗(t) =ν/(1 + (ν − 1)eν(t−T )W (t) voor ν 6= 0,
C∗(t) =1/(T − t + )W (t) voor ν = 0 w∗(t) = σ2α−r(1−γ) ≡ w
∗
Tot slot bekijkt Merton(1969) naar de economische interpretatie van deze conclusie. Als w∗ uitgedrukt wordt in Pratt’s relatieve risicoaversie maat δ ontstaat:
w∗ = α−rσ2δ,
waarbij dw∗/dα > 0, dw∗/dr < 0, dw∗/dσ2 < 0 en dw∗/dδ < 0 Vervolgens geldt ook:
α∗= (α−r) 2 σ2δ + r σ2 ∗ = w∗2σ2 = (α−r)2 σ2δ2
Nu zijn de optimale portefeuilleverhouding en het optimale consumpiebeleid bekend, maar dit is vooral theoretisch. In de volgende alinea wordt het niet optimale, maar vaak meer praktische beleid onderzocht.
2.2 Niet optimaal beleid
Hornheff, Maurer, Mitchell en Dus (2008) onderzoeken in hun artikel verschillende consumptie-technieken en analyseren hoe deze zich tot elkaar verhouden ten opzichte van de voorkeur van ver-schillende risicomaten.
Hornheff et al (2008) veronderstellen allereerst in hun model dat een pensionaris start met een kapitaal van V0. Dit kan in een keer, of in delen worden uitgekeerd. Als er wordt gekozen voor een
levenslange annu¨ıteit, dan wordt deze als volgt bepaald: A = At= P Rt· ¨a−1y , met ¨ay =Pw−yt=0 (1 + δ) ·tpy · (1 + rt)−t
Hierin staat w voor de aangenomen maximale leeftijd,tpy de kans dat iemand van leeftijd y overleeft
tot leeftijd y + t, δ de expense factor en rtde yield op een zero coupon bond maturing op tijdstip t.
Vervolgens beschrijven Hornheff et al (2008) verschillende consumptiepatronen. Allereerst kan er gekozen worden voor vaste uitbetalingen. De consument ontvangt dan een vast bedrag bepaald door Bt = min(B, Vt) tot overlijden, of tot het kapitaal op is. Als de consument minder risico wil lopen
hiervoor drie mogelijkheden.
In het geval van de vastepercentageregel krijgt de consument telkens hetzelfde percentage van zijn resterende kapitaal. Er geldt dan dat Bt
Vt = wt= w. Het voordeel van deze regel is dat hij simpel
te gebruiken is en dat er geen data nodig is om de hoogte van de uitbetaling te bepalen. Iets gecompli-ceerder is de 1/T regel. Hierbij ontvangt de consument telkens een fractie van zijn kapitaal, afhankelijk van zijn leeftijd. De uitbetaling ziet er dan uit als Bt
Vt = wt=
1
T −t, waarin T staat voor de maximale
leeftijd, en t voor het huidige jaar. Het deel van het vermogen dat de consument op neemt zal dus fors stijgen over de tijd. Tot slot wordt de 1/E(T ) regel besproken. Hierbij krijgt de consument telkens een fractie van zijn kapitaal, maar ditmaal afhankelijk van zijn levensverwachting. Er wordt dus rekening gehouden met het langlevenrisico. De uitbetalingen worden dan van de vorm Bt
Vt = wt=
1
E(T )−t. Hoe
korter de resterende levensverwachting, hoe hoger het percentage van de uitbetaling zal worden. Nu de verschillende consumptiepatronen bekend zijn onderzoeken Hornheff et al (2008) hoe deze afhangen van de risicovoorkeur van de consument. Om dit te analyseren wordt een nutsfunctie opgesteld, zodat de voorkeuren onder verschillende mate van risico kunnen worden vergeleken. Het opgestelde model ziet er als volgt uit:
Bt= nominale uitbetaling van gekozen consumptie methode
At= uitbetalen van een annu¨ıteit tot overlijden op tijdstip t
Vt= hoeveelheid kapitaal op tijdstip t
Dan geldt: U0 = E[PTt=0 tpsyβt (Bt+At)1−ρ 1−ρ + kPT t=1 t−1psy(1 − psy+tβt Vt1−ρ 1−ρ ]
Met T gelijk aan de aangenomen maximale leeftijd (hier 100) min de huidige leeftijd plus een, β gelijk aan de tijdsvoorkeur van de consument, k de waarde weergeeft om iets achter te laten aan de nabe-staanden en waarbij ρ de geprefereerde risico mate van de consument weergeeft.
