Vaardigheden 3

(1)

Vaardigheden 3.

Exponentiële groei 1. a. g_dag 1,092 c. 128 8uur 1,09 g  b. _1,0914 week g  d. 123 3uur 1,09 g  2. a. 2 4t_ t _(2 4)_ t _8t _d. _{8 4}_ t __{2 (2 )}3_ 2 t _₂2 3t

b. niet juist: ₂t _₂t _{ }_{2 2}t _₂t1 _e. _{niet juist:} 2 (2 )t t _2t c. ₂t _₂t _₂t _₂t _{ }_{4 2}t __{2 2}2_ t _₂t2 _f. 1 1 1 2 2 2 t t t t    _{  }   Vergelijkingen oplossen 3. a. 3 3 1 1 64 4 4    _c. 1 1 2 22 5 5 32 2 (4 ) 4 b. 21 12 3 1 3 3 1 1 8 ₂ 2 (4 ) 4        d. 316 16 31 (4 )2 31 432 4. a. 4t _ 2 _b. ₃t2 __{9 3} _c. _{(3 3)}t _₉t1 1 2 2 1 2 1 4 2 2 2 t t t    1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 2 2 t t t  _    1 2 1 2 2 1 2 3 3 1 2 2 4 t t t t t       d. 1 2 2 8t _( ) t e. ₁₀2t _₁₀₀₀ _f. ₅2 1t __0,008 3 2 2 2 3 2 1 t t t t t         2 3 1 2 10 10 2 3 1 t t t  _     2 1 3 5 5 2 1 3 1 t t t  _       Exponentiële functies 5. a. 1 12 1 12 12 1 2 ( ) 4 t 4 4 t 4 (4 )t 4 ( )t f t           b. 1 3 5 1 3 1 5 1 3 1 2 2 2 2 8 ( ) 2 ( ) t 2 ( ) t ( ) 2 (( ) ) 32 64 ( )t t g t _{ }  _{ } _  _{ } _ _ _ c. _{h t}_{( ) 5 3}_{ } t1_{  }_{5 3 3}t 1__{15 3}_ t d. 2 2 1 1 2 2 6 ( ) 6 2 6 2 2 6 (2 ) 4 24 ( ) 2 t t t t t k t  _               6.

a. f(0) 5 2 210 52 25 snijpunt met de y-as: (0, 25)

b. 2 12 2 12 12 1 5 ( ) 5 t 5 5 t 25 (5 )t 25 ( )t f t           c. 2 12 1 25 5  t  1 2 2 t  2 t 8 1 2 2 2 5  t 5 1 2t 4

(2)

7. a. 1 1 3 9 3_ t _{ }9t 2 1 1 2 3 1 2 1 2 1 3 3 3 3 (3 ) 3 3 3 3 3 1 2 3 4 1 t t t t t t t t t                   b. 1 1 2 1 1 2 2 3 ( ) 9 3 t 9t 3 3 3 t 3 3 t 3 3t 9 3t h t _{ }  _{ } _ _{ }  _  _ _ _ _{ } 8.

a. De grafiek van f gaat door (0, 12) en moet dus 12 naar beneden worden verschoven: _{g t}( ) 12 1,5_ _ t _12 b. _{h t}_{( ) 12 1,5}_ _ t2_en_h_{(0) 12 1,5}_ _ 2 _₂₇ c. 1 2 3 ( ) 12 1,5 t 12 (1,5 )t 12 ( )t j t         Standaardvorm 9. a. _{18 600 000 1,86 10}_ _ 7 _d. _{0,023 2,3 10}_ _ 2 b. _{23 000 000 000 2,3 10}_ _ 10 _e. _{0,000 000 931 9,31 10}_ _ 7 c. _{2450 2,45 10}_ _ 3 _f. _{0,000 000 000 056 5,6 10}_ _ 11 Logaritmen 10. a. 81 100 243  , dus ₄_ 3_{log(100) 5}_ b. 128 175 256  , dus ₇_ 2_{log(175) 8}_ c. 1 3 4  , dus ₀_ 4_{log(3) 1}_ d. 0,0625 0,1 0,125  , dus 1 2 3 log(0,1) 4 11. g 0 en g 1 a b, 0 12.

