11.1 Straling van sterren

11.1 Straling van sterren

Opgave 1

a De energie die een ster per seconde uitstraalt, is het uitgezonden vermogen P_bron. Het uitgezonden vermogen bereken je met de formule voor de intensiteit.

bron

4π 2

I P r

=

I = 5,5·10^-10 W/m²

r = 26·lichtjaar = 26 × 9,461·10¹⁵ m = 2,460·10¹⁷ m (Aanpassen eenheden)

10 bron

5,5 10 17 2

4π (2,460 10 )

− P

⋅ =

⋅ P_bron = 4,1826·10²⁶ J/s Afgerond 4,2·10²⁶ J/s

b De oppervlaktetemperatuur bereken je met de wet van Stefan-Boltzmann.

4 bron σ P = ⋅A T⋅ P_bron = 4,2·10²⁶ J/s

σ = 5,67·10^-8 W/m²/K⁴ (Zie BINAS tabel 7)

( )

2 9 18 2

4π 4π 0,5 10 3,142 10 m

A= r = ⋅ = ⋅

26 8 18 4

4, 2 10⋅ =5,67 10⋅ ⁻ ⋅3,142 10⋅ ⋅T T = 6,960·10³ K

Afgerond 7,0·10³ K

c De kleur van het uitgezonden licht volgt uit wet van Wien.

max w

k λ = T

kw = 2,90·10⁻³ m K (Zie BINAS tabel 7) T = 7,0·10³ K

3

max 3

2,8977721 10 7,0 10 λ

⋅ −

= ⋅

λmax = 4,139·10⁻⁷ m

Uit BINAS tabel 22 volgt dat de violette kleuren sterker zijn vertegenwoordigd dan de rode kleuren. De kleur van het uitgezonden licht is dus violet.

Opgave 2

a Voor de zonneconstante geldt ^bron₂ 4π I P

r

=

Het uitgestraalde vermogen door de zon P_bron blijft hetzelfde. Mars staat dichter bij de zon dan de aarde. Dus is de zonneconstante van Mars groter dan die van de zon.

b De oppervlaktetemperatuur bereken je met de wet van Stefan-Boltzmann.

Het opgenomen vermogen is gelijk aan het ontvangen vermogen.

De oppervlakte is de oppervlakte van de bol met de straal van Mars.

4 bron σ

P = ⋅A T⋅ met P_bron=589 π× R_mars² en A=4πR_mars²

2 2 4

mars mars

589 π× R =σ⋅4πR ⋅T 589=σ⋅ ⋅2 T4

σ = 5,670373·10^-8 Wm⁻²K⁻⁴

8 4

0,75 589× =5,670373 10⋅ ⁻ ×T T =2,1007·10^2, K

Afgerond 2,1·10² K

c De oppervlakte onder de stralingskromme is kleiner van Mars dan die van de zon Het maximum van de stralingskromme ligt meer naar rechts.

Opgave 3

a Volgens de wet van Stefan-Boltzmann geldt P=σ⋅A T⋅ ⁴ met P_bron = L.

Voor een bolvormig oppervlak geldt A=4πr². Voor de verhouding van de vermogens geldt dus:

4 2 4 2 4

4 2 4 2 4

zon zon zon zon zon zon zon

4π 4π

L A T R T R T

L A T R T R T

σ σ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Hieruit volgt:

4 2

zon

2 4

zon zon

T

R L

R =L ⋅ T Dus

2 zon

zon zon

R L T

R L T

 

= ⋅  

 

b

2 zon

zon zon

T

R L

R L T

 

= ⋅  

 

Als R = 883 R⊙ dan geldt:

zon

R 883

R =

Als L = 5,75·10⁴ L⊙ dan geldt: ⁴

zon

5, 75 10 L

L = ⋅

Tzon = 5,78·10³ K (Zie BINAS tabel 32B)

3 2 4 5,78 10 883 5,75 10

T

 ⋅ 

= ⋅ ⋅  

 

T = 3,012·10³ K Afgerond: 3,01·10³ K

c De kleur van het uitgezonden licht volgt uit wet van Wien.

max w

k λ = T

kw = 2,90·10⁻³ m K (Zie BINAS tabel 7) T = 3,01·10³ K

3

max 3

2,8977721 10 3,01 10 λ

⋅ −

= ⋅

λmax = 9,62·10⁻⁷ m

Uit BINAS tabel 22 volgt dat de erbij behorende kleur in het infrarood gebied ligt. In het spectrum zijn de blauwe kleuren nauwelijks aanwezig. Daarom heeft Antares een rode kleur.

