Operations-research toepassingen

Operations-research toepassingen

Citation for published version (APA):

Tilanus, C. B. (1983). Operations-research toepassingen. (herz. druk redactie) (TH Eindhoven. THE/BDK/ORS, Vakgroep ORS : rapporten; Vol. 8308). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1983

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

OPERATIONS-RESEARCH TOEPASSINGEN

door

BIBllOTHEEK

C.B. Tilanus

_{8 389902}

T.H.EINOHOVEN

Report ARW 03 THE BDK/ORS/83/08

Bijdrage voor het Automatiseringszakboekje, te publiceren door het PBNA te Arnhem.

Technische Hogeschool Eindhoven,

Eindhoven, maart 1983, herzien mei 1983 BDK/ORS/83/02

~ninklijke PBNA

5Oo£dstuk ar ••

~Q~A$$~~CS~~aICij!~.INF~RMATICA

(V. )

~pijvel .o:ummer

Aute1l%' ... 1;i.l.a.nJl"s ... •.•••

• •••• 1 • •.•••••••

1 - HOOFDSTUK V. TOEPASSINGSGERICHTE INFORMATICA

2

-J . Paragraaf

4.

Operations-researchtoepassingen 4

-5 - Inhoud Pagina

6 4.1. Inleiding 2

7 -

4.2. Wat is operations research? 4

a ..

4.3. Onderwerpen van operations research 8

9

-4.4.

Operationele research in Nederland 15

4.5. Lineaire programmering, een voorbeeld 18

o

-4.6. Standaardprogrammatuur voor operations re.search 21 1 -Literatuur 26 2 3 4 5

6

7

a

-

9o

-1

2 ..

J .. 4 5 -6 ...

7 •

9

-1 2 3 4 -S Ei 7

a

9

a

-1 2 3 4 5 1

....

2 3 ... 4 5 Ei ... 7

""

a

~ 9

a

Ei

...

7

_""

a

"!' 9

a

Koninklijke PBNA

Eicc ~a.s"'t:UJt Dr.

Y.:

~

• • • ,. • • • • • .. • • • • •

ill • • • •

Aut8ll.2:- .... • ' •• i i 1 all"!; •• ,. ,. III ,. . . . ,. • • • •

4.1. Inieiding

Kopijvel .c.ummer

2

'ORttbetekende al operations research toen de ondernemingsraad nag geboren moest worden;"Lptlbetekende al lineaire progrannnering toen de langspeelplaat nog een Alnerikaans sprookje was; v66rdat de progrannnering van computers verwarring kon zaaien betekende"mathematische programmering'de verzameling OR-technieken voor het oplossen van wiskundige modellen van soms een groot aantal vergelijkingen in een groter aantal niet-negatieve variabelen met een te maximaliseren of te minimaliseren doelstellingsfunctie in die varia-belen. De oudere termen waren en zijn aIleen bij ingewijden bekend en konden daarom door de nieuwere termen worden overvleugeld. Hier zullen de eersten

aan de orde komen.

Grote delen van de operations research worden in dit Zakboekje elders behandeld. Met name zij verwezen naar paragraaf V.3 "Simulatie"

en paragraaf VI. 8 "Decision support systemen" . Het resterende gebied van de operations research is nog te uitgebreid om

hier geheel te behandelen. Wij zullen ons beperken tot enige hoofdzaken en een aantal voorbeelden. Eerst wordt gepoogd klaarheid te brengen in de be-tekenis van de term operations research en de overeenkomsten en ~erschillen met aanverwante termen (paragraaf

4.21.

Daarna volgen overzichten van moge-lijke inhoudemoge-lijke indelingen van de operations research (paragraaf 4.3).

een

Dan wordt overzicht gegeven van toepassingen van operations research in Nederland gebaseerd op enige recente enquetes (paragraaf

4.4).

Lineaire progrannnering wordt behandeld als een voorbeeld van de lange·weg heen van

1 2 3 4 5 -7

a ..

9

o

-1 2 3 4

5

6 7

a

-9

o

1 2 3 .. 4

5

-6 .. 7 ~ 9

'Xani .• lkJ.i j ke PBNA

Aut~ • ., ... • Ti I anuS' ... e· • • •

xapi jvel. Zllllmller 3

...

...

een wiskundige techniek, via standaardprogrammatuur, naar het gebruik in bedrijven en andere organisaties, en van de lange weg terug van de behoeften in de praktijk naar de wiskundige theorie (paragraaf 4.5). Tenslotte wordt uit de grote hoeveelheid programmatuur die aangeboden wordt als standaard-programmatuur voor operations-researchtoepassingen een greep gedaan (para-graaf 4.6 ). Daarbij is gebruik gemaakt van door de leveranciers ter beschik-king gestelde gegevens; voor de juistheid kan niet worden ingestaan; volledig-heid is niet nagestreefd. Een en ander tekent weI de behoefte die er bestaat aan objectief, wetenschappelijk onderzoek (met behoorlijke publicatie van resultaten) naar vraag en aanbod van standaardprogrammatuur van operations research.

_.