a. ₃_3_log(2)_3_log(4)_3_{log(2 )}3 _ 3_log(4)_ 3_log(32)

b. 7_{log(126) 2}_{ }7_log(3)_7_log(81)_ 7_log(126)_7_{log(3 )}2 _7_log(81)_ 7 126 9 7 81 log(  ) log(14)   c. 3 2 8 16 64

3 log(2) 2 log(4) log(64) log(2 ) log(4 ) log(64) log(_ _{ } _ _ _ _ _  ) log(2)_

d. 1 3 3 12 8 125

2 5

3 log(2) 3 log(5)_ _{ } _{ }log(25) log(2 ) log(5 ) log(25 ) log(_ _ _ _  ) log(200)_

13.

a. 2_log(3)_2_{log( ) 2}_x _ _b. ₂_3_log(2_x_{ }_{1) 3}

2 2 1 3 log(3 ) log(4) 3 4 1 x x x    3 1 1 3 1 3 log(2 1) 1 2 1 3 x x x         

(3)

c. log( )x  log(2x  1) 1 d. log(4x) log(4x) 3 3 3 1 2 1 3 log( ) log( ) 2 x 1 3 x x 1 x x     2 2 2 2 log(16 ) log(8) 8 2 2 2 2 x x x x        14. a. 3x 4 0 x 1 0 1 3 3 4 1 x x   1 x b. 2_log(3_x_₄₎_ 2_log(_x_{ }_{1) 1}

2_log(3 ₄₎ 2_log( ₁₎ 2_log(2) 2_log(2 ₂₎ 3 x 4 2 x 2 x 2 S(2, 1) x  x   x     15. a. 2x _3 _b. _{3 5}_ x _₄ _c. _{1 2 3}_{ } x1_₅ 2_log(3) x 1 3 5 1 3 5 1 log(1 ) x x   1 1 2 3 4 3 2 x x      3_{log(2) 1} x   d. ₃x _₃x1_₈ _e. 180 1 2 3_{ } x 12 f. (6x 8)2 4 1 3 3 (1 3 ) 8 3 2 log(2) x x x     3 1 2 3 15 3 7 log(7) x x x      6 6 8 2 6 8 2 6 6 6 10 1 log(10) x x x x x x             16. a. _x2_₂_x_₀ ₆_{ }_x ₀ ( 2) 0 : , 0 2 , f x x D      6 : , 6 g x D    

b. 2_log(_x2__{2 ) 0}_x _ _c. 2_log(_x2__{2 )}_x _ 2_log(6__x₎

2 0 2 2 2 1 2 1 0 1 2 1 2 ABC formule x x x x x x             2 2 2 2 6 6 ( 3)( 2) 0 3 2 (3, log(3)) ( 2, 3) x x x x x x x x x                d. f x( )g x( ) voor x 2 , 0  2 , 3 17. a. _y _{ }₃ 2_{log( )}_x _b. _y _{ }₁ 2_log(_x_₂₎ _c. 3 4 5 log(x ) y _  1 3 2 1 3 log( ) 2 y x y x   2 1 1 log( 2) y 1 x 2 2 2 2 y y x x          1 5( 4) 3 4 5 3 5 3 4 y y y x x x        

(4)

18.

a. 2 12 2 2 2 2 1

2 2

log( ) log(6 2) log(3) log(2 2) log(3) 1 b. 2log(3)3log(4)4log(5)5log(2) log(2)log(3)log(4)log(3)log(5)log(4)log(2)log(5) 1

c. 9 9 1 1 1 3 3 2 2 2 2 4 (1 log(3)) (1  log(3)) (1  )(1 )   19. a. 1 3(2x 1) 0 1 2 2 1 0 2 1 x x x     b. 3 2 1 2 3 2 2 3

( ) 2 log( x ) 2 ( log(2 1) log(3)) 2 log(2 1 1 3 log(2 1)

f x _{ }  _{ } x_{ } _{ } x_{   } x_

c. 2 1

3

3 2 1 3 3 2 1 3 9 3 3 3 27

3 3 2 1 2 1

( ) 2 log( ) log(9) log( ) log( x ) log(9 ) log( )

x x x x f x           _  _ d. f x( ) 0 27 2 1 1 2 1 27 2 28 14 x x x x       e. f x( ) 0 voor 1 2, 14 x

(5)

Extra oefening Basis.

