Een nieuwe sterftegrondslag voor de premiestelling van pensioenfonds PGGM

Een nieuwe sterftegrondslag voor de premiestelling

van pensioenfonds PGGM

Chantal de Jong

Een nieuwe sterftegrondslag voor de premiestelling van

pensioenfonds PGGM

Chantal de Jong

Samenvatting

Uit een gevoeligheidsanalyse uitgevoerd op de grondslagen van het premiestellingsmodel van PGGM blijkt dat sterfte van alle grondslagen de grootste invloed heeft op de basis-premie.

Verdere analyse laat zien dat de prestatie van de sterftegrondslag van PGGM in de laatste vijf jaren onder de maat is. In deze studie wordt een andere methode voorgesteld voor het bepalen van de sterftekansen om een betere grondslag te krijgen. In plaats van de sterfte-kansen te baseren op de overlevingstafels GBM/V, worden deze jaarlijks door middel van het AG-model geschat met behulp van gegevens van het CBS.

Deze voorspellingen worden voor een verzekerde populatie gecorrigeerd op grond van een vergelijking van de waargenomen sterftequoti¨enten van het CBS en van PGGM, voor de laatste vijf jaren, voor de leeftijden 25 tot en met 85 jaar.

Inhoudsopgave

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1 2 Probleemstelling 3 3 Gevoeligheidsanalyse 5 3.1 Uitleg sterftekansen . . . 5 3.2 De basispremie van PGGM . . . 7 3.3 Specificaties gevoeligheidsanalyse . . . 9 3.4 Resultaten gevoeligheidsanalyse . . . 11

4 Analyse huidige sterftegrondslag 13 4.1 Overlevingstafels GBM/V . . . 13

4.2 De sterftegrondslag van PGGM . . . 16

4.3 Prestatie huidige grondslag . . . 18

5 Modelkeuze 20 5.1 Beschrijving modellen . . . 20

5.1.1 Lee & Carter . . . 21

5.1.2 AG model . . . 22

5.1.3 Lineair . . . 23

5.2 Toetsen modellen op data PGGM . . . 24

5.3 Toetsen modellen op data CBS . . . 25

6 Nieuwe sterftegrondslag 27 6.1 Correctiefactoren . . . 28

6.2 Lage en hoge leeftijden . . . 30

6.3 Effect nieuwe sterftegrondslag . . . 32

7 Conclusie 34

Hoofdstuk 1

Inleiding

PGGM is het Pensioenfonds voor de Gezondheid, Geestelijke en Maatschappelijke belan-gen. De pensioenen van mensen die werkzaam zijn of zijn geweest in de sector zorg en welzijn zijn hier ondergebracht. PGGM beheert een pensioenvermogen van ruim 70 mil-jard euro. Dit vermogen is samengesteld uit pensioenpremies en beleggingsopbrengsten en vormt de bron voor het betalen van de pensioenen. Het bedrijf is gevestigd in Zeist en telt ruim duizend werknemers. Gezamenlijk zorgen deze werknemers voor het realiseren van de missie: ”Wij willen een toonaangevend pensioenfonds zijn. Voor de sector zorg en welzijn benutten wij onze collectieve kracht voor een solidaire pensioenvoorziening en op maat gesneden individuele dienstverlening. Door openheid, betrokkenheid en aandacht voor het duurzaam uitvoeren van onze taken willen wij onze positie voortdurend w´a´armaken en versterken.”

De Eerste Kamer heeft in december 2006 de Pensioenwet aangenomen. Deze Pensioenwet vervangt de oude Pensioen- en Spaarfondsenwet die sinds 1952 van kracht was. De nieuwe wet is op 1 januari 2007 ingegaan. Een belangrijk onderdeel van de nieuwe Pensioenwet is het vereiste voor een pensioenfonds om de verplichtingen te waarderen op marktwaarde. PGGM is al in 2005, vooruitlopend op de nieuwe Pensioenwet, overgegaan op marktwaar-de waarmarktwaar-dering van haar verplichtingen. Dit betekent onmarktwaar-der anmarktwaar-dere dat marktwaar-de waarmarktwaar-de van marktwaar-de verplichtingen moet worden gebaseerd op realistische grondslagen. Dit geldt ook voor de grondslag sterfte. Bovenstaande is voor PGGM aanleiding geweest om de sterftegrondslag te laten onderzoeken.

1 Inleiding

Om meer inzicht te krijgen in de mate van belang van de diverse grondslagen wil PGGM hierop een gevoeligheidsanalyse uitgevoerd hebben. Elk jaar voert PGGM een grondsla-genonderzoek uit waarin wordt gekeken welke grondslagen gelijk kunnen blijven en welke aangepast moeten worden. Als er grondslagen zijn die vrijwel geen invloed hebben op de premie kan overwogen worden om deze niet elk jaar te onderzoeken, maar bijvoorbeeld om de vijf jaar. Het uitvoeren van een gevoeligheidsanalyse kan duidelijk maken welke grondslagen hier voor in aanmerking komen.