Opgave 4

a De temperatuur van Wega bereken je met de wet van Wien.

w max

k λ = T

λ_max < 400 nm = 400·10⁻⁹ m

k_w = 2,90·10⁻³ m K (Zie BINAS tabel 7)

9 3

400 10 2,90·10 T

− −

⋅ =

T = 7250 K Dus T > 7000 K.

b Het gevraagde percentage is de verhouding van de stralingsintensiteit in het zichtbare gebied I_zicht en de totale stralingsintensiteit I_tot.

De stralingsintensiteit in het zichtbare gebied volgt uit de oppervlakte onder de grafiek in het zichtbare gebied.

Zie figuur 11.1.

Figuur 11.1

Izicht = (800 −400) × 3,3·10⁻¹¹ = 1,32·10⁻⁸ Wm⁻².

zicht tot

percentage I 100%

= I ⋅ I_tot = 2,9·10⁻⁸ Wm⁻²

9 8

1,32 10

percentage 100%

2,9 10

−

−

= ⋅ ×

⋅ percentage = 45,8%

Afgerond: 46%

c Het gevraagde bereken je met de verhouding van het stralingsvermogen van Wega en het stralingsvermogen van de zon.

Het stralingsvermogen van Wega bereken je met de formule voor de intensiteit.

wega

4π 2

I P

= r

I = 2,9·10⁻⁸ Wm⁻²

r = 23,7·10¹⁶ m (Zie BINAS tabel 32 B)

8 Wega

2,9 10 16 2

4π (23,7 10 )

− P

⋅ =

× ⋅

P_Wega = 2,046·10²⁸ W

P_zon = 3,85·10²⁶ W (Zie BINAS tabel 32C)

wega 28 zon 26

2,046 10

53,16 3,85 10

P P

= ⋅ =

⋅

Het totale uitgestraalde vermogen is 53 keer zo groot als van de zon.

11.2 Sterren classificeren

Opgave 1

a De dichtheid bereken je met de formule voor de dichtheid.

Het volume bereken je met de formule voor de inhoud van een bol.

4 3 3π V= r

r = 0,21·Rzon (Zie BINAS tabel 32B) r = 0,21 × 6,963·10⁸ = 1,462·10⁸ m (Zie BINAS tabel 32C)

4 8 3

3π (1,462 10 )

V= ⋅ ⋅

V = 1,309 10²⁵ m³ m

ρ=V

m = 0,12 × 1,9884·10³⁰ = 2,386·10²⁹ kg (Zie BINAS Tabel 32C)

29 25

2,386 10 1,309 10

ρ= ^⋅

⋅

ρ = 1,8219·10⁴ kg/m³ Afgerond 1,8·10⁴ kg/m³

b Volgens BINAS tabel 32B geldt voor Proxima Centauri:

Teff = 2,6·10³ K = 2600 K en de lichtsterkte t.o.v. zon =

zon

0, 0018 L

L = = 18·10^-3 Dat is in figuur 11.1 het onderste bolletje aan de rechterkant.

c De kleur van het licht volgt uit de oppervlaktetemperatuur.

De oppervlaktetemperatuur volgt uit de wet van Wien.

w max

k λ = T

T = 2,6·10³ K (Zie BINAS tabel 32B) kw = 2,8977721·10^-3 m K (Zie BINAS tabel 7)

3

max 3

2,8977721 10 2,6 10 λ

⋅ −

=

⋅

λmax = 1,1145·10⁻⁶ m = 1115 nm

Uit BINAS tabel 22 volgt dat dit maximum in het nabije infrarood ligt maar er wordt ook nog straling in het zichtbare rood uitgezonden.

d Alleen sterren met een massa die groter is dan 20 zonmassa’s eindigen als een zwart gat.

Dus Proxima Centauri eindigt niet als zwart gat.

Opgave 2

a Uit figuur 11.11 in het basisboek leid je af dat de zon het grootste deel van haar levenscyclus in de hoofdreeks verblijft. De andere delen duren veel korter. Dus de verschillende stappen van het pad duren niet even lang.

b Zie tabel 11.1.

overgang temperatuur straal lichtsterkte

1 hoofdreeks

rode reus

neemt af neemt toe neemt toe

2 rode reus

planetaire nevel

neemt toe neemt af blijft ongeveer

gelijk 3 planetaire nevel

witte dwerg

neemt eerst toe, maar neemt vervolgens weer af

neemt af neemt af

4 witte dwerg

zwarte dwerg

neemt af blijft gelijk neemt af

Tabel 11.1

c De tijdschaal in figuur 11.11 in het basisboek is in miljarden jaren. De tussenstappen duren veel korter en zijn daarom niet te zien in deze figuur.

d Als de zon is veranderd in een witte dwerg, is alle brandstof verbruikt. Op dat moment is de

temperatuur van de zon zo hoog dat je een witte kleur ziet. Vervolgens koelt de ster af en uiteindelijk wordt er nauwelijks nog licht uitzonden. Dit neem je waar als een zwarte kleur.