B-1.

a. stelling c. definitie e. definitie b. definitie d. definitie f. stelling

B-2. Gegeven: een vierhoek ABCD met vier rechte hoeken.

Te bewijzen: vierhoek ABCD heeft twee symmetrieassen. Bewijs: de middelloodlijnen van AB en BC zijn

symmetrieassen van de vierhoek.

Gegeven: een vierhoek met twee symmetrieassen l en m en een rechte hoek A.

Te bewijzen: de vierhoek heeft vier rechte hoeken. Bewijs: het spiegelpunt van hoek A in lijn l is hoek B,

dus hoek B is ook recht. De spiegelpunten

van hoek A en B in lijn m zijn D respectievelijk C, dus die zijn ook recht. De vierhoek is een rechthoek.

B-3.

a. Stel dat lijn n en lijn m elkaar niet snijden. Dan zijn n en m evenwijdige lijnen. Omdat l en m evenwijdig zijn (gegeven) zijn de lijnen n en l evenwijdig. Dus n en l hebben geen punt gemeenschappelijk. Dat is in tegenspraak met het feit dat l en n een snijpunt hebben.

b. Stel dat lijn n en m elkaar snijden. Dan volgt uit a dat n en l elkaar ook snijden. Dat is in tegenspraak met het feit dat l en n evenwijdig zijn. Dus n en m zijn dan ook evenwijdig.

B-4.

a. Als in een trapezium de diagonalen gelijk zijn, dan is het trapezium gelijkbenig.

b. 1. BECD is een parallellogram (BD // EC en

BE // DC)

2. BD EC

3. VAEC is gelijkbenig (volgt uit 2 en AC BD (gegeven))

4. EAC  AEC  ABD (volgt uit 3 en F-hoeken)

5. AB is gemeenschappelijk en AC BD (gegeven)

6. VABDVBAC (ZHZ, volgt uit 4 en 5)

7. AD BC (volgt uit 6) B-5. a. b. ●AC BC en BAC  ABC ●VPQC is gelijkbenig c. VPCBVQCA d. 1. PC PA AC CB BC QC     2. C is gemeenschappelijk 3. BC AC (gegeven)

4. VPCBVQCA (ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3)

(6)

B-6.

a. VP: lijn door P loodrecht op AB.

VQ: lijn door Q loodrecht op CD.

VR: D

VS: lijn door S en M snijdt boog AD in het voetpunt.

b. Rechts van het verlengde van BA aan de kant van A en onder de lijn DR.

B-7.

a. d P A( , ) 4 : P ligt binnen de cirkel met middelpunt A en

straal 4.

( , ) ( , )

d P B d P C : P ligt op de middelloodlijn van BC.

b. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel ligt op het snijpunt van de middelloodlijnen.

B-8.

a. d Q AD( , )d Q AB( , ): Q ligt op de bissectrice van DAB

( , ) ( , )

d Q AD d Q BC : Q ligt onder de middenparallel van AD en BC.

b. Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van ABCD ligt op het snijpunt van de bissectrices.

( , ) 1

d R CD  : Teken een lijn op afstand 1 evenwijdig aan CD.

B-9.

a. even ver van l en m: op de middenparallel van l en

m.

kleiner dan 1 cm van de cirkel: tussen twee cirkels met het zelfde middelpunt en stralen r 1 en r 1. b. – gelijke afstand tot AB en l: op de bissectrice van

hoek A.

– minder dan 2 tot m: tussen twee aan lijn m evenwijdige lijnen op afstand 2 van m.

B-10.

a.

b. Kies voetpunten V op lijn l. Construeer de snijpunten van de loodlijn uit V op l en de middelloodlijnen van PV. Dit zijn punten van de parabool.

c. de middelpunten M liggen op de lijn evenwijdig aan l op afstand 3.

( , ) ( , )

d M P d M l : M ligt boven de

(7)

Extra oefening Gemengd.

G-1. 1. DA DC (gegeven)

2. DAC  DCA (VACD is gelijkbenig)

3. BAC  BCA (VABC is gelijkbenig)

4. DAB  DCB (volgt uit 2 en 3)

5. DAE  DCF (volgt uit 4 en gestrekte hoek)

6.    E F 90o_(gegeven)

7. VDAE VDCF (ZHH, volgt uit 1, 5 en 6)

8. DE DF G-2. a. PA PB c  (driehoeksongelijkheid). Zo geldt ook: PB PC a  en PA PC b Hieruit volgt: PB PC PA PC PA PB a b c        1 2 2( ) ( ) PA PB PC a b c PA PB PC a b c           b. BQ c AQ  en BQ a QC  (driehoeksongelijkheid) 1 2 2 ( ) ( ) BQ c AQ a QC a AQ QC c a b c BQ a b c               

c. ACBE is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen. ACBE is

een parallellogram. Dus BE AC b en AE BC a . 1 2 2 ( ) CD CE EB BC b a CD a b         G-3. a. 1. DA BA (VABD is gelijkzijdig)

2. DAE  CAE CAD60o CAD 3. BAC  BAD CAD60o CAD 4. DAE  BAC (volgt uit 2 en 3)

5. AE AS (VASE is gelijkzijdig)

6. VDAE VBAS (ZHZ, volgt uit 1, 4 en 5) b. Uit de congruentie van a volgt DEBS

En BS CS (VBCS is gelijkzijdig), dus DE CS G-4. a. _AC2 __AD2__CD2_en_BC2 __BD2__CD2 2 2 2 2 ₍ 2 2₎ 2 2 2 2 2 2 AD BD AC CD  BC CD AC CD BC CD AC BC b. _AD2 __BD2 _ _AC2__BC2 _{ }_AB2 2 2 2 AD AB BD

c. Dit kan niet omdat BD AD AB

d. _AC2 __AD2__CD2_en_BC2 __BD2__CD2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AC AD BC BD AC AB BD AD AB BD        

En dit kan niet omdat BDAD AB

e. A kan niet groter zijn dan 90o_{(zie a, b en c) en niet} kleiner zijn dan 90o_{(zie d), dus}_{ }_A ₉₀o_.

(8)

G-5. Voor de punten P op de deellijnen van de

hoeken die l en m maken geldt:

( , ) ( , )

d P l d P m .

Voor de twee kwartcirkels geldt dat de punten dichter bij l liggen dan bij m.

G-6. a. b. M(3, 0), N(-1, 3) en P(2, 3) c. middelloodlijn AB: x1 middelloodlijn BC: 2 2 3 13 y  x middelloodlijn AC: 1 2 3 23 y   x d. AB en BC: 2 2 1 3 3 3 1 en 1 1 2 x y     AB en AC: 1 2 1 3 3 3 1 en 1 2 2 x y      BC en AC: 2 2 1 2 3x13  3x23 1 2 1 en 2 x y  G-7. 1. VBMR is gelijkbenig (BM BR r ) 2. MBR  MRB (volgt uit 1)

3. MRB90o_{(l is raaklijn aan cirkel)}

4. MR // AB (volgt uit 3 en gegeven) 5. MRB RBA (Z-hoek)

6. MBR  RBA (volgt uit 2 en 5)

7. R ligt op de bissectrice van hoek ABM (dus R ligt even ver van AB als van BM) G-8. a. d P c( , )PM r ( , ) ( , ) PM r d P l PM r d P l    

b. De richtlijn ligt evenwijdig aan lijn l op afstand r. c.

(9)

-Extra oefening Vaardigheden.

Domein en bereik V-1. a. D_f : 0 ,



 en B_f : 0 ,



 e. D_h : 0 , en B_h:¡ b. D_g : 2 ,



 en B_g : 0 ,



 f. D_m : , 4 en B_m:¡ c. D_h:¡ en B_h: , 0



g. D_p:  2 , en Bp:¡ d. D_j : 3 , 3







en B_j : 1, 4





h. D_q : , 0  0 , en Bq :¡ V-2. a. D_f : , 0  0 , en B_f : , 0  0 , b. D_g : ,1  1, en B_g : , 0

 

 4 , c. D_h: , 3  3 , en B_h: ,1  1, d. Dj :¡ en Bj :2 , 121  21 e. D_h:¡ en B_h:¡ f. D_m:¡ en B_m: , 0 g. D_p: 0 , 1  1, en B_p : , 0  0 , h. Dq:¡ en Bq: 2 , 8





Transformaties V-3. a. 1 3 ( ) sin( ) g x  x  b. 1 3 ( ) sin( ) 2 h x  x   c. 2 13 1 3 ( ) sin( ) omlaag sin( ) 2 naar rechts ( ) sin(x ) 2

f x  x  y x   h x     V-4. a. _{g x}_{( ) (}_ _x_₃₎2 b. 1 2 4 ( ) ( 3) h x  x c. 2 , 4 1 2 1 2 3 1 2 4 16 16 ( ) Vy as ( ) naar links ( ) ( 3) f x x   y x  x k x  x 2 2 2 1 1 1 4 4 16 ( ) ( 3) ( ( 12)) ( 12) h x  x  x  x V-5.

a. een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1 9 .

b. k x( ) 9x  9 x 3 x ; een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 3.

V-6. a. _,1 , 1 2 2 ( ) V_{x as} _{naar rechts} 2 Vy as ( ) 2 2 f x x _ _ y x y x  g x x             b. domein en bereik van f is



0 ,

c. verschuiving naar rechts en de vermenigvuldiging t.o.v. de y-as hebben invloed op het domein; de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as op het bereik.

(10)

V-7. a. 6 , 3 ₁ , 8 ₁ 3 3 ( ) naar rechts 6 Vy as 6 Vx as 8 6 g x  x  y x   y x   y x 1 1 3 ( ) 1 8 6 omlaag _{f x} _x     



: 18 , f D  en B_f : 1,



  b. _, 1 , 2 2 2 2 1 1 4 4 ( ) 2x Vy as 2 x (2 )x ( )x V_{x as} ( ) 2 ( )x g x   y _ _ _ _ f x          : f D ¡ en B_f : , 0 c. ( ) 1 3 1 , 3 3 2 ( ) 2 3 3 3 3 x as V

naar rechts omhoog

g x y y f x x x x x             : , 3 3 , f D    en B_f : , 2  2 , Inverse functies V-8. a. ₂ ₆ 4_... ₁ 4 4 2 2 6 2 6 ( ) 1 2 6 x_ x_ x_{ }_ x_{ } f x _{ } x_ b. 1 ...4 4 6 4 21 1 4 2 1 ( 1) ( 1) 6 inv( ) ( 1) 3 x_{   } x x _{ } x _{ } f x _ x_ _ V-9. a. 3 3 ...1 ( ) 1 3 x x f x x       en dus 1 ... 1 3 inv( ) 1 3 x f x x x      b. c. 3 naar links: 1 1 ( 3) 3 y x x     en dan 3 omhoog: 1 3 y x   V-10. a. 2 3... 2 15 1 2 5 2 3x ( ) 3x x_{  } x  _ g x _{ }  3

5 ₅ log(...) 3_{log(5 )} 2 inv_{( )} 3_{log(5 ) 2}

x x x  g x  x  b. 1 1 1 ... 1 2 2 1 ...1 1 3 3 2 1 2 1 x x x x x y x x                 1 1 1 2 3 1 ... 2 ... 1 1 3 2 2 2 3 3 9 9 9 1 1 2 4 4 4 inv x x y x x x x x              