Door dit nut te maximaliseren voor de verschillende consumptiemethoden wordt vervolgens geanalyseerd voor welke mate van risico een methode optimaal is.
In het volgende hoofdstuk wordt een model opgesteld waardoor de verschillende consumptiepatronen beschreven door Hornheff et al (2008) worden vergeleken ten opzichte van het optimale consumptie-gedrag bepaald door Merton (1969).
3
Model & Methode
In deze scriptie wordt onderzocht wat de optimale consumptiekeuze is voor een consument binnen zijn pensioen. Dit hoofdstuk zal een verdere toelichting geven op het gebruikte model. In de eerste
para-graaf zal de algemene opzet worden bepaald van het verwachte kapitaal afhankelijk van de keuze van investeren. Vervolgens worden in de tweede paragraaf de verschillende consumptiepatronen toegelicht.
3.1 Kapitaal over tijd
Om het optimale consumptiebeleid te bepalen is het belangrijk om te weten hoeveel kapitaal iemand bezit. In deze paragraaf wordt het gebruikte model om dit kapitaal te simuleren toegelicht.
Om het kapitaal en de consumptie op tijdstip t weer te geven worden de symbolen Kten Ct gebruikt.
Om de voorkeur van mate van risico van een consument uit te drukken wordt het symbool γ gebruikt. γ is een getal tussen de 1 en de 10 waarbij 1 heel veel risico weergeeft, en 10 vrijwel geen risico. Verder wordt aangenomen dat een consument van zijn 25e(t = 0) tot zijn 68e(t = 43) moet werken, en dus 43 jaar inkomen heeft. Het aantal nog te jaren werken wordt in dit model weergegeven met R en het inkomen wordt op 1 geschaald. Vervolgens leeft de consument nog maximaal 17 jaar (t = 60) waarbij hij van zijn pensioen gebruik maakt en daarnaast nog inkomen krijgt vanuit zijn AOW. De maximale leeftijd wordt weergegeven met T en het inkomen van het AOW wordt 0.4 verondersteld. Hier wordt voor gekozen omdat het AOW ongeveer 70% van het minimum inkomen is. Als het inkomen op 1 geschaalt wordt, zal iemand die meer dan het minimum inkomen ongeveer 40% van zijn salaris als AOW ontvangen. Tot slot wordt het startkapitaal K0 van een individu bepaald door alle toekomstige
uitbetalingen van het loon (zowel salaris als AOW) naar t = 0 te verdisconti¨eren waarbij gebruik wordt gemaakt van de risicovrije rente, die hier 1.5% veronderdersteld wordt.
Om nu het kapitaal over de tijd te bepalen wordt er een onderscheid gemaakt tussen risico-vrije en risicovolle investeringen. De proportie die in het risicovolle aandeel wordt ge¨ınvesteerd wordt weergegeven door w∗ zoals Merton (1969) heeft beschreven. Voor dit aandeel wordt een verwachting α gelijk aan 5% en een variantie σ2 gelijk aan 20% verondersteld. Het risicovrije aandeel heeft een verwachting gelijk aan de risicovrije rente en een variantie gelijk aan 0. Om schokken in de markt te simuleren wordt aan het model toegevoegd die een standaardnormale verdeling heeft. Door tot slot Ct van het gegroeide kapitaal af te halen houd je Kt+1 over.