Opgave 3 Zie figuur 11.2

Figuur 11.2 Toelichting:

1 Hoe lager de temperatuur des te meer absorptielijnen zijn er in het rode gedeelte van het spectrum te zien. Spectrum 2 heeft een absorptielijn in het rode gedeelte en heeft dus de laagste

temperatuur van 4000 K.

2 Hoe hoger de temperatuur des te meer absorptielijnen zijn er in het blauwe gedeelte van het spectrum te zien. Spectrum 1 heeft ten opzichte van de andere een extra absorptielijn in het baluwe gedeelte en heeft dus de hoogste temperatuur van 20000 K.

3 De andere drie verschillen in dikte van de absorptielijnen: hoe hoger de temperatuur des te groter is de absorptie.

Opgave 4

a Uit diagram 11.5 lees je af logT_eff = 3,5.

Hieruit volgt T_eff = 3,16·10³ K.

Afgerond 3,2·10³ K

b Vergelijk je figuur 11.6 met het Hertzsprung-Russeldiagram in BINAS tabel 33 dan zie je dat ster α behoort tot de reuzen en ster β tot de dwergen.

De kleur van het licht van een ster volgt uit de wet van Wien.

De oppervlaktetemperatuur volgt uit vraag 4a.

max w

k λ = T

k_w = 2,8977721·10^-3 m K (Zie BINAS tabel 7)

3

max 3

2,8977721 10 3,16 10 λ

⋅ −

= ⋅

λmax = 9,17·10⁻⁷ m = 917 nm

Uit BINAS tabel 22 volgt dat dit maximum in het nabije infrarood ligt maar er wordt ook nog straling in het zichtbare rood uitgezonden.

Dus de sterren zijn rood van kleur.

Ster α is dus een rode reus en ster β een rode dwerg.

c De verhouding van de middellijnen bepaal je uit de verhouding van de stralen.

De verhouding van de stralen bepaal je met behulp van de gegeven formule.

2 zon

zon zon

T

R L

R L T

 

= ⋅  

 

De temperatuur is voor beide gelijk, dus geldt:

zon zon

R L

R = L

Hieruit volgt dat voor de verhouding van de stralen van de sterren α en β geldt:

α α

β β

R L

R = L

Uit figuur 11.6 volgt voor ster α ^α

zon

log L 3,5

L = . Dus L_α=10^3,5⋅L_zon Uit figuur 11.6 volgt voor ster β ^β

zon

log L 1,8

L = − . Dus L_β=10^−1,8⋅L_zon

3,5 3,5 1,8

α α zon

β β 1,8 zon

10 10 447

10

R L L

R L L

+

−

= = ⋅ = =

⋅

α α

β β

2 447

2

d R

d = R = Afgerond: 4,5·10²

11.3 Spectraalanalyse

Opgave 1

a De golflengte bereken je met de formule voor de energie van een foton.

f

E h c λ

= ⋅

E_f = 2,0 eV = 2,0 × 1,602·10⁻¹⁹ = 3,204·10⁻¹⁹ J h = 6,6260·10⁻³⁴ Js

c = 2,9979·10⁸ m/s

34 8

19 6,6260 10 2,9979 10 3, 204 10

λ

− ⋅ − × ⋅

⋅ =

λ = 6,199·10⁷ m Afgerond: 6,2·10⁻⁷ m

b Het aantal fotonen per seconde bereken je met het vermogen dat op S₂ valt en de energie van een foton.

Het vermogen dat op S₂ valt, bereken je met het vermogen van de laserbundel en het percentage licht dat wordt doorgelaten door de spiegel.

uit in

percentage doorgelaten =P 100%

P ⋅ percentage doorgelaten = 1,0%

P_uit = 0,95 mW = 0,95·10⁻³ W

3

in

0,95 10

1,0% = 100%

P

⋅ −

⋅ P_in = 9,5·10⁻² W

in f

aantal fotonen per seconde =P E Pin = 9,5·10⁻² W

Ef = 3,204·10⁻¹⁹ J

2 19

9,5 10 aantal fotonen per seconde =

3, 204 10

−

−

⋅

⋅

aantal fotonen per seconde is dus 2,965·10¹⁷ Afgerond: 3,0·10¹⁷

c Het rendement bereken je met het vermogen van de laserbundel en het elektrisch vermogen.

Het elektrisch vermogen bereken je met de formule voor vermogen voor elektrische stroom.

P_elektr = U · I U = 230 V

I = 2,8 mA = 2,8·10⁻³ A P = 6,44·10⁻¹ W

laser elektr

P 100%

η =P ⋅

P_laser = P_uit = 0,95 mW = 0,95·10⁻³ W

3 1

0,95 10 6, 44 10 100%

η

−

−

= ⋅ ⋅

⋅

η = 1,475·10⁻¹ % Afgerond: 0,15%

Opgave 2

Er kan nooit meer energie worden uitgezonden dan er is geabsorbeerd. Een foton van rood licht heeft minder energie dan een foton van groen licht. Wil heeft dus gelijk.

Opgave 3

a Het elektron valt naar een lagere energietoestand. De grondtoestand heeft het laagste nummer, namelijk 1. Dus n is kleiner dan m.

b De overgang leid je af met de gegeven formule.

Het energieverschil bereken je met de formule voor de energie van een foton uitgedrukt in eV.

f

E h c λ

= ⋅

h = 6,6260·10⁻³⁴ Js c = 2,9979·10⁸ m/s λ = 397 nm = 397·10⁻⁹ m

34 8

f 9

6,6260 10 2,9979 10 397 10

E

−

−

⋅ × ⋅

= ⋅

E_f = 5,0035·10⁻¹⁹ J

∆E =

19 19

5,0035 10 1,60218 10

−

−

⋅

⋅ = 3,12296 eV

2 2

1 1

13,6 E

n m

 

∆ = ⋅ − 

 

Voor de eerste aangeslagen toestand geldt n = 2.

2

1 1

3,12296 13,6

4 m

 

= ×  − 

 

m = 7

De spectraallijn komt overeen met de overgang van de zevende aangeslagen toestand (m = 8) naar de eerste aangeslagen toestand (n = 2).

c Zie BINAS tabel 20, spectraalplaat 3 en BINAS tabel 21A.

De hoogste waarde van de golflengte in het zichtbare gebied is 656 nm.

De laagste is 384 nm.

Opgave 4 HV

a Met ‘thermische aanslag’ wordt bedoeld dat bij een hoge temperatuur een atoom, door een botsing met een ander atoom, in een aangeslagen toestand wordt gebracht. Tijdens de botsing wordt kinetische energie overgedragen. Wanneer het atoom terugvalt uit de aangeslagen toestand, wordt deze energie in de vorm van licht uitgezonden. De energieniveaus van een atoom zijn specifiek, hierdoor wordt alleen licht met specifieke energie en kleur uitgezonden. Dat leidt tot een lijnenspectrum.

Continue spectra ontstaan als deeltjes dicht op elkaar zitten. Dat is bij hoge temperaturen onder normale omstandigheden niet het geval.

b In BINAS tabel 20 zie je in het spectrum van natrium twee lijnen rond 590 nm.

c Calcium en strontium hebben behalve paarse emissielijnen ook andere kleuren in hun

emissiespectrum. Deze kleuren neem je ook waar als de paarse kleur minder goed zichtbaar is.

Kalium heeft uitsluitend lijnen in het paarse gebied.

Ihsane heeft dus gelijk.

d Bij een sterretje zitten de ijzerdeeltjes dicht op elkaar. Dit zorgt ervoor dat er een continu spectrum ontstaat. Als de temperatuur lager is dan 4000 K, ligt de golflengte van het stralingsmaximum in het infrarode gebied. Je ziet dan een rode of oranje kleur. Zie BINAS tabel 22.

11.4 Bewegende sterren

Opgave 1

a Roodverschuiving betekent dat Wega van ons af beweegt.

b De radiale snelheid bereken je met de formule voor de dopplerverschuiving.

v λ c λ

=∆ ⋅

∆λ = 0,012 nm = 0,012·10⁻⁹ nm λ = 350 nm = 350·10⁻⁹ nm c = 2,9979·10⁸ m/s

9

8 9

0, 012 10

2,9979 10 350 10

v

−

−

= ⋅ × ⋅

⋅

v = 1,027·10⁴ m/s Afgerond: 1,0·10⁴ m/s

c In BINAS tabel 5 staat 1pc =3,08572·10¹⁶ m.

Dus 23,7·10¹⁶ m komt overeen met

16 16

23,7 10

afstand = 7, 6805 pc 3,08572 10

⋅ =

⋅ .