1 2 -3 4 5 6 7 B

-9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0. 1

-2 3 4 5 6 7 'II!' 8 "'l' 9 0 XOninklijka PBNA

V.4

Eocfdst1l.lc

n: .. " ... "." .. " ... "" ... .

Aut.eu:z: ... • 1~1i-:Q.qfi •••• " • " " .... .. e· . . . .

4.2. Wat is operations research?

XOp1jva~ llutemeJ:'

4

"

...

"

...

...

"

Operations research is het toepassen van kwantitatieve methoden in het management. Deze kortste definitie kan dienen als leidraad door het bos, waarin we de volgende bomen willen onderscheiden.

Operational research. "Operational Research involves the application of scientific methods to the study of complex systems. It seeks to produce an understanding of their problems and to develop models which will enable the consequences of decisions to be investigated. Operational Research methods have had already widespread application and success in many areas of business, industry and government, and their use is rapidly increasing within social systems and for examining international problemsll _{(European Journal of} Operational Research, cover pagel.

Operations gesearch. Amerikaanse versie, gemakkelijker uitspreekbaar. In Europa zijn 21 landen lid van de International Federation of Operational Research Societies (IFORS) en van de Association of European Operational

Research Societies within IFORS (EURO). Hiervan gebruiken 11 de term "operations" in hun naam, 3 de term "operationalll (waaronder uiteraard de vereniging van

Engel and , de bakermat van de OR), en 7 geen van beide termen.

Management science. Een prachtnaam voor precies hetzelfde gebied; komt

helaas aIleen tot uiting in "The Institute of Management Sciences", een inte~ __ _ nationale vereniging, die echter voor tachtig procent uit Amerikanen bestaat.

Bedrijfseconometrie. Een synonieme term die vooLal door de Katholieke Hogeschool Tilburg verbreid wordt. Is niet internationaal bruikbaar, evenmin als "bedrij fseconom·ie'! "Economics" betekent immers vooral macro-economie, en hoogstens wat meso- en micro-economie, maar geen bedrijfseconomie; "econo-metricsll _{betekent vooral regressieanalyse.}

Besliskunde. Een als' synoniem bedoelde term die van het Mathematisch Centrum te Amsterdam uitgaat. Heeft de associatie gekregen met de (wiskundig gerichte) decision science, in plaats van met de (computerkundig en praktisch

!:cn.i.nkli j ke P'SNA

!ccfCs'tUk: 'OJ: •• '4 ...

4. ... ,. ... .

Autlt"lrlr ... • 'P'~i~· ... ' ••• ₅

...

..

,

... .

1 gerichte) decision support systems.

Systems analysis. WeI eens in grotendeels dezelfde betekenis als operations 3 - research gebruikt, bijvoorbeeld in de naam van het International Institute

4 - for Applied System~ Analysis (IIASA) te Laxenburg, Oostenrijk. Meestal betekent

5 "systeemanalyse" echter de voorbereidingsfase voor administratieve automati-6 sering.

7 Men zou kunnen vragen: waarom al deze termen en niet gewoon "t<wantitatieve

a

methoden in het management"? Dat komt omdat er in de wetenschap geen dicta-9 tors of monopolisten bestaan die het voor het zeggen hebben.

o

In het kader van die Zakboekje is wellicht een dubbele tweedeling verhel-1 derend voor het gebied van de operations research, ziefiguur 4.1.

2 3 4 5 -6

7

-8 9

o

1 -2 3 .. 4

5

-6 ...

a

"'!' 9

-.m:ta 1 2 3 4 -5 6 7

a ...

9

a

-1 2 3 4 5 -6

7

-a

9

a

1 2 -3 ... 4 -5 6 ... 9

a

-Sccfdsi:tJ.k nr .••.••

Y

~

... .

THanus Aute1l:l:: ... ., ... e· • • • management van bedrijven en andere organisaties andere toepas~ings­ gebieden technisch-wetenschappelijk rekenwerk operations research voorbeeld: natuurkundige, civieltechnische, astronomische berekenirigen l{opijve~

nummer

• .• .• 6 ... ... . elektronische gegevensverwerking administratie, management-informatiesystemen voorbeeld: overheidsgegevensbe-standen, bibli6theekwezen

Figuur 4.1. Operations research als de "doorsnede" van technisch-wetenschappelijk rekenwerk en management van bedrijven

Konink~i j ke PBNA Hoc"fdst:uJc n%'

Y

:

~

: • • • • • • • • • • • • • • • .. • ....

A'l1tau:: ... :ri-la:g.\l~ ... ' ••• Kopijve~ llummBr 7 . • .. • .. • .. • •.• • • * . . . .

1 .. De voornaamste werkwijze van de operations research: het bouwen en ge-2 - bruiken van wiskundige modellen om daarmee de kwaliteit van beleidsbeslis-3.. singen te verbeteren, kan gekarakteriseercl: worden als lIomwegproduktiel l

•

4 - Omwegproduktie is een begrip uit de economie. Een bekend voorbeeld is de 5 - visser, di~ in de meest primitieve staat met zijn blote handen vissen vangt,

6 -

bij een meer ontwikkelde stand van de techniek eerst een net knoopt of een 7, hengel bouwt en dan meer vissen vangt, bij een nog verder ontwikkelde stand

a

van de techniek eerst investeringen doet in een roeiboot, een zeilboot. een

9 - motorboot, enz., en vervolgens steeds meer vissen vangt •.• De "omweg" waarmee

o

geproduceerd wordt neemt steeds toe maar de bedrijfsresultaten worden steeds

beter.

1

Modellen bouwen en gebruiken ter vebbetering van beleidsbeslissingen is ook een tlomweg", zie figuur 4.2. Experimenteren met beslissingen in een 3

-werkelijk bedrijf is primitief, duur en slechts beperkt mogelijk. De

terug4

-koppeling uit de resultaten is karig. De operations researcher analyseert het

5

bedrijf, bouwt een vereenvoudigd model, experimenteert daarmee en geeft, 6

nadat hij rijkelijk terugkoppeling uit de modelresultaten heeft ontvangen,

7

-een beslissingsadvies waardoor de kwaliteit van de uiteindelijk genomen

be-a -

_{slissing beter kanzijn.}

9

o

1 2 -3 ... 4

s

-6 .. 7 • 9

o

1 2 3 4

s

6 -7 ...

a ..

9

a

-1 ... 2. 3 4

-s ...

6 -7 ...

a

-9 ...

a

-Kon:.i.nkli j ke PBNA V4 "Bocfds1:11lc n.::z::, ••••••• '" . . . " •

Tilanus Xcpijvel. l11Jmmer

Au t8'll:: ... <# • .. • .. .. .. .. .. • .. • .. • .. .. .. • . . . • •. • • •

..

...

~~

.

... .

afbeelding

exogene variabeZen

Ir

besZissingsvariabeZen

model

aJhankeZijke variabeZen

~

terugkoppe Zing

- _ ... - - ----.-- • .--.. - - -f.- .. _ - - - - _ . _~._.

besZissingen

modeZbo'ULJ

bednjf.

orga n isa fie

werkelijkheid

externe be£nvZoeding

resuZtaten

...

1 - Figuur 4.2. Modelbouw en modelgebruik als omwegbeslissing.

2

-3 ... 4 ... 5 -6 .. 9 ...

a

-lI:oni.nkli j ke PBNA E!cofc:!s1:t:Jc:

%1%'.': -.

~

•••.•.••..••.•••••.•

Au tl!1.::l:: ... ']:it},atw..).S. •• * . . . e" • • • lI:opijvel n'UmDler 8

.

...

... .

1 4.3. Onderwerpen van operations research

2

-3 - Voor de onderwerpen die zoal tot de operations research gerekend worden Z1J

"

-

gewezen op een tweetal boeken: het Nederlandse boek

s _

"Operatio1'!ele research" van Ten Broeke, Van der Heijden, Sierenberg en

6 Terpstra [IJ en het Amerikaanse boek "Operations research" 1 van Hillier en Liebennan [5J. Ook is in dit verband de

clas-a ....

sificatie van operations-researchonderwerpen van het tijdschrift International

9 Abstracts of Operational Research (Feb. 1982) interessant,waarin de

OR-onder-o -

werpen in vier dimensies worden gerangschikt, te weten onderwerpen gericht,J

op: 1

- (wiskundigel technieken;

2

processen of functies van organisaties; 3

toepassingsgebieden, branches of sectoren; 4

-- de beoefening van de OR zelf.

s

-In tabel 4.1 geven wij de inhoudsopgave van het boek van Hillier en

Lieber-6 - _{man weer, als typisch voorbeeld van de onderwerpen die behandeld worden in'} 7 - _{een Amerikaans standaard leerboek in de operations research.}

a

9

o.

-1 ... 2 3 .. 4

5

-6 9 ...

Xcninkli j ke PBNA

V.4

E!oc.f da1:u.k

n.r...,...

Auteur

•..•...•.••...•..••..•...

Tilanus Xcpijve.l nurmner 10

.

...

-

... ..

1 - Tabel4.1. Hoofdstukindeling van een Amerikaans standaard leerboek in de 2 - operations research.

3

-4 - I. Introduction

5 - PART I ~ MATHEMATICAL PROGRAMMING

6 2. Linear programming

7 .. 3. Special types of linear programming problems

e ..

4. The application of linear programming

9 - 5. Network analysis, including PERT-CPM

o ..

6. Dynamic programming

1 .. 7. Game theory

PART 2. PROBABILISTIC MODELS

2

3 ..

B.

Probability theory

9. Queueing theory 4

-10. The application of queueing theory

5 ..

II. Inventory theory

6

-12. Markovian decision processes and applications

7 -13. Reliability

e ..

14. Decision analysis 9 -15. Simulation

O. - _{PART 3. ADVANCED TOPICS IN MATHEMATICAL PROGRAMMING} 1 _{16. Algorithms for linear programming}

2 - _{17. Integer programming}

3 ..

_lB.

_{Nonlinear programming}

4 - 19. Operations research in perspective

s

-6 ...

8 ..,.