Nu bekend is wat de kapitaal- en consumptiepatronen zijn over de tijd wordt tot slot bekeken of er naast het absolute verschil, ook een verschil in het nut zit. Om dit verschil te bepalen wordt een wiskundige transformatie uitgevoerd die de hoeveelheid kapitaal bepaald die aan K0 moet worden
toegevoegd om tot hetzelfde nut te komen als het optimale consumptiebeleid.
Nu het model om Kten Ctvoor t = {0 . . . , T } bepaald is rest nog de vraag wat de verschillende
Samengevat levert dit onderstaand model op: Kt= totale hoeveelheid kapitaal op tijdstip t
r = 0.015 risicovrije rente
R = 43 aantal nog te werken jaren T = 60 maximale leeftijd
γ = risico-aversie, op een schaal van 1 tot 10
(α, σ2) = (0.05, 0.20) verwachting en variantie aandeel met risico
ρ = log(1.05) persoonlijke waarde van geld op dit moment ten opzichte van de toekomst
Om de verschillende consumptie methoden met elkaar te vergelijken wordt het volgende model ge-bruikt: K0= T −1 X i=0 1 (1 + r)i · Y Kt+1= Kt· 1 + r + w∗t(α − r) + Ktwt∗σt+1− Ct∗ waarbij Y = 1 als t ∈ [0, R] 0.4 als t ∈ (R, T ]
Verder is w∗t gegeven zoals beschreven in Merton (1969), oftewel w∗t = σ2α−r(1−γ). Om het nut op tijdstip
t te bepalen wordt de volgende nutsfunctie gebruikt: Ut= 1−γ1 · Ct1−γ
dit verdisconti¨eren geeft: U = 1−γ1 EPT −1
i=0 e−ρ·i· C 1−γ i
Nu kan als volgt het certainty equivalent bepaald worden: CE =P(1−γ)∗UT −1
i=0 e−ρ·i
1−γ1
3.2 Verschillende consumptiepatronen
In deze paragraaf worden de gebruikte consumptiepatronen verder toegelicht. Allereerst zal het opti-male patroon gegeven worden. Daarna zullen de methoden voor een vast bedrag, een vast percentage en een flexibel percentage besproken worden.
Voor het optimale consumptiegedrag wordt de methode van Merton (1969) gebruikt. Deze ziet er als volgt uit:
C∗(t) =
ν/(1+(νε−1)eν(t−T )
W (t) voor ν 6= 0, met ν = ρ−γ1−γ en ε = 0. Door ε = 0 te veronderstellen ga ik er van uit dat de consument geen geld aan zijn nabestaanden wil nalaten na zijn dood.
In het geval dat een consument elk jaar een vast bedrag opneemt ziet de consumptiemethode er als volgt uit:
Ct= min(0, X,T −t1 · Kt), elk jaar een vast bedrag X tot het kapitaal dat je dan overhoud lager is dan
een fractie van het kapitaal. Door deze fractie van het kapitaal te nemen voorkom je dat de consument voor zijn einddatum zonder kapitaal komt te zitten.
Als de consument elk jaar een vast percentage van zijn kapitaal opneemt dan ziet dit er als volgt uit:
Ct= α · Kt. voor de percentage vector α worden verschillende patronen geanalyseerd. Allereerst wordt
gekeken naar de situatie waarbij de consument elk jaar hetzelfde percentage opneemt. Dan geldt α = {0.05, 0.05, . . . , 0.05, 0.05}. Ditzelfde wordt ook voor 2.5%,7.5%,10$,15% en 20% gedaan.
Tot slot wordt een speciale versie van de hierboven besproken methode geanalyseerd. Nu wordt er rekening gehouden met de maximale leeftijd van de consument en wordt het op te nemen percen-tage hieraan aangepast. Dan ontstaat onderstaand consumptiepatroon: Ct = T −t1 · Kt. Doordat de
levensverwachting van de consument elk jaar wat korter wordt, stijgt het percentage van het kapitaal dat de consument opneemt.