Afgerond: 7,68 pc

d De afstand die Wega heeft afgelegd, bereken je met de verhouding tussen de omtrek van een cirkelbaan van Wega en het stukje cirkelbaan dat Wega heeft afgelegd.

Deze verhouding volgt uit de verhouding van de overeenkomstige middelpuntshoeken.

De hoek bij een cirkelbaan is 360°.

De hoek die Wega heeft afgelegd is 9,44·10⁻³ °.

Dus

3 5

afgelegde hoek Wega 9, 44 10

2,6234 10 hoek cirkelbaan Wega 360

− −

= ⋅ = ⋅ .

2π O= r

r = 23,7·10¹⁶ m

16 18

2π 23,7 10 1,4891 10 m

O= ⋅ ⋅ = ⋅

Wega 3

18 2,6234 10 1, 4891 10

d ₋

= ⋅

⋅

d_Wega = 3,9065·10¹³ m Afgerond: 3,91·10¹³ m Opgave 2

a Omdat de sterren in een cirkelbaan om elkaar bewegen, is er een middelpuntzoekende kracht nodig. De aantrekkingskracht tussen deze sterren zorgt voor de middelpuntzoekende kracht.

b De maximale verschuiving bereken je met de formule voor de dopplerverschuiving.

v λ c λ

=∆ ⋅

v = 4,8 km/s = 4,8·10³ m/s λ = 500 nm = 500·10⁻⁹ m c = 2,9979·10⁸ m/s

3 8

4,8 10 2,9979 10 500

λ

⋅ = ∆ × ⋅

∆λ = 8,005·10⁻¹² m

∆λ = 8,0·10⁻¹² m

c De verschuiving van de spectraallijn bij 500 nm hangt alleen nog af van de snelheid van de ster richting de aarde. De snelheid van de ster varieert voortdurend van richting omdat de sterren een cirkelbeweging maken. Dus verandert de verschuiving van de spectraallijn ook voortdurend.

d De straling in het ultrakorte golfgebied behoort tot de radiogolven. Deze golven worden niet door de atmosfeer geabsorbeerd en kun je goed op aarde meten.

Opgave 3

a waargenomen uitgezonden waargenomen

uitgezonden uitgezonden

1

z λ λ λ λ

λ λ λ

∆ −

= = = −

waargenomen uitgezonden

1

z λ

+ = λ

Uit c= f⋅λvolgt ^c λ= f

Invullen levert waargenomen waargenomen uitgezonden

uitgezonden waargenomen

uitgezonden

1

c

f f

z c f

f λ

+ = λ = =

b De waargenomen frequentie bereken je met de gegeven formule.

De waarde van z bereken je met de formule voor dopplerverschuiving en de formule voor z.

v λ c λ

=∆ ⋅ met z λ λ

=∆ Hieruit volgt:

v= ⋅z c

v = 5,5·10³ m/s c = 2,9979·10⁸ m/s 5,5·10³ = z · 2,9979·10⁸ z = 1,8346·10⁻⁵

uitgezonden waargenomen

1 f

z+ = f

fuitgezonden = 2040,00 MHz = 2040,00·10⁶ Hz

5 6

waargenomen

2040, 00 10 1,8346 10 1

f

− ⋅

⋅ + =

fwaargenomen = 2039,96·10⁶ Hz c Zie tabel 11.2.

aanpassing aan ontvanger effectief niet effectief verbeteren gevoeligheid van de ontvanger X vergroten bandbreedte van de ontvanger X

stuurbare antenne die gericht blijft op Huygens X Tabel 11.2

De gevoeligheid van de ontvanger zorgt er alleen voor dat zwakkere signalen ontvangen kunnen worden.

Het kunnen richten van de antenne zorgt ervoor dat het signaal beter / sterker wordt ontvangen.

Het vergroten van de bandbreedte zorgt ervoor dat variaties in de signaalfrequentie kunnen worden opgevangen.

d Voor de fase geldt ^t ϕ =T . Met f ¹

=Tvolgt voor de fase ϕ = ⋅t f .

Omdat de frequentie verandert, verandert dus ook de fase.

e In het oude scenario bewegen de Cassini en Huygens in dezelfde richting. De

dopplerverschuiving is dan recht evenredig met het verschil tussen de snelheid van Cassini en de snelheid van Huygens.

In het nieuwe scenario komt de Cassini de Huygens vanuit het oogpunt van de Cassini zijwaarts voorbij. De richtingen van hun snelheden staan vrijwel loodrecht op elkaar. Hierdoor is het verschil in snelheid in de bewegingsrichting van Huygens zeer klein. De

dopplerverschuiving is in dit scenario dus veel kleiner.