9

o

-Xcnin.kl.1 j ke PBNA

accfdst1llc. Dr'.

~ ~ ~

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Aute.t&r •••••• ii],Bti:)t)S.· •••• ., ... .

Xcp1jve.l lltmmler

12

1 - Een dikwijls gemaakte tweedeling van OR-modellen is die in deterministische 2 en stochastische modellen. Een andere tweedeling is die in simulatie- en 3 - optimalisatiemodellen. In deterministische modellen wordt eenvoudigheids-~

4 - halve gerekend met variabelen die " zeker" zijn; in stochastische modellen

5 wordt re~ening gehouden met onzekerheid en met;:waarschijnlijkheidsverde-6 lingen van variabelen. In simulatiemodellen worden aIleen maar de gevolgen

7 berekend uitgaande van aangenomen waarden van de beslissingsvariabeIen; in

a ...

optimalisatiemodellen worden de best-mogelijke waarden van de

beslissings-9 variabelen berekend. Voorbeelden worden gegeven in figuur 4.3.

a

-1 2 3 4 5 -6 7

-a

9

o.

1 -2 3 .. 4 5 6 .. 9

-o

·jhouci 1 2 3 4

s

-6 7

a

9

o

1 -2 3 -4 ...

s

-6 7

-a

9

a

1 2 -3 ... 4 5

-6 ...

9 ...

o

-Kon..inkJ..i j ke P'BNA

E!ccf~ .1'1%' •• y .. , . ... .. _{Kop.ijvel numml!r}

Autat:t:" ... ' ... 'Iii anas ... ..

13

...

.,

.

... .

1

s~mu at~e opt~ma l ' l.sat~e

discounted

cashflow-berekeningen, lineaire deterministisch material requirement programmering,

planning (MRP) netwerkplanning

Monte~Carlosimulatie, Markov-programmerin~ statistical inventory regressieanalyse stochastisch

control (SIC)

Figuur 4.3. Voorbeelden van OR-modellen volgens de dubbeledicho-tomie: deterministisch-stochastisch en simulatie~Qptimalisatie.

.mts • j1"..cu 1 2 3 4

s

-6 7

-a ..

9

o

1 2 3 4

5

6

7

-8 9

o

1 -2 3 .. 5 -6 .,. 7 ~ 9 -Haofds1:.Uk t:1.l:. •••

Y:

~

... .

Autt!1l.%: ... ri..laau,s ... e· • • •

Kopi jvel llua:mU

14

Hoewel be ide tweedelingen tegenstellingen suggereren, zijn de grenzen niet scherp. Een deterministisch model kan een groot aantal keren door-gerekend worden waarbij met de kansverdeling van variabelen rekening wordt gehouden; in een stochastisch model kan met de mathematische verwachtings-waarde van variabelen gerekend worden hetgeen gemotiveerd wordt door "zekerheidsequivalentie". Een simulatiemodel kan gebruikt worden om langs heuristische weg een optimale beslissing te benaderen; omgekeerd kan een optimalisatiemodel gebruikt worden om de gevolgen van een aantal verschil-lende beslissingen te berekenen.

ICninklijke PBNA

!!Qo

t

c1s"tUk Ill:.

V.

_.4. • • • • • • • • ,. • • • ,. • • • • • • • Kcpijvel nummer

Autfl'llZ' ... .rri..l~tl~ . . . .

15

...

,.

... .

1 - 4.4. Operationele research in Nederland

2

-3 - Een indruk van de beoefening van de OR in Nederland wordt geboden door

4 - het boek "Kwantitatieve methoden in het management" [6J. dat verschenen

s

is ter gelegenheid van het 25-jarig jubileum van de SOR, de Sectie Operations 6 Research van de Vereniging voor Statistiek. Hoewel het werk van de SOR-Ieden

7 .. maar een kleine fractie is van de operations research in de ruime betekenis

a -

van het woord die in Nederland beoefend wordt, mag hun werk toch als

repre-9 .. sentatief worden beschouwd.

a -

De praktijkgevallen in [6J zijn in ongeveer gelijke aantallen verdeeld

1 - over industrie, diensten en non-prof it-sector (zie tab.el 4.2). Vooral de 2. kwartaire, non-profit sector is de laatste jaren flink gegroeid.

3 - De OR houdt zich voornamelijk bezig met planningsvraagstukken (zie tabel

4

-4 • .3), Op de korte termijn, als de onzekerheid minder groot is, valt er

blijk5

-baar meer eerte behalen met OR-berekeningen dan op de lange termijn met dienovereenkomstige onzekerheid. Immers, tlgarbage in, garbage out", Analy-6

tische vraagstukken spelen daarnaast in de OR ook een belangrljke rol, zoals

7

-tot uitdrukking komt in het synoniem "operationele analyse".

a

Bekijken we de in de praktijkgevallen gebruikte methoden en technieken,

9

-dan valt het grote aandeel van de mathematische programmering en

combina-a -

_{torische optimalisatie op (zie tabel 4.41. Vermoedelijk zijn de}

simulatie-1 - en ad-hoc-modellen ondervertegenwoordigd omdat de auteurs deze niet

interes-2. - _{sant genoeg achtten om in hun bijdrage te bespreken.}

3 ..