Nu de modellen en de daarin gebruikte parameters bekend zijn kunnen de resultaten geana-lyseerd worden. Hiervoor is het model 10.000 keer gesimuleerd en zijn de gemiddelde genomen van de uitkomsten. Deze gemiddelden vormen het consumptiegedrag behorend bij de gebruikte methoden. Hierbij zal telkens een optimaal investeringsbeleid worden gebruikt en variabele consumptiemethoden. Het volgende hoofdstuk zal de resultaten weergeven en hierover een analyse uitvoeren.
4
Resultaten & Analyse
In dit hoofdstuk worden de resultaten weergegeven en geanalyseerd. Allereerst zullen de individuele consumptiepatronen worden geanalyseerd door onderscheid te maken in de risicomate en eventueel verschillende parameters. Daarna zullen de verschillende consumptiepatronen met elkaar worden ver-geleken. Tot slot wordt het nut van de verschillende consumptiemethoden geanalyseerd door middel van het analyseren van het certainty equivalent
4.1 Opname vast bedrag
In het geval dat er elke maand een vast bedrag opgenomen wordt, tenzij dit te laag is, wordt het volgende model gesimuleerd Ct = min(X,T −t1 · Kt). Allereerst zal X constant worden gehouden en
wordt de mate van risico gevarieerd. Dit is gedaan voor X = {0.2, 0.8, 1.2}. Dit geeft de volgende resultaten:
************************************************************* 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 vaste consumptie tijd V erw achte consumptie ************************************************************* ************************************************************* ************************************************************* gamma=3 gamma=5 gamma=7 gamma=9 (a) X = 0.2. *********************** ************************************** 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.4 0.8 vaste consumptie tijd V erw achte consumptie ************ ************************************************* ************ ************************************************* **************** ********************************************* gamma=3 gamma=5 gamma=7 gamma=9 (b) X = 0.8. *************************** *************************** ******* 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.5 1.0 1.5 vaste consumptie tijd V erw achte consumptie ************************ ****************** ******************* ***************** ******************* ***************** ******** *********************** ***************** ********************* gamma=3 gamma=5 gamma=7 gamma=9 (c) X = 1.2.
Figuur 1: X vastgezet en varierende risico-preferenties.
Opvallend hierbij is dat de verschillende grafieken vrijwel niet uit elkaar lopen. Zeker voor een lage X zijn de grafieken vrijwel identiek. Voor een hogere X geldt dat een consument die minder risico prefereerd sneller bij een hogere consumptie uitkomt.
Nu wordt de risico-aversie op 5 gezet en wordt X gevari¨eerd. Zoals hierboven geobserveerd heeft de mate van risico weinig invloed op het consumptiepatroon, dus wordt nu slechts een geval bekeken. Hieronder wordt het figuur weergegeven met daarin de resultaten.
************************************************************* 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.5 1.0 1.5 vaste consumptie tijd V erw achte consumptie ********************************************************************************* ***************************************** *************************** ********************************** *************************** ********************** ************ *************************** ******************** *********** *** X=0.2 X=0.5 X=0.8 X=1 X=1.2 X=1.5
Figuur 2: consumptiepatroon met een risicoaversie 5 en verschillende minimale consumptie
Opvallend is dat bij een X van 0.2 en 0.5 het consumptiepatroon constant is, terwijl bij de hogere X de consumptiepatronen stijgend naar deze X zijn. Dit is te verklaren door het feit dat K0 gelijk aan
34.82 is en doordat het minimum van X en T −t1 · Kt wordt genomen. T −t1 · Kt= 0.57, waardoor een X die lager is dan 0.57 constant zal blijven, en een X die hoger is dan 0.57 zal stijgen naar X. Dit verklaart ook waarom in het geval waarbij X constant is (figuur 1a) de grafieken vrijwel identiek zijn.
4.2 Opname vast percentage
In deze paragraaf wordt het consumptiepatroon met een vast procentuele opname geanalyseerd. Al-lereerst wordt wederom de situatie bekeken waarbij de mate van risico wordt gevarieerd, en er een vast percentage van het kapitaal wordt opgenomen. Dit is gedaan met een vast percentage opname van 5%, 7.5% en 10%. ** *** ****** ********* ****** ******************** *************** 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
vast percentage consumptie
tijd V erw achte consumptie ** ****** **** ********* *************** ************************* ** ****** ******** *********** ********* ************************* *** ****** ********* ************* ****************************** gamma=3 gamma=5 gamma=7 gamma=9 (a) α = 5%. * * ** ** * ** ** ** ******* ***** ********************************* 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
vast percentage consumptie
tijd V erw achte consumptie * * ** ** ** ** ** ****** ********** ****************************** * * ** ** ** ** ** ****** ********** ****************************** * * ** ** ** ** ** ****** ********** ****************************** gamma=3 gamma=5 gamma=7 gamma=9 (b) α = 7.5% * * * * * ** ** ** ** *** **** ******** **************************** 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
vast percentage consumptie
tijd V erw achte consumptie * * * * * ** ** ** ** *** **** ************************************ * * * * * * ** * ** ** *** **** ************************************ * * * * * * ** * ** ** *** **** ************************************ gamma=3 gamma=5 gamma=7 gamma=9 (c) α = 10%.
Figuur 3: α vastgezet en varierende opname percentages.
Net zoals bij de vaste opname valt ook hier op dat de mate van risico vrijwel geen verschil maakt in het consumptiepatroon.
Houd je nu de riscio mate constant op 5 maar verander je het opname percentage dan ontstaat onderstaande grafiek:
************************************************************* 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5
vast percentage consumptie
tijd V erw achte consumptie ******** ******************************* ********************** ** *** ********* *************************** ******************** * ** * ** ** ******* ********************************************** * * * * * * ** ** *** ************************************************ * * * * * * * ** ************************************************** alpha=2.5% alpha=5% alpha=7.5% alpha=10% alpha=15% alpha=20%
Figuur 4: consumptiepatroon met een risicoaversie 5 en verschillende minimale consumptie
Ook hier voldoet een grafiek aangezien hierboven geobserveerd is dat de mate van risico vrijwel geen verschil maakt. Het opname percentage wat de consument nu het beste kan kiezen is afhankelijk van de voorkeur van de consument. Als de consument over de jaren een constante hoeveelheid wil consumeren kan hij het beste voor een laag percentage kiezen. Als de consument echter een voorkeur heeft om in zijn beginjaren een hoog bedrag te consumeren kan hij beter voor een hoger percentage kiezen. Het nadeel hiervan is echter wel dat hij na t = 50 vrijwel niks meer heeft om te consumeren.
4.3 Opname stijgend percentage
In het geval waarbij de opname afhankelijk is van de leeftijd geldt de volgende grafiek:
********************************** *********************** **** 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
toenemend percentage consumptie
tijd V erw achte consumptie ****************************** *************** *************** * ***************************** ******************** ********** ** **************************** ******************** ************* gamma=3 gamma=5 gamma=7 gamma=9
Figuur 5: Toenemend leeftijdsafhankelijk percentage bij verschillende mate van risico.
Hiervoor geldt dat de eerste 20 jaar er vrijwel geen verschil zit in de verwachte consumptie. Na deze tijd gaan de grafieken verder uit elkaar lopen. Als de consument minder risico wil lopen gaat de verwachte consumptie omhoog.
4.4 Optimaal beleid
***************************** *************** *************** * 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 optimale consumptie tijd V erw achte consumptie *************************** ******************* ************* * ************************** ******************* ********* ****** ************************* ************* ************** ******* * gamma=3 gamma=5 gamma=7 gamma=9
Figuur 6: consumptiepatroon van het optimale beleid onder verschillende mate van risico.
Ook hiervoor geldt dat de eerste 20 jaar het consumptiepatroon vrijwel identiek is. Hierna blijft de grafiek behorend bij een hoge mate van riscico achter ten opzichte van de rest.
4.5 Vergelijken verschillende methoden
Nu alle methoden apart zijn uitgelicht wordt nu geanalyseerd hoe deze methoden zich tot elkaar ver-houden. Hiervoor zijn de verschillende methoden met elkaar vergeleken voor een mate van risico van 3, 5 en 8. De grafieken hieronder geven de resultaten weer.
************************************ ********************** ** 0 10 20 30 40 50 60 0.0 1.0 2.0 verschillende methoden tijd V erw achte consumptie ************************************************************* *** ******** ***** ***************** **************************** **************************************** ****************** *** optimaal vast procentueel leeftijds procentueel (a) γ = 3. ******************************** *************** ************* 0 10 20 30 40 50 60 0.0 1.0 2.0 verschillende methoden tijd V erw acte consumptie ************************************************************* *** ******** ***** **************** ***************************** ************************************ ***************** ******** optimaal vast procentueel leeftijds procentueel (b) γ = 5 ******************************* *************** *********** *** 0 10 20 30 40 50 60 0.0 1.0 2.0 verschillende methoden tijd v erw achte consumptie ************************************************************* *** ********* ************* *************************** ********* ********************************** ********************* ****** optimaal vast procentueel leeftijds procentueel (c) γ = 8.
Figuur 7: verschillende consumptiepatronen afhankelijk van de mate van risico.
me-thode is. De leeftijdsafhankelijke meme-thode benadert deze veruit het beste. De meme-thode waarbij de consument elk jaar een vast percentage opneemt loopt tegengesteld aan de optimale methode. De methode waarbij de consument elk jaar een vast bedrag consumeert wijkt elk jaar meer af van het optimum.
Daarnaast valt ook uit de grafieken af te leiden dat hoe meer risico de consument prefereert, des te beter de leeftijdsafhankelijke methode de optimale methode benaderd. Ook lopen deze grafieken bij een hoge mate van riscio minder stijl dan bij een hoge mate van risico.
4.6 Certainty equivalent
In deze laatste paragraaf wordt het certainty equivalent geanalyseerd. Hieronder staat de grafiek die van elke methode voor gamma tussen 2 en 10 het certainty equivalent weergeeft:
Figuur 8: certainty equivalent.
* * * * * * * * * 2 4 6 8 10 0.0 1.0 2.0 CE verschillende methoden gamma CE * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * optimaal vast procentueel leeftijds procentueel
Ook hieruit volgt wederom dat de leeftijds afhankelijke methode de optimale methode het best benaderd, aangezien het certainty equivalent voor deze methode vrijwel identiek is aan de optimale methode. Verder valt ook af te leiden dat voor lage gamma de procentuele methode beter is dan de vaste methode, maar dat dit voor hogere gamma precies andersom geldt.
5
Conclusie
Deze scriptie heeft verschillende consumptiemethoden onderzocht. Hierbij is rekening gehouden met de hoeveelheid risico die een consument wil lopen. Om een optimaal beleid het beste te benaderen kan de consument het beste kiezen om een fractie van zijn kapitaal te consumeren dat afhankelijk is van zijn leeftijd. De mate van risico maakt voor deze conclusie vrijwel niks uit. Zowel voor veel en weinig risico is deze methode de beste benadering. Het maakt voor de hoogte van het kapitaal weldegelijk uit hoeveel risico de consument neemt. Hoe hoger het risico, hoe hoger ook het kapitaal zal stijgen. Hierbij is echter in de praktijk wel een grotere onzekerheid op de resultaten dus is de onzekerheid ook
groter. Voor pensioenfondsen is het dus van belang om deze onzekerheid goed met de consument te bespreken voordat deze een weloverwogen beslissing maakt.
bibliografie
Bovenberg, L., Nijman, T. (2017). New Dutch pension contracts and lessons for other countries ge-vonden op https://www.netspar.nl/assets/uploads/P20170911dp014bovenberg.pdf
Horneff, W. J., Maurer, R. H., Mitchell, O. S., Dus, I. (2008). Following the rules: Integrating asset allocation and annuitization in retirement portfolios. Insurance: Mathematics and Economics, 42(1), 396-408.
Merton, R. C. (1969). Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case. The review of Economics and Statistics, 247-257.
