WISKUNDELES
EEN STUDIE NAAR HET MOTIVEREN VAN
LEERLINGEN
School: Bertrand Russell College te Krommenie Schoolbegeleider: Mostapha Iallouchen Studieonderdeel: LIO Praktijk Onderzoek Opleiding: Leraar Wiskunde Tweedegraads
Instelling: Hogeschool van Amsterdam Begeleider: Desiree van den Bogaart
Datum: 30 juni 2015
INHOUD
1. Inleiding ...2
1.1 Relevantie...2
1.2 Probleemstelling ...3
1.3 Doelstelling en overzicht van het onderzoek...3
1.4 Onderzoeksvragen...4
2. Theoretisch kader...5
2.1 Huidige stand van zaken...6
2.2 Leren en motiveren...19
2.3 Geschiedenis als motivatiewerktuig...12
3. Methodologie ...15
3.1 Lesopzet ...15
3.2 Aansluiting bij de vier motivatiefactoren...16
3.3 Stappenplan voor het ontwerpen van de leerlingenenquête ...17
3.4 Het gewogen gemiddelde ...18
4. Resultaten...19
4.1 Persoonlijke ervaringen en observaties ...19
4.2 Samenvatting leerlingenenquête ...21
5. Conclusie...24
6. Discussie en aanbevelingen...27
6.1 Discussie ...27
6.2 Aanbevelingen...28
7. Nawoord ...30
8. Literatuur ...31
8.1 Voor gebruik in de klas...31
8.2 Referenties...31
9. Bijlagen...35
A. Karakteristieken en kerndoelen voor de onderbouw ...35
B. Historische referenties in Getal & Ruimte...39
C. Historische referenties in Moderne Wiskunde...40
D. Docentenhandleiding ...41
E. PowerPoint dia’s...43
F. Werkblad oude meeteenheden...45
G. Werkblad Euclides ...47
H. Werkblad Archimedes ...49
I. Werkblad Ludolph van Ceulen...51
J. Kruiswoordpuzzel ...53
K. Uitwerkingen...54
L. Leerlingenenquête ...57
M. Uitslag leerlingenenquête...59
1. INLEIDING
An interest in history marks us for life. How we see ourselves and others is shaped by the history we absorb […] From the time we first become aware of the past, it can fire our imagination and excite our curiosity: we ask questions and then seek answers from history. – George Gheverghese Joseph (The Crest of the Peacock, 2011, p. 1)
Op dit moment werk ik voor het tweede schooljaar met veel plezier als (onbevoegd) wiskundedocent op het Bertrand Russell College (BRC) in Krommenie. Daarnaast ben ik bezig met het afronden van de opleiding tot tweedegraads wiskundeleraar aan de Hogeschool van Amsterdam (HvA). Het uitvoeren van het LIO Praktijk Onderzoek (LPO) is één van de vereisten om die studie tot een goed einde te volbrengen. Over een onderwerp hoefde ik niet lang na te denken; ik wilde graag mijn achtergrond als historica gebruiken. Eerder heb ik voor de cursus ABV Didactiek & Diversiteit een korte lessenserie ontworpen en uitgevoerd over de geschiedenis van de wiskunde. De reacties daarop waren heel enthousiast. Leerlingen vonden het “super interessant” en leuk dat zij nu “in meerdere talen konden rekenen” en mijn docent op de HvA vond het “heel origineel om wiskunde op deze manier bij leerlingen binnen te laten komen.” In tegenstelling tot deze lessenserie, die los stond van het reguliere lesprogramma, wilde ik in mijn LPO onderzoeken hoe de geschiedenis van de wiskunde ingezet kan worden als verrijking bij het behandelen van meetkunde onderwerpen in de eerste klassen havo en vwo.
1.1 Relevantie
Het gebruik van de geschiedenis van de wiskunde in de wiskundeles is niet nieuw. Met name sinds de jaren negentig van de vorige eeuw is de interesse voor dit onderwerp flink gestegen (Gulikers & Blom 2001). Er bestaat dan ook een aanzienlijke hoeveelheid wetenschappelijk onderzoek op dit gebied. Een centrale rol daarin speelt het werk van John Fauvel en Jan van Maanen. Het onderzoek dat zij verrichten in opdracht van de ICMI (International Commission on Mathematics Instruction) mondde uit in een uitgebreid rapport getiteld History in mathematics education: the ICMI study. Desalniettemin blijkt dat er van dat wetenschappelijke onderzoek maar weinig in het klaslokaal terecht komt. Dat is jammer, want er bestaan goede redenen voor het inzetten van de geschiedenis van de wiskunde tijdens de wiskundeles. Fauvel (1991) noemt bijvoorbeeld de volgende:
-‐ Het helpt om de motivatie voor het leren te verhogen. -‐ Het geeft wiskunde een menselijk gezicht.
-‐ De historische ontwikkeling helpt bij het organiseren en presenteren van de verschillende onderdelen van het curriculum.
-‐ Leerlingen laten zien hoe concepten zich hebben ontwikkeld draagt bij aan hun begrip van die concepten.
-‐ Het verandert de perceptie van leerlingen over wiskunde.
-‐ Het vergelijkt oude en moderne technieken en stelt de waarde vast van die moderne technieken.
-‐ Het helpt bij het ontwikkelen van een multiculturele aanpak. -‐ Het biedt mogelijkheden voor onderzoek.
-‐ Obstakels in de ontwikkeling van bepaalde concepten dragen bij aan begrip voor problemen waar leerlingen tegenwoordig tegenaan lopen.
-‐ Leerlingen ontlenen troost uit het besef dat ze niet de enige zijn die problemen hebben.
-‐ Het moedigt snelle leerlingen aan om verder te kijken.
-‐ Het helpt om de rol van wiskunde in de maatschappij uit te leggen. -‐ Het maakt wiskunde minder beangstigend.
-‐ Het verkennen van de geschiedenis helpt om het enthousiasme van de docent te behouden.
-‐ Het biedt gelegenheid voor vakoverschrijdend werken met andere vakken en docenten.
1.2 Probleemstelling
Waarom komt er in de praktijk dan zo weinig van terecht? Volgens Gulikers en Blom (2001) hebben de meeste wiskundedocenten, ondanks het feit dat de geschiedenis van de wiskunde op diverse lerarenopleidingen een verplicht vak is, te weinig expertise op dit gebied. Daarnaast hebben zij geen toegang tot de juiste materialen en kost het veel tijd om zelf materiaal samen te stellen. Bovendien constateren zowel Fauvel & Van Maanen (1997) als Gulikers & Blom (2001) dat er een kloof bestaat tussen theoretische argumenten en praktische ideeën en, in aansluiting daarop, tussen onderzoekers van de geschiedenis van de wiskunde en wiskundedocenten. Ik hoop dat ik hier met mijn achtergrond als historica, de onderzoekservaring die ik eerder heb opgedaan en mijn huidige functie als wiskundedocent een brug tussen kan slaan.
De huidige literatuur over het gebruik van de geschiedenis van de wiskunde bestaat voor een groot deel uit theoretische argumenten waarom de geschiedenis van de wiskunde zou moeten worden ingezet. Er is echter minder geschreven over hoe de geschiedenis van de wiskunde daadwerkelijk kan worden toegepast. Nog minder onderzoek is er gedaan naar het gebruik van de geschiedenis van de wiskunde vanuit een methodologische visie (Gulikers & Blom, 2001).
1.3 Doelstelling en overzicht van het onderzoek
Het doel van dit onderzoek is om lesmateriaal samen te stellen waarbij het gebruik van de geschiedenis van de wiskunde wordt verantwoord vanuit het perspectief van het motiveren van leerlingen. Daarmee bevindt het onderzoek zich in de ontwerpfase van de interventiecyclus van Verschuren en Doorewaard (2007).
Hieronder volgt eerst het theoretisch kader, dat bestaat uit drie paragrafen. De eerste paragraaf behandelt de huidige stand van zaken met betrekking tot het gebruik van de geschiedenis van de wiskunde. Hierin wordt onderzocht welke plek de geschiedenis van de wiskunde heeft in de kerndoelen voor de onderbouw, welke historische referenties er voorkomen in de twee grootste lesmethoden Getal & Ruimte en Moderne Wiskunde en wat voor alternatief materiaal er beschikbaar is. De tweede paragraaf geeft een overzicht van de huidige literatuur omtrent het motiveren van leerlingen, waarbij er aandacht wordt besteed aan het belang van motivatie, de verschillen tussen intrinsieke en extrinsieke motivatie en de rol van de leerkracht. In de laatste paragraaf wordt er een verband gezocht tussen theorieën over het motiveren van leerlingen en het gebruik van de geschiedenis van de wiskunde.
Met de inzichten uit het theoretisch kader heb ik lesmateriaal (inclusief docentenhandleiding en uitwerkingen) samengesteld. In de methodologie beschrijf ik
hoe het ontworpen materiaal verantwoord kan worden vanuit motivatieperspectief en geef ik een toelichting op het tot stand komen van de leerlingenenquête. Vervolgens heb ik dit lesmateriaal getest in mijn brugklassen op het BRC. In de resultaten heb ik mijn eigen ervaringen beschreven en een samenvatting gegeven van de uitslag van de leerlingenenquête.
De conclusie geeft antwoord op de hoofd-‐ en deelvragen, waarbij ik een kritische beschouwing geef van de kwaliteit van het ontwikkelende lesmateriaal door terug te koppelen naar het theoretisch kader. In de discussie benoem ik de beperkingen van dit onderzoek. Tenslotte beschrijf ik in de aanbevelingen hoe het lesmateriaal verbeterd kan worden en doe ik enkele suggesties voor vervolgonderzoek.
1.4 Onderzoeksvragen
Hoofdvraag
Op welke manier kan de geschiedenis van de wiskunde worden ingezet binnen het domein meetkunde om leerlingen van de eerste klassen havo en vwo beter te motiveren?
Deelvragen
1. Wat is de huidige stand van zaken en welk lesmateriaal is er beschikbaar m.b.t. het gebruik van de geschiedenis van de wiskunde bij het behandelen van meetkunde in de eerste klassen havo en vwo?
2. Wat zegt de huidige literatuur over het motiveren van leerlingen en hoe ontwerp je als docent een les waarbij je rekening houdt met motivatie?
3. Op welke manier kan het inzetten van de geschiedenis van de wiskunde als didactisch hulpmiddel aansluiten bij theorieën over het motiveren van leerlingen?
4. Hoe kunnen deze inzichten vertaald worden in lesmateriaal dat gebruikt kan worden bij het behandelen van meetkunde in de eerste klassen havo en vwo? 5. Wat zijn de ervaringen van leerlingen en docent(en) met het gebruik van dit
lesmateriaal en leidt het in de praktijk inderdaad tot beter gemotiveerde leerlingen?
2. THEORETISCH KADER
Leeren is moeilijk en wie weet, hoeveel moeite het de menschheid gekost heeft, zich haar kennis te veroveren, vindt het natuurlijk, dat het individu er ook moeite mee heeft. Wegdoezelen van de moeilijkheden zou beteekenen dat men er het meest waardevolle aan ontnam. – Eduard Jan Dijksterhuis (Nieuwe Rotterdamsche Courant, 17 maart 1925)
Discussies over de inhoud en vormgeving van het onderwijs zijn geen nieuw verschijnsel. Men is altijd op zoek geweest naar verbetering en vernieuwing en het Nederlandse onderwijssysteem is al eeuwenlang in beweging. Het wiskundecurriculum is in dat opzicht geen uitzondering. Sinds Simon Stevin aan het begin van de 17e eeuw in
opdracht van Prins Maurits een onderwijsprogramma ontwikkelde voor de Duytsche Mathematique, de ingenieursschool die in 1600 werd verbonden aan de Universiteit van Leiden, is er veel veranderd. Dat hoeft op zich geen verbazing te wekken, want vakinhoudelijk is de wiskunde de afgelopen vierhonderd jaar ook niet stil blijven staan. Er wordt tegenwoordig per week zowaar meer wiskunde ontwikkeld dan de Babyloniërs in tweeduizend jaar voort hebben gebracht (Stewart, 2014).
Maar meer in het algemeen is het Nederlandse onderwijssysteem de afgelopen vier eeuwen eveneens ingrijpend veranderd. Zo werd het onderwijs in de Franse tijd (1795-‐ 1815) voor het eerst wettelijk geregeld, waardoor ieder kind lager onderwijs kon volgen en onderwijzers een gedegen opleiding kregen. Met de in 1863 ingevoerde Wet op Middelbaar Onderwijs kreeg Nederland een nieuw schooltype: de Hogere Burgerschool (HBS), bestemd voor zonen van welgestelde burgers die geen universitaire studie gingen volgen. De schoolstrijd die plaatsvond aan het einde van de 19e en het begin van
de 20e eeuw mondde in 1917 uit in een algehele gelijkstelling tussen bijzonder
onderwijs en openbaar onderwijs. De 20e eeuw stond vervolgens in het teken van de
democratisering van het onderwijs, waarbij het basisprincipe was dat iedere leerling, ongeacht zijn of haar sociaaleconomische en culturele afkomst, gelijke onderwijskansen zou moeten krijgen.
Gedurende de 20e eeuw nam de geschiedenis van de wiskunde een structurele positie in
binnen het wiskundeonderwijs. Er bestonden verscheidene tekstboeken met hoofdstukken over de geschiedenis van de wiskunde en op sommige plaatsen was de geschiedenis van de wiskunde zelfs een optioneel onderdeel van het hoger middelbaar onderwijs (Fauvel & Van Maanen, 2000). Daarnaast zette de Nederlandse wiskundeleraar en wetenschapshistoricus Eduard Jan Dijksterhuis zich in de loop van de 20e eeuw actief in voor het doceren van de geschiedenis van de wiskunde aan de
lerarenopleiding. Dijksterhuis beklemtoonde in zijn lezingen en artikelen dat de colleges in de didactiek (van de wiskunde in zijn geval) een sterk historisch karakter moesten hebben. Daarbij zou het oorspronkelijke werk van Euclides een goed startpunt vormen voor het doceren van de meetkunde. Maar Dijksterhuis was ook een voorstander van een historische scholing voor de aanstaande leraar in de natuurkunde en kosmografie, ‘in welke vakken voortdurend de tot historie geworden fasen der wetenschap herleven en waarin de historische weg ook menigmaal de uit didactisch oogpunt meet verkieslijke blijkt’ (Van Berkel, 1996).
Vandaag de dag wordt de geschiedenis van de wiskunde nog steeds aan verschillende lerarenopleidingen gedoceerd, maar het onderwerp neemt niet langer een plek in zijn
eigen recht in binnen het wiskundecurriculum voor het voortgezet onderwijs. Dit blijkt onder andere uit een zorgvuldige analyse van de huidige kerndoelen voor de onderbouw en de boeken voor de eerste klas havo/vwo van de twee grootste lesmethoden (Getal & Ruimte en Moderne Wiskunde), hetgeen in de paragraaf hieronder verder zal worden verduidelijkt. Daarna volgt een beknopte uiteenzetting van de alternatieve mogelijkheden op het gebied van de geschiedenis van de wiskunde.
2.1 Huidige stand van zaken
Eén van de meest recente ontwikkelingen betreffende de onderbouw van het voortgezet onderwijs is de invoering van 58 kerndoelen. In juni 2004 presenteerde de Taakgroep Vernieuwing Basisvorming de nieuwe reeks kerndoelen, die de kaders bepalen waarbinnen scholen zelf invulling mogen geven aan de concrete vorm en inhoud van het onderwijs. Dit behelsde een duidelijke breuk in vergelijking met de situatie vóór 2004, toen de overheid tamelijk gedetailleerd aan scholen voorschreef wat en hoe leerlingen moesten leren. De kerndoelen zijn verbonden aan zeven verschillende domeinen (Nederlands, Engels, Rekenen en Wiskunde, Mens en Natuur, Mens en Maatschappij, Kunst en Cultuur en Bewegen en Sport), waarbij ieder domein wordt omschreven in een samenhangende “karakteristiek”. Een voorafgaande “algemene karakteristiek” beschrijft daarnaast zes kwaliteitseisen waaraan het onderwijs aan 12 tot 14 jarigen in het algemeen moet voldoen (Onderbouw-‐VO, 2006).1
Vanwege de globale aard van de karakteristieken en kerndoelen is het niet verwonderlijk dat een specifiek onderwerp zoals de geschiedenis van de wiskunde niet genoemd wordt. In de algemene karakteristiek wordt echter wel vermeld dat leerlingen ‘soms moeilijk de samenhang […] zien tussen de verschillende vakken in het voorgezet onderwijs’ en dat het om die reden belangrijk is dat ‘leerkrachten die relaties tussen de inhoud uit verschillende vakken en leergebieden aanbrengen’. Dit wordt “leren in samenhang” genoemd (Ibidem). Vakoverstijgend lesgeven wordt dus aangemoedigd, wat als een argument kan worden gezien voor het inzetten van de geschiedenis van de wiskunde tijdens de wiskundeles.
Dit standpunt vindt ook draagvlak binnen de karakteristiek voor rekenen en wiskunde, waar de opmerking wordt gemaakt dat het ‘vanwege het oriënterende karakter van de onderbouw’ belangrijk is ‘dat de volle breedte van de toepassingsgebieden van rekenen en wiskunde aan bod komt: het leven van alle dag, andere leergebieden, vervolgonderwijs, de beroepenwereld en de wiskunde zelf’ (Ibidem). Bij het behandelen van de geschiedenis van de wiskunde komt niet alleen het andere leergebied geschiedenis aan bod, maar wordt er ook aandacht besteed aan de oorsprong van wiskundige concepten (“de wiskunde zelf”). Even verderop maakt de karakteristiek ook melding van het tweezijdige verband tussen rekenen en wiskunde en andere vakken en leergebieden: ‘gebruik van contexten uit andere leergebieden in het wiskundeonderwijs en bewust werken aan aspecten van rekenen en wiskunde in het onderwijs in andere leergebieden’ (Ibidem).
Uit dit alles kan geconcludeerd worden dat, hoewel de geschiedenis van de wiskunde niet nadrukkelijk genoemd wordt in de kerndoelen, de karakteristieken toch voldoende draagvlak bieden voor het inzetten van dit onderwerp tijdens de wiskundeles.
1 In bijlage A zijn de algemene karakteristiek en de karakteristiek en kerndoelen voor het domein rekenen
Wat betreft het gebruik van de geschiedenis van de wiskunde door Getal & Ruimte en Moderne Wiskunde, de twee meest gebruikte lesmethoden in Nederland, blijkt uit bestudering van de boeken voor de eerste klassen havo/vwo en vwo2 dat het onderwerp
in beide lesmethoden maar incidenteel aan bod komt. In Getal & Ruimte wordt de geschiedenis af en toe genoemd in informatieve tekstblokken die tussen de opgaven staan. Daarin wordt bijvoorbeeld iets verteld over bekende wiskundigen uit het verleden of een toelichting gegeven op de historische achtergrond van een onderwerp. Heel diep gaat deze tekst niet op de stof in. Zo blijft het in een hoofdstuk over vlakke figuren bij de opmerking: ‘Euclides, de belangrijkste wiskundige uit de Oudheid, schreef omstreeks 300 voor Christus het boek De Elementen. Constructies van meetkundige figuren nemen in dit boek een belangrijke plaats in.’ (Reichard et al., 2012a) In Moderne Wiskunde komt de geschiedenis van de wiskunde alleen aan bod binnen de keuzeonderwerpen, waar het onderwerp is verwerkt in projecten en verdiepingsopdrachten. In vergelijking met Getal & Ruimte bieden deze paragrafen meer diepgang en gaan ze uitgebreider op de stof in.
Bron: Bruin et al. (2012b). Moderne wiskunde. Onderbouw. Leerboek 1B VWO. Groningen: Noordhoff, p. 64
2 Voor beide methoden zijn de 10e edities onderzocht. In bijlage B en C staat een schematisch overzicht
In bijna alle gevallen waarin de geschiedenis van de wiskunde zich voordoet gaat het echter om extra informatie, die gemakkelijk weggelaten kan worden. Het is dus maar de vraag in hoeverre leraren stil staan bij de historische informatie. Een onderzoek uit 2008 naar het toepassen van de wetenschapsgeschiedenis binnen het wiskundeonderwijs geeft in dit opzicht wellicht een indicatie. Daaruit bleek dat er nauwelijks aandacht aan de geschiedenis van de wetenschap werd besteed, ondanks het feit dat een meerderheid van de wiskundedocenten van mening was dat het een belangrijk onderwerp was. De hoofdreden voor het niet behandelen van de wetenschapsgeschiedenis was dat het geen verplicht lesonderdeel is, waardoor leerkrachten het al gauw wegens (gevoelsmatig) tijdgebrek achterwege laten (Van Leuteren, 2008).
Verder is er bij Getal & Ruimte sprake van enig verschil tussen de boeken voor 1 havo/vwo en 1 vwo. Op laatstgenoemd niveau doen historische referenties zich, hoewel nog steeds sporadisch, toch vaker voor. In het boek voor de eerste klas vwo van Getal & Ruimte komen bijvoorbeeld naast informatieve stukjes tekst ook opgaven voor waarin de geschiedenis van de wiskunde is verwerkt. Het gaat hier echter niet om reguliere opgaven maar om zogenaamde “plus-‐opgaven”, die in de regel door veel leerkrachten worden overgeslagen. In Moderne Wiskunde is er geen verschil omtrent het gebruik van de geschiedenis van de wiskunde tussen de verschillende niveaus.
Bron: Reichard et al. (2012b). Getal & Ruimte. Onderbouw. 1 VWO deel 2. Houten: EPN, p. 165.
Buiten de officiële kerndoelen en de twee meest gebruikte lesmethoden om, bestaan er desalniettemin positieve signalen aangaande een toekomstige rol voor de geschiedenis van de wiskunde. Dit blijkt onder meer uit recente wetenschappelijke interesse voor het gebied. Zo promoveerde Iris van Gulik-‐Gulikers in 2005 aan de Rijksuniversiteit Groningen op een onderzoek naar de vraag hoe de geschiedenis van de meetkunde op een zinvolle manier kan worden toegepast in het wiskundeonderwijs (Van Gulik-‐ Gulikers, 2005). Als onderdeel van haar promotieonderzoek werkte Van Gulik-‐Gulikers twee onderwerpen uit tot lesmateriaal: “De 17e-‐eeuwse landmeter” voor de tweede en
lesmateriaal voor de tweede en derde klas bestaat voor een groot deel uit historisch getinte opdrachten, waarbij leerlingen aan de hand van oude wiskundige teksten en historische achtergrondinformatie oefenen met het rekenen met gelijkvormigheid, en wordt afgesloten met een praktische opdracht. Het lesmateriaal voor 5 en 6 vwo besteedt aandacht aan de historische ontwikkeling van de niet-‐Euclidische meetkunde en laat zien hoe wiskundigen daar in de loop der eeuwen mee bezig zijn geweest. ‘Uit de geschiedenis wordt duidelijk dat verschillende wiskundigen er lang veel moeite voor hebben moeten doen. Dat is bemoedigend voor leerlingen. En ze maken het proces van herontdekking mee, een levendig leerproces dat leidt tot een grotere motivatie’, aldus Van Gulik-‐Gulikers (Speekman, 2005).
Daarnaast is er op internet waardevol en interessant materiaal te vinden over de geschiedenis van de wiskunde. Een grote rol is hierin weggelegd voor de stichting Math4all, die op haar website http://www.math4all.nl/ een onderdeel heeft genaamd “5000 jaar wiskunde.” Daarin staan biografieën van een uitgebreide lijst bekende wiskundigen en er wordt historische achtergrondinformatie gegeven bij een grote verscheidenheid aan wiskundige onderwerpen. Daarnaast hebben Marjanne de Nijs en Margot Rijnierse lesmateriaal ontwikkeld over Ludolph van Ceulen voor alle klassen havo/vwo (Nijs & Rijnierse, 2010). Verder hebben een aantal docenten van de Hogeschool Utrecht, de Hogeschool van Amsterdam en de NHL Hogeschool filmpjes opgenomen over de geschiedenis van de wiskunde. Deze hebben vooral betrekking op Nederland in de 17e eeuw en kunnen teruggevonden worden op Youtube. De BBC
documentaires The story of maths en The story of one zijn ook erg geschikt om een stukje geschiedenis in de klas te laten zien. Tenslotte bieden de wiskundemeisjes in hun boek Ik was altijd heel slecht in wiskunde enkele leuke “Doe Het Zelf” ideeën omtrent de geschiedenis van de wiskunde die heel gemakkelijk in de les gebruikt kunnen worden.
Kort samengevat heeft de geschiedenis van de wiskunde momenteel geen structurele positie binnen het officiële wiskundecurriculum voor de onderbouw, maar buiten de gebaande paden bestaan er wel degelijk mogelijkheden voor het gebruik van de geschiedenis tijdens de wiskundeles. Voordat kan worden uitgezocht op welke manier de geschiedenis van de wiskunde ingezet kan worden om de motivatie van leerlingen te verbeteren, zal hieronder eerst een overzicht worden gegeven van de belangrijkste opvattingen op het gebied van het motiveren van leerlingen.
2.2 Leren en motiveren
‘Motivatie is een innerlijk proces dat een persoon aanzet tot bepaald gedrag, richting geeft aan dat gedrag en ervoor zorgt dat dit gedrag in stand gehouden wordt’ (Woolfolk, Hughes & Walkup, 2008). Het is belangrijk om als docent oog te hebben voor de motivatie van leerlingen, omdat motivatie leidt tot een betere kwaliteit van leren, meer betrokkenheid van leerlingen en meer plezier in school. Als leerlingen gemotiveerd zijn, gaat het leren gemakkelijker en sneller en beklijft het geleerde beter (Ros et al., 2009). Bovendien kan aandacht voor de motivatie van leerlingen een bijdrage leveren aan orde in de klas (Vansteenkiste et al., 2007). Ryan en Deci (2000a; 2000b) hebben het verband tussen leren en motiveren nader onderzocht, waarbij ze met name stil hebben gestaan bij de kwaliteit van de motivatie. Zij zijn de grondleggers van de invloedrijke “self-‐ determinaton theory” (SDT), een motivatieleer waarbij de nadruk ligt op de persoonlijke drijfveren van leerlingen om te leren.
De zelfdeterminatie theorie maakt een onderscheid tussen amotivatie, extrinsieke motivatie en intrinsieke motivatie. Bij de eerstgenoemde vorm zijn leerlingen niet gemotiveerd om een leeractiviteit uit te voeren. Amotivatie kan optreden als leerlingen geen belang hechten aan de leeractiviteit, zich niet bekwaam voelen om de leeractiviteit ten uitvoer te brengen of als het vertrouwen in een goede afloop ontbreekt. Bij extrinsieke motivatie verloopt het leren niet spontaan, maar is het afhankelijk van het bereiken van een doel dat buiten het leren zelf is gelegen. Extrinsiek gemotiveerd gedrag komt voort uit andere drijfveren dan het bezig zijn met de leeractiviteit zelf, maar die drijfveren kunnen wel sterk variëren. De zelfdeterminatie theorie onderscheidt hierin vier verschillende vormen: externe, geïntrojecteerde, geïdentificeerde en geïntegreerde regulatie (Ryan & Deci, 2000a).
Bij externe regulatie zijn leerlingen niet in de leeractiviteit geïnteresseerd, maar voeren deze uit om aan een externe eis te voldoen. Dit kan bijvoorbeeld het vermijden van een straf zijn. Geïntrojecteerde regulatie betekent dat leerlingen leren om een bepaalde vorm van waardering te verkrijgen of om angst-‐ en schuldgevoelens te vermijden. Hierbij is het perspectief van anderen erg belangrijk. Leerlingen zetten zich bijvoorbeeld in omdat ze hun ouders niet teleur willen stellen of omdat ze de docent aardig vinden. Geïdentificeerde regulatie verwijst naar een situatie waarbij leerlingen het belang inzien van een leeractiviteit. Leerlingen kunnen zich identificeren met het leerdoel en beslissen als het ware zelf dat ze de leeractiviteit belangrijk vinden, waardoor ze een zekere mate van autonomie (ofwel zelfdeterminatie) ervaren. Een voorbeeld kan zijn dat een leerling niet bijzonder geïnteresseerd is in de Engelse taal, maar wel een internationale carrière nastreeft en inziet dat kennis van het Engels dan goed van pas kan komen. Bij geïntegreerde regulatie, tenslotte, zijn de leerdoelen onderdeel geworden van de persoonlijke normen en waarden van de leerlingen. Leerlingen leren bijvoorbeeld de Engelse taal omdat zij dat belangrijk vinden voor zichzelf (Ibidem).
Geïntegreerde regulatie lijkt in veel opzichten op intrinsieke motivatie. Bij beide vormen is er sprake van een hoge mate van zelfdeterminatie. Het belangrijkste verschil tussen geïntegreerde regulatie en intrinsieke motivatie zit erin dat leerlingen bij geïntegreerde regulatie leren om een extern doel na te streven, terwijl ze bij intrinsieke motivatie een leeractiviteit uitvoeren omdat ze die activiteit zelf interessant vinden en/of plezierig om te doen (Schuit et al., 2011). Volgens Ryan en Deci (2000a) bestaan er drie psychologische basisbehoeften die de intrinsieke motivatie van leerlingen bevorderen: de behoefte aan competentie, autonomie en sociale verbondenheid.
Bij de behoefte aan competentie is er sprake van een gevoel van bekwaamheid bij de leerling en het vertrouwen in eigen kunnen. Leerlingen willen het gevoel hebben dat zij in staat zijn om de leeractiviteit goed te doen. De leerkracht kan het gevoel van competentie versterken door duidelijk aan te geven wat er van de leerlingen verwacht wordt en bij deze verwachtingen rekening te houden met de (verschillende) cognitieve niveaus van de leerlingen. Daarnaast is het belangrijk dat de leerkracht voldoende structuur aanbrengt in leeractiviteiten, zodat leerlingen weten wat er van hen gevraagd wordt en wat ze moeten doen om een bepaald resultaat te behalen, en dat de leerkracht waar nodig ondersteuning biedt (Ros et al., 2009). Gevoelens van competentie alleen zijn echter niet genoeg: ‘feelings of competence will not enhance intrinsic motivation unless they are accompanied by a sense of autonomy (…) Stated differently, for a high
level of intrinsic motivation people must experience satisfaction of the needs both for competence and autonomy’, aldus Ryan en Deci (2000a).
De behoefte aan autonomie, respectievelijk zelfdeterminatie, verwijst naar het gevoel dat leerlingen zelf invloed hebben op wat zij leren. Dat wil zeggen dat leerlingen de vrijheid ervaren om een leeractiviteit uit te voeren die aansluit bij hun persoonlijke interesses en waarden, zonder druk van buitenaf. Zodoende is het aan te bevelen om leerlingen zelf echte keuzes te laten maken, zodat zij invloed kunnen uitoefenen op hun leeractiviteiten. Hierbij valt bijvoorbeeld te denken aan de keuze uit een aantal leerdoelen, diverse werkvormen, verschillende verwerkingsvormen of met welke andere leerlingen zij willen samenwerken (Ros et al., 2009). Daarnaast kan de leerkracht het gevoel van autonomie voeden door leerlingen meer inspraak te geven in de vormgeving en inhoud van de les. Welke werkvormen vinden de leerlingen leuk? Welke onderwerpen vinden ze interessant? Op welke manier kan de uitleg verbeterd worden? En op welk vlak hebben leerlingen nog extra oefening nodig? Hiermee kan de docent de leerlingen het gevoel geven dat zij gewaardeerd en gerespecteerd worden (Ibidem).
Het verlangen om gewaardeerd en gerespecteerd te worden is ook nauw verbonden aan de behoefte aan sociale verbondenheid. Bij deze behoefte is er sprake van twee dimensies. Aan de ene kant is het van belang dat leerlingen zich gewaardeerd en gerespecteerd voelen door anderen. Aan de andere kant gaat het om het vermogen van leerlingen om de mensen om hen heen te waarderen en respecteren. In beide opzichten is de band met de medeleerlingen vaak van grotere betekenis dan die met de leerkracht, maar de leerkracht kan het gevoel van sociale verbondenheid wel bevorderen. Hierbij is het cruciaal dat de leerkracht en de leerling elkaar kennen. Werkvormen waarbij er sprake is van interactie tussen de leerkracht en (kleine groepen) leerlingen kunnen daarin een belangrijke rol spelen (Ibidem). Een gevoel van sociale verbondenheid vormt de basis voor het eigen maken van de “classroom values,” wat vervolgens een positieve invloed heeft op de motivatie van leerlingen (Schuit et al., 2011).
Volgens Ryan en Deci (2000a) bestaat er een fundamenteel verschil in de kwaliteit van leren tussen leerlingen die intrinsiek gemotiveerd zijn en leerlingen die extrinsiek gemotiveerd zijn. Om die reden is het belangrijk dat de leerkracht de drie hierboven beschreven basisbehoeften die ten grondslag liggen aan het realiseren van intrinsieke motivatie herkent en versterkt. Daarentegen onderkennen de onderzoekers dat het onderwijs niet enkel en alleen op de intrinsieke motivatie van de leerling is gebaseerd. Bij de kennis en vaardigheden die het Nederlandse onderwijssysteem wil overdragen is intrinsieke motivatie immers niet voor alle leerlingen in alle gevallen vanzelfsprekend. Er dient daarom rekening gehouden te worden met extrinsiek gemotiveerde leerlingen. Sterker nog, volgens Ryan en Deci is de sleutel tot effectief lesgeven gelegen in het stimuleren door de leerkracht van geïdentificeerde/geïntegreerde vormen van extrinsieke motivatie.
Hoe kunnen leraren de motivatie van leerlingen beïnvloeden? Dat was de centrale vraag in een literatuurstudie uit 2011 naar de rol van leraren in het motiveren van leerlingen van het Ruud de Moor Centrum van de Open Universiteit. Wat betreft het lesgedrag van de leerkracht leken vier elementen van invloed te zijn: procesgeoriënteerde instructie, differentiatie, aansluiting bij de leefwereld van leerlingen en samenwerkend leren
(Schuit et al., 2011). Procesgeoriënteerde instructie verwijst naar een “constructivistisch” georiënteerde leertheorie waarbij, in plaats van de kennisoverdracht door de leerkracht, het actieve en zelfregulerende leerproces van de leerling centraal staat. Voorwaarde hiervoor is wel dat de leerkracht een goed beeld heeft van het zelfregulerende vermogen van de leerling, zijn/haar begeleiding daarop aanpast en de ontwikkelingen wat betreft leeropbrengsten goed blijft volgen. Differentiatie is nauw verwant aan procesgeoriënteerde instructie en dient zich te richten op de “zone van naaste ontwikkeling” zoals beschreven door Vygotsky (1978). Verder is het belangrijk dat de leerkracht zich bij het toepassen van niveaudifferentiatie bewust is van het risico van negatieve etikettering. Bij het zoeken naar aanknopingspunten met de leefwereld van leerlingen is het belangrijk dat de leerkracht zich oprecht verdiept in de interesses van leerlingen, maar daarnaast wel een goede balans zoekt tussen huidige interesses van leerlingen en het overdragen van ‘kennis en vaardigheden die het actuele competentieniveau van leerlingen overstijgen’. Tenslotte is het bij samenwerkend leren van belang dat de leerkracht ervoor zorgt dat de begeleiding aansluit bij het samenwerkend vermogen van individuele leerlingen en groepen. Daarbij moet er behalve het vakinhoudelijke onderdeel ook rekening gehouden worden met het ontwikkelen van samenwerkingsvaardigheden (Schuit et al., 2011).
Kort samengevat maakt de zelfdeterminatie theorie van Ryan en Deci onderscheid tussen drie vormen van motivatie: amotivatie, extrinsieke motivatie en intrinsieke motivatie. Daarbij leidt de laatstgenoemde vorm tot de hoogste kwaliteit van leren. De basis voor intrinsieke motivatie wordt gevormd door de behoeften aan competentie, autonomie en sociale verbondenheid. Echter, omdat intrinsieke motivatie binnen het onderwijs lang niet altijd vanzelfsprekend is, zal de leerkracht zich in moeten zetten voor het bevorderen van geïdentificeerde/geïntegreerde vormen van extrinsieke motivatie. De factoren die daaraan bijdragen zijn procesgeoriënteerde instructie, differentiatie, aansluiting bij de leefwereld van leerlingen en samenwerkend leren. Welke rol kan de geschiedenis van de wiskunde hierin spelen?
2.3 Geschiedenis als motivatiewerktuig
Het hoofdstuk van Tzanakis en Arcavi (2000) in History of mathematics education: the ICMI study geeft een goed overzicht van de verschillende manieren waarop de geschiedenis van de wiskunde ingezet kan worden tijdens de wiskundeles. Tzanakis en Arcavi maken daarbij onderscheid tussen het integreren en uitvoeren van de geschiedenis. Integreren kan volgens hen op drie verschillende, maar met elkaar samenhangende, manieren: het leren van geschiedenis door het verstrekken van historische informatie, het leren van wiskundige concepten door het volgen van een door de geschiedenis geïnspireerde lesmethode, of het ontwikkelen van een diepere bewustwording van zowel de wiskunde als de sociale en culturele context waaruit de wiskunde is voortgekomen. Vervolgens presenteren Tzanakis en Arcavi een breed scala aan mogelijkheden waarop de geschiedenis van de wiskunde kan worden uitgevoerd: het geven van historische fragmenten (zoals bijvoorbeeld in Getal & Ruimte), uitvoeren van projecten op basis van historische teksten (zoals het lesmateriaal van Iris van Gulik-‐ Gulikers), onderzoeken van primaire bronnen, invullen van werkbladen, gebruiken van mechanische instrumenten, opvoeren van een toneelstuk, bekijken van videomateriaal (de filmpjes van de HU, HvA en NHL alsmede de BBC documentaires), gebruikmaken van het internet (de website van de Stichting Math4all), activiteiten buiten het klaslokaal en
het benutten van eerder gemaakte fouten, alternatieve opvattingen en veranderingen van perspectief.
Al met al leent de geschiedenis van de wiskunde zich uitstekend voor het gebruik van afwisselende werkvormen. Vanuit motivatieperspectief dient er bij het ontwerpen van die werkvormen vervolgens rekening gehouden te worden met procesgeoriënteerde instructie, differentiatie, aanknopingspunten bij de leefwereld van de leerlingen en samenwerkend leren. De samenhang tussen de geschiedenis van de wiskunde en de vier motivatiefactoren zal hieronder verder worden uitgewerkt.
Bij procesgeoriënteerde instructie verschuift het accent van een meer traditionele, frontale vorm van instructie door de leerkracht naar het zelf kiezen, plannen en organiseren van leeractiviteiten door de leerlingen. Het principe van geleide herontdekking, zoals beschreven door Hans Freudenthal, past heel goed binnen zo’n procesgeoriënteerde benadering. Het uitgangspunt bij geleide herontdekking is dat leerlingen bepaalde wiskundige ontdekkingen die in de loop van de geschiedenis zijn gedaan zelf als het ware opnieuw uitvinden (Freudenthal, 1991). Een voorbeeld hiervan is de opgave over Eratosthenes in Getal & Ruimte, waarbij leerlingen aan de hand van sturende vragen worden gestimuleerd om zelf een schatting te geven van de omtrek van de aarde. Een ander voorbeeld van procesgeoriënteerde instructie is om zonder verdere toelichting kopieën van een kleitablet met Babylonisch cijferschrift uit te delen en leerlingen te vragen wat de symbolen volgens hen zouden kunnen betekenen. In dit opzicht ervaren de leerlingen tevens waar historici en archeologen zich mee bezig houden.
Bij differentiatie gaat het erom dat leerkrachten hun instructie afstemmen op de verschillen in leerstijlen en leervermogens van hun leerlingen. Daarbij zullen goede leerlingen extra uitdaging nodig hebben, terwijl zwakke leerlingen behoefte hebben aan extra hulp of oefening. In dit opzicht biedt de geschiedenis een bijna onuitputtelijk repertoire waaruit leerkrachten inspiratie kunnen halen. Zo kunnen leerlingen die de stelling van Pythagoras goed onder de knie hebben zich bijvoorbeeld verdiepen in het Chinese bamboe probleem, waarbij de lengte van één rechthoekszijde en de lengte van de som van de andere rechthoekszijde en de schuine zijde zijn gegeven. Differentiatie kan ook toegepast worden in wiskundige spellen. De leerkracht kan leerlingen bijvoorbeeld in groepjes opgaven in Romeinse cijfers op laten lossen en ze iedere beurt een keuze geven voor een makkelijke of een moeilijke opgave.
Wat betreft de leefwereld van de leerlingen, biedt de geschiedenis van de wiskunde ook een aantal mogelijke aanknopingspunten. Allereerst kan de geschiedenis van de wiskunde worden ingezet om aansluiting te vinden in multiculturele klassen. Wiskunde wordt vaak gezien als een product van de westerse beschaving, maar de geschiedenis laat zien dat andere culturen ook heel invloedrijk zijn geweest in het ontwikkelen van belangrijke concepten (Joseph, 2011). Waardering voor het culturele erfgoed van deze beschavingen kan daarom aansluiten bij de leefwereld van leerlingen met een niet-‐ westerse afkomst. Bovendien laat de geschiedenis van de wiskunde zien dat er zowel mannelijke als vrouwelijke wiskundigen zijn geweest, iets wat meisjes zou kunnen aanspreken en motiveren voor het vak (Gulikers & Blom, 2001). Daarnaast blijkt uit onderzoek van Hong en Lin-‐Siegler (2011) dat het gebruik van biografieën leerlingen kan helpen om wiskundigen te zien als hardwerkende mensen die veel moeite hebben
moeten doen om vooruitgang te boeken. Veel leerlingen realiseren zich niet dat wiskunde is ontwikkeld door mensen of zij denken dat alleen buitengewoon slimme mensen in de wiskunde kunnen werken. De geschiedenis kan daarom de menselijke kant van wiskundige activiteiten benadrukken, wat het vak toegankelijker kan maken. Bovendien kunnen leerlingen troost ontleven uit het besef dat zij niet de enigen zijn met problemen, zodat ze minder snel ontmoedigd raken door fouten en misverstanden (Ibidem).
Bij samenwerkend leren spelen vijf sleutelbegrippen een cruciale rol: positieve wederzijdse afhankelijkheid, individuele aanspreekbaarheid, directe interactie, sociale vaardigheden en reflecteren op het groepsproces (Ebbens & Ettekoven, 2005). Dat betekent dat leerlingen ervaren dat zij elkaar nodig hebben om de opdracht tot een goed einde te brengen, dat iedereen zich aanspreekbaar voelt op zijn/haar bijdrage alsmede de gemeenschappelijke uitkomst, dat groepsleden elkaar aanmoedigen en ondersteunen, dat leerlingen gestimuleerd worden in het gebruik van interpersoonlijke vaardigheden en dat leerlingen (eventueel onder begeleiding van de leerkracht) bespreken hoe de samenwerking is verlopen. De drie basisstructuren die Ebbens en Ettekoven noemen voor samenwerkend leren zijn check-‐in-‐duo’s, denken-‐delen-‐ uitwisselen en eenvoudige experts. Tzanakis en Arcavi beschrijven in bovengenoemd hoofdstuk talloze mogelijkheden waarop de geschiedenis van de wiskunde toegepast kan worden bij samenwerkend leren. Een concreet voorbeeld in de vorm denken-‐delen-‐ uitwisselen zou kunnen zijn om een kijkvraag te formuleren bij een videofragment, leerlingen te vragen daar tijdens de video zelf antwoord op te geven, dat antwoord daarna te vergelijken met hun buurman/vrouw en de gegeven antwoorden ter afsluiting klassikaal te bespreken.
Uit dit alles blijkt dat de geschiedenis van de wiskunde diverse toepassingen kent voor het bieden van een procesgeoriënteerde instructie, differentiatie, aansluiting bij de leefwereld van leerlingen en samenwerkend leren. Dit biedt positieve vooruitzichten voor het verbeteren van de (extrinsieke) motivatie van leerlingen. Maar meer in het algemeen heeft het inzetten van de geschiedenis van de wiskunde ook de potentie om intrinsieke motivatie te realiseren. Met name omdat het geen verplicht lesonderdeel is, kan de leerkracht de leeractiviteiten rondom de geschiedenis van de wiskunde zo samenstellen dat deze aansluiten bij de persoonlijke interesses en drijfveren van de leerlingen. Maar hoe ziet dat lesmateriaal er dan concreet uit? Hieronder zullen een aantal voorbeelden met betrekking tot het onderwerp meetkunde voor de eerste klas havo/vwo worden gegeven.
3. METHODOLOGIE
Op basis van de probleemstelling en aan de hand van de inzichten uit het theoretisch kader heb ik lesmateriaal over de geschiedenis van de wiskunde samengesteld dat gebruikt kan worden bij het behandelen van het metriek stelsel en berekeningen met het getal π in de eerste klassen havo en vwo. Het materiaal bestaat uit een PowerPoint presentatie, videofragmenten met kijkvragen, vier verschillende werkbladen en een kruiswoordpuzzel, welke als bijlage E t/m J zijn toegevoegd. Tevens heb ik een docentenhandleiding (bijlage D) en uitwerkingen (bijlage K) bijgesloten.
Hieronder volgt een korte toelichting op het gebruik van het lesmateriaal en een tijdsindicatie per onderdeel. Daarna wordt uitgelegd op welke manier het totale lespakket aansluit bij de vier motivatiefactoren procesgeoriënteerde instructie, differentiatie, aansluiting bij de leefwereld van de leerlingen en samenwerkend leren. Daaropvolgend komt het stappenplan dat is gebruikt voor het ontwikkelen van de leerlingenenquête (bijlage L). Dit hoofdstuk eindigt met een korte toelichting op de gekozen methode voor het analyseren van de resultaten.
3.1 Lesopzet
De PowerPoint presentatie dient als leidraad voor het gebruik van het overige lesmateriaal. De dia’s bieden een overzicht van het totale programma alsmede specifieke instructies per onderdeel.
Het eerste onderdeel bestaat uit een aantal videofragmenten met bijbehorende kijkvragen. De fragmenten zijn afkomstig uit de BBC documentaire The story of maths en de kijkvragen zijn opgenomen in de PowerPoint presentatie. Tijdens het bekijken van de videofragmenten beantwoorden de leerlingen de kijkvragen individueel, daarna overleggen zij met hun buurman/vrouw en tenslotte worden de antwoorden klassikaal besproken (volgens het principe denken-‐delen-‐uitwisselen).
Vervolgens mogen de leerlingen zelf groepjes samenstellen. Afhankelijk van het totale aantal leerlingen kan gekozen worden voor groepjes van minimaal twee tot maximaal vier leerlingen. Ieder groepje kiest een vertegenwoordiger. Daarna komen de groepsvertegenwoordigers bij elkaar om de werkbladen onderling te verdelen. De werkbladen moeten gelijkmatig verdeeld worden, omdat de informatie van alle werkbladen nodig is bij het oplossen van de kruiswoordpuzzel. Ieder groepje leest de informatie op het werkblad goed door en maakt daarna de opgaven. Op ieder werkblad zijn een aantal bronnen weergegeven die de leerlingen kunnen raadplegen, maar zij mogen zelf ook naar andere bronnen zoeken.
Aansluitend bereidt ieder groepje een presentatie van 5 à 10 minuten voor waarin de informatie op het werkblad en de antwoorden op de opgaven worden verwerkt. Leerlingen zijn vrij om naar eigen inzicht en creativiteit extra informatie toe te voegen en mogen zelf kiezen voor een verwerkingsvorm (PowerPoint, poster, video, klassikale toelichting, aantekeningen op het bord, etc.)
Na afloop van de presentaties worden er nieuwe groepjes gevormd. In ieder nieuw groepje zitten vier leerlingen: van ieder werkblad één. Samen vullen zij de kruiswoordpuzzel in.