Hoofdstuk 2

Probleemstelling

Allereerst wordt door middel van een gevoeligheidsanalyse gekeken hoe gevoelig de ba-sispremie van PGGM is voor veranderingen in de grondslagen. Verwacht wordt dat de grondslag sterfte van alle grondslagen de meeste invloed heeft op de basispremie. Dit kan met de gevoeligheidsanalyse aangetoond worden. Omdat de grondslag voor sterfte zo be-langrijk is wordt deze nog nader onderzocht. De zoektocht naar een goede sterftegrondslag voor PGGM staat centraal in dit onderzoek. Dit alles wordt goed weergegeven door de volgende twee vragen:

Heeft sterfte van alle bestandsgrondslagen de grootste invloed op de basispremie?

Op welke manier kan PGGM het beste de sterftegrondslag bepalen en welke invloed heeft deze nieuwe grondslag op de basispremie?

Om de zoektocht naar een goede sterftegrondslag te vereenvoudigen is de bovenstaande hoofdvraag opgedeeld in een aantal deelvragen. Op deze deelvragen wordt in de loop van het onderzoek een antwoord gezocht.

1. Hoe gevoelig is de basispremie van PGGM voor veranderingen in de grondslagen en voor de grondslag sterfte in het bijzonder?

Om tot een antwoord op de bovenstaande vraag te komen wordt eerst een gevoeligheids-analyse uitgevoerd. Hierin wordt het effect op de basispremie bepaald door de waarden van de grondslagen te vari¨eren. Het grootste deel van de grondslagen zal met een percentage veranderd worden. Voor een aantal grondslagen waaronder de kostengrondslagen is dit niet handig, hier wordt wordt dan gebruik gemaakt van een andere methode.

2 Probleemstelling

De sterftegrondslag geeft een voorspelling weer van de sterfte in het PGGM deelnemers-bestand. Door de grondslag voor een aantal jaren te vergelijken met de waargenomen sterfte kan worden gezien hoe goed deze voorspelling is geweest voor de afgelopen jaren, of de grondslag naar behoren functioneert. Behalve naar de sterftequoti¨enten zelf kan ook gekeken worden naar de levensverwachting die uit de sterftequoti¨enten voortkomt.

3. Welk model voor het voorspellen van sterftekansen maakt de beste voorspellingen voor PGGM?

Er zijn diverse modellen voor het voorspellen van sterftekansen beschikbaar. Van een aan-tal van deze modellen wordt uitgezocht of deze goed zijn toe te passen op de data van PGGM. Vervolgens wordt de werking van de modellen met elkaar vergeleken en moet een keuze worden gemaakt welke het beste past bij de situatie van PGGM. Deze keuze moet in overleg met PGGM gemaakt worden. Het gekozen model zal voortaan worden gebruikt voor het voorspellen van de sterftekansen.

4. Hoe moet de grondslag voortaan bepaald worden?

Verder moet worden uitgezocht welke data gebruikt worden voor het voorspellen van de sterftekansen. De keuzes die gemaakt moeten worden betreffen onder andere de peiljaren en de leeftijden die worden meegenomen. Alle modellen hebben als input de sterftequo-ti¨enten van een aantal voorgaande jaren. De keuze van het aantal en van de specifieke jaren die als invoer worden gebruikt, heeft invloed op de kwaliteit van de voorspellingen. Met betrekking tot de leeftijden is er het probleem van te weinig data. Het is pas sinds een aantal jaren mogelijk om ook op jonge leeftijd te beginnen met het opbouwen van een pensioen. Vroeger kon dit pas vanaf 25 jaar. Hierdoor zijn er voor de leeftijden tot en met 24 weinig gegevens beschikbaar. Ook voor de hoge leeftijden geldt dat er weinig gegevens beschikbaar zijn. Er wordt een aantal mogelijkheden met betrekking tot de keuze van de peiljaren en van de mee te nemen leeftijden onderzocht. Op basis hiervan wordt een besluit genomen hoe voortaan de sterftekansen moeten worden voorspeld.

5. Wat is het effect van de nieuwe grondslag op de basispremie?

Hoofdstuk 3

Gevoeligheidsanalyse

Allereerst staat in paragraaf 3.1 een korte uitleg over de notatie omtrent sterftekansen. Er wordt een afleiding gegeven hoe de levensverwachting bepaald kan worden op basis van sterftekansen. Ook het begrip force of mortality komt aan bod. Er wordt een benadering voor de force of mortality afgeleid die later waar later gebruik van wordt gemaakt. Ver-volgens wordt in paragraaf 3.2 uiteengezet hoe de basispremie van PGGM wordt bepaald. De gevoeligheidsanalyse die wordt uitgevoerd bepaalt de gevoeligheid van deze basispre-mie voor veranderingen in de bestandsgrondslagen. De details van de gevoeligheidsanalyse worden uiteengezet in paragraaf 3.3, de resultaten staan in paragraaf 3.4.

3.1

Uitleg sterftekansen

De stochast Tx geeft de resterende levensduur aan van een persoon van leeftijd x. Deze

persoon komt te overlijden op leeftijd x + Tx. De kans dat een persoon van leeftijd x nog

tenminste s jaar leeft wordtspx genoemd, er geldt datspx = P (Tx > s) = 1 − G(s), waarbij

G(s) de verdelingsfunctie van de stochast Tx is. De kans dat een persoon van leeftijd x

binnen s jaar komt te overlijden is sqx = P (Tx ≤ s) = G(s) = 1 −spx. De ´e´enjarige

overlevingskans 1px wordt ook wel geschreven als px. Hetzelfde geldt voor de ´e´enjarige

sterftekans qx. De s-jarige overlevingskansspx kan ook als volgt worden geschreven:

spx =

s−1

Y

k=0

px+k. (3.1)

Immers de kans dat een persoon van leeftijd x tenminste s jaar overleeft is gelijk aan de kans dat iemand van leeftijd x ´e´en jaar overleeft maal de kans dat iemand van leeftijd x + 1 het komende jaar overleeft tot en met de kans dat iemand van leeftijd x + (s − 1) ´e´en jaar overleeft.

Beschouw een groep personen van dezelfde leeftijd die door de tijd heen wordt geobserveerd. Het aantal personen dat nog in leven is op leeftijd x heet lx. Het aantal personen dat

3 Gevoeligheidsanalyse Uitleg sterftekansen

dx = lx− lx+1, namelijk het aantal personen van leeftijd x dat de leeftijd x + 1 niet bereikt.

De kans dat iemand de leeftijd x overleeft wordt geschat als ˆpx = lx+1_lx , namelijk de fractie

van de personen van leeftijd x die de leeftijd x + 1 bereikt. De s-jarige overlevingskans kan nu met behulp van formule 3.1 als volgt worden bepaald:

spˆx = s−1 Y k=0 px+k= s−1 Y k=0 lx+k+1 lx+k = lx+1 lx · lx+2 lx+1 · . . . ·lx+s−1 lx+s−2 · lx+s lx+s−1 = lx+s lx

De sterftekansen van de deelnemers van PGGM kunnen geschat worden met behulp van de aantallen lx en dx. In jaar t is l(x, t) het aantal deelnemers van leeftijd x en is d(x, t)

het aantal deelnemers van leeftijd x dat in dat jaar komt te overlijden. De sterftekans qx

in jaar t wordt voortaan genoteerd als q(x, t) en wordt geschat door ˆq(x, t) = d(x,t)_l(x,t).

De levensverwachting ex is de verwachte resterende levensduur van een persoon die nu de

leeftijd x heeft. Deze levensverwachting wordt als volgt berekend: ex =

∞

X

s=1

spx.

Door gebruik te maken van formule 3.1 en de wetenschap dat px = 1 − qx kan dit

omge-schreven worden naar formule 3.2. ex = ∞ X s=1 s−1 Y k=0 (1 − qx+k) (3.2)

Behalve de levensverwachting kan ook de sterfte-intensiteit, ofwel de force of mortality, µx+s geformuleerd worden. De force of mortality is de mate waarin de sterfte verandert op

een bepaalde leeftijd, ofwel:

µx+s= G0(s) 1 − G(s) = G0(s) spx . (3.3)

De force of mortality kan niet worden bepaald op deze manier, maar hij kan wel worden be-naderd. Hiervoor moeten eerst nog een aantal actuari¨ele begrippen worden ge¨ıntroduceerd. Allereersts|tqx, dit is een s-jaar uitgestelde t-jarige sterftekans van een x-jarige. Ofwel een

persoon van leeftijd x leeft eerst nog zeker s jaar en komt daarna binnen t jaar te overlijden.

s|tqx = P (s < Tx ≤ s + t) = G(s + t) − G(s)

Vervolgens istqx+sde kans dat een persoon van leeftijd x+s binnen t jaar komt te overlijden. tqx+s = P (Tx+s ≤ t) = P (Tx ≤ s + t|Tx > s)

= P (s < Tx ≤ s + t) P (Tx > s)

= s|tqx

3 Gevoeligheidsanalyse De basispremie van PGGM

Ofwel:

s|tqx = spx tqx+s (3.4)

Uit formule 3.3 weten we dat G0(s) =spxµx+s. We veronderstellen dat de verdelingsfunctie

G(s) van de stochast Tx continu is. Nu geldt G0(s)ds = P (s < Tx ≤ s + ds). Als nu ds

door t wordt vervangen dan geldt voor kleine waarden van t:

s|tqx = P (s < Tx ≤ s + t) = G0(s)t

= spxµx+st. (3.5)

Uit de vergelijkingen 3.4 en 3.5 volgt de volgende benadering voor de force of mortality voor kleine waarden van t:

µx+st ≈ tqx+s.

In hoofdstuk 5 wordt gebruik gemaakt van deze benadering voor t = 1, dus µx+s≈ qx+s.

3.2

De basispremie van PGGM

PGGM bepaalt jaarlijks de pensioenpremie met de modellen Dynamo, wat staat voor dyna-misch premiestellingsmodel, en ALM. Met deze modellen wordt een schatting gemaakt van de kostprijspremie voor de komende 40 jaar. Deze kostendekkende premie wordt zodanig bepaald dat het totaal aan premie-inkomsten in een jaar gelijk is aan de totale verwachte uitkeringen in dat jaar. Dynamo heeft als input het deelnemersbestand van PGGM en diverse grondslagen. De grondslagen zijn onder te verdelen in bestandsgrondslagen en eco-nomische grondslagen.

PGGM vraagt aan haar deelnemers een pensioenpremie voor de opbouw van nieuwe pensi-oenrechten. Het percentage pensioenpremie is voor alle deelnemers gelijk. Dit percentage bestaat uit een basispremie en een opslag. Dit premiesysteem is onderdeel van de nieuwe financi¨ele opzet die PGGM in 2005 heeft ontwikkeld. De hoogte van de basispremie is afhankelijk van de kostprijspremie. De opslag in de premie is afhankelijk van de stand van de dekkingsgraad. De dekkingsgraad is ´e´en van de belangrijkste maatstaven van een pensioenfonds. Het geeft aan of het pensioenfonds solvabel genoeg is, en wordt bepaald door het pensioenvermogen te delen door de contante waarde van de toekomstige pensi-oenverplichtingen.

3 Gevoeligheidsanalyse De basispremie van PGGM

wordt de feitelijke premie van PGGM bij een dekkingsgraad lager dan 130% bepaald door een opslag te heffen bovenop de basispremie.

Het verloop van de kostprijspremie voor de jaren 2007 tot en met 2046 is afgebeeld in figuur 3.1. De kostprijspremie en de basispremie worden bepaald als percentage van de pensioengrondslag. Dit wordt berekend als het salaris minus de franchise (S-F). Bij figuur 3.1 moet opgemerkt worden dat de eerste paar jaar niet worden meegenomen in het bepa-len van de basispremie, deze wordt bepaald met prognoses vanaf 2010. De kostprijspremie is in de eerste jaren zo hoog omdat er in die jaren nog overgangsregelingen gelden, deze komen vanaf 2010 te vervallen. Deze overgangsregelingen staan samen met een korte uit-leg van de diverse soorten pensioenen die PGGM aanbiedt als een samenvatting van de pensioenregeling in bijlage A. Jaartal Premie (% over S-F) 2010 2020 2030 2040 19 20 21 22 23

Figuur 3.1: Het verloop van de kostprijspremie van 2007 tot en met 2046.

3 Gevoeligheidsanalyse Specificaties gevoeligheidsanalyse

opbouwpercentage voor het kapitaalgedekte nabestaandenpensioen vanaf 1 januari 2021. Het opbouwpercentage wordt verhoogd van 0,625% naar 1,05%. Hierdoor worden meer rechten opgebouwd voor nabestaandenpensioen en zijn er hogere premie-inkomsten nodig om de kosten te dekken.

De basispremie wordt bepaald door de mediaan te nemen van vijftien achtereenvolgende kostprijspremies. Zo wordt de basispremie van 2010 bepaald door de mediaan te nemen van de kostprijspremies van de jaren 2010 tot en met 2024. De mediaan is niet erg gevoelig voor outliers maar houdt wel rekening met de toekomstige stijging van de kostprijspremie. Om te proberen de basispremie lichtelijk constant te houden wordt deze afgerond op veel-vouden van 0,2. Dit houdt in dat als de berekende basispremie bijvoorbeeld 19,32 is, deze wordt afgerond naar 19,4.

De basispremie voor de jaren 2007 tot en met 2010 worden allemaal bepaald door de medi-aan te nemen van de kostprijspremies van de jaren 2010 tot en met 2024. Met de huidige schatting van de kostprijspremies levert dit een basispremie op van 19,39. Dit wordt ver-volgens afgerond naar 19,4.

3.3

Specificaties gevoeligheidsanalyse

De input van Dynamo bestaat uit een groot aantal bestandsgrondslagen. Een deel van deze grondslagen komt binnenkort te vervallen vanwege veranderingen in de pensioenregeling. Hierdoor is het niet nodig alle grondslagen mee te nemen in de gevoeligheidsanalyse. Voor de grondslagen die wel worden meegenomen moet gekeken worden hoe deze het beste gevarieerd kunnen worden. Een overzicht van alle grondslagen die nu in Dynamo zitten is met een korte beschrijving te vinden in appendix B. Van de volgende grondslagen wordt gekeken hoeveel invloed zij hebben op de basispremie:

• Sterfte

• Bestandsgroei • Ontslag

• Arbeidsongeschiktheid

3 Gevoeligheidsanalyse Specificaties gevoeligheidsanalyse

Voor de grondslag sterfte maak ik gebruik van e0, de levensverwachting uit formule 3.2

voor leeftijd x = 0. De sterftekansen qx uit de huidige grondslag worden vermenigvuldigd

met een factor zodanig dat de levensverwachting verandert. Vervolgens wordt Dynamo doorgerekend met een daling van 1 en 2 jaar en een stijging van 1, 2 en 3 jaar in de levens-verwachting.

Voor een aantal grondslagen staan in tabel 3.1 de situaties die worden doorgerekend met de gevoeligheidsanalyse. Het leeftijdsverschil, leeftijd man minus leeftijd vrouw, is momenteel -3. De excassokosten bedragen 1% tijdens de opbouwfase en 2% tijdens de afwikkeling. De administratiekosten zijn 0,5% over de pensioengrondslag (S − F ) voor het ouderdomspen-sioen, partnerpensioen en wezenpensioen. Voor het FLEX-pensioen bedragen de admini-stratiekosten 0,1% over de pensioengrondslag S.

Tabel 3.1: Diverse scenario’s voor de gevoeligheidsanalyse van de grondslagen.

Grondslag Variaties Leeftijdsverschil -5 -4 -2 -1 Excassokosten opbouwfase 0% 2% 3% 4% Excassokosten afwikkeling 0% 4% 6% 8% Administratiekosten OP/PP/WzP 0% 1% 1,5% 2% Administratiekosten FLEX 0% 0,2% 0,3% 0,4%

Voor de grondslagen in tabel 3.2 heb ik besloten om ze te vari¨eren door een percentage op te tellen bij dan wel af te trekken van de huidige situatie. De FLEX-kansen worden niet gevarieerd met positieve percentages. De FLEX-gebruikmakingskans wordt bepaald door 1 minus de overige uittredingskansen. Hierbij horen de kansen op arbeidsongeschiktheid, sterfte en OBU. Deze FLEX-kansen zijn al behoorlijk groot en stijgen waarschijnlijk niet verder. Hierdoor is besloten alleen te vari¨eren met negatieve percentages.

3 Gevoeligheidsanalyse Resultaten gevoeligheidsanalyse

Tabel 3.2: Voor deze grondslagen wordt de gevoeligheidsanalyse uitgevoerd met procentu-ele veranderingen ten opzichte van de huidige situatie.

Grondslag Veranderingen ten opzichte van huidige situatie

Bestandsgroei -30% -20% -10% 10% 20% 30% Ontslag -20% -10% -5% 5% 10% 20% Arbeidsongeschiktheid -50% -30% -15% 15% 30% 50% Reactivering met -50% -30% -15% 15% 30% 50% terugkeer in de sector Reactivering zonder -50% -30% -15% 15% 30% 50% terugkeer in de sector Samenwonen -15% -10% -5% 5% 10% 15% Ruilen OP-PP -15% -10% -5% 5% 10% 15% FLEX-kans -30% -25% -20% -15% -10% -5%

3.4

Resultaten gevoeligheidsanalyse

De resultaten van de gevoeligheidsanalyse voor de grondslag sterfte staan grafisch weerge-geven in figuur 3.2. Als de levensverwachting met ´e´en jaar toeneemt dan stijgt de premie met 0,50 procentpunt. Andersom, als de levensverwachting met ´e´en jaar daalt dan daalt de premie met 0,50 procentpunt. Het is opvallend dat het verband vrijwel lineair is, een goede verklaring hiervoor is er echter nog niet.

Extra verwachte levensduur (in jaren)

Premie (% over S-F) -2 -1 0 1 2 3 18.5 19.0 19.5 20.0 20.5 Aangepast Standaard

Figuur 3.2: De basispremie 2010 bij verandering in de levensverwachting.

3 Gevoeligheidsanalyse Resultaten gevoeligheidsanalyse

hier zijn de bijbehorende basispremies van 2010 bepaald. In tabel 3.3 staan de resultaten voor de kostengrondslagen en voor het leeftijdsverschil. Het leeftijdsverschil heeft weinig invloed op de basispremie, de kosten daarentegen wel meer. De basispremie is vooral ge-voelig voor veranderingen in de administratiekosten.

Tabel 3.3: Effect op de basispremie bij een aanpassing van de grondslag.

Grondslag Verandering Basispremie Absolute verschil

Leeftijdsverschil 1 jaar extra 19,43 0,04

Excassokosten Verdubbeling 19,59 0,20

Administratiekosten Verdubbeling 20,02 0,63

In tabel 3.4 zijn de veranderingen weergegeven van de basispremie voor 2010 bij een daling in de desbetreffende grondslag van 10%. De totale tabel met de resultaten staat in bijlage C. Wat in tabel 3.4 niet te zien is, maar in de tabel van bijlage C wel is dat voor alle grondslagen geldt dat het verband vrijwel lineair is.

Tabel 3.4: Effect op de basispremie bij een daling van 10% in de grondslag.

Grondslag Basispremie Absolute verschil

Hoofdstuk 4

Analyse huidige sterftegrondslag

In het komende hoofdstuk wordt de huidige sterftegrondslag van PGGM geanalyseerd. Op dit moment worden de overlevingstafels GBM/V van het Actuarieel Genootschap gebruikt als basis voor de sterftegrondslag. In deze overlevingstafels staan de sterftequoti¨enten voor de gehele bevolking. Om de sterftegrondslag van PGGM te verkrijgen worden de overle-vingstafels gecorrigeerd met een factor. De reden hiervoor is dat de sterfte in het PGGM deelnemersbestand anders verloopt dan de sterfte in de hele bevolking. Een verzekerde populatie kent namelijk andere sterftequoti¨enten. Behalve de correctie voor een verzekerde populatie wordt nog een tweede correctie toegepast, de zogenoemde langleven correctie. De verwachting is namelijk dat mensen in de toekomst langer leven.

Om de vijf jaar publiceert het Actuarieel Genootschap (AG) de overlevingstafels Gehele Bevolking Mannen (GBM) en Gehele Bevolking Vrouwen (GBV). Deze overlevingstafels worden altijd achteraf gemaakt. Zo zijn begin 2007 de overlevingstafels 2000-2005 uitge-geven. De tafels worden gebaseerd op de waargenomen sterftequoti¨enten, verzameld door het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). De waargenomen sterftequoti¨enten van het CBS worden vanwege het grille verloop vaak ruwe sterftequoti¨enten genoemd. Voor de overlevingstafels wordt het gemiddelde genomen van de ruwe sterftequoti¨enten over zes jaren. In het geval van de nieuwste tafels is dit het gemiddelde over de jaren 2000 tot en met 2005. Het grillige verloop van sterftequoti¨enten wordt vervolgens gladgestreken door middel van een speciaal hiervoor ontwikkelde afrondingsalgoritme. Dit afrondingsalgorit-me wordt ook wel het Van Broekhoven afrondingsalgoritafrondingsalgorit-me genoemd, naar zijn bedenker Henk van Broekhoven.

4.1

Overlevingstafels GBM/V

De overlevingstafels die elke vijf jaar door het AG worden uitgegeven worden ook wel de AG-tafels genoemd. De tafels zijn gebaseerd op de sterftequoti¨enten van Nederlandse bevolking. Het CBS berekent elk jaar de ruwe sterftequoti¨enten qy(r), met y ∈ {0,12, 1

4 Analyse huidige sterftegrondslag Overlevingstafels GBM/V

Aangenomen wordt dat de verjaardagen van de mensen uniform over het jaar verdeeld zijn. De ruwe sterftequoti¨enten worden als volgt berekend:

q_y(r)= 2D(y) L1 y+ L2y+ D(y) y = 1 2, 1 1 2, ...

Waarbij y de gemiddelde leeftijd is, D(y) het aantal overledenen van leeftijd y, L1_y het aantal levenden van leeftijd y op 1 januari en L2

y het aantal levenden van leeftijd y op 31

december. De sterftequoti¨ent voor leeftijd 0 wordt berekend door het aantal doden onder levendgeborenen (D) te delen door het aantal levendgeborenen op 31 december (L2) plus het aantal doden onder levendgeborenen, ofwel:

q0 =

D L2_{+ D}.

Het AG gebruikt deze quoti¨enten om ze af te ronden met het Van Broekhoven afrondingsal-goritme. Het resultaat hiervan zijn de sterftequoti¨enten qx voor x = 0, 1, . . . , ω waarbij ω

de maximale leeftijd is die een persoon kan bereiken. Op dit moment is dit gelijk aan 115 voor mannen en 116 voor vrouwen. De berekeningen in het algoritme worden niet gedaan met q_x(r), maar met f(r)(x), een transformatie daarvan.

f(r)(x) = ln[− ln(1 − q_x(r))]

Er wordt aangenomen dat de functie f (x) een tweedegraads polynoom is, ofwel: f (x) = ln[− ln(1 − qx)] = a + bx + cx2.

Het idee achter het algoritme is dat de schatting voor qx wordt gebaseerd op ruwe

sterf-tequoti¨enten q(r)u voor u ∈ {x − 5, x − 4, . . . , x + 5}. Er wordt gebruik gemaakt van de

kleinste kwadraten methode. Voor elke x wordt de volgende Mean Squared Error (MSE) berekend: M SE = +5 X k=−5 [f (x + k) − f(r)(x + k)]2 = +5 X k=−5 [a + b(x + k) + c(x + k)2− f(r)_{(x + k)]}2_.

Vervolgens wordt voor elke x de MSE geminimaliseerd en kunnen de schattingen voor de co¨effici¨enten a, b en c worden opgelost. Het minimaliseren van deze kwadratische verschil-len kan met de matrix vermenigvuldiging f (x) = [1 x x2](X0X)−1X0y, waarbij:

4 Analyse huidige sterftegrondslag Overlevingstafels GBM/V

Vervolgens kan qx worden bepaald met de volgende transformatie:

qx = 1 − e−e

f (x)

In de hierboven beschreven methode wordt voor het bepalen van qx gebruik gemaakt van

de ruwe sterftequoti¨enten q(r)

x voor x tot 5 leeftijden terug. Het nadeel hiervan is dat deze

methode niet toegepast kan worden op de laagste leeftijden. Voor de leeftijden 0 en 1 wordt de benaderde sterftequoti¨ent gelijk verondersteld aan de ruwe sterftequoti¨ent, ofwel q0 = q

(r)

0 en q1 = q

(r)

1 . Voor de leeftijden 2 tot en met 5 wordt de bovenstaande methode

gebruikt maar dan met minder waarnemingen. Het aantal leeftijden naar beneden en boven waar naar wordt gekeken is x − 1. Ofwel voor leeftijd 2 wordt gekeken naar q(r)₂₋₁, . . . , q₂₊₁(r) en voor leeftijd 5 wordt gekeken naar q₅₋₄(r) , q₅₋₃(r) , . . . , q₅₊₄(r) .

Een tweede nadeel van het gebruikte algoritme is dat het niet goed werkt voor de hoge leeftijden. Daarom wordt voor de hoge leeftijden een andere methode van benaderen gebruikt. De leeftijd waarop het algoritme minder goed gaat werken wordt aangeduid met x0. Tot en met leeftijd x0 wordt het bovenstaande algoritme toegepast en daarna wordt

de andere methode gebruikt. Voor de hoge leeftijden wordt verondersteld dat de sterfte verloopt volgens de sterftewet van Gompertz, ofwel voor α, B > 0 geldt:

tpx = exp{

−B α e

αx_(eαt_{− 1)}. (4.1)}

Om de benadering met de Gompertz veronderstelling goed te laten aansluiten moet de levensverwachting van de ruwe sterftequoti¨enten gelijk zijn aan de levensverwachting onder de aanname van Gompertz. De levensverwachting onder de Gompertz veronderstelling wordt nu: e(gom)_x0 = ω X t=1 exp{−B α e αx0_(eαt_{− 1)}.}

De levensverwachting van de ruwe sterftequoti¨enten is:

e(ruw)_x 0 = ω−x0 X t=1 t−1 Y k=0 (1 − q_x(r) 0+k).

De sommatie loopt hier tot ω − x0 omdat voor waarden van t groter dan ω − x0 geldt dat

qx0+t = 1.

Om de sterftequoti¨enten voor de hoge leeftijden goed aan te laten sluiten bij de kansen voor de overige leeftijden geldt hier dat p(gom)_x0 = px0, waarbij px0 berekend is met het eerder

beschreven algoritme. Dit komt overeen met: px0 = exp{

−B α e

4 Analyse huidige sterftegrondslag De sterftegrondslag van PGGM

Nu moet het volgende stelsel worden opgelost voor α, B > 0:

ω X t=1 exp{−B α e αx0_(eαt_{− 1)} =} ω−x0 X t=1 t−1 Y k=0 (1 − q_x(r)_0+k) exp{−B α e αx0_(eα_{− 1)} = 1 − q} x0

Onder de veronderstelling van Gompertz geldt het volgende voor x > x0:

ln(px) ln(px0) = −B α e αx_(eα_{− 1)} −B α e αx0(eα− 1) = e α(x−x0)_, ofwel: ln(px) = eα(x−x0)ln(px0), dus: qx = 1 − exp{eα(x−x0)ln(px0)}.

Op deze manier worden schattingen gemaakt van qx voor diverse waarden van x0 vari¨erend

van 85 tot en met 105. Voor elk van deze waarden van x0kan de volgende grootheid worden

berekend: v u u t 105 X x=0 (qx− q (r) x )2.

De uiteindelijke leeftijd waarop over wordt gegaan op de andere methode is die x0waarvoor

de bovenstaande grootheid minimaal is. Hier wordt gebruik gemaakt van het kwadratische verschil gesommeerd vanaf 0 jaar, op deze manier kan gekeken worden voor welke waarde van x0 de beide methodes in zijn geheel het beste aansluiten.

4.2

De sterftegrondslag van PGGM

In 2003 heeft PGGM voor het laatst een uitgebreid onderzoek uitgevoerd om de sterf-tegrondslag vast te stellen. Als basis voor de grondslag wordt gebruik gemaakt van de overlevingstafels GBM/V (1995-2000) van het Actuarieel Genootschap. Omdat de sterf-tekansen van een verzekerde populatie niet gelijk zijn aan de sterfsterf-tekansen van de hele bevolking moet een correctie toegepast worden op de AG-tafels. De sterftekansen worden met een correctiefactor vermenigvuldigd zodat ze wel aansluiten bij het deelnemersbestand van PGGM. Verder wordt er nog een tweede correctie toegepast, namelijk voor de verwach-ting dat mensen in de toekomst langer leven.

4 Analyse huidige sterftegrondslag De sterftegrondslag van PGGM

een vergelijkbare methode. Voor het bepalen van de correctiefactoren wordt gekeken naar de leeftijden 25 tot en met 85. Van de overige leeftijden zijn te weinig data beschikbaar. Voor de leeftijden van 25 tot en met 63 wordt de grondslag bepaald door de overlevingskans van de GBM tafel (q_x(GBM )) te vermenigvuldigen met een factor c1. Voor de leeftijden

64 tot en met 85 worden de sterftequoti¨enten vermenigvuldigd met een factor c2. Deze

sterftequoti¨enten worden vergeleken met de waargenomen sterftequoti¨enten van PGGM

(q(P GGM )_x ) door te kijken naar de Mean Squared Error (MSE).

M SE = 63 X x=25 (q_x(P GGM )− c1qx(GBM )) 2₊ 85 X x=64 (q(P GGM )_x − c2qx(GBM )) 2

De correctiefactoren worden nu zodanig bepaald dat de MSE minimaal is. Deze berekening wordt voor de mannen en voor de vrouwen los uitgevoerd en dit levert de correctiefactoren uit tabel 4.1.

Tabel 4.1: Correctiefactoren voor de sterftegrondslag van PGGM.

Geslacht c1 c2

Mannen 0,68 0,89

Vrouwen 0,63 0,81

Verder wordt voor de sterftegrondslag nog rekening gehouden met sterfteverbetering in de toekomst. Allereerst wordt een schatting gemaakt van de overlevingstafels GBM/V voor de jaren 2000-2005, 2005-2010 en 2010-2015. Deze schatting is gebaseerd op acht vorige overlevingstafels, namelijk voor de jaren 1961-1965 tot en met 1995-2000. Er wordt per leeftijd een verband geschat tussen acht opeenvolgende sterftequoti¨enten. Eerst wordt de natuurlijke logaritme genomen van alle sterftequoti¨enten, vervolgens wordt met behulp van de kleinste kwadraten methode een rechte lijn door de waarnemingen getrokken. Deze wordt vervolgens doorgetrokken naar de jaren erna.

De drie geschatte toekomstige overlevingstafels worden vergeleken met de overlevingstafel 1995-2000. Er wordt voor alle leeftijden van alle drie toekomstige overlevingstafels een langlevenfactor ηx = q

toekomst x

qnu

x bepaald. Vervolgens wordt per toekomstige overlevingstafel

het gemiddelde genomen over alle leeftijden. Deze gemiddelden staan in tabel 4.2.

Tabel 4.2: Langlevenfactoren voor de jaren 2000-2005, 2005-2010 en 2010-2015.

2000-2005 2005-2010 2010-2015 Gemiddelde

Mannen 1,01 0,98 0,94 0,98

4 Analyse huidige sterftegrondslag Prestatie huidige grondslag

In de laatste kolom van tabel 4.2 staan de gemiddelden van de drie geschatte overlevingsta-fels, deze waarden worden de langlevenfactoren genoemd en worden voortaan gebruikt als correctiefactoren voor sterfteverbetering in de toekomst. Deze langlevenfactoren worden pas vanaf 2010 in de sterftegrondslag meegenomen. