V- und 8-förmige Koppelkurven der Kurbelschwinge
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Dijksman, E. A. (1987). V- und 8-förmige Koppelkurven der Kurbelschwinge. Forschung im Ingenieurwesen,
53(6), 169-184. https://doi.org/10.1007/BF02558966
DOI:
10.1007/BF02558966
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Gepubliceerd: 01/01/1987
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V- und 8-f'6rmige Koppelkurven der Kurbelschwinge
Evert A. Dijksman*)
Die vorliegende Abhandlung untersucht symmetrische X7-fiirmige und 8-fiirmige Koppelkurven, die wenigstens zwei Wendepunkte enthalten. Dabei werden auch die Sonderfdlle beriicksichtigt. Aufler Hinweisen auf konstruktive Maflnahmen finden sich ausJ~hrliche Berechnungsanleitungen J~r die Gelenkvierecke, die solche Kurven erzeugen. Als besonders praktisch erweist es sich, daft
man in allen Fdllen mit zwei voneinander unabhiingigen Parametern auskommt, welche auch die natiirlichen Vorgaben J~r eine solche Konstruktion sind. Es handelt sich hierbei zum einen um den Winkel 2z, der yon den beiden ndherungsweise geraden Bahnabschnitten eingeschlossen wird, zum anderen um Oto/X, den auf einen ganzen Zyklus bezogenen Kurbelwinkel zwischen den zwei symmetrisch zueinander liegenden Wendepunktslagen. Die besten ( d.h. die i~bertragungsgiin- stigsten ) Gelenkvierecke mit ~7- und 8-fSrmigen Koppelkurven kSnnen aus Diagrammen entnommen werden. Zusdtzlich erleichtern Tabellen das Auffinden besonders guter GeradJ~hrungen. Mit diesen Hilfsmitteln ist es 3~r den Konstrukteur einfach geworden, ein seinen Anforderungen geniigendes Getriebe auszuwdhlen. Die vorgestellten Getriebe sind u.a. sehr gut zum Antrieb eines Malteser- kreuzes geeignet. Weitere Anwendungen findet man in der Richtlinie VDI 2728.
1. Parallellagenentwurf eines Gelenkvierecks zur Erzeugung einer V-f'firmigen Koppelkurve
1.1 G r u n d l a g e n
Die hier untersuchten symmetrischen Koppelkurve n k6n- nen durch zwei prinzipiell verschieden aufgebaute vierglied- rige Getriebe realisiert werden. W/ihlt man fiir die im Gesteil gelagerten Getriebeglieder gleiche L/ingen und gestaltet das Koppe!dreieck als gleichschenkliges Dreieck, so kann man ein Getriebe zusammensetzen, das zur Mittelsenkrechten des
Gestells symmetrisch ist. Das nach dem Satz von Roberts
hierzu /iquivalente Getriebe (bis auf Symmetrie gibt es nur eines) hat dann immer die Eigenschaft, dab Koppel AB, Schwinge BoB und eine weitere Seite des Koppeldreiecks (n/imlich BK), gleiche L/ingenmaBe aufweisen. Da Getriebe dieses zweiten Typs meistens Kurbelschwingen und deshaib leichter anzutre'iben sind, beschr/inken wir uns in diesem Auf- satz auf gleichschenklige (geschr/igt 2-f/brmige) Gelenkvier- ecke.
Die Bestimmung der L'/ingenmaBe der Glieder eines Ge- lenkvierecks fiir ~7-ffrmige Koppelkurven ist am einfachsten
in der Parallellage von Kurbel und Schwinge durchfiihrbar.
Die Konstruktion ist zwar auch mit Hilfe anderer Sonderla- gen m6glich; jedoch ergeben sich meistens schlechtere l~ber- tragungswinkei. Aul3erdem lassen sich gleichwertige Resultate aufeinfachere Art und Weise herleiten, wenn man statt dessen die im folgenden ais hierzu spiegelsymmetrisch bezeichnete Sonderlage betrachtet. Zu einer gegebenen Getriebestellung erh/ilt man diese spiegelsymmetrische Lage, indem die Kurbel in die beziiglich der Gestellgeraden gespiegelte Stellung ge- bracht wird. Eine weitere Symmetrie dieser Positionen resul- tiert daraus, daft die beiden zugeh6rigen Koppelpunkte be- ziiglich der Symmetrieachse der Koppelkurve ebenfalls spie- gelbildlich zueinander liegen.
Die Wahl der Parallellage des Gelenkvierecks als Entwurfs-
lage hat den Vorteil, dab der Wendekreis zu einer Geraden *) Dr. E.A. Dijksman, Dozent fiir Gctriebetechnik an der Technischen Universi-
t~t Eindhoven, Niederlande
Herrn lr. A.TJ.M. Stoats, Dozent f'fir Automatisierung der Fertigung an der Fakultiit des Maschinenwesens der Technischen Universit~t Eindhoven, Niederlande, ist der Autor sehr verbunden fiir das von ihm weiterentwiekelte Computerprogramm, dessen Ergebnisse in diesem Aufsatz benutzt worden sind.
Herrn Dipl.-Math. P. Tot&, irn Fachgebiet Maschinenelemente und Getrie- betechnik der Universit/it der Bundeswehr Hamburg, Bundesrepublik Deutschland, dankt der Autor fiir die von ihm vorgesehlagenen Verbesserun- gen des Textes der vorliegenden Abhandlung,
Schliel31ich dankt der Autor seiner Ehefrau, M. Dijksman-M(Jrg,~rit, fiir
die scbfncn Ausarbeitungen der Zeichnungen.
entartet ~). Ebenso wird die Kreisungspunktkurve als geometri-
scher Ort aller Bahnpunkte mit station/irer Bahnkriimmung zu einer orthogonalen Hyperbelt) durch die beiden Koppel- drehpunkte A und B. Wenn zus/itzlich die Koppei auch noch senkrecht auf Kurbel und Schwinge steht, zerf/illt diese Hyperbel weiter in ihre Asymptoten, n/imlich in die durch die Koppel AB bestimmte Gerade und die Poltangente. Die letztere ist jetzt mit der Wendegeraden identisch.
Die Schnittpunkte von Kreisungspunktkurve und Wende- kreis sind station/ire Wendepunkte. Diese h6heren Wende-
punkte h eil3en auch Undulationspunkte oder Ballsche Punkte,
in denen Bahntangente und Koppelkurve eine vierpunktige Beriihrung aufweisen. Fiir unseren Spezialfall gibt es unend- lich viele,solcher Schnittpunkte, die alle auf der Po!tangenten liegen. Es ist gerade diese Tatsache, die, zur einfachsten Kon- struktion fiihrt, siehe auch Bild 1 bis 6.
Anmerkung: Man kann beweisen, dab in der spiegelsymmetrischen
Lage die Kardanstellung eingenommen wird, wobei ebenfalls unend-
lich viele Undulationspunkte auftreten. Auch sie liegen alle auf dem Wendekreis, dessen Durchmesser dann gerade einen stationfiren Weft
annimmt. Aul3erdem verhalten sich dabei die Kriimmungsradien der
Gangpolbahn und der Rastpolbahn wie 1 : 2.
Koppelpunkte, die sich in einem Undulationspunkt befin- den, durchlaufen ein nahezu geradliniges Bahnstiick der Kop- pelkurve. Da die Koppelkurve symmetrisch ist, erh/ilt man, zwei nahezu geradlinige Bahnteile, die ebenfalls zueinander symmetrisch liegen. Ist eine Kurve mit solchen Eigenschaften gesucht, so wird meistens auch der zwischen den beiden gera- den Bahnabschnitten liegende Winkel 2z vorgegeben sein. Es ist der Zweck dieses Aufsatzes, die Abmessungen eines Ge- lenkvierecks so zu bestimmen, dab die Koppelkurve die ge- wiinschten Eigenschaften erfiillt.
1.2 E n t w u r f d e s G e l e n k v i e r e c k s in d e r P a r a l l e i l a g e (Koppel steht senkrecht auf Kurbei und Schwinge) Man konstruiert das Gelenkviereck auf folgende Art und Weise:
a) Zeichne ein Achsenkreuz QSP ~, wie in Bild 1 dargestellt. b) Berechne den Koppelwinkel )'t mit Hilfe von
1 +cos 2~1 = t a n (z +)q)
wobei z den halben Winkel zwischen den zwei geradlinigen Bahnabschnitten der V-f6rmigen Koppelkurve bezeichnet. J) Die unendlich ferne Gerade, die ebenfalls Tell dieser zirkularen Kurve ist,
bleibt hier auBer Betracht.
X7- und 8-f6rmige Koppelkurven dcr Kurbelschwingr
Koppelkurve
Symmetrie-
I \ "0
Ku A b , , 8 ! S.'~\\
Ku Poltangentep
Bo\X~.~,.~
bc Wendekreis (Zwcig) .Zu Kreisungspunktkurve (Zweig)K, Angelpunktskurve (Zweig) \ K
orthogona/e\ ~ a
F.1
Hyperbel.~
K u = bc = p
Bild 1. V-f6rmige Koppdkurve =nit Ballschem Punkt in der Parallellage der Kurbelschwinge Bi|d 4. Parallellage mit Ballschem Punkt U
9 bc Wendekreis (Zweig) X ~ / ] [
~=_~:-4~
1
'"
Ko Krcisungspunktkurve
(Zweig) ~ x~X
d
I i
b
P.5 ] /,,,,,
Bild 5. XT-f'6rmige Koppelkurve mit Ballschem Punkt in der Parallellage
Bild 2. Parallellage mit Ballschem Punkt U
p=bc~Kui !
K = U I
0 K. A / , ~ , ~, R / / K u
A
~ =,~ B ~
Ku
Id 3 Parallellage
s~o ~
p Poltangente bc WendekreJs (Zweig) K= Kreisuugspunktkurve (Zweig) Bild 6. Parallellage ~..~~
Tabelle 1. Kurbelschwingen mit Ballschem Punkt als Koppelpunkt in der Parallellage sowie in der Kardanlage (V-ffrmige Koppelkurve) 2r 0 ~ 15 ~ 30 ~ 45 ~ 60 ~ 72 ~ 90 ~ 120 ~ 135 ~ 150 ~ 165 ~ 175 ~ 180 ~ 7~ 45 ~ 41007 ' 36057 ' 32~ ' 27033 ' 23~ ' 16~ ' 3~ ' -4~ ' - 1 ~ 4 3 ' --23004 ' -32~ ' - 4 5 ~ a/b 0 0 , 1 1 9 0 5 0 , 2 1 7 2 3 0 , 2 9 8 1 2 0 , 3 6 4 0 2 0 , 4 0 6 9 5 0 , 4 5 6 3 2 0 , 4 9 8 2 8 0 , 4 9 7 3 4 0 , 4 7 4 5 4 0 , 4 0 9 3 2 0,29278 0 d/b ],/2 1 , 3 3 2 8 0 1,27000 1 , 2 2 1 7 0 1 , 1 8 5 1 0 1,16250 1 , 1 3 8 3 0 1,11881 1 , 1 1 9 2 0 1,13030 1,16140 1,22478 ~/2 A--K/b V ~ 1 , 5 0 6 7 4 1 , 5 9 8 4 0 1,68804 1,77334 1,83644 1,91796 1.99658 1 , 9 9 4 6 8 1,95094 1 , 8 4 0 1 0 1,68176 V ~ Bo--Eo/b 0 0 , 0 7 0 2 5 0 , 1 5 1 6 5 0 , 2 4 7 4 2 0 , 3 6 0 0 0 0 , 4 6 3 1 5 0 , 6 4 6 0 6 1,01858 1,24000. 1,48000 1,73580 1,91200 2 (Eo~)/b 0 0 , 0 6 5 4 9 0 , 1 3 1 0 7 0 , 1 9 6 1 5 0 , 2 6 0 6 1 0 , 3 1 1 1 3 0 , 3 8 2 7 9 0 , 4 8 2 3 2 0 , 5 1 4 8 4 0 , 5 2 0 0 4 0,46641 0,33076 0
#j 90 ~ 86o54 , 83o56 , 81o06 , 78028 , 76036 ' 74o16 , 72~ , 72o09 , 73016 , 76030 9 81o18 , 90 ~
/z2 =~u~ . 90 ~ 74o44 ' 63032 ' 55o00 ' 48o28 ' 44024 , 39052 ' 36o09 ' 36022 , 38o17 , 44o10 ' 55033 , 90 ~
0 45 ~ 48~ ' 51057 ' 54~ ' 57~ 59~ ' 61028 , 63~ ' 63~ ' 62017 ' 59026 , 54 ~ 45 ~ h/b 0 0 , 3 1 7 8 8 0 , 5 5 1 0 6 0 , 7 1 9 6 4 0 , 8 3 2 2 8 0 , 8 8 4 4 6 0 , 9 0 3 9 2 0 , 7 8 1 4 2 0 , 6 4 8 9 2 0 , 4 8 2 6 6 0 , 2 4 5 1 2 0,07556 0 p~,/b o 0 , 0 0 0 0 3 0 , 0 0 2 3 9 0 , 0 0 8 6 7 0 , 0 2 2 1 5 0 , 0 4 1 2 2 0 , 0 9 1 2 7 0 , 2 8 3 9 8 0 , 4 8 8 2 0 0,834(~ 1,81040 4,25120 0 p~ffb 0 0 , 0 0 9 3 0 0 , 0 7 0 5 3 0 , 2 1 3 8 8 0 , 4 3 2 4 5 0 , 6 4 0 4 0 0 , 9 6 5 7 0 1.44623 1 , 6 4 1 3 5 1,81850 2~04000 2,46830 0 c) W~ihle als B e z u g s l / i n g e b = B A = B B 0 = B K u n d b e r e c h n e ~t(/b = ~g/b = c o s 2 ~,1 ( Q A = BS e r g i b t s i c h als S o n d e r f a l l a u s ( i e m S a t z v o n Bo- billier). d) D e r G e s t e l l p u n k t B o l~il3t s i c h n u n w e g e n d e r O r t h o g o n a l i - t~it y o n B B o u n d A B m i t Hilfe v o n b u n m i t t e l b a r f e s t l e g e n . e) D e n K u r b e l d r e h p u n k t A o erh~ilt m a n a l s S c h n i t t p u n k t d e r G e r a d e n Q B o u n d d e r S e n k r e c h t e n i n A a u f d i e K o p p e l . f) D e r K o p p e l p u n k t K (U1 in d e r E n t w u r f s l a g e ) ist d e r S c h n i t t p u n k t d e s K r e i s e s u m B y o r e D u r c h m e s s e r 2 b m i t d e r A c h s e S W ~ F i i h r t m a n d i e b e s c h r i e b e n e K o n s t r u k t i o n fiir 2 z = 9 0 ~ d u r c h , s o e r g i b t s i e h d i e in Bild I d a r g e s t e l l t e K o p p e l k u r v e . I n j e d e m Fall g e h t d i e S y m m e t r i e a c h s e d e r K o p p e l k u r v e d u r c h B o u n d schlieBt e i n e n W i n k e l v o n 9 0 ~ m i t d e r G e s t e l l g e r a d e n ein. E s ist a l s o ,): A o B o E o = 9 0 ~ E 0 ist d a b e i d e r S c h n i t t p u n k t d e r s p i e g e l s y m m e t r i s c h z u e i n a n - d e r l i e g e n d e n B a h n t a n g e n t e n in d e n z w e i U n d u l a t i o n s p u n k - t e n U d e r V - f 6 r m i g e n K o p p e l k u r v e . W / i h l t m a n A 0 u n d B0 a u f d e r s e l b e n Seite d e r K o p p e l A B , s o erh';ilt m a n i m m e r e i n e n m i n i m a l e n O b e r t r a g u n g s w i n k e l #m~., d e r g r 6 B e r a l s 36 ~ ist, vgl. T a b e l l e 1. D i e A b m e s s u n g e n d e s G e l e n k v i e r e c k s l a s s e n s i c h a u c h r e c h n e r i s c h m i t t e l s d e r f o l g e n d e n B e z i e h u n g e n b e s t i m m e n : 1 + c o s 271 = t a n (~ + ' / , )
(1)
Bei g e g e b e n e m W i n k e l 2 z fiihrt d i e s a u f e i n P o l y n o m d r i t t e n G r a d e s in t a n 71- a c o s 2 7 t b - 1 + c o s 2 71 (2) d 1 b = s i n ( z + 7 0 (3) B 0 E 0 1 - s i n 2 7 1 b s i n I~1 (4)otJ
E b l = c o s 271 t a n r (5) D e r m i n i m a l e O b e r t r a g u n g s w i n k e l / t . , i , e r g i b t s i c h in d e r in- neren S t e g l a g e a u s 2 s i n (~ + 71) sin (/t.,i./2) = 1 - c o s 2 y I c o s (z + 71) (6) #1 =/12 =/1ml. = 30, 35~ a I % P ! / " 2 F.7aeva.geote
Bild 7. V-ffrmlge Koppelkurve mit zwei
Undulalionspunkten
(U~ undU~) y~ = 79,03 ~ a/b = 0,7032 h/b ~ 1.6484 % =21,8 ~ d/b= 1,2269 pr;/b=0,43.19 2~= +90 ~ BoEo/b =0,1279 -pxffb=O,0270 EoUa/b=0,1511 N u r w e n n A 0 u n d B0 a u f v e r s c h i e d e n e n S e i t e n d e r K o p p e l liegen, ist d i e / i u l 3 e r e S t e g l a g e e n t s c h e i d e n d , s i e h e h i e r z u Bild 5 u n d 6. I n T a b e l l e 1 s i n d d i e e r w / i h n t e n A b m e s s u n g e n d e r G e l e n k - v i e r e c k e m i t ~ 7 - f 6 r m i g e n K o p p e l k u r v e n fiir e i n i g e W e r t e y o n 2 z b e r e c h n e t . A n s c h a u l i c h e B e i s p i e l e z e i g e n Bild 1 bis 4. A u - Ber d e n U b e r t r a g u n g s w i n k e l n in d e n b e i d e n S t e g l a g e n s i n d a u c h d i e r e l a t i v e n K r i i m m u n g s r a d i e n p ~ b in b e i d e n L a g e n a n g e g e b e n . D i e T a b e l l e e n t h / i l t s c h l i e B l i c h a u c h n o c h d i e r e l a - tive H 6 h e 2) h/b d e r K o p p e l k u r v e u n d d e n K u r b e l w i n k e l 0 in d e r E n t w u r f s - o d e r U n d u l a t i o n s l a g e , d e n m a n m i t f o l g e n - d e r e i n f a c h e n F o r m e l b e r e c h n e n k a n n :
0=T+yl
(7)
W i l l m a n m i t d e m k o n s t r u i e r t e n G e t r i e b e e i n M a l t e s e r - k r e u z a n t r e i b e n , s o spielt d e r K u r b e l w i n k e l 0 - i m A b - s c h n i t t 2 w i r d b e q u e m l i c h k e i t s h a l b e r re_it s e i n e m S u p p l e m e n t c % = ~ - 0 g e r e c h n e t - e i n e w i c h t i g e Rolle. Bei d e r A n w e n - d u n g e i n e s i n n e r e n M a l t e s e r k r e u z e s erh/ilt m a n die B e z i e h u n gtdtr=(=/0)-I
(8)
w o b e i ts d i e S c h a l t z e i t u n d t r d i e R a s t z e i t b e z e i c h n e n . D i e P a r a i l e l l a g e u n d a n d e r e S o n d e r l a g e n , z.B. d i e K a r d a n - l a g e u n d d i e h i e r n i c h t e r w / i h n t e , , g e n e r e l l e z y k l o i d i s c h e L a g e " [ 1 0 ] , e r g e b e n g e o m e t r i s c h e i n f a c h e L 6 s u n g e n . D i e V e r w e n - d u n g d e s B a l l s c h e n P u n k t e s fiihrt d a b e i z u r e c h t l a n g e n G e - z) Die H6he h der Koppelkurve ist der Abstand zwischen den Koppelpunktenin den b.eiden Steglagen der Kurbel.
R7- und 8-f6rmige Koppelkurven der Kurbelschwinge radfiihrungsabschnitten der S7-f6rmigen Koppelkurve. Eine weitere Verbesserung ist aber doch noch m6glich, wenn nicht nach geometrischen Vereinfachungen gesucht wird, sondern eine Optimierung des minimalen Obertragungswinkels er- folgt, vgl. Tabelle 5 und 6. Dies wird im Abschnitt 2 ffir einen allgemeineren Koppelkurventyp durchgeffihrt, wobei die Ballschen Punkte jedoch wieder als Spezialf'~ille auftreten.
.2. VeraHgemeinter Entwurf
von iibertragungsgiinstigsten 2-Getrieben mit V- bzw. 8-~rmiger Koppelkurve
2.1 K o n s t r u k t i o n 8 - f 6 r m i g e r ( s y m m e t r i s c h e r ) K o p p e l k u r v e n m i t z w e i a n n / i h e r n d g e r a d l i n i g e n B a h n s t f i c k e n
In diesem Abschnitt werden ausschlieglich iibertragungs-
giinstigste Gelenkvierecke behandelt. Bekanntlich treten beim
Gelenkviereck die Extremwerte/~1 und/~2 des Obertragungs- winkels in den beiden Steglagen auf, Bild 8a. In der Strecklage sei dieser l~bertragungswinkel mit/~1 bezeichnet, in der Deck- lage mit /~2. Das fibertragungsgfinstigste Gelenkviereck ist nun dadurch gekennzeichnet, dab die beiden Extremwerte/~ und #2 gleich grog sind. Am Ende des vorigen Abschnitts wurde schon auf Tabelle 5 und 6 hingewiesen, ffir deren Ge- triebe/a~ =/~2 bereits gilt. Dariiber hinaus wird in diesem Teil aber auch noch eine Verallgemeinerung vorgenommen, indem die beiden Ballschen Punkte der Koppelkurve durch gew6hn- liche Wendepunkte ersetzt werden. Koppelkurven mit Ball- schen Punkten treten nun nur als Sondert~lle auf.
Tabdle 2 2~ n k 2T' 80 ~ 9 2 40 ~ 108 ~ 10 3 36 ~ 135 ~ 8 3 45 ~ 144 ~ 5 2 72 ~ 150 ~ 12 5 30 ~ 160 ~ 9 4 40 ~
Vorteilhaft an einer solchen Voraussetzung ist, dab dann auch neue Sonderf~ille m6glich werden; z.B. sind Koppelkur- yen realisierbar die den 13bergang zwischen ST-f6rmigen in 8-f6rmige Kurven darstellen. Wie leicht einzusehen ist, haben solche Koppelkurven eine Spitze, vgl. Tabelle 3. Auf Grund der Verallgemeinerung wird noch ein dritter Sonderfall er- m6glicht, bei dem sich die beiden Wendetangenten im Dop- pelpunkt B o an die Koppelkurve anschmiegen, vgl. Tabelle 4. Dabei schneiden sich die Wendetangenten im Gestellpunkt B o der Schwinge des Gelenkvierecks. Schlieglich erm6glicht die Verallgemeinerung noch das Entwerfen von Gelenkvierek- ken mit 2z = 180 ~ Koppelkurven dfirfen n/imlich eine Gerade in h6chstens sechs Punkten schneiden, so dab zwei Ballsche Punkte auf einer Geraden nicht m6glich sind (siehe dazu auch die Diagramme E und F).
Die in diesem Abschnitt gemachte Verallgemeinerung hat noch einen zweiten Vorteil, n/imlich dab jetzt nicht nur S7- f6rmige, sondern auch 8-f6rmige Koppelkurven berficksich- tigt werden k6nnen. Insbesondere ist dies bei der Anwendung auf das Malteserkreuzgetriebe yon groger Bedeutung. So ist es bei der Anwendung V-f6rmiger Koppelkurven oft von Nachteil, dab die auf die Kurbelwinkeldrehung bezogene Zeit zum Zuriicklegen des fiul3eren Weges zwischen zwei Undula- tionspunkten ziemlich grog ist. Beim koppelkurvengesteuer- ten Antrieb eines inneren Malteserkreuzes ist die Rast im
Tabelle 3. ~bertragungsgilnstigste I~lbergangsgetriebe mit einer Spitze in der Koppelkurve
m
x # ~o/~ #1 =/~2 = / ~ i . 7=90* BoEo/b EoKw/b h/b
-(~,,d2) 3 0,121947 11,8180 84,0910 --0,04109 --0,20256 1,95761 4 0,184958 24,5269 77,7366 -0,05239 --0,23828 1,81953 5 0,223536 34,4795 72,7603 --0,05439 --0,24160 1,64866 6 0,249176 42,1752 68,9124 --0,05362 -0,23288 1,48219 7 0,267847 48,1380 65,9310 -0,05156 -0,22160 1,33468 8 0,281681 52,8842 63,5579 --0,04925 --0,20875 1,20686 9 0,292582 56,7060 61,6470 -0,04680 - 0,19660 1,09787 10 0,301403 59,8386 60,0807 --0,04440 --0,18537 1,00488 I1 0,308528 62,4583 58,7709 --0,04218 --0,17473 0,92479 12 0,314491 64,6717 57,6641 --0,04011 -0,16502 0,85561 x# %/n /h =#2 =/Lm,. y =/a...,./2 B o E o / b EoK./b h/b 3 0,401473 24,2287 12,1144 0 , 5 7 9 6 1 0 , 9 2 1 0 7 1,82383 4 0,449404 33,8467 16,9234 0 , 3 8 8 5 9 0 , 7 4 4 3 3 1,66106 5 0,479158 41,3786 20,6893 0 , 2 8 3 8 8 0 , 6 2 2 0 2 1,50072 6 0,499790 47,3402 23,6701 0 , 2 1 9 3 3 0 , 5 2 9 6 4 1,35529 7 0,515181 52,1295 26,0647 0 , 1 7 6 5 4 0 , 4 5 7 4 5 1,22776 8 0,527037 56,0215 28,0107 0 , 1 4 6 5 2 0 , 4 0 0 5 7 1,11776 9 0,536475 59,2316 29,6158 0 , 1 2 4 5 6 0 , 3 5 4 9 6 1,02314 10 0,544110 61,9127 30,9563 0 , 1 0 7 9 2 0 , 3 1 7 9 8 0,94163 11 0,550644 64,1905 32,0953 0 , 0 9 5 0 2 0 , 2 8 7 0 0 0,87076 12 0,555957 66,1306 33,0653 0 , 0 8 4 6 7 0 , 2 6 1 5 6 0,80931
Verhfiltnis zur Bewegungs- oder Schaltzeit dadurch oft zu kurz. Bei n = 3 Schlitzen (d.h. 2 z = 1 2 0 ~ ist z.B. tr/t~=0,54,
w/ihrend bei n = 12 (d.h. 2z = 3 0 ~ t,/t s =0,41 ist.
Leider kann ein solches Zeitverh/iltnis auch kaum veriin- dert werden. (Es hilft offenbar nur wenig [4], wenn man unter Beibehaltung des Ballschen Punktes eine allgemeine Gestalt der Kreisungspunktkurve zugrundelegt !) Aus diesen Grfinden sei im folgenden nicht mehr eine rierpunktige, sondern nur noch eine dreipunktige Berfihrung gefordert; als Folge sind nun nicht nur ST-f6rmige sondern auch 8-ffrmige Koppelkur- ven zugelassen. Man gewinnt dadurch eine gr6gere Freiheit, die Schaltzeit zu w/ihlen und damit m6glicherweise auch zu verkleinern. Die Rastdauer vergr6gert sich natfirlich entspre- chend.
Wie schon erwfihnt, erscheinen die L6sungen mit vierpunk- tiger Berfihrung (wie z.B. in Bild 7 dargestellt) als SonderFfille der Getriebe mit nur gew6hnlichen Wendetangenten, vgl. Bild 9 bis 11. Die erworbene Entwurfsfreiheit kann man fiber- dies praktisch ausnutzen, um eine Verbesserung des minima- len f0bertragungswinkels zu erreichen. Dies geschieht am be- sten durch eine beiderseitige Abstimmung der Extremwerte it I u n d / ~ 2 , die in den Steglagen des Getriebes auftreten. Die erworbene Freiheit wird also durch die einschrfinkende Be- dingung/~1 =/~2 wieder aufgehoben.
Die zugeh6rige Konstruktion verlfiuft wie folgt, siehe auch Bild 8a:
a) Mit der Gestell/inge d = AoB o als Bezugsgr6ge w/ihle man
a/d < (1 -- sin/~i,)/cos I/rain-
b) AIs Entwurfslage kann man nun unabh/ingig hiervon den Kurbelwinkel ~o = "~ AAoBo w/ihlen, der mit dem halben Bewegungswinkel iibereinstimmen wird. (Im Beispiel von Bild 8a wurde ffir % der Winkel 60 ~ angenommen, denn der Drehtisch soil in einem Drittel der Zykluszeit geschal- tet werden.) Damit ist A festgelegt.
c) W~hle den Drehpunkt B auf der Mittelsenkrechten yon ABo so, dab #1 = #2 gilt (fibertragungsgfinstigstes Gelenk- viereck !).
d) Bestimme den Momentanpol P a l s Schnittpunkt yon AA o und BBo.
Tabelle 4. Zwei Wendetangenten im Doppelpunkt der 8-f6rmigen, symmetrischen Koppelkurven, erzeugt yon iibertragungsgfinstigsten 2-Getrieben (Kw = Bw = Bo)
n/r Oto/n #1 = I.~l. = I~z 7 a/b d/b Bo-~Eo/b EoK./b h/b
3 1/6 8,2132 74,4986 0,9258 1,0690 0 0 2,2792 4 1/4 19,4712 65,9052 0,8165 1,1547 0 0 2,1574 5 3/10 29,1072 60,4504 0,7166 1,2192 0 0 1,9538 6 I/3 36,8699 56,7891 0,6325 1,2649 0 0 1,7512 7 5/14 43,0895 54,2366 0,5629 1,2974 0 0 1,5715 8 3/8 48,1180 52,4010 0,5055 1,3208 0 0 1,4178 9 7/18 52,2366 51,0452 0,4577 1,3381 O 0 1,2873 10 2/5 55,6559 50,0200 0,4176 1,3512 O 0 1,1765 11 9/22 58,5315 49,2287 0,3835 1,3612 0 0 1,0818 12 5/12 60,9784 48,6066 0,35~14 1,3691 0 0 1,0003
TabeUe 5. I]bertragungsgiinstigste Kurbelschwingen mit zwei Ballschen Punkten in der, ~7-ffirmigen Koppelkurve
2 T 15 ~ 30, 45 ~ 60 ~ 72~ 90 ~ 105 ~ 120" 135 ~ 150" 165 ~ 175 ~ a/b 0,1337 0,2675 0,3946 0,5109 0,5944 0,7032 0,7792 0,8428 0,8954 0,9384 0,9728 0,9917 d/b 1,4078 1,3887 1,3580 1,3187 1,2832 1,2269 1,1801 1,1355 1,0945 1,0580 1,0264 1,0498 ),~ +52,23 ~ +58,90' +64,94 ~ +70,31 ~ +74,12 ~ +79,03 ~ +82,39 ~ +85,12 ~ +87,24 ~ +88,76 ~ +89,68 ~ t 89,96 ~ /.~. 79,14 ~ 68,19 ~ 57,58 ~ 47,64 ~ 40,28 ~ 30,35 ~ 23,13 ~ 16.83 ~ 11,24 ~ 6,85 ~ 3,05 ~ 0,94 ~ BoEo/b 0,0538 0,0890 0,1110 0,1235 0,1281 0,1279 0,1220 0,1109 0,0945 0,0717 0,0411 0,0150 EoUl/b 0,0568 0,0975 0,1248 0,1416 0,1489 0,1511 0,1457 0,1338 0,1149 0,0877 0,0503 0,0184 e% 41,16 ~ 37,25 ~ 33,34 ~ 29,47 ~ 26,39 ~ 21,80 ~ 18,01 ~ . 14,26 ~ 10,57 ~ 6,94 ~ 3,40" 1,12' h/b 0,3751 0,7344 1,0493 1,3063 1,4687 1,6484 1,7508 1,8227 1,8749 1,9168 1,9563 1,9846 px,/b 0,0076 0,0477 0,1232 0,2215 0,3064 0,4319 0,5287 0,6179 03018 0,7863 0,8799 0,9559 pK2/b 0,0002 0,0015 0,0046 0,0097 0,0154 0,0270 0,0397 0,0558 0,0756 0,1002 0,1306 0,1543
Tabelle 6. Ubertragungsgiinstigste Kurbelschwingen mit zwei Ballschen Punkten in der V-fiirmigen Koppelkurve "
2 ~ 15 ~ 30, 45 ~ 60 ~ 72 ~ 90, 105 ~ 120" 135 ~ 150 ~ 165 ~ 175* a/b 0,1251 0,2337 0,3210 0,3862 0,4236 0,4582 0,4692 0,4643 0,4419 0,3962 0,3098 0,1943 d/b 1,4086 1,3947 1,3772 1,3604 1,3492 1,3379 1,3340 1,3357 1,3433 1,3575 1,3798 1,4007 71 + 37,27 ~ +29,16 ~ +20,83 ~ +12,42 ~ +5,76 ~ - 3 , 9 7 ~ -11,77 ~ -19,22 ~ - 26,30' -32,98 ~ -39,24 ~ -43,15 ~ /a..,. 79,84 ~ 70,97 ~ 63,75 ~ 58,30" 55,13 ~ 52,18 ~ 51,24 ~ 51,66 ~ 53,57 ~ 57,45 ~ 64,68 ~ 74,19~ BoEo/b 0,0795 0,1915 0,3387 0,5173 0,6770 0,9316 1,1466 1,3551 1,5509 1,7287 1,8832 1,9677 EoUi/b 0,0734 0,1586 0,2453 0,3228 0,3739 0,4293 0,4561 0,4567 0,4564 0,4225 0,3442 0,2250 1 8 0 " - ~ o 48,58 ~ 51,66 ~ 54,07 ~ 55,82 ~ 56,85 ~ 57,98 ~ 58,70 ~ 59,33 ~ 59,92 ~ 60,48 ~ 60,95 ~ 60,98 ~ h/b 0,3507 0,6361 0,8284 0,9205 0,9281 0,8506 0,7271 0,5710 0,4007 0,2333 0,0878 0,0177 px,/b 0,0003 0,0029 0,0111 0,0287 0,0521 0,1078 0,1798 0,2871 0,4541 0,7450 1,4150 3,0960 pK2/b 0,0104 0,0858 0,2690 0,5454 0,7981 1,1719 1,4534 1,7110 1,9743 2,3183 3,0140 4,7130
e) Der Satz von Bobillier liefert die Polbahntangente p ver- m6ge
pPBo = ~ AoPQ,
wobei Q der Schnittpunkt von AB und AoB o ist.
0 Aus der Euler-Savary-Formel p~2 = ~ o . B ~ w I/iBt sich B,, als ein Punkt des Wendekreises ermitteln. Dieser ist eindeutig bestimmt, da er die Poltangente in P ber/ihrt. g) Da ffir symmetrische Koppelkurven BA = BK gilt, erh/ilt
man den Koppelpunkt K,, als Schnittpunkt eines Kreises vom Durchmesser 2 BA um B mit dem Wendekreis. D e r
in der N/ihe yon B o gelegene Punkt K erzeugt dann eine 8-f6rmige, symmetrische Koppelkurve mit zwei Wende- punkten. Die Symmetrieachse geht durch Bo und schlieBt dabei einen Winkel yon 90~ mit dem Gestell ein. Die Wendetangente in K = Kw steht senkrecht auf PK; damit ergibt sich der Schaltwinkel 2z zwischen den zwei spie- gelsymmetrischen Wendetangenten.
h) Wiederhole diese Konstruktion so lange, bis 2z den ge- w/inschten Wert erreicht hat.
Obwohl f/Jr 23 jeder Wert zwischen 0 ~ und 180 ~ m6glich ist, sind zum Antrieb eines Malteserkreuzes nat/irlich besonders diejenigen Werte interessant, die zu ganzzahligen Schlitzzah- len n auf dem Drehtisch fiihren ( 2 z = 360~ Wenn es fiber- dies zugelassen ist [11], die Schlitze fiber mehrere Umdrehun- gen k des Kreuzes zu verteilen, k6nnen auch gr613ere Winkel- werte 2z genutzt werden, wie z.B. 2 z = 8 0 ~ 108 ~ 135 ~ 144 ~ 150 ~ und 160 ~ siehe auch Tabelle 2 rnit Werten, die sich auf
die Formel 2z=360k/n stiitzen. Der Winkel 23'=360/n ist dabei der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schlit- zen des Kreuzes und im allgemeinen ungleich dem Winkel 23 zwischen den beiden geradlinigen Bahnstficken der K o p - pelkurve. Die Abmessungen der Gelenkvierecke, die diese Werte 2z erzeugen, k6nnen Diagramm C und D entnommen werden, wobei zum einen der minimale Obertragungswinkel #,,~,, zum anderen der Koppelwinkel Y als Ordinate und der Kurbelwinkel ct 0 der Wendepunktslage als Abszisse dient.
Beachtet man den gesamten Verlauf der 8-f6rmigen Bahnen in bezug auf den Drehtisch, so kann es zweckm/iBig sein, eine sogenannte ,Unterschneidung' des Kreuzes zu vermeiden. Eine solche Unterschneidung wird sicher nicht auftreten, wenn der Koppelpunkt sich in der antriebslosen Steglage nur im inneren Tell des Kreuzes befindet. Das heiBt, es ist zweck- m/iBig EoK., < EoK w -rRone zu w/ihlen, wobei rxone den Radius der Antriebsrolle bezeichnet. Fiir ungeradzahlige Schlitzzah- len n (wobei iibrigens k = 1 vorausgesetzt worden ist) kann aber trotzdem dieser Grenzwert wieder iiberschritten werden, wie auch in Bild 8b gezeigt wird.
2.2 I J b e r t r a g u n g s g i i n s t i g s t e G e l e n k v i e r e c k e m i t f r e i e r W a h l f/ir S c h a l t w i n k e l 2 r u n d K u r b e l ( s c h a l t ) w i n k e l 2c% bzw. 2 n - 2 a o Die rechnerische Ermittlung der Abmessungen eines ge- eigneten geschr/igt-2-f6rmigen Gelenkviereckes ist einfach durchzuffihren, wenn die Formeln zur Verfiigung stehen, mit
~7- u n d 8-f6rmige Koppelkurven der Kurbelschwinge ~metrieachse
8-f6rmigen
~pelkurve ngente in K w W W ~ f W ~ B ~ q ~ l vBild 8a. Entwurf des iibertragungsgiinstigsten Vorschaltgetriebes
Bild 8b. lnner~ Ma|teserkreuz, das mit
n=5;
F.8
denen gegebene Werte 2 z u n d 20t o in den gesuchten m i n i m a - len Obertragunswinkel /~m~. bzw. in den ebenfaUs gesuchten
Koppelwinkel ),= ~ B A K umgerechnet werden k6nnen.
~)bertragungsgiinstige Kurbelschwingen von geschr~gt-2-f6r- migem Typ sind n/imlich wegen der optimierenden lJbertra- gungsbedingung /~1=/~2 u n m i t t e l b a r bestimmt durch den Koppelwinkel u n d den m i n i m a l e n l~lbertragungswinkel: d + a = 2b cos (/~1/2)
d - a = 2 b sin (U2/2) (9)
oder
a/b = cos ( / ~ i ~ / 2 ) - sin (/~mi./2)
d/b = cos ~m~J2) + sin (Pm~J2) (10)
Fiir eine beliebige Lage des Gelenkvierecks gilt auBerdem
c t + e + # + f l = 2 r ~ k ( k = 0 o d e r 1) (11)
mit
Hilfe der Koppelkurve einer Kurbelschwinge angetrieben wlrd
=o/n = 1/3
c t = ~ A A o B o , e = , ) : B A A o, # = 4 : BoBA und
fl = ~ AoBoB.
Die Projektion des Vierecks AoABB o auf das Gestell bzw. die Gestellnormale fiihrt zu den Beziehungen
(a/b) cos c t - cos (ct + e) + cos fl = d/b
(12)
(a/b) sin ~ - sin (~ + e) - sin fl = 0
0 b e r d i e s liefert der Kosinussatz, angewendet auf das Dreieck AAoBo,
4 sin 2 (/~/2) = (a/b) 2 + (d/b) 2 - 2(a/b)(d/b) cos ~ (I 3 a)
oder nach Einsetzen yon G[. (10)
cos p = c o s ct cos/~mi. (13b)
Fiir gleichschenklige Gelenkvierecke ist es weiterhin m6glich, die Gleichungen
2T = 360~ = 51'43~ ) ~ P 2~=90~ P P P " , . = # , = P . - 4 3 ~
l " " = ' q = # ' = 3 " : I ~ ~
alb
=0,5564 / / /\ X = 24,9 ~ d/b = 1,282 a/b = 0,7086/
l\\
a/b= 1,227
' S y m m e -A
b
\
Xr r ...'" . F 9 ~ ~ . . . ~ : Koppelkurvo B i l d 9. I ~ b e r t r a g u n g s g f i n s t i g s t e s G e l e n k v i e r e c k m i t s y m m c t r i s c h e r , 8- F . I Of6rmiger Koppelkurve und einem Schaltwinkel von 2T = 360~ zwischen den beiden Wendetangenten
2 r = 120 ~ Symme trieachse I
ls = #~ =/~z = 28,73 ~ [
. . . P P ', P Koppelkurve
BO F,11
Bild 11', V-f'armige Koppelkurve mit zwei Wendepunkten K . : 2-Ge- triebe mit symmetrischer Koppelkurve
/ \
/.4--Symmetrische Koppelkurve \
/ mit einer Spitze in B o
/ A \
I ~ -
\ \
t I \ \ \ \ #~ =/z= = / z ~ . = 180 ~ - 27 = 24,52? = B ~ J F.13 =o = 33,2924 ~ 2'~ = 90 ~Bild 13. IDbergangsgetriebe: IDbergang zwischen V- and 8-ffrmigen Koppelkurven
Bild 10. I~bertragungsgfinstigstes Gelenkviereck mit symmetrischer, 8- f'ormiger Koppelkurve und mit orthogonalen Wendetangemen
/~2 =P~ =It-i. = 180~ = 11,8180~ 9 % = 21,9505 ~ 2"r= 120 ~
//
\\
/ ",, / / ~ IX --- EO \\ \,\ \ \ (Spitze) X \ / \ .F ,
F.12 "~ iBild 12. 1Dbergangsgetriebe: IDbergang zwischen V- und 8-Rirmigen Koppelkurven
//
. " ~ \ / ",. "4-._ , z ~ K = 9 \\\ ~ Kw #J = P2 =.u.,J. = 180 ~ - 2 y = 34,4?95 ~ % = 40,2364 ~ 9 (~p 2 T = 7 2 ~ 8 F.14BiN 14. 1Dbergangsgetriebe: 1Dbergang zwischen V- und 8-f6rmigen Koppelkurven
X7- und 8-f6rmige Koppelkurven der Kurbelschwinge F.15 8 Bild 15. I D b e r g a n g s g e t r i e b e : I D b e r g a n g z w i - s c h e n V - u n d 8 - t ' 6 r m J g e n K o p p e l k u r v e n /zi = / ~ = / ~ i . = 1 8 0 ~ ~ =o = 44,8517 ~ 2 3 = 6 0 * F.16 a Bild 16. l ~ b e r g a n g s g e t r i e b e : I D b e r g a n g z w i - s c h e n V - a n d 8 - f ' 6 r m i g e n K o p p e l k u r v e n /~ = #2 = / ~ . = 1 8 1 7 - 2 y = 52,884- 9* =o = 50, 70260 23 = 4 5 ~ . . . . .
-
~
(Spitze)
F.17 B Bild 17. I D b e r g a n g s g e t r i e b e : ~ b e r g a n g z w i - s c h e n V - und 8 - f ' 6 r m i g e n K o p p e l k u r v e n pi =/t2 ~ / ~ t . = 1800 -- 27 = 59, 83860 ~o = 54, 2526o 2 3 = 3 6 ~ b)/ I ~ " ~
- - - - - ~ " ~ ~'.~ ( Ki i /
\ \ ~
Wendetangente t K,"
o
J ' \
- ~ L f "
i ~ ~/./~ ~19o
-'~o . . .\
. ~ - ' - - - ) "
. . . ~ q . . . 1 ~ 7 ~ - - ',%
V >
/ /
80
',,
. t "
,,,',
/ 1 ~
t .... , - ~ . ~ / I .
K /
F . 1 8 Bild 1 8 a . I ~ b e r g a n g s g e t r i e b e : ~ b e r g a n g z w i s c h e n V - und 8 - ~ r m i g e n K o p p e l k u r v e n /~1 = # 2 = / ~ . = 180 ~ 2"e =64,6717 ~ a o = 56,6084 ~ 2-c =_ 30 o / ~ . = / q =/a 2 = 8,2126 ~ ~, = 74,5 ~ = 0 = 9 0 * - 3 = 3 0 ~ 2 r = 1 2 0 ~ Bild 1 8 b . Z w e i W e n d e p u n k t e i m D o p p e l p u n k t d e r K o p p e l k u r v e E u l e r - S a v a r y : => ~ Bo A P = 9 0 ~ p-~z = ~ o BB " l ( 900 - ~o) + (7 - 3) = ~, " ~ - = ~ P B = B B o ==-a o = 90 ~ B . = Bo Jsymmetrische
~
. . . ~~Koppelkutve
[
~
A~ \\~.~ Wendetangentr
F.19 B Bild 19. Z w e i W e n d e p u n k t e i m D o p p e i p u n k t d e r K o p p e i k u r v e / ~ , . =/=1 = / 4 z = 1 9 , 4 7 ~ 7=65,90* ~o = 9 0 ~ - - z = 4 5 ~ 2 z = 9 0 ~f .~ . . . . ~ ~ ~/symmetrische
Koppelkurve
~-'~ -,,
" ~ ' A ~
tangen
te
, - ,b
\ \
"-,L
v . ~ B BUd 20. Z w e i W e n d e p u n k t e i m D o p p e l p u n k t d e r K o p p e l k u r v e /~,0 =/zj = # 2 =29,106~ 7 = 60, 44o =o = 9 0 ~ ~ = 5 4 ~ 2 z = T r 176 F o r s c h u n g i m I n g e n i e u r w e s e n B d . 5 3 ( 1 9 8 7 ) N r . 6tan [fl + (/t/2)] bzw.
(d/b)- (a/b) cos o~
-(a/b) s i n s mit O_<fl+(U/2)<n (14)
[(d/b)- (a/b) cos ct] + (a/b) sin ct tan (/t/2)
tan fl = [(d/b)-(a/b) cos ~t] tan (/t/2) -(a/b) sin c< (15)
geometrisch-analytisch herzuleiten, welche m a n aber auch aus GI. (11) u n d (12) b e k o m m e n kann.
Nach Bild 1 enthhlt die Symmetrieachse der Koppelkurve den Gestellpunkt B 0 u n d schliel3t mit der Gestellnormalen den Koppelwinkel ~, ein. Bildet die Tangente tK der Koppel- kurve einen Winkel z mit der Symmetrieachse, so folgt u n m i t - telbar
9: K P B = f l - ~ - y (16)
Der M o m e n t a n p o l P ist dabei Schnittpunkt der beiden Gera- den AoA u n d BoB.
Auf ~ihnliche Weise erhhlt m a n
..~ symmetrische Koppelkurve [ " " ~'o\ ~ k .Wondetangento
I A ; \
\\ ~ - . "1 ~ " ' . "~//_/ F 2 1 BBild 21. Zwel Wendelmnkte im Doppe|ptmkt tier Koopelkurve ]'/rain = ~11 = ] 1 2 = 36,87~
y = 56,79 ~
~ 0 = 9 0 ~ = 6 0 ~
2z=60 o
9: K P A = n - ( a + f l ) + 9: KPB (17)
Weiterhin fiihrt die A n w e n d u n g des Sinussatzes auf die Dreiecke K P B u n d K P A zu den Beziehungen
P K sin ~ + 2 y ) b sin 9: K P B und m P K sin ( e - y ) 2bcosy sin 9 : K P A
welche sich mit G1. (16) u n d (17)zusammenfassen lassen zu 2 cos~, sin ( e - ) , ) sin ( a + r + ? )
s i n ~ + 2 7 ) sin (/~- z - y )
Es handelt sich u m ein P o l y n o m dritten Grades in tan y mit
genau einer reellen Wurzel:
cos ~ 0 - ~ - ,)
tan y = c o t / t sin/t cos ( a + z ) (21)
symmetrische Koppelkurve
(. o" ~ \ / Wendetangente
b
(20) F.n B ~
Bild 22. Zwel WeBlelmnkte im Doppelpunkt der Koppelkurve /~. =lq =/~2 =48,116 ~
y = 52,397 ~ % = 90~ - r = 67,5 ~ 2-r=45 o
Die beiden imaginfiren Wurzeln folgen aus tan 2 7 = - 1 ! Differentiation yon GI. (14) nach c~ ergibt unter Benutzung yon GI. (10) u n d (13):
(22)
dfl (d/b)cosct-(a/b) ( _ ~ ) I d / t
d--a (a/b) sin 2 a c ~ f l + _, 2 d~
cos~t-(a/b) 2 1 d/t 2 ( 1 - c o s / t ) 2 d~
wfihrend Differenzieren yon GI. (13a) nach ~ wegen GI. (10) u n d (13b) zu
d/t (a/b)(d/b) sin = tan
d = s i n / t = tan/~ (23)
fiihrt.
M a n erkennt leicht, d a b GI. (11) bis (23) ffirjede Kurbellage
c~ des Gelenkvierecks richtig bleiben u n d deswegen auch fiir
/ e S ~ Wendetangente
Bild 23. Zwei Wendepunkte im Doppelpunkt der Koppelkurve
g~. = lq =/~2 = 60, 9766~
y=48,60 o
%=90~ ~
2,r=30 ~
V - u n d 8 - f 6 r m i g e K o p p e l k u r v e n d e r K u r b e l s c h w i n g e
B o = RiJckkehrpuokt
. . . . . . (ZOAo
. . .
B o = Riickkehrpunkt
/
(,
,
" ~ ~ . ~ ~ . . ~ . . ~ F . 2 4 ~ ~ - -Bikl 24. ~ b e r g a n g s g e t r i e b e : ~ b e r g a n g zwischen 8- uml V - f ' o r m i g e n
Koppelkurven px ~p2 =p~i. = 2y = 24,2287 ~ ~o ~ 72,2651 ~ 23 ~ 120 ~ t \ . . ~ / / F . 2 5 ~ " ~ ' ~ ~ ~ ~
Biid 25. E r s t e Modifikation der an Kurbei und Gestell a n g e l e n k t e n
Tschebyschev-Dyade mit einem b e s t i m m t e n Z w e i g tier Koppelkurve
Die
zweite
Modifikation der Dyade erzeugt einen dazu kongruenten Zweig der Kurve. Pl = #2 = P=~. = 27 = 33,84680 a0 =80,8928 ~ 2 z = 9 0 ~ ,at =p2 =p=~.=27 = 33,8467 * f --"-" -- ~ ~ .~.~ =o = 80,8928 ~ f / TM "~ 23 =9o~ ( / \ XA ~"~o
b ~
~
K= Kw
Ao~--~--- . . . .
~Bo=ROckkohrpunkt
" ' " " ' " F . 2 6 Bild 26. Zweite Modifikation der angelenkten Tschebyschev-Dyade m l t g l e i c h e m Z w e i g der KoppelkurveSatz: Zwei gleichschenklige Gelenkviereeke gleicher Abmessungen vom Typ ,,l mit unterschiedlichen Stellungen des Zweisehlags ABB 0 erzeugen bei ge~.n- derter Orientierung des Koppeldreiecks zwei zueinander kongruente Kop- pelkurven. F5r umlautt~hige Gelenkviereeke sind eben die korrespondie- renden Zweige jeder zweiteiligen Koppelkurve kongruent. Der Satz IfiBt sich mittels des Plagiographen yon Sylvester beweisen.
/~) B o = Riickkehrpunkt
Bild 27. l ~ e r g a n g s g e t r i e b e : ( ~ e r g a n g zwischen 8- und V-F6rmigen Koppelkurven P l = P 2 = ~4min = 2 y = 4 1 , 3 7 8 6 ~ =o = 86,2484o 23=72*
~
~
~
Bo
= Riickkehrpunk
t
....
F . ~~
O~
Bild 28. ~bergangsgetriebe: ~bergang zwischen 8- mud V-f'6rmigen Koppelkurven /~j ~ #2 = / ~ l . = 27 =47,3402 ~ =0 ~ 89, 96220 2~r=60"
~ o ~
~
B o = Riickkehrpunkt
. . . .
Eo
Bild 29. ~bergangsgetrlebe: ~bergang zwlschen 8- and .~-f'6rmigen Koppelkurven
#1 = P2 = P-,,,i. = 27 = 56,0215 ~ ao = 94, 86660
2 r = 4 5 ~
jede Bahntangente t K der Koppeikurve. Insbesondere sind sie natiirlich auch giiltig, wenn der Koppeipunkt K einen Wende-
punkt erreicht hat. Dann nimmt r aber einen bestimmten Wert
=omit (dz/d~),==~=0 an. (Dabei definiert man z als den Nei- gungswinkel von t K mit der Symmetrieachse.) Eine solche
Wendepunktbedingung. kann man auswerten, indem GI. (21)
nach r differenziert wird. Es resultiert eine Beziehung, die nur fiir die Wendelage = = r gilt:
--2 sin (ct+fl) sin ( ~ - f l ) d/~ s m y = sin (# + 2 f l - 2 z) ~ . . . . (24) c o s ( ~ + z ) +2 sin ( e + Y + 2 f l - z ) dfl
A ~
~z~
Bo= Riickkehrpunkt
~
~
~
EO
Bild 30. 1Dbergangsgetriebe: 1Dbergaag zwiscben 8- mad V-f'6rmlgen Koppelkurven
/z~ =/x2 =p~l. = 27 = 61,9127 ~ =o = 97, 9398o
2~=36 ~ GI. (24) steilt also die Wendepunktbedingung fiir die Kop-
peikurve dar. (Mit Ausnahme von GI. (10) und aller auf sie zuriickgreifenden Formeln haben die Gleichungen dieses Pa- ragraphen auch fiir den allgemeinen Fall mit/z 1 4=#2 Giiltig- keit.) Ffir iibertragungsgfinstigste Gelenkvierecke ist somit der am Anfang erw/ihnte Parameteraustausch im Grunde ge- nommen erledigt. Ausgehend yon den Parameterwerten
O~O/~=tJ(ts+tr) und z=~k/n
k6nnen die Abmessungen des Gelenkvierecks jetzt nfimlich wie folgt ermittelt werden:
a) Wfihle/Zmi . aUS einer (endlichen) Reihe von Werten mit 0 < tan (Pmi./2) < 1,
z.B. tz,~i.=2 arctan (N/1000) fiir N = I , 2, 3 . . . 999. b) Bcrechne die vorlfiufigen L/ingenverhfiltnisse a/b und d/b
mit Hiife yon Gl. (10).
c) Mit dem Anfangsparameter %/n ergibt sich aus GI. (13b) ein vorlfiufiger Wert fiir den I~bertragungswinkel /z--/z o in der Wendelage (Entwuffslage). Negative Werte ffir/z o k6nnen aufier Bctracht bleiben, well sie zur gleichen Kop- pelkurve fiihren (vgl. Bild 25 und 26).
d) Berechne den zugeh6rigen Abtriebswinkel fl = flo ( 0 < f l < ~ ) verm6ge GI. (15).
e) Ermittle e=e o aus GI. (11).
f) GI. (21) ffihrt mit den schon bekannten Gr613en auf einen Wert fiir den vorlfiufigen Koppelwinkel ?.
g) Bestimme mit G1.(23) die Ableitung (d/z/d~)[=== o des I~bertragungswinkels an der Stelle ~o.
h) Veffahre ebenso fiir die Ableitung (d/~/d~)l~==o des Ab- triebswinkels mittels GI. (22).
i) Unter Verwendung von GI. (24) wird der richtige Wert fur ~min iterativ gefunden. (Die hierbei durchgefiihrte .~n- derung yon /z,,i, bedeutet im wesentlichen eine jeweilige Neuberechnung der GetriebemaBe, bis der Koppelpunkt in einen Wendepunkt transformiert worden ist. Aufgrund der sich st~indig findernden Abmessungen ist bci dieser N/iherungsl6sung keine Bewegung des Koppclpunktes ent- lang der Koppclkurve vorgesehen !)
j) Durchlaufe b) bis f) noch einmal mit dem richtigen Wert f~r flmin ZI.II" Ermittlung der endgfiltigen relativen Getrie- beabmessungen a/b und d/b bzw. des endgiiltigen Koppel- winkels 7-
k) Wichtige konstruktive Werte beim Antrieb eines Malteser- kreuzgetriebes sind die Abstfinde BoE o und E o K , . (E o bezeichnet den Schnittpunkt von Symmetrieachse und Wendetangente der Koppelkurve.) Berechne sie anhand der Gleichungen (Bild 26)
A o
~
~z~ Bo = Riickkehrpunkt
F.3|
~
30~
Bikl 31. Obergmagsgetriebe: Ol~rgang zwischen 8- mad V-f'ormigen
Koppelkurven
Pa =/z2 =Pmi. = 2"~ = 06,1306~
=o = 100,0722o 2-r =30 ~"'---~/~.\
/
\
/
/'
\
,
/
) "/B O = Riick kehrpunk t "/
F32 / " ~ ~ ~ ) Bild 32. BeispielW e a n / ~ , . = - 2 F ist, liegea Riickkehrpunkt and zugeh6riger Wende- punkt auf unterschiedlichen Zweigen der Koppelkurve
pl =112 =p~. =-27=41,766 ~
=o = 143, 72890 2z= 120 ~
_ B o E o sin z = b cos ( f l - ~ , - z ) + b c o s ( f l + / z + 7 - z ) (25) bzw.
_ ( E o K w + BoE o cos z ) = b sin ( f l - 7 - z )
+ b sin (fl + l t + ? - z) (26) (? wird positiv gez/ihlt, wenn A BAK linksorientiert ist.)
~7- u n d 8-f6rmige Koppelkurven der Kurbelschwinge
~ =/~ =/z~. = 29 ~ \... ~ ~
r= -22 ~ / i ~ 180 ~ / / / P K - K,,,
Ao~--,-
...~Oo
Bikl 33. 2 x 3 Koppellmnkte auf eimer gemeinsamen Wendetaogente
O
Ao f / / Bo
Bild 34, Zwei brauchbare Zweige einer algebraischen Koppelkurve
Das Vorzeichen in GI. (25) u n d (26) h/ingt yon der Wahl der zwei m6glichen Konf]gurationen der Tschebyschev- Dyade ab, siehe Bild 25 u n d 26. Beide Konfigurationen fiihren zur gleichen Koppelkurve, was leicht mit Hilfe des Sylvesterschen P a n t o g r a p h e n gezeigt werden k a n n . Beim Ubergang v o n d e r einen in die andere Modifikation trans- formieren sich die orientierten Winkel wie folgt:
(X t = ( ~
# ' = - - p 7 ' = --~
f f = 1 3 + p + 1 8 0 ~ ~ ' = z
e ' = e + p - 180 ~ (27)
1)
Das positive Vorzeichen geh6rt also zur zweiten Modifika- lion des Gelenkvierecks, w/ihrend das negative Vorzeichen bei der ersten Modifikation der Kurbelschwinge auftritt.
Aehtung: Die F o r m e l n sind im allgemeinen fiir positive
Clbertragungswinkel abgeleitet (Mod. II, Bild 1 bis 11, 26,
33 u n d 34). Die Gelenkvierecke von Bild 12 bis 25 u n d
27 bis 32 sind aber in Mod. I mit negativen l l b e r t r a g u n g s - winkeln dargestellt.
Die H6he h d e r Koppelkurve, d.h. der A b s t a n d der K o p - pelpunkte, die in den Steglagen durchlaufen werden, be- stimmt sich jetzt zu
bib = 2 ~ sin (3' - 89 2 cos (7 + 89 a=~,)
(28)
Mittels eines an der Technischen Universit~it Eindhoven ent- wickelten C o m p u t e r p r o g r a m m s sind ffir die Schlitzzahlen n/
z = 3 bis 12 die Getriebeabmessungen in Abhfingigkeit yon speziellen Werten ffir das Schalt/Rast-Verhfiltnis a o / 0 t - ~ o ) berechnet worden. In den zugeh6rigen D i a g r a m m e n A bis D sind die Verhiiltnisse ~o/n stets als Abszissenwerte abgetra- gen, w/ihrend entweder der minimale Obertragungswinkel /am~ n oder der Koppelwinkel 7 = ~ B A K als Ordinatenwerte verwendet wurden. Die fibrigen Getriebeabmessungen sind mit Hilfe der aus der G r a p h i k ablesbare pm~,-Werte zu bestim- men. Ffir den normierten A b s t a n d AK/b = 2 cos Y k 6 n n e n die Diagramme B u n d D benutzt werden.
Ein real ausgebildeter D o p p e l p u n k t der Koppelkurve a n 6er Stelle B o tritt n u r d a n n auf, w e n n der Kreis u m B o mit
dem Radius K A ~ 2 b cos 7 den Kurbelkreis in zwei reellen
P u n k t e n schneidet. U m dies zu erreichen, muB gelten
d - a <2b cos y<d + a (29)
Mit Hilfe yon GI. (10) lassen sich diese Ungleichungen umfor- men zu
#rain ~--- 2 7 --< n -- #mi. (30)
Diese Bedingungen sind notwendig u n d hinreichend ffir einen reellen D o p p e l p u n k t der Koppelkurve im Gestellpunkt B o. Falls in der K u r v e y o n / ~ , i . (aufgetragen fiber a0/n ) der Dia-
gramme A und C ein Wendepunkt auftritt, d.h. wenn bei festge-
haltenen Werten fiir 2z
d2/~mi./d ~o2 = 0 (31)
gibt, treten gerade die Grenzwerte 2 7 = ~min (vgl. Tabelle 3 b u n d Bild 24 bis 31) bzw. 2 7 = n - P m i , (vgl. Tabelle 3a u n d
Bild 12 bis 18a) auf. Die Koppelkurve hat dabei einen Riick-
kehrpunkt oder eine Spitze in B0, denn es ist B 0 = K = P. Dies
k a n n n u t in einer Steglage des Gelenkviereckes zutreffen.
Der Grenzfall bedeutet einen ~Ybergang v o n 8-f6rmigen zu
V-f6rmigen Koppelkurven. Die in dem D i a g r a m m A darge- stellten K u r v e n 27=It~,i~ bzw. 2 7 = n - l ~ m ~ . begrenzen also die Bereiche dieser beiden Koppelkurventypen.
Bemerkenswerlerweise fiihren zwei spiegelsymmetrische Wendepunkte, wie z.B. in Flild 11 dargestellt, nicht i m m e r zu einer 8-f6rmigen Koppelkurve. Dies geschieht nach dem eben Gesagten n u r d a n n , wenn P,~i. < 27 < •-/t/min ist. Gilt dagegen r t - # m i . < 27 < #m~., SO werden die Koppelkurven tatsfichlich V-f6rmig.
Auch d a n n liegen normalerweise immer noch zwei spie- gelsymmetrische W e n d e p u n k t e vor. N u r in Sonderfiillen er- h/lit m a n sogenannte h6here W e n d e p u n k t e oder Ballsche Punkte. Die Koppelkurven haben anscheinend n u r d a n n el-
hen Ballschen Punkt, wenn die
#min-Wel'te
(aufgetragen iiber~o/~ bei festgehaltenen Werten ffir ~) in den K u r v e n der Dia-
gramme A und C ein Maximum erreichen. Es gilt d a n n
(d/.tmlJd %), = k..s, = 0 (32)
u n d in der direkten U m g e b u n g des untersuchten Punktes tre- ten n u r kleinere Werte fiir /A.i. auf. Diese Tatsache 3) 1fil3t 3) Gelenkvierecke mit BaUschen Punkten in der Koppelkurve wurden schon im ersten Abschnitt betrachtd. Im vorliegenden Fall ist jedoch einr Vergr613e- rung des minimalen Ubertragungswinkels gelungen, weil stets/a t =/~ 2 voraus- gesetzt war. Die der Dissertation des Veffassers [4] entnommenen Tabellen 5 und 6 zeigen dazu eintge eutseheidende Wcrte, die nut ffr Obertragungsgiin- s:igste Geler.kvierecke z'.itreffen. Dabei ha~delt es sick ausscklie~lich am V-
' f6rmige Koppr rail zwei spiegclsymmetrischen Ballschcn Punktcn.
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Auch wenn die #,,~,-Werte der in den Diagrammen A und C erscheinenden Kurven ein Minimum annehmen, liegt ein Sonderfall vor: Dann F~illt n/imlich der Wendepunkt K,, mit dem Doppelpunkt B o zusammen, es gilt also K , , = Bw=B o. Mit der Euler-Savary-Formel ~ 2 = B - B o . ~ , , ergibt sich dann PB = BB o = ~ ; d.h. fiir die Entwurfslage mit ~ = ~ o liegt auch der Pol P auf dem Kreis um den Mittelpunkt B mit Halbmesser BoB (Tabelle 4 und Bild 18b bis 23). In der be- trachteten Situation (Bw = Bo) ist deswegen:
= (=/2) - =o
Zus/itzlich gilt +/,/2 = (rt/2)- y und fl = z + y.
Bild 18 b fiihrt aber auch direkt zu der einfachen Gleichung a = d cos ~t o
Mit GI. (10) sind dann die Abmessungen des Gelenkviereckes einfach zu berechnen:
~
1 / 2
~- = sin z 1 + sin 2 z
2
1 + sin 2 "r
womit fiir den minimalen Obertragungswinkel #=~, die Bezie- hung
1 sin #m~,-- I + 2 tan 2 z
gewonnen werden kann. Der Koppelwinkel y kann in diesem Fall mit Hilfe der Gleichung
1
1
1 /
2
COS )' = ~ ~ = ~- V2 sin gmi" = ~ l + 2 t a n 2 z
bestimmt werden. Fiir 2 z = 7 2 ~ ist z_B. % / n = 0 , 3 und #=i, =29,1072 ~ was auch direkt aus Diagramm A zu erkennen ist.
Zusammenfassend k6nnen wir feststellen, dab bei einem
Minimum von/,/=in in der Graphik, d.h.
(d#miJdcXo)t=koast
=0,
die Koppelkurve ihre Wendetangente auch hier in vier zusam- menfallenden Schnittpunkten schneidet. Drei davon nfihern sich einander infinitesimal; der vierte aber ist ein normaler Schnittpunkt, weil auch ein Doppelpunkt vorliegt. Wenn also bei konstantem z die Ableitung yon #mi. nach ~o den Wert 0 annimmt, so ergibt sich entweder ein Ballscher Punkt in
der Koppelkurve oder ein Zusammenfallen von Wendepunkt und Doppelpunkt.
Wie schon im Anfang dieses Abschnitts erw/ihnt, rechnet man zu den Sonderfiillen auch diejenigen mit 2 z = 180 ~ Dann liegen aber die zwei spiegelsymmetrischen Wendepunkte auf derselben, senkrecht zur Symmetrieachse stehende Wendetan- gente, d.h. dab in solchen F/illen sechs Koppelpunktslagen auf einer Geraden liegen, vgl. auch Bild 33 und 34, deren Getriebeabmessungen den Diagrammen E und F entnommen sind. Bild 34 zeigt sogar zwei brauchbare Zweige der Koppel- kurve, die beide zur gleichen (algebraisch definierten) Koppel- kurve geh6ren, weil die beiden Koppelpunkte spiegelsymme- trisch zur Koppel liegen - Satz von J.M. Herv~ und J. Rees
Jones 1-12, 13].
Literatur
[1] Hagedorn, L.: Konstruktive Getriebelehre. Hannover: Hermann Schroedel Verlag 1960, S. 114/15.
12] Dijksman, E.A.: De stangenvierzijde als aandrijvingsrne- chanisme van het inwendig Maltezerkruis. De Ingenieur 73 (1961) Nr. 24, S. W87/98.
(33) I-3] Meyer zur Capellen, W.., u. K.A. Rischen: Symmetrische Koppelkurven und ihre Anwendungen. Forschungsbe- richte des Landes Nordrhein-Westfalen Nr. 1066. K61n und Opladen: Westdeutscher Verlag 1962.
[4] Dijksman, E.A.: Synthese van stangenvierzijden met V- vormige, symmetrische koppelkrommen. Diss. Techni- (34) sche Hochschule Eindhoven, Niederlande 1964. De
Technische Uitgeverij H. Stam N.V., K61n.
Auch erschienen unter dem Titel: ,,De stangenvierzijde als aandrijvingsmechanisme". Culemborg, Antwerpen, K61n: H. Stam. Nr. 99157, 1964 (mit vielen graphischen Darstellungen und Abbildungen).
1-5] Rauh/Hagedorn: Praktische Getriebelehre, Erster Band: Die Viergelenkkette, 3. Auflage. Berlin: Springer-Verlag (35) 1965, S. 96/97, Bild 66 und 67.
1-6] Dijksman, E.A.: Jerk-free Geneva-wheel driving. Journal of Mechanisms 1 (1966) Nr. 3/4, S. 235/83.
i7] Tesar, D., u. W. 14/hnderlich: Symmetrische Koppelkurven mit zwei Flachpunkten. Z A M M 46 (1966) Nr. 8, S. 511/ 21.
[-81 Dijksman, E.A.: Maltezerkruismechanismen. Polytech- nisch Tijdschrift, Editie A, 23 (1968) Nr. 7, S. 274/75. (36) 19-1 VDI 2728 BI. 1: L6sung yon Bewegungsaufgaben mit
symmetrischen Koppelkurven (in Vorbereitung) [10] Dijksman, E.A.: De stangenvierzijde met een V-vormige,
symmetrische koppelkromme. De Ingenieur, Werktuig- en Scheepsbouw 18 (1962) Nr. 47, S. W229/48 u. 19 i1962) Nr. 49, S. W 249/66.
(37) [11-1 Autorenkollektiv (Volmer u.a.): Getriebetechnik-Lehr- buch. Berlin: VEB Verlag Technik 1969, S. 406/13. [I 2] Rees Jones, J., u. M.E. Pazouki. : Synthesis of symmetri-
cal four-bar coupler-curves, containing double points. Vol. I-1, Paper 25, pp. 249/62. 3rd I F T o M M Sympo- sium on Linkages and Computer Aided Design Me- thods, Bucharest, Romania, July 2-7, S Y R O M 1981. [13] Risbourg, A., u. J.M. Herv~: Quelques propriet6s de
sym6trie des courbes de bielle du quatre-barres. Vol. I-1, Paper 26, pp. 263/70. 3rd I F T o M M Symposium on Lin- kages and Computer Aided Design Methods, Bucharest, Romania, July 2 7, SYROM 1981.
Eingegangen am28.11.1986 F 3873