Ter gelegenheid van het 25-jarig SOR-jubileum zijn de SOR-leden geenque~ 4 _{teerd [6, pp. 20-24J. Daarbij bleek van welk groot belang computers bij de}

5 - _{beoefening van de OR zijn. Slechts vier procent van de aktieve OR-beoefenaars} 6 .. _{gebruikte geen computer. Geheel in overeenstemming met het}

technisch-weten-schappelijk karakter van de OR, is Fortran de meest gebruikte computertaal (zie tabel 4.5).

9

a

-ltI.;)nin.k.li j ke ?SMA

E!cC f c1s1!Ulc

nr. '{

*. Lt . . • • • .. • • . . . . . .. . . . • . •

AutBllr ... . ":tl'~

• • ... .

e· • • •

Kepi jvel 111Jm1l1.e:r

16

. . . *'~ . . . .

1 - Tabel 4.2. Procentuele verdeling van operations resea_rch tcrepassingen 2 - over sectoren

3

-4 - sector percentage

5 - _{primair (landbouw, mijnbouw) 3} 6

secundair (industrie) 28

7 - _{tertiair (diensten)} 31

e -

kwartair (non-profit, onderwijs, overheid) 39

9

-100

o ..

1

-Tabel 4.3. Procentuele verdeling van OR-toepassingen' over probleemgebieden

2

3 - _{gebied percentage}

4

-5 - korte-termijn, produktieplanning 43

6 - lange -termijn, strategische planning 29

7 - analytisch onderzoek

27

e -

100

9

-o. -

Tabel 4.4. Procentuele verdeling van OR-toepassingen over methoden

1 _{. methode percentage}

2

-3 ... mathematische programme ring 31

4 -combinatorische optimalisatie 22 simulatie 19 5 -statistische methoden 7 6 .. ad-hoc modellen 21 100

9

-,mte

.jhouc1

Korti..."lkl.i jke PBNA

Soc fds'ttlJc. l1r'.

V. ••

4. • • • • • • .. • • • .. • • .. .. • • • . •

Aute12l: ... -':P'r1*8'1l\.t'S ... .

lCopi jveJ. ntmmlU' 17

1... Tabel 4.5. Procentuele verdeling van door SOR-leden gebruikte

computer-:2 ... talen 3 -4 - computertaal percentage 5 ... Fortran 32 6 ... Algol 13 7 - _{Basic II}

a ...

_Pascal 10 9 - APL -9

o ...

_{Cobol 9} 1 - Simula 8 2 - PL/l 4 3 - Divers en 5 4 ... 100 5 ... 6 -7 ... 8 -9 ...

o ...

1

2 ...

3 .. 4 ...

5 ...

6 ... 9

-o ...

Koninkli jke PBNA

l!QrQfCs'tt2Jc.

n:....

~

..

~

. . . .. . .. . . .

Auteu:z: ... 'I::Ll.a~ ... .

Kopijve.l nummer 18

1 4.5. Lineaire programmering, een voorbeeld

2 3 -4 5 -6 7

a ..

9

o

1 3 -4 5 -6 1

a

9

o

1 -3 ... 4 -5

6 ..

9

Er ligt een lange weg tussen wiskundige OR-technieken en OR-toepassingen in de praktijk. Op die weg bevinden zich de mijlpalen: programmatuur en

computers~ Als voorbeeld bespreken wij de lineaire programmering.

Het lineaire-programmeringsprobleem heeft de volgende wiskundige vorm: gegeven: a .. , 1J b. , 1 c. , J maximaliseer: i == i = i

₌

1 , ••• ,m; j

=

l, •.. ,n I, ... ,m 1, ... ~ n + ••• + C x n n onder de voorwaarden: x. ~ 0, j

=

l, ... ,n J + ••• +a x == b m mn n

In compacte matrix-notatie kan men het LP-probleem schrijven als: max! c T x~

Ax

=

b

x ~ 0

Het LP-probleem was tot 1947 onoplosbaar. In dat jaar ontdekte G.B. Dantzig de simplex-algoritme voor de oplossing ervan. De simplex-algoritme is een mooi

~an een algoritmische oplossing)

voorbeeld van een wiskundig probleem, met andere woorden, de oplossing wordt gegeven in de vorm van een rekenvoorschrift. Er bestaat voor het LP-probleem geen analytische oplossing, met andere woorden, er bestaat geen formule

x

=

f (A, b, c)

waarmeedEOnbekenden in de gegevens kunnen worden uitgedrukt.

XOni.."lkl.i j ke PBNA

E!oc'fas1:llJc

n.r.

~ _.4 ••••••••••••••••••••• XOp.i.jve.l nummer

Aut81.l%: « . . . • ~i!r~ ... e· • • • ₁₉

...

,.

.

1 Al dan niet na enige voo rb ewerking en , is het probleem in "kan6nieke 2 - vorm" te schrijven als voIgt:

.3 4

s

-6 7

a ..

9

-o

1 2 3 4

s

-6 7 -8 9

o.

-1 2 3 ... 4

-s

6 8 "'!' 9

o

Xl _waarbij x. ~ x(}' "" z. -"- _....

...

_...

"-

_...

....

_...

.... "- _... "-.... .... _... X _m + a X +

...

_{+ alnxn} 1 ,m+l m+ I

I

I • + a _{m,m+ m+} 'Ix 1+

...

+ a X _{mn n} + ••• + d x n n

=

b i I I I = b m

=

z

De simplex algoritme. de grootste "bestselleri

• aller tijden in de operations

research, verloopt nu als voIgt: Stap 1. Bepaal d

=

min d .•

s J

Stap 2. Als ds ~ 0, dan is Xo maximaal en x optimaal, dus stop; anders volgende stap.

Stap 3. Ais a. ~ 0, aIle i, dan is Xo onbegrensd, dus modelfout en stop;

1.8

anders volgende stap.

Stap 4. Bepaal b

la

=

min {b./a.

I

a. > Q}.

r rs i ~ ~s ~s

Stap 5. Voer de Gauss-Jordantransformatie uit:

Sta.e 6. a • := a •

I

a ,aIle j rJ rJ rs b_r := b_{r lars} a .. := a .. - a . • a . , i¥r, aIle J ~J 1.J ~s rJ b. • - b. - a. . b ,i¥r 1. 1. 1.8 r d. := d. d .a _{rj' alle j} J J s z := z ;,.. _{d .b} s r

1 2 3 4

-s

6

7

8

9

-o

1 2 3 4 -5 l!cofds't1llc. !l.r' .,V •• 1+ ... ., ... . Autl!'ll:l: ... ~1ant1s ... ., ... .. Kopij'Ve.l

nummer

20

·

...

,

... ..

De simplex-algoritme is in een namiddag te programmeren - maar dat

levert nog geen bruikbaar LP-pakket op! LP-pakketten zijn juist grote standaardprogramma's van duizenden regels die vele manjaren gekost_ hebben. De simplex-algoritme daarin is te vergelijken met een pit in een appel.

Een verrassend groot aantal praktische beslissingsproblemen kan, a1 dan niet met een aanta1 wiskundige kunstgrepen, in de standaard-LP-vorm worden gegoten, vg1. [4, 6]. Bedenk ook dat een LP-mode1 vee1 algemener is dan een macro-economisch model dat uit n 1ineaire vergelijkingen in n onbekenden bestaat.

Van Dam [4] heeft 67 bedrijven en andere organisaties in Nederland gein-ventariseerd die mathematische programmering toepassen. Het zou van groot bedrijfskundig belang kunnen zijn een analyse te maken van het gebruik van LP en het gewenst gebruik (de "vraag" naar LP), en daartegenover te onder-zoeken in hoeverre de LP-pakketten aan de behoefte voldoen en de wiskundig--theoretische en computer-technische ontwikkelingen in de gewenste richting 6

gaan (het "aatibod" van LP). Helaas is met-een dergelijk tijdravend, empirisch

7

anderzoek in de academische wereld weinig eer te behalen en treft men tien 8

theoretische nieuwigheden aan tegen een taets op praktische bruikbaarheid. 9

o

1 -2 3 ... 4 5 -6 ... 8 "'!'

9 ...

o

l!c::)o:f'CLs1:t1lt

11:1:'." -.

~

... ,. .. " .. .

Aut81lZ:"' ...

':ti.\.s.n.

u•s ... .... .

Xcpijve.l l1u:zmter

21

1 4.6. Standaardprogrammatuur voor operations research

2 3 4

-s

6 -7

a ..

9

o

1 -2 3 4

-s

6 -7 8 9

o ..

1 -2 3 ... 4 .. 5 6 .. 9

o

We hebben gezien dat in de OR veel gebruik gemaakt wordt van typisch tech-nisch-wetenschappelijke computertalen (tabel 4.51 en we hebben een voor-beeld besproken van een standaardprobleem waarvoor standaardprogrammatuur beschikbaar is (paragraaf 4.5).

Simulatiemodellen en andere ad-hoc-modellen zullen altijd ad hoc gepro-grammeerd moeten worden, al dan niet met behulp van voorgeprogepro-grammeerde modules of speciale talen (voor simulatie bijvoorbeeld Simula, Simscript). Gelukking zijn er in de OR een groat aantal problemen met standaard-oplossingen, waarvoor standaardprogrammatuur gemaakt kan worden, zodat de gebruiker zijn volle aandacht kan wijden aan de toepassing en door middel van een gebruikersvriendelijke gebruikerstaal de computer de rest kan laten doen.

De Computer-adressengids [21 vermeldtruim driehonderd service-, software-en adviesbureaus. Esoftware-en groat aantal daarvan vetlesoftware-ent disoftware-enstsoftware-en op het gebied van technisch-wetenschappelijk rekenwerk (inclusief OR). Bij de COSSO zijn een dertigtal computer service- en software bureaus aangesloten. Vo~gens

het COSSO Vademecum [31 bieden 16 leden huip aan bij lineaire programmering, 18 bij simulatie, en 2Q bij uwiskundige berekeningenfl _{waartoe veel} OR-tech-nieken gerekend zullen worden. De universitaire rekencentra stellen ook software beschikbaar [7J.

Uit het grate aanbod van standaardprogrammatuur daen wij hier een greep. De gegevens zijn ontleend aan door de aanbieders gegeven beschrijvingen;

.

wij volstaan met globale pakketbeschrijvingen voor specifieke toepassingen 9naer gefingeerde namen.

Mathematisch-programmeringssysteem (MAT). Allocatie- en keuzeproblemen, die zich in vrijwel iedere organisatie voordoen, kunnen dikwijls beschreven en opgelast worden met mathematische programmering. ~~T berekent de optimale

1 2 3 4 5 -6 -. 7

a ..

9 ..

a ..

1 2 3 .. 4 -5 .. 6 7

a

9 ..

a

1 ... 2 3 ... 4 5

-6 ...

7 "'" 9 Eic:x::) f dst11lc %1:Z:"..

Y ..

it . • . . . •

Aut4lt1:r: ... Tilauus, .. " ... . " .. . Kopijve.l nummer 22

·

...

... .

aanwending van middelen (zoals kapitaal, grondstoffen, machines, arbeid) om een eenduidig omschreven doel (zoals het minimaliseren van kosten of het maximaliseren van omzet of winet) te bereiken. Essentieel daarbij is dat de middelen alternatieve gebruiksmogelijkheden hebben met verschillende

bij-dragen aan het gestelde doel. Discontinuiteiten van het probleem (bijvoorbeeld het al of niet optreden van vaste koetenl kunnen veelal geformuleerd worden met behulp van geheeltallige variabelen; in een optie kan hiermee rekening worden gehouden. Daarnaast zijn er opties voor:

- het starten van de berekeningen ~et de optimale oplossing van de vorige keer;

efficiente invoer;

overzichtelijke uitvoer; - foutendetectie.

Project-management (PRO). Pakketten voor project-management maken gebruik van netwerkplanningtechnieken zoals CPM, PERT, MPM. Het programma PRO geeft de projectleiding de mogelijkheid de haalbaarheid van projecten wat betreft tijd, capaciteit en kosten vooraf te beetuderen. Daarnaast is PRO een voart-gangs- en kosten-controlesysteem. Projectgegevens zoals activiteiten, netwerk-relaties, budgetten, hulpmiddelen en kosten kunnen interactief worden inge-voerd. Activiteiten kunnen in verschillende kalenders worden ingedeeld en gekenmerkt als opdeelbaar, wanneer optimalisatie dit vereist. Activiteiten kunnen ook worden aangemerkt om bij voorkeur zo vroeg of zo laat mogelijk uitgevoerd te worden. PRO beschikt over een verscheidenheid van standaard-rapporten, histogrammen en balkendiagrammen die de gebruiker door middel van parameters kan sturen.

Voertuigenplanning (VOE). Het probleem is hoeveelheden goederen te ver-voeren van een aantal plaatsen (oorsprongen) naar een aantal plaatsen (bestem-mingen) met een aantal vrachtwagens van gegeven capaciteiten binnen bepaalde

1 2 3 4 5 -6 7

a

9

o

-1 2 3 -4 5

6

-7

a

9

o

-1 2 3 .. 4 5 -6 ...

7

"!'

9

o

-!('QnJ.nklJ. j ke PBNA

!!oOf ds1::aJt I1l:'

Y

.. ;.. . . • . . .. . . . •

Aute1lr ... .T.iJJ'ilJllls ... •.•••

!('QpJ.jve.l llum:tD.8r

23

tijden. VOE kan de totale gereden afstand minimaliseren, of het totale aantal ingezette vrachtwagens, of de som van de "prioriteiten" van klanten aan wie niet afgeleverd kan worden, of een gewogen gemiddelde van deze drie.

Daarnaast kan VOE onder andere rekening houden met: - beperkte bezoektijden bij sommige klanten;

- beperkt aantal typen vrachtwagens bij sommige klanten; - retourvrachten.

Handelsreizigersprobleem (HAN). Een voorbeeld van het handelsreizigers-probleem is het handelsreizigers-probleem van de handelsreiziger, die een aantal steden moet bezoeken en bij gegeven afstanden tussen de steden de kortste route zoekt. Een mathematisch equivalent probleem is het minimaliseren van de oms tel-tijden, als men op een machine een aantal produkten moet maken en de omstel-tijden tussen de produkten gegeven zijn. HAN berekent "goedelt

heuristische oplossingen voor dit probleem, want optimale oplossingen kosten exponentieel met het aantal steden toenemende computertijd.

Simulatie- modelleertaal (SIM}. Ret pakket S1M kan worden gebruikt voor simulatie van gebeurtenissen (discrete event), om de haalbaarheid, presta-ties en betrouwbaarheid van systemen te toetsen of te voorspellen. Typische toepassingen zijn bijvoorbeeld

analyse van verkeersproblemen; transport- en distributiestudies; prestatiemeting van rekencentra;

- planning van computersystemen en -netwerken.

Faciliteiten van SIM voor het bouwen van simulatiemodellen zijn onder meer: - uitgebreide mogelijkheden toevalsgetallen te genereren;

- gebruik van kansverdelingstabellen met lineaire interpolatie of standaard-verdelingen zoals uniform, binomiaal, exponentieel, Poisson, normaal, log-normaal, gamma, Erlang, Weibull;

'Kel'1inkl.i j ke PBNA

Bcofd.s1:t1k nr

.V. ...

4 . . . . 'Kepi jvel. Iltm:m1er

Auteur ... -ri.l.atl"ll~" ... ' ••• ₂₄

1 - - statistische grootheden zoals gemiddelde en spreiding van variabelen;

2 gemiddelden kunnen over de tijd of over de waarnemingen genomen worden;

3 - - interruptiemogelijkheden van processen en prioriteitsmogelijkheden van 4 - middelen.

s -

Tijdreeksanalyse (TIJ1. Met het programma TIJ kunnen univariate

tijdreek-6 - sen geanalyseerd worden. Er wordt gebruik gemaakt van de Box-Jenkins-methode. 7 De waarnemingen moeten op equidistante tijdstippen zijn verricht en er mogen

e ..

geen waarden in de reeks ontbreken. TIJ kent de volgende mogelijkheden:

9 - - logaritmische of machtstransformatie van de gegevens;

o -

- converteren van een niet-stationaire reeks, die stationaire veranderingen 1 in niveau en helling bevat, in een stationaire reeks. met constant gemid-2 del de en constante variantie;

3 - modellen van de gegevens volgens een systematische en p~riodieke variatie. Investeringsanalyse (INV). Het programma INV stelt de gebruiker. in staat

4

-investeringsbeslissingen voor te bereiden. Alternatieven kunnen gemakkelijk

5

-worden vergeleken. Afschrijvingen volgens een van de vier meest gangbare

6

methoden of een door de gebruiker opgegeven methode. Wins ten en verliezen

7

-kunnen geboekt worden in die perioden waarin dit fiscaal het meest

aantrek-8

kelijk is. Andere opties van INV:

9

- financiele standaardfuncties, onder andere voor het bepalen van contan~e

o

waarde, rentabiliteit, terugverdientijd, annulteiten en samengestelde

1 ....

interest;

2 _{econometrische en mathematische functies, onder andere voor regressie en}

3 ...

exponential smoothing.

4 - Financiele planning (FIN). Het programma FIN is geschikt voor het maken

5 - _{van gedetailleerde plannen en budgetten voor een groot aantal afdelingen en}

6 ....

_{de consolidatie van die plannen en budgetten op divisie- of}

ondernemings-niveau. T~vens verschaft FIN de mogelijkheid van een financiele controle met

8 ~ rapportage van werkelijke en geplande resultaten. FIN is bedoeld voor pro-9

BQc:)f'-dstlllc nr};/ .. A ... . XQpijveJ. nummer

,jhcucl Auteur

_{···Tilanus···}

₂₅

...

...

1 - _blemen,

2 -

- waarvoor gedetailleerde planning-modellen nodig zijn, zoals voor

produktie-3 - en voorraadbeheersing;

4 - - waarbij een vergelijking tussen planning en werkelijkheid gemaakt dient

5 - te worden;

6 - waarvoor grote hoeveelheden in- en uitvoergegevens verwerkt moe ten worden. 7

-a ...

9

o

-1 3 4 5 6 7

-s

9

o

-1 ....

2

-3 .. 4 5 -6 ... 9

o

-Xoninklij ke P'BNA

E!cc:)fCs1:':l.lc Dr. Y 4'

!f. ...

11 • Xopijvel nm:::mer

Aut8ar ••••••

Til~~~~

••••...•.

~

•••••.

₂₆

...

1 - Literatuur 2 - [1] 3 -4 - [2J

s

6 [3]

7

-a

[4] 9

o -

[5] 1 [6] 2-3

4

-[7J

s ..

6 ..

7

-a

A.M. ten Broeke, W.P.A. van der Heijden, R.W. Sierenberg en H. Terpstra, Operationele research, Samsom, Alphen aan den Rijn, 1977. COmputer-adressengids, Samsom, Alphen aan den Rijn, 19721 _(losbladige

uitgave).

COSSO Vereniging computer service- en software bureaus, Vademecum 1982, Secretariaat Postbus 5451, Amsterdam.

W.B .. van Dam, IIMathematical Programming in the Netherlands", Tech-nische Hogeschool Eindhoven, 1983.

F.S. Hillier and G.J. Lieberman, Operations Research, Holden-Day, San Francisco, 1974.

C.B. Tilanus, O.B. de Gans en J.K. Lenstra (red.), Kwantitatieve methoden in het management, Aula-paperback 69, Ret Spectrum, Utrecht,

1983.

Wegwijzer 82/83 universitaire rekencerttra:Programmatuur, cursussen, documentatie, 7e druk, Technische Hogeschool Delft e.a., 1982.

9 - C.B. Tilanus

o. -

__ ..

1

2

-3 .. 4

-5 ..

6 ... 7 "l' 9 ..