Hoofdstuk 7: Rekenen met kansen.
V_1.
a. De kans dat de wijzer 5 aanwijst is 1 8.
b. De kans dat de wijzer een even getal aanwijst is 5
8 0,625
c. De kans op een rood vlak is 50%.
d. De kans dat de wijzer een rood vlak met een oneven getal aanwijst is 3
80,375.
e. Je mag verwachten dat de wijzer 125 keer de 14 aanwijst. Wellicht komt het aantal ook wel in de buurt van de 125. Het is niet gezegd dat dat ook werkelijk gebeurt.
V_2.
a. De kans op een schoppen is 1 4.
b. De kans op een zwarte aas is 2 1 52 26 .
c. De kans op een rode kaart boven de acht is 4 1 36 9.
d. De kans op een tweede schoppen is 12 51. V_3. a. b. 1 16 ( ) P HH . c. 7 16 (min 1 ) P stens R . d. 4 1 16 4 ( ) ( , , )
P twee van dezelfde soort P KK RR HH of SS
V_4.
a. Er zijn twee mogelijke uitkomsten en de kans op kop (jongen) is even groot als de kans op munt (meisje).
b. De kolom met 100 keer werpen. c. Die kans is ongeveer 24
100. V_5.
a. Nee, drie meisjes komen vaker voor.
b. Om de 3e "bladzijde" toevalsgetallen op je GRM te krijgen doe je het volgende:
3 STO MATH PRB optie 1 (rand) ENTER ENTER
En vervolgens MATH PRB optie 1 (rand) ENTER ENTER ENTER …
De eerste 5 cijfers van elk getal stelt een gezin voor met 5 kinderen, waarbij een even cijfer een jongen voorstelt en een oneven cijfer een meisje.
MATH PRB optie 5 (randInt) 0 , 100000 , 50 genereert 50 toevalsgetallen tussen 0 en 100000 (3 ) 0,31 P meisjes en P(4meisjes) 0,16 eerste spel K R H S tw ee de s pe l K KK RK HK SK R KR RR HR SR H KH RH HH SH S KS RS HS SS
1.
a. Eén van de 6 mogelijke uitkomsten is vier ogen.
b. Van de 36 mogelijke uitkomsten hebben er 5 een som van 8 ((2,6), (3,5), (4,4), (5,3) en (6,2)). 2. 361 1000 ( ) 36% P rugligging en 279 1000 ( ) 28% P rugligging
De kans op een rugligging zal daar ergens tussen liggen: 32% (?)
3. Na 5 rode M&M’s zitten er nog maar 75 M&M’s in het zakje waarvan 19 rode.
19 75
( )
P zesde is rood
4.
a. Het aantal keer kop kan 0, 1, 2, 3 of 4 zijn.
b. Op grond van dat experiment kan Max gelijk hebben.
c. 397
1000
( )
P A
d. Er is bijvoorbeeld maar één mogelijkheid om 4 keer kop te gooien (kkkk), maar 6
mogelijkheden om 2 keer kop te gooien (kkmm, kmkm, kmmk, mkkm, kmmk, mmkk). Dus de kans op A is groter.
5.
a. Het aantal keer munt kan variëren van 0 t/m 3.
b. randInt(0, 999, 50) noemt 50 willekeurige getallen tussen 0 en 999. Math PRB 5 Een even cijfer stelt bijvoorbeeld munt voor en een oneven cijfer kop.
c. 17
50
( )
P B , op basis van dit experiment.
6.
a. 5
60
(5) 100 8,3%
P
b. Je verwacht voor ieder aantal ogen een frequentie van 10. De dobbelsteen kan best eerlijk zijn. Ze kan meer zekerheid krijgen door veel vaker te gooien.
c. De experimentele kansen zullen steeds dichter bij de theoretische kansen 1 6
( ) uitkomen.
7.
a. 6 rode, elk gecombineerd met 6 gele uitkomsten.
b. (1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6); (6, 5); (5, 4); (4, 3); (3, 2); (2, 1) c. 10 36 ( ) P V d. 29 100 ( ) 0, 29 P V 2784 10000 ( ) 0, 2784 P V
e. Bij het grote aantal is de invloed van het toeval kleiner, dus dat is betrouwbaarder.
8.
a. ja, want het lijkt of Peter beter af is met 2, 3, 4 en 5. b.
