Dimensieanalyse door een wiskundige bril met onderwijskundige toepassingen

Citation for published version (APA):

Nienhuys, J. W. (1983). Dimensieanalyse door een wiskundige bril met onderwijskundige toepassingen.

(Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 8303). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1983

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

H.G. 6.88

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling der Wiskunde en Informatica

Memorandum 83- 03 maart 1983

DI MENS IE ANALYSE door een wiskundige bril met onderwijskundige toepassingen

door

J. W. Nienhuys

Technische Hogeschool Eindhoven Postbus 513

met onderwijskundige toepassingen

J. W. Nienhuys

1. Inleiding

Wiskundigen zijn, zoals bekend, heel knap in het rekenen met getallen. Ingenieurs, natuurkundigen en anderen hebben meer met de werkelijkheid te maken. Zulke mensen rekenen met getallen die iets voorstellen. Dat noemen ze grootheden.

Een grootheid heeft niet aileen een getalwaarde maar ook nog een dimen-sie. Die dimensie geeft aan hoe de getalwaarde van de grootheid verandert als je andere eenheden kiest.

Voorbeeld 1.1. De oppervlakte van een gegeven ding is een grootheid. Deze oppervlakte wordt uitgedrukt met be trekking tot een bepaalde een-heid van lengte, bijvoorbeeld de centimeter. Als je een nieuwe eeneen-heid van lengte kiest, bijvoorbeeld de inch, dan is getalwaarde van de opper-. vlakte in die nieuwe eenheid (2opper-.54)-2 maal zo groot, omdat de nieuwe

een-heid 2.54 maal zo groot is als de oude.

Voorbeeld 1.2. Een bepaald object, zeg een fiets, beweegt zich met een bepaalde snelheid. We kunnen die snelheid uitdrukken in meters per se~ conde. Dat betekent dat we als eenheden van lengte en tijd de meter en de seconde kiezen. We hadden natuurlijk ook de kilometer en het uur kun-nen nemen. Die zijn respectievelijk 1000 en 3600 maal zo groot als de oorspronkelijke eenheden. De getalwaarde van de grootheid in

eenheden is dan 3600 _{1000 maal zo} groot als in de oude eenheden. In formulevorm hebben we dan bijvoorbeeld

5 m/sec 5 x 3600 km/h

1000 18 km/h

de nieuwe

Dat is allemaal wei leuk, maar de natuurkundige is geinteresseerd in de wetten der natuur, en de natuur trekt zich niets aan van waar wij de streepjes op onze klokken, meetlatten en weegschalen hebben gezet. Het

- 2

-zou dus weI zo elegant n om haar wetten zo te formuleren dat ze niet afhangen van de keuze van de eenheden.

Voorbeeld 1.3. Dehoekfrequentiew (= 2~/slingertijd) waarmee een slinger heen en weer zwaait, hangt natuurlijk van de lengte ! van de slinger af. Omdat het slingeren een soort valbeweging is, speelt de zwaartekrachtver-snelling g ook een rol.

Op fysische gronden vermoeden we dat er een verband is tussen w, ! en g. Dit vermoeden kunnen we uitdrukken door te zeggen dat er van aile

drie-tallen

(w,! ,g)

(aile componenten positief) slechts sommige tezamen kunnen voorkomen. In ons vermoeden hebben we al opgenomen dat er geen andere zaken een rol spelen, zoals de massa van de slinger, de luchtdruk, of misschien ook weI de gezichtsscherpte van de waarnemer of het aantal reeds voltooide slinge~ ringen.

Nu zijn dit maar in schijn drie getallen. Bij een andere eenhedenkeus orit-staat een ander drietal getallen met precies even veel of even weinig recht een fysische situatie voor te stellen. De enige eenheden die er bij deze drie grootheden iets mee te maken hebben, zijn die voor tijd en leng-teo

Als we die keuze van eenheden gaan varieren, ontstaat uit een enkel drietal een heel oppervlak in de ffi3. Het is niet moeilijk om in te zien dat dit op-pervlak wordt gegeven door de vergelijking

waar (w ,~ ,g ) het oorspronkelijke drietal is. Het hele positieve octant

0 0 0

van de R3 .valt zo uiteen in oppervlakken waarop

constant is. V~~r de natuur zijn aIle punten van een zo~n oppervlak gelijk-berechtigd. De ideale natuurwet zegt dus iets over w2!/g, want dat is het waardoor die oppervlakken zich van elkaar onderscheiden.

maar zelfs als je dat niet wist, zou een experiment voldoende zijn om vast te stellen dat het rechterlid altijd 1 is voor elke slinger (als de hoek-uitwijking maar klein genoeg is).

Daarna zou je met de gevonden waarde, en eventueel een andere slinger ergens anders de plaatselijke waarde van g kunnen bepalen.

Voorbeeld 1.4. Een gladde bol beweegt zich door een onsamendrukbare stro-perige vloeistof. We zijn geinteresseerd in:

(1) de kracht F op de bol (kracht = massaxlengte/tijd ).

Deze hangt, voor zover we kunnen overzien, af van

(2) de straal r van de bol (straal = lengte),

(3) de snelheid v van de bol (snelheid

=

lengte/tijd),

(4) de massadichtheid ~ van de vloeistof (massadichtheid

=

massa/lengt~) en (5) de viscositeit

n

van de vloeistof (viscositeit = massa/(lengtextijd).

Deze viscositeit drukt uit hoe stroperig de vloeistof is. Bet is een soort druk (d.w.z. kracht per oppervlakte) per snelheidsgradient.

De vijftallen positieve getallen (F,r,v,p,n) die uit een experiment zouden kunnen komen, even afgezien van natuurwetten, vullen een positief "octant" P in R5. Evenals in het vorige voorbeeld ontstaat uit een vijftal

(F Ir ,v ,p ,n) een driedimensionaal "oppervlak" in P, wanneer we de

o 0 0 0 0

eenheden voor lengte, tijd en massa varieren. Wederom kunnen we met enige moeite inzien dat op elk zo'n oppervlak zowel de functie

als de functie

(* *) vpr/n

constant is. In feite wordt zo'n oppervlak gedefinieerd door een tweetal ve rge l i jkingen

4

De functie (*) heet drukcoefficient en de functie (**) heet Reynolds getal, afgekort R (naar Osborne Reynolds, 23 augustus 1842 - 21 februari 1912). Omdat de drukcoefficient en het getal van Reynolds niet afhangen van de keuze van de eenheden, zeggen we dat deze getallen dimensieloze -=.;;;;.;,.;;....;;...::;;;,;;.;;..,;;.;.;:..;:.;;..

zijn.

Als ons vermoeden juist is dat r, v, p en n de relevante grootheden zijn in dit probleem, dan zal een natuurwet een verband leggen tussen deze twee di-mensieloze grootheden. Het zal wel niet zo eenvoudig zijn als bij de slin-ger, namelijk dat een van deze grootheden constant is. Immers, F komt alleen voor in (*) en n alleen in (**).

Het bovengenoemde verband .kan men nu experimenteel bepalen door in een vaste proefopstelling aIleen de v te varieren. Men vindt dan: voor R flink veel kleiner dan 100 is de drukcoefficient gelijk aan 45/R.

Uiteraard is dit een grote besparing van experimenteel werk. Men hoeft niet meer ook nog eens r, p en

n

te varieren. Er is meer gelegenheid om vast te stellen wat bijvoorbeeld het effect is van de samendrukbaa~heid van de vloei-stof of de aanwezigheid van turbulentie in de vloeivloei-stof.

Het praktisch nut van dit type beschouwing moet niet worden onderschat. Men kan met zulke redeneringen goed overziert wat de effecten zijn van schaalver-groting en -verkleining. Daardoor heeft men iets aan informatie die verkregen is door experimenteren met schaalmodellen •

. 2. Theorie

Hoe maken we hier een wiskundig ·theorietje van? Het volgende is een poging. Laat n een natuurlijk getal zijn, dat wil zeggen n= 0, 1, 2, 3, etc.

Bet getal n geeft aan hoeveel dimensies we willen beschouwen.

E+ is de notatie voor een halve eendimensionale vectorruimte, dat wil zeg-gen, voor elk tweetal elementen e en e' in E+ is er een uniek getal ~ >:0 met

e'

Dit getal noteren we ook wel ali:! (e I :e). Men moet zich Evoorstellen als

+

de verzameling van alle mogelijk keuzen voor een eenheid van een bepaald type. In de reele getallen hebben we een soort van mooiste kandidaat om basis te spelen, namelijk 1, maar in de verzameling van eenheden van lengte is er geen kandidaat om als basis ("supereenheid") te fungeren. Daarom wil-len we alleen over de verhouding van twee eenheden spreken.

We voeren verder in E: = E + x E + x .... x E + (n factore~. Een element van E: vertegenwoordigt een keuze van n verschillende soorten eenheden. Meestal vertegenwoordigt de eerste factor lengte, de tweede tijd, de derde massa. In plaats van massa neemt men ook wei eens kracht.

We gaan nu grootheden en grootheden definieren. Allereerst, een

---'--grootheid is een drietal

(a, e, d)

met a E C, e E En en d E ~n. Het getal a noemen we de magnitude van de

+

-'grootheid, e = (e e

l' 2' . . . 1 e ) is het eenhedenstelsel ten opzichte

waar-n van a is uitgedrukt, en d

de grootheid.

(d

1, d2, ••• , dn) is de fysische dimensie van Op de verzameling der grootheden definieren we een equivalentierelatie ~ als voIgt. We zeggen dat (a, e, d) ~ _{(a', e ' , d ' ) dan en slechts dan als}

(e :e ' ) _{n n}

d n

a I •

Merk op dat in het geval dat n kan worden als voigt:

1 en d

=

dl

1 1 1, relatie (2) vereenvoudigd

dat wil zeggen

hetgeen weer equivalent is met

ae = ale'

1 1

waar beide,leden hetzelfde element voorstellen van E+.

Een fysische grootheid is per definitie een klasse ten opzichte van ~ in de verzameling van aile grootheden. De klasse van (a, e, d) geven we aan met [a, e, ~J.

2.1 Dimensieloze grootheden

Een speciale klasse van fysische grootheden vormen de dimensieloze gro~the~en.

Dat zijn de klassen met d

=

O. Merk op dat voor aile e en e' in En en aile

+

6

-2.2 Eenvoudi2e bewerkingen tussen klassen

We definieren de volgende bewrkingen tussen de klassen, dat wil zeggen tussen de fysische grootheden.

2.2.1 Optellen

Fysische grootheden van dezelfde dimensie kunnen worden opgeteld, en de magnitude van de som is de som van de magnitudes, alies ten opzichte van dezelfde eenheden. In formulevorm:

[a, e, + [a ' , e 1

dJ

[a + a ' , e ,

dJ.

Eigenlijk moeten we nagaan dat de aldus gedefinieerde optelling niet afhangt van de keuze der representanten, maar de Iezer ziet misschien weI dat dat geen problemen oplevert.

2.2.2 Vermenigvuldi2en

WiIIekeurige fysische grootheden kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Daartoe moeten we de dimensies optellen en de magnituden (ten opzichte van overeenkomstige eenhedenstelsels) vermenigvuldigen. In formulevorm:

[a, e, [a I , e, ~ I

J

= [aa I , e, d + d I

J

2.2.3 Machtsverheffen

Geheel in Iijn met het vorige, definieren we ook machtsverheffing, met rati-onale exponent. In formulevorm, voor ratirati-onale q en positieve a,

2.2.4 Decompositie

Op grond v~n 2.2.2 kunnen we een fysissche grootheid schrijven ais het pro-duct van een dimensieloze grootheid en een basiseenheid. In formulevorm

[a, e, QJ[l, e, ~J

Ei~enlijk kan ~eze splitsing aIleen eenduidig gedaan worden voor grootheden.

V~~r elke e staat hier een andere splitsing van fysische grootheden, in het algemeen.

2.2.5 Scalaire functies

Laat f een functie zijn, gedefinieerd op ~, met waarden in ~. Dan kunnen we f oak definieren va or fysische grootheden van dimensie nul, als voIgt:

f([a, e, OJ) := [f(a), e, 0

2.3 Notatieconventies

Scalairen, dat wil zeggen, dimensieloze grootheden schrijven we als gewoon

a in plaats van [a, e, OJ.Een fysische grootheid van de vorm [1, e, ~J

schrijven we ook weI als

e n d n waar e

=

(e l , e2, ••• , en) en waar ~ (d1, d2, ••• , dn). 1 -1 1 -1-2

Bijv90rbeeld, we schrijven km h of C sec m . We laten vaak de exponent 1 weg, en de eenheden met exponent nul laten we helemaal weg.

2.4 Analyse met grootheden

2.4.1 Differentieren

Bet differentieren van fysische grootheden, of beter, van functies met fysische grootheden als waarden, gaat wat ingewikkelder.

Laten d en

1

vectoren in

~n

zijn, en laten FG

d en FGode verzamelingen aan-duiden van fysische grootheden van dimensies d en

i

respectievelijk. Laat f een afbeelding zijn van FG

d naar FGo' Dan is er voor elke keuze e~van een-hedenin E: een functie fe van C naar C, zodanig dat

f([~, e, ~J) [ (~), e, ($ •

Veronderstel verder, dat voor een zekere e in En , de functie f

differenti--+ e

eerbaar is, met afgeleide ft. e

Dan is de afgeleide van f een afbeelding f' van FG

d naar FGo ..:. d ' gedefini-eerd als voIgt:

[ f l (1;), e, 0 - dJ. e

Met enig gepruts geleid door fysisch inzicht kan men aantonen dat de defi-nitie hier van f' gegeven niet afhangt van de keuze van de representanten,

8

-dat wil zeggen van de keuze van e, en -dat verder geldt

fl ([~, e, dJ) lim h+O

f ([ ~ + h, e, dJ) - f ([ ~, e,

[h, e, dJ

Uiteraard moet dan FG

d en FG

o

weI netjes van een lineaire metrische structuur voorzien worden, anders betekent het limietproces niets.

Aan de laatste formule kunnen we ook zien dat differentieren de dimensie van de functie verlaagt met de dimensie van het argument.

·2.4. 2 Integreren

Integreren van de functie f uit 2.4.1 levert als onbepaalde integraal een functie op van FG

d naar FG

o

+ d: Deze functie is tot op een constante na be-paald. De bepaalde integraal is uiteraard een element van FG

_o

+ d in dit ge-val. We gaan hier verder niet op in •. We merken aIleen op dat integreren de dimensie verhoogt met de dimensie van het argument.

2.5 Bet Pi-theorema en het wezen van natuurwetten

We gaan nu onderzoeken in hoeverre we de truuk met de slinger en de bol in algemenere situaties kunnen herhalen. Bet algemene idee is dat je uit een flink aantal grootheden een kleiner aantal dimensieloze grootheden kunt vor-men. Met dat kleinere aantal dimensieloze grootheden kunnen we aIle eenheids-yrije wetten over de oorspronkelijke grootheden beschrijven. In hoeverre een natuurwet eenheidsvrij is, varieert per wet. In het algemeen is het geldig-heidsgebied van de wet niet eenh~idsvrij.

k . I . 1 1 2 k - 1 d'

Laat een natuur iJk zijn, en aat x , x , , x reee waar ~ge f ys~sc . h e groo e en th d z~Jn, . . me t d' ~mens~es . _ ' d 1 d2 , .•• , _ . eze r1J dk D . . d' 1mens~es . is dus een rij van k vectoren in

~k.

De bovenindexen geven geen exponenten aan, maar volgnummertjes. Bij een gegeven eenhedenkeuze e

zal een maguitudenvector behoren die we noteren als {~l,

= (e₁, e~, ••• , en) ••• ,F; ). Daarin betekent bijvoorbeeld de magnitude van x2 ten opzichte van e. De rij van magnituden, de magnitudenvector, noteren we met ~(e); het is dus een vector

. Ink 1n "" •

1 2 k n

Ais we x , x , ••• , x vasthouden en e varieren door de hele E+, dan ontstaat een soort oppervlak dat gevormd wordt door aIle mogelijke waarden van ~(e).

Als meetkundige figuur in 'IRk heeft dit "oppervlak" een bepaalde dimensie, zeg r. ,Deze dimensie moet niet verward worden met de fysische dimensies d1,

reele parameters dat nodig is om het te beschrijven. Als k

=

3 en r

=

2, dan is deze figuur echt een oppervlak, zoals bijvoorbeeld in het geval van de slinger. In andere gevallen is het woord "oppervlak" louter overdrachte-lijk bedoeld.

Het is niet moeilijk om aan te tonen dat r juist gelijk is aan de rang van het stelsel

<.~/

'

. . . . I d

k

) • Een schets van een bewijs is het volgende. Parametriseer En, en bereken de matrix van de afgeleide van de functie

+

die aan e toe voe gt I';;(e). Deze afgeleide is te schrijven als XDT, waarin X

een diagonaalmatrix is met de componenten van I';;(e) langs de diagonaal , en waarin T eveneens een diagonaalmatrix is, met de inversen van de parameters op de diagonaal, en waarin de rijen van D juist de vectoren d., i=l, ••• ,k

- l .

voorstellen. AIleen de rang van D is relevant voor de rang van.het produkt. Wat komt er als we (xl, ••• , xk) gaan varieren? Laten we dat eens doen , dus

1 k

laat (y , ' . ' 1 Y ) een ander k-tal fysische grootheden zijn, met dezelfde

fysische dimensies, namelijk (dl , ••• , dk). Net zoals bij elke e de vector see) de magnitudenvector

tUdenvector aangeven van

van (xl, ••• , xk) aangeeft, laten we nee) de

magni-1 k

(y , ••• , y ). In het algemeen zullen I';;(e) en nee) verschillende oppervlakken doorlopen als we e varieren. In feite doorlopen ze of we 1 geheel disjuncte oppervlakken, of we 1 die oppervlakken vallen geheel samen.

In dat Iaatste geval bestaan er e en e' in En zodanig dat +

r; (e) = n (e' ) •

Dit betekent dat (xl, ••• , xk) en (yl, ••• , yk) door precies hetzeIfde k-tal magnitudes kan worden voorgesteld, als je de eenheden maar geschikt kiest. Merk op dat je om dit te bereiken voor de x-en een ander stelsel moet kiezen dan voor de y-en.

De meeste natuurwetten zijn geformuleerd in termen van magnituden, zonder op-gaaf van het gebruikte eenheden:stelsel. Natuurwetten die aIleen gelden ais Antwerpse Voeten als eenheid van Iengte worden genomen, en als de tempera-tuur gemeten is met Van Helsing's thermometers, zulke natempera-tuurwetten laten iets te wensen over, met aIle respect voor Van Helsing's voortreffelijke thermome-ters.

1 k

Van wiskundig standpunt betekent dat k-tallen fysische grootheden (x , ••• ~ x ) en (y1"", yk) ais equivalent moeten worden beschouwd als hun beider magni-tudenvecoren hetzeIfde "oppervIak" in r:f dooriopen, ais e deor En varieert.

10

-Sommige natuurwetten niet eenheidsvrij. Een eenvoudig voorbeeld is de wet die zegt dat aIle electronen dezelfde lading hebben. In formulevorm

luidt die wet:

e = 1.60206xIO-19 Coulomb.

Fundamentele wetten zijn meestal weI eenheidsvrij. Dat komt omdat ze zo in elkaar gezet zijn. Bijvoorbeeld, door F = ma wordt vastgelegd dat de fysische dimensie van F gelijk is aan de som van de fysische dimensies van m en a. Ais van die twee de fysische dimensie bekend is, dan ligt daardoor de dimen-sie van de F vast. Je kan ook de dimendimen-sie van F en a als gegeven beschouwen, dan ligt de fysische dimensie van m vast.

De wet van Ohm luidt dat voor een gegeven geleider ViI constant is binnen zekere grenzen. Nadat een dergelijk feit experimenteel is vastgesteld, kan men die constante een naam geven:weerstand. De fysische dimensie van de fysische grootheid weerstand is dan gelijk aan de dimensie van V verminderd met de dimensie van I.

OVerigens zijn de geldigheidsgebieden van de meeste natuurwetten niet onbe-grensd en de grenzen zijn niet eenheidsvrij.

Veel natuurwetten, zoals die van de slinger en de bol, zijn uit de fundamen-tele af te leiden. Bijvoorbeeld, voor een cirkelslinger die met een amplitude van a radialen ( a < ~ ) slingert, geldt:

(

~~/I 1 ds

Q (1-- 's2)~(1 - s Sl.n a 2 . 2 12)~

hetgeen als limiet voor a ~ 0 in het rechterlid de waarde 1 levert.

Meestal is het moeilijk om zoln expliciete formule te vinden en we zijn blij wanneer we weten dat er een oplossing is.

Wanneer we weten dat er uit gegeven fundamentele wetten een oplossing voIgt, dan is het ook te begrijpen dat zoln afgeleide wet weer eenheidsvrij is, net zoals de fundamentele wetten zelf.

Dat is de reden waarom we in het vervoig zulke k-tallen van fysische groothe~

den zullen vereenzelvigen met hUn "oppervlakken in Rk. Daarbij worden dan ook verschillende k-tallen van fysische grootheden met elkaar geidentificeerd.

Het probleem van dimensieloze grootheden op te bouwen uit we als voIgt OPe

1

q q De fysische grootheid (xl) 1 (x2) 2

q

(xk) k heeft fysische dimensie nul als en slechts als aan de volgende vergelijking voldaan is:

(***)

1

De rang van het stelsel vectoren ~ ,

o

• • • I d

k .

1S r, dus (***) heeft ~-r

onafhankelijke oplossingen. Dat wil zeggen, er zijn k-r onafhankelijke

di-. 1 mb" 1 k d " d

menS1e oze co 1nat1es van.x I • • • , X ,en at 1S precl.es genoeg om e

collectie "oppervlakkeri' in IRk te parametrizeren: voor een gegeven stelsel

1 k-r

dimensieloze combinaties, zeg z , ••• ,z wordt elk oppervlak vastgelegd door k-r vergelijkingen van de vorm

1

z constante, z 2 ~ constante, ••. , z k-r

=

constante.

Het Pi- theorema is het theorema dat tot uitdrukking brengt dat aIle eenheids-vrije natuurwetten te formuleren zijn in termen van dimensieloze combinaties van de relevante fysische grootheden.

3. Ben voorbeeld

De voortplanting van transversale akoustische golven in media die relaxatie-fenomenen vertonen, onder andere door viscositeit (pudding- of papachtige media dus) , wordt gekarakteriseerd door

(1) (e) R(d)O (or) R(d)O - iw . (e) - 1WR(d) 1 2 (e) - W R(d)2

V~~r de afleiding zie Turisi, Ciancio en Kluitenberg [1].

Bet probleem dat we nu willen aansnijden is inzicht te verkrijgen in het ver-band tussen k en w. Het rechterlid van (1) bevat 5 parameters. Deze parameters zijn verbonden door de vergelijking:

Dit ziet er erg moeilijk uit, maar we zien meteen dat de

R~~~

als ccefficien-ten van een machtreeksontwikkeling van 8

aS

opgevat kunnen wor~en.

De grootheden k, p en w hebben dimensies respectievelijk L-1, ML-3 en T-1 o

Verder is £ dimensieloos. Uit het feit dat de teller en noemer van (1) homogeen zijn, kunnen we nu de dimensies van de overige variabelen bepalen,

12

-zelfs al weten we niet precies wat de grootheden voorstellen. Men vindt dan dat de T Seen soort energiedichtheid voorstellen. De

1 -3 a (s) (s)

d " _{1menS1e van} " R(S) _{(d)O ,1S} " (s)

ML T . We delen nu zowel Po als R(d)O en R(d)2 door R(d)l en noteren de verkregen grootheden met r, ro en r

2.

Verder korten we

R~~;O

af tot Wo . Vergelijking (1) wordt nu al een stuk overzichtelijker: (3) De lijst van de k r L -1 -2 T 0 2 w - iw o dimensievectoren w w r 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 is als voIgt: r 2 0 1

Het is duidelijk dat we op allerlei manieren hier 4 onafhankelijke dimensie-loze combinaties kunnen vormen. Een keuze is:

-~ -1

kr w

o

-1

wWo '

Wanneer we deze combinaties afkorten tot respectievelijk K, w, Po en P2' dan gaat (3) over in

(4 )

In deze uitdrukking kunnen we Po en P2 naar nul laten gaan, dat wil zeggen, we kunnen nu bestuderen hoe een Jeffreys medium kan worden opgevat als een limiet van gewone media.

4. Terug naar de fysica

Zo'n wiskundige theorie is natuurlijk weI aardigt maar met al die

equivalen-tieklassen en vectoren van dimensies is het net iets te abstract voor de fy-sische praktijk, om nog maar te zwijgen van de praktijk van het fysicaonder-wijs.

Hoe geeft men in de fysica de dimensie aan als er met fysische grootheden gerekend moet worden? Welnu, dit gebeurt door restricties op de notaties.

Door een bepaalde letter te kiezen geeft men aan wat voor soort grootheid men bedoelt, en tevens wat de dimensie van die grootheid is. Er zijn zeer veel afspraken. Tegenwoordig kan men die afspraken op nOrmbladen DIN [2J en NEN [3J vinden. In de appendix van deze uiteenzetting staan een aantal van deze afspraken alfabetisch gerangschikt. Men kan daar zien dat vooral de kleine latijnse letters zwaar bezet zijn met betekenissen.

5. Consequenties voor het onderwijs

.Als men onderwijs in de wiskunde moet verzorgen voor fysicastudenten, doet men er goed aan zoveel mogelijk de fysische conventies te gebruiken.

V~~r een fysicus doet een formule zoals

_ f""o _e -ax _dx 1 a

gewoon pijn aan de ogen. De dimensieloze e-functie heeft een argument dat niet dimensieloos is, namelijk met dimensie lengte-kwadraat, verder zou verwachten dat er door het integreren een uitkomst van dimensie lengte uit zou komen, maar dat klopt ook al niet. Een inventief wiskundige verschuilt zich achter het argument dat a kennelijk dimensie inverse lengte heeft, of dat alles dimensieloos is.

Diezelfde wiskundige wordt tamelijk zenuwachtig als constanten met lehters worden aangeduid, variabelen met getallen, als de prioriteit van operaties wordt gewijzigd, als getallen 'als, functies of andersom worden beschouwd, etc. Een zorgvuldig wiskundige denkt eraan dat de conventies van anderen net zO belangrijk zijn voor hen als zijn of haar eigen conventies voor hem- of haar-zelf.

Indien men iets over functies uitlegt aan fysici, doet men er goed aan de argumenter1 dimensieloos te houden. We hebben hierboven gezien dat in de fy-,:'c ca vaak op eenvoudige wijze relevante dimensieloze variabelen te vinden zijn.

V~~r dimensieloze variabelen kan men het beste met zorg geselecteerde kleine

griekse letters gebruiken.

Bij wijze van voorbeeld wil ik laten zien hoe men Fouriertheorie zou kunnen behandelen. De behandeling is geinspireerd op de inleiding over Fouriertheo-rie voor studenten in de Technische Scheikunde. Deze inleiding is een deel van een inleidend college over meettechniek.

- 14

-Eerst enige opmerkingen vooraf. Wat nu volgt is een beknopte samenvatting. Bij uitleg zullen veel voorbeelden moeten worden toegevoegd. Omdat de the-orie dimensieloos wordt opgezet, moet aandacht gegeven worden aan de toe-passing op gedimensioneerde grootheden. Om dat te compenseren heb ik een paar details onderdrukt, die in een wiskundige beschouwing wel belangrijk

zijn, maar volgens mij relevantie voor de fysica ontberen. Ik bedoel zaken die te maken hebben met de convergentie van integralen in "moeilijke" pun-ten.

6. Fouriertheorie

In het volgende stellen ~ en n dimensieloze variabelen voori F is meestal een functie van een dimensieloze variabele, maar de uitkomst van f hoeft zelf niet dimensieloos te zijn.

Definitie 1. De functie f is absoluut integreerbaar wanneer 00

convergeert.

Definitie 2. De functie f is een functie van een dimensieloos argument ~, en a is een getal. We zeggen dat a een fysischzinvol argument is van f, wanneer

(1) f continu is in a, en

(2) a zowel een linkeromgeving als een rechteromgeving heeft, waarop f' bestaat en continu is, en

(3) lim f (~) ~ta

en lim f(~) beide bestaan.

pa

Stelling 1. Laat f absoluut integreerbaar zijn. Dan convergeert voor elke n de volgende integraal absoluut:

00

(1)

I

- 0 0

Definitie 3. De uitkomst van (1) noteren we als F(n). We schrijven ook wel

f(O F -+ F(n)

Stelling 2. (Inversiestelling) Laat.f absoluut integreerbaar zijn. Laat ~

o

een fysisch zinvol argument van f zijn. Dan geldt

(2 ) 1 ;: f(~ ) •

o

2 1T

_00

Stelling 3. Laat f een absoluut integreerbare functie zijn, met Fourier-getransformeerde F. Dan

F

F(~) + 2 1T f(-n),

tenminste, als F absoluut integreerbaar is en bovendien f aIleen fysisch zinvolle argumenten heeft.

Eigenschappen en rekenregels:

Rl. V~~r f absoluut integreerbaar is F continu en er geldt lim F(n)

n-+-co

lim F (n)

=

O.

n+oo

o

en

(Bet linkerlid van (2) is dus al continu als F absoluut integreerbaar is; dan kan f geen sprongdiscontinufteiten hebben.)

R2. exf + Sg §;.. cxF +: 'j3G

R3.

f(~/A)

§;.. IAIF(nA) R4.

R5.

R6.

als f en fl absoluut integreerbaar zijn.

R7. ~nf(~) §;.. jnF(n) (n)

als f(~) en ~nf(s) absoluut integreerbaar zijn. R8. f(s) {.

co -co

- 16

-Formule 1. p(t;;)

=1~

voor 1 t;; 1 :0; ~; P (n ) 2 sin(~ll)

n anders

Formule 2. q (t;;) _{={1 - 1£;1 voor It;; 1} :0; _l;Q(n) 4 sin2(~n)

a

anders

n

2

Formule 3. d (£;) =

I" -,

voor , , 0; D (n ) 1 - nj

a

anders 1 + n2

Formule 4. g(~) 1 _~2/2 G (11) -n 2/2

~) e e

Door combinaties volgen uit de nog extra regels: R8A. ~f (t;;) + ~f(-O F -+ Re F (n ) voor reiHe f

R8B. ~f (0 - ~f(-l;) F. -+ JIm F(n) voor reiHe f RSA. f(t;;)cosn t;; F -+ ~F(ll + n } + _{(n - no)}

0 0

RSB.

'f(~)sinn

S

~ j(~F(ll

+ n ) - _{(n - no} ) )

0 0

Met deze regels kan men ook een aantal andere formules vinden, met gedimen-sioneerde argumenten.

Tenslotte hebben we

Definitie 4. Laat f en g absoluut integreerbare functies zijn, en laat ten minste een van beide begrensd zijn. Dan is het convolutieprodukt f*g van f en g gedefinieerd door

00

f*g <t;;}

=

J

f(£;l)g(~

- £;1)

d~l'

-00

Stelling 4. Laat f en g absoluutintegreerbare functies zijn en veronderstel da* f of g begrensd is. Dan is het convolutieprodukt van f en g een absoluut integreerbare functie, en f*g

=

g*f, en bovendien is f*g begren~en er geldt: Rl0.

Omdat f*g

=

g*f kan men de situatie signaal*meetinstrument geeft meetresultaat omdraaien en in plaats van een signaal f te meten (dat wil zeggen te middelen over een tijdsinterval), kan men ook het meetinstrument g meten door er een geschikt signaal,bijvoorbeeld een scherpe puIs of een scala van harmonische trillingen, door heen te sturen. Uiteraard slaat deze theorie aIleen op line-aire apparatuur. Meetapparatuur die bij een toon van een bepaalde frequentie

er zelf harmonische boventonen bijma.akt of subharmonischen genereert, valt fl."

niet onderdeze theorie.

Referenties

[lJ Kluitenberg, G.A. , E. Turrisi and V. Ciancio,

On the propagation of linear transversal acoustic waves in isotropic media with mechanical relaxation phenomena due to viscosity and a tensorial internal variable, part I, General formalism,

Physica, 110A (1982), p. 361-372.

[2J DIN 1304, in: DIN Taschenbuch 111, Normen fur Vermessnngswesen (1978), p. 100 - 126, en in:

DIN Taschenbuch 106, Antriebstechnik 1 (1978) [3J NEN 999, Het Internationale Stelsel van Eenheden (SI), 1977.

18

-APPENDIX

Enige letters en hun betekenis in de fysica

a Lengte, versnelling, Bohrstraal, halve lange as, temperatuur-vereffeningscoefficient

b breedte, dikte, korte lange as

c concentratie, lichtsnelheid, geluidssnelheid, soortelijke warmte, veerstijfheid, diffusiecoefficient

d dikte, diameter, middellijn, relatieve dichtheid e elektromotorische kracht, lading elektronl 2.71828 ••.

f kracht, farad, frequentie, functie, torsiekracht, wrijvingscoefficient, soortelijke vrije energie

9 gravitatieversnelling, soortelijke vri~enthalpie

h constante van Planck, hoogte, soortelijke enthalpie i stroomsterkte, basisvector

j imaginaire

e~heid,

stroomdichtheid, basisvector

k inverse golfgetal (1/L), cirkelgolfgetal (2~/A), constante van Boltz-mann, stijfheid, warmtedoorgangscoefficient, basisvector, geleiding, constante van Von Karman

1 lengte

m

massa, magnetisch moment

n brekingsindex, aantal, electronendichtheid, hoeveelheid stof

o

p druk, dipoolmoment, gatendichtheid

q warmte, lading, volumestroom, warmtestroomdichtheid r .straal, weerstand

s afgelegde weg, booglengte, soortelijke entropie t tijd, (soms:) temperatuur

u snelheidscomponent, uitwijking balk, soortelijke inwendige energie v snelheid, volume, spanning, volumestroomdichtheid

w snelheid, complex getal, massastroom, energiedichtheid x lengtecomponent

y lengtecomponent

A oppervlakte, arbeid, magnetische vectonpotentiaal, Helmholtzfunctie B magnetische inductie

C capaciteit, warmte

D doorschuiving, diffusiecoefficient

E energie, veldsterkte, elasticiteitsmodulus F functie, kracht, getal van Froude

G gebied, gravitatieconstante, gewicht, Gibbsfunctie, afschuivingsmodulus H Hamiltoniaan, enthalpie, magnetische veldsterkte

I hoekmoment, oppervlaktemoment, stroomsterkte, stoot, impuls, intenst· tei t van lich t

J hoekmomentoperator, stroomdichtheid, massatraagheidsmoment K kristalconstante, compressiemodulus, warmtedoorgangscoefficient L lengte, Lagrangiaan, zelfinductie

M moment, hoekmomentoperator, wederzijdse inductie~" getal van Mach, relatieve molecuulmassa

N getal van Avogadro

o

P spanning van gas, vermogen, waarschijnlijkheid, dipoolmoment, polarizatie

Q hoeveelheid warmte (-energie), lading

R gas cons tante, constante van Rydberg, weerstand, getal van Reynolds S oppervlakte, entropiel rand van een gebied

T (slinger- of omloops-) tijd, temperatuurl oppervlaktespanning, moment

van een koppel

U totale energie, potentiaal, magnetisch potentiaalverschil V potentiaal, volume

W arbeid

X y

Z atoomgetal

(l hoek, ui tzettingscoefficient, verzwakkingscoefficient 8 hoek, uitzettingscoefficient, fasecoefficient

Y hoek, uitzettingscoefficient, oppervlaktespanning, giromagnetische verhouding

o

een klein getal

E een klein getal, relatieve lengteverandering, dielectrische constante,

permi tti vi tei t

- 20

-e,

.(l _{een hoek}

1

K absorptiecoefficient, constante van poisson, compressibiliteit, magnetische susceptibiliteit

golflengte, uitzettingscoefficient, multiplicator van Lagrange, warmtegeleidingscoefficient

~ dynamische viscositeit, permeabiliteit, wrijvingscoeffcient, che-mische potentiaal

v getal van Abbe, kinematische viscositeit, frequentie

~ reactiesnelheid maal tijd

o

TI een hoek, 3.141592 ...

p dichtheid (massa- of ladings- ), soortelijke weerstand

a spannning, oppervlaktespanning, oppervlakteladingsdichtheid, golfgetal, standaarddeviatie

T schuifspanning, vertragingstijd, transmissiefactor

u ~'X,~ faseverschilhoek ~ potentiaal X electrische susceptibiliteit ~ stroompotentiaal w hoeksnelheid, ruimtehoek

De griekse letters A, E, Z, H, I, K, P, T, Y, X hebben geen vaste betekenis. Evenmin M, N, E, en O.

B betafunctie

r

gammafunctie

e

(soms:) temperatuur

A

Lorentztransformatie, permeantie

IT product, osmotische druk

L sam, absorptiedwarsdoorsnede

~ ruimtehoek, energiestroom, snelheidspotentiaal, magnetische flux

~electrische flux