-c. de hele 'rand' van de tabel is voor L; dus 20 van de 36 uitkomsten; 20 5
36 9
( )
P A .
d. ja; van de vele combinaties met een 2, 3, 4 of 5 moet Peter alles met een 1 of een 6 afstaan. Daar zat dus de adder onder het gras.
1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6
9.
a. wat je ook gooit, het aantal is altijd positief.
b. 3 1 6 2 ( ) P A en 1 2 ( )
P B ; er zijn geen andere mogelijkheden dan even of oneven gooien; de kans op de gebeurtenis "even of oneven" is dus 1.
c. Als je gooit treedt of gebeurtenis D {6} op of E {1, 2, 3, 4, 5} en niet anders.
10. a. 5 12 ( ) P A . b. 3 12 ( ) P B . c. 5 12 ( ) P A wel en B niet . d. 8 12 ( ) ( 1 0) P niet C P verschil is of . e. 1 12 ( ) ( 6)
P niet G P som is meer dan 1 11
12 12
( ) 1
P G
11.
a. Een 7 zal eerder getrokken worden, want er zijn vier zevens en slechts twee vijven en één zes.
b. Er zijn nu 10 verschillende kaarten. Je hebt keuze uit 10 kaarten voor het eerste cijfer en keuze uit 9 kaarten voor het tweede cijfer. Dus 90 verschillende mogelijkheden.
c. 4 3 12
90 90
(77)
P .
d. geen van de kaarten bevat een 7.
e. 6 5 2
90 3
( min 1 ) 1 ( ) 1
P ten ste zeven P geen zeven . 12.
a. Zie de tabel hiernaast
b. De kans op “de som is 7” is 6
36 . De kans op “de som is 6” is 365
c. De kans op “de som is 2” is 1
36 en ook de kans op “de som is
12” is 1 36 .
d. De kans “de som is kleiner dan 3”
e. P(G) is de kans op “de som is minstens 3” is 35 36.
Je kan P(G) ook uit rekenen door 1 – P(“de som is kleiner dan 3”) 1 35
36 36
1
.
f. Ze zijn niet complementair omdat bij bijvoorbeeld “dubbel twee” zowel in H als K voorkomt.
13.
a. Bij het gooien met drie dobbelstenen komt de combinatie 1, 2, 6 zes keer voor: ((1,2,6), (1,6,2), (2,1,6), (2,6,1), (6,1,2) en (6,2,1)) en de combinatie 1, 4, 4 drie keer: ((1,4,4), (4,1,4) en (4,4,1)) en de combinatie 3, 3, 3 slechts één keer.
b. 6 6 3 3 6 1 25 6 6 6 216 ( 9) P som 6 6 3 6 3 3 27 6 6 6 216 ( 10) P som 14.
a. Vanuit A gaan 350 auto’s naar B en 650 auto’s naar C.
Vanuit B gaan 0, 44 350 154 auto’s naar D en 0,56 350 196 auto’s naar E. Vanuit C gaan 0, 20 650 130 auto’s naar E en 0,80 650 520 auto’s naar F. Dus er gaan 154 auto’s naar D, 196 130 326 auto’s naar E en 520 auto’s naar F.
1 2 3 4 1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 2 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
b. c. P E( ) 0,326 d. P ACE( ) 0, 65 0, 20 0,13 15. a. 10 10 100 takken. b.
c. RR komt 6 3 18 keer voor; RW komt 6 7 42 keer voor; WR komt 4 3 12 keer voor en WW komt 4 7 28 keer voor.
d. 42 100 ( ) P RW e. 12 100 ( ) P WR , nee dus. f. 18 100 ( ) P RR en 28 100 ( ) P WW g. 18 42 12 28 100 100 100 100 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 P RR P RW P WR P WW . 16.
a. In vaas A zijn zes van de 10 knikkers rood, dus 6 600 10 1000 ( ) P R . En 4 400 10 1000 ( ) P W . b. 180 rood want 3 180 10 600 c. RW: 420 WR: 120 WW: 280 d. 180 18 1000 100 ( ) P RR 420 42 1000 100 ( ) P RW 120 12 1000 100 ( ) P WR en 280 28 1000 100 ( ) P WW 17. a. zie 16a. b.
c. Dan zou P RW( ) 1,3 en dat kan natuurlijk niet. d. P RW( ) 0,6 0,7 0, 42 .
e. P WR( ) 0, 4 0,3 0,12 en ( ) 0, 4 0,7 0, 28
P WW
18.
a. P(Sven wint een set) 1 0,8 0, 2 b. c. P GG( ) 0,8 0,8 0, 64 P GSG( ) 0,8 0, 2 0,8 0,128 ( ) 0,8 0, 2 0, 2 0,032 P GSS d. P SGG( ) 0, 2 0,8 0,8 0,128 ( ) 0, 2 0,8 0, 2 0,032 P SGS P SS( ) 0, 2 0, 2 0,04 19. a. P LL( ) 0, 28 0, 28 0,0784 b. P LR( ) 0, 28 (1 0, 28) 0, 28 0, 72 0, 2016 c. P RL( ) 0,72 0, 28 0, 2016 d. P RR( ) 0,72 0, 72 0,5184
e. Omdat er geen andere mogelijkheden zijn voor de twee klanten.
D E F
aantal 154 326 520 1000
20. a. b. 1 5 4 (5 ) ( ) 0,00098 P keer A c. 1 20 2 (20 ) ( ) 0, 00000095 P keer B d. 1 16 4 (16 ) (1 ) 0,01 P keer geen A 21. a. b./c. P dezelfde letter( )P AA of BB of CC of DD( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 25 0,5 0,125 0,125 0,34375 P AA P BB P CC P DD 22. a. -b. P keer roos(2 )P RRM( )P RMR( )P MRR( ) 7 7 3 7 3 7 3 7 7 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0, 441 c. 7 3 7 10 10 10 ( ) 0,147 P RMR
d. P hoogstens keer roos( 2 )P(0,1of 2keer roos)
3 7 10 1 P keer roos(3 ) 1 ( ) 0, 657 23. a. 27 64 (2 ) ( ) ( ) ( ) 3 0, 25 0, 75 P F P GFF P FGF P FFG b. P meer dan fout( 1 ) 1 P of(0 1 fout)
3 2 54
64
1 (0, 25 3 0, 25 0, 75)
c. P hoogstens( 2 fout)P(0,1of 2 fout)
3
3 37
4 64
1 P(3 fout) 1 ( )
d. Van 8 vragen zijn er 2 vragen fout. Dat is een combinatie van 2 uit 8: 8 28 2 routes. e. P FFGGGGGG( ) 0,75 0, 25 2 6 1,37 10 4
f. P(minstens2 fout)P(2, 3of 4 fout) 1 P of(0 1 fout)
4 3
1 (0, 25 4 0, 25 0, 75) 0,9492
g. P ten( minste goed1 ) 1 P(0goed) 1 0,75 15 0,9866 24. a. 15 15 85 85 100 100 100 100 ( ) 0, 0163 P DDGG en 15 85 15 85 100 100 100 100 ( ) 0, 0163 P DGDG b. GGDD, GDGD, GDDG, DGGD, DGDG, DDGG: 6 volgorden. c. 15 15 85 85 100 100 100 100 (2 2 ) 6 0, 0975 P goede en defecte d. 85 4 100 ( min 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 0, 4780
P ten ste defect P geen defect
25.
26. a. 20 8 10 28 28 49 ( ) 0, 2041 Willem P RW en 20 8 40 28 27 189 ( ) 0, 2116 Sieb P RW 8 20 10 28 28 49 ( ) 0, 2041 Willem P WR en 8 20 40 28 27 189 ( ) 0, 2116 Sieb P WR b. 8 8 4 28 28 49 ( ) 0, 0816 Willem P WW en 8 7 2 28 27 27 ( ) 0, 0741 Sieb P WW
c. Omdat je niet kunt zien welke knikker je eerst pakt en welke daarna.
d. Het tegelijk trekken van 2 knikkers komt op hetzelfde neer als een trekking zonder teruglegging. 27. a. 5 4 4 5 40 9 9 9 9 81 ( ) ( ) ( ) 0, 4938 P witte en rode P WR P RW b. 4 4 16 9 9 81 ( ) 0,1975 P RR 28. a. 8 7 6 6 5 4 19 14 13 13 14 13 13 91 ( ) 0, 2088 P BBB of GGG b. 6 5 8 6 8 5 8 6 5 30 14 13 13 14 13 13 14 13 13 91 (2 1 ) ( ) ( ) ( ) P gele en blauwe P GGB P GBG P BGG 29.
a. Een vaas met drie groene knikkers (schot treft de roos) en twee rode knikkers. Trek drie keer een knikker uit deze vaas met terugleggen.
b. 2 3 3 18 5 5 5 125 ( ) 0,144 P MRR c. Op drie manieren: MRR, RMR en RRM. d. 18 125 ( ) ( ) ( ) P MRR P RMR P RRM e. 18 54 125 125 (1 ) 3 0, 432 P misser 30.
a. Een vaas met drie groene knikkers (prijs) en drie rode knikkers (geen prijs). Trek, zonder
terugleggen, drie knikkers uit deze vaas. b. PPG, PGP en GPP. c. 3 2 3 3 6 5 4 20 ( ) ( ) ( ) P PPG P PGP P GPP d. 3 2 3 9 6 5 4 20 (2 ) 3 P keer prijs
31. De laatste batterij die Karin trekt moet de vierde volle zijn. Er zijn 10 verschillende
volgorden: VVVLLV, VVLVLV, VLVVLV, LVVVLV, VVLLVV, VLVLVV, LVVLVV, VLLVVV, LVLVVV en LLVVVV. Dus 4 3 8 7 6 5 10 12 11 10 9 8 7 33 (6 ) 10 0,3030 P testen 32.
a. Omdat de steekproef van 5 blikken klein is ten opzichte van het totaal aantal blikken van 20000. De kans op kwaliteit A blijft vrijwel 90%.
b. 4
(1 ) 5 0,90 0,10 0,3281
P niet van kwaliteit A
c. 3 2
(2 ) 10 0,90 0,10 0,0729
P niet van kwaliteit A
33. a. 1 2 ( ) P even b. 1 3 (6)
34.
a. 26
79
( sin , ) 0,3291
P wel aasappel toch verkouden
b. 32
79
( sin , ) 0, 4507
P geen aasappel toch verkouden
c. 26
26 32
( , sin ) 0, 4483
P verkouden toch aasappeleter
35. a. 1 3 ( | ) P drievoud even b. A: 3 4 5 6 B: 1 2 3 1 3 ( | ) P A B en 1 4 ( | ) P B A 36. a. 2 5 ( | 6)
P beide even som is b. 2
9
( 6 | )
P som is beide even
37. a. 4 1 52 13 ( ) 0,0769 P A 1 13 ( | ) 0,0769 P A B
Bij gebeurtenis A gaat het om 4 azen van de 52 kaarten en bij gebeurtenis AB om 1 kaart (A) van de 13 schoppen.
b. 13 1 52 4 ( ) 0, 25 P B 1 4 ( | ) 0, 25 P B A c. 1 52 ( ) 0,0192 P C 1 4 ( | ) 0, 25 P C A
Bij gebeurtenis C gaat het om 1 van de 4 azen en bij gebeurtenis CA om 1 kaart (A) van de 4 azen.
38.
a. Het werpen van de eerste dobbelsteen heeft geen invloed op het werpen van de tweede dobbelsteen. A: {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} B: {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} C: {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 1 6 ( | ) P A B en 6 1 36 6 ( ) P A 1 6 ( | ) P B A en 6 1 36 6 ( ) P B b. 1 6 ( | ) ( ) P A C P A en 1 6 ( | ) ( ) P C A P C 39. a. 11 77 ( | ) 0,1429
P onvoldoende op CSE voldoende op SE
b. 5
71
( | ) 0,0704
P onvoldoende op SE voldoende op CSE
c. Die bekende van mij is goed in een bepaald schoolvak (wiskunde!) d. P onvoldoende op SE( ) 0, 23 en P onvoldoende op CSE( ) 0, 29 terwijl
18 29
( | ) 0, 6207
P onvoldoende op SE onvoldoende op CSE en
18 23
( | ) 0, 7826
P onvoldoende op CSE onvoldoende op SE . Dus de gebeurtenissen onvoldoende op SO-cijfer en onvoldoende examencijfer zijn afhankelijk.
40. a. 372 710 ( ) 0,52 P met vlooien b. 286 361 ( | ) 0,79
P vlooien geen middel
c. 263
308
( | ) 0,85
P wel middel zonder vlooien
d. 263
349
( | ) 0,75
P geen vlooien wel middel
e. 86
349
( | ) 0, 25
41.
a. Je moet dan 0,50 of 0,00 raken. Deze kans is 1 3 b. c. 6 1 36 6 (€ 2,50) P
d. P meer dan( €1,50winst)
3 1
36 12
( € 4, 00 )
P meer dan gegooid
42.
a. P gezond ziek( | ) 0,15
b. 90% krijgt als uitslag 'ziek'. Dat zijn 55800 mensen
c. 62000 mensen: 8 62 496 zijn ziek en 61504 zijn gezond.
0,05 61504 0,15 496 62000
( ) 100% 5, 08%
P verkeerde uitslag
d. P verkeerde uitslag( ) 10% . De test is onbetrouwbaarder.
43.
a. 20 groepen (testen) en 3 15 45 recruten (testen): 65 testen. b. 1000 groepen en 400 10 4000 afzonderlijk: 5000 bloedmonsters.
c. 8
( ) 0,95 0,6634
P geen syfilis en 8
( ) 1 ( ) 1 0,95 0,3366
P wel syfilis P geen syfilis d. Er zijn 10000
8 1250 groepen. Daarvan moeten er 0,3366 1250 421 elke recruut apart
getest worden. In totaal zo'n 1250 421 8 4618 testen. e. Voer in: 1 10000 10000 10000 (1 0,95 )x 10000 (1 0,95 )x y x x x x
Deze functie is minimaal bij x5.
T_1.
a. 4 1,5 1
60 10
( )
P Jimmy oet wachten .
b. 12
45
( )
P Esmee moet wachten . c. Theoretische kans. d. experimentele kans. 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 0,00 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 0,50 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 1,00 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 1,50 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 2,00 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 2,50 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
T_2. a. 1 1 1 6 6 36 (33) P . b. 1 1 1 4 5 6 6 36 ( ) P W R . c. 1 1 1 5 6 6 5 6 6 18 ( 11) ( ) 2 P som is P W R of W R .
d. de som van de ogen is meer dan 11, ofwel de som is 12.
e. 1 35 36 36 ( ) 1 ( ) 1 P A P niet A . T_3. a. b. P SZ( ) 0, 40 0,80 0,32 . c. P SSS( ) 0, 40 0, 20 0,05 0,004 T_4. a. P OO( ) 0, 45 0, 45 0, 2025 .
b. De kans dat iemand bloedgroep O heeft is groter dan dat die bloedgroep A heeft. De kans dat twee mensen bloedgroep O hebben is dus ook groter dan dat ze beiden bloedgroep A hebben. c. P verschillende bloedgroep( ) 1 P dezelfde bloedgroep( ) 1 (0, 43 20,0920,032
2 0, 45 ) 1 0,3964 0,6036 T_5. a. 6 5 4 120 1 10 9 8 720 6 ( ) P WWW . b. 6 5 4 4 3 2 144 1 10 9 8 10 9 8 720 5 ( ) ( )
P drie van dezelfde kleur P WWW of ZZZ .
c. 6 5 4 360 1 10 9 8 720 2 ( ) ( , ) 3 P twee W P WWZ WZW of ZWW . d. 1 5 6 6 (min ) 1 ( ) 1
P stens een Z P geen Z
e. 4 3 2 1 29
10 9 8 30 30
( ) 1 ( ) 1 1
P hoogstens twee W P geen W
T_6. a. 16 52 ( ) P A . b. 4 1 16 4 ( | ) P B A . c. 1 4 ( ) ( | ) P B P B A en 4 13 ( | ) ( )
P A B P A dus de gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk van elkaar.
T_7. a. b. 1 1600 16000 0,90 9 c. d. 1599 1608 ( | ) 0,9944 P NZ T T_8.
a. Wanneer de steekproef (4 knikkers) groot is ten opzichte van de populatie (het aantal knikkers in de vaas). Dus wanneer er bijvoorbeeld 10 knikkers in de vaas zitten. b. Dan neem je bijvoorbeeld een vaas met 10.000 knikkers.
c. Als de eerste knikker weer terug wordt gelegd in de vaas.
T+ T
-WZ 9 1 10
NW 1599 14392 15990 1608 14393 16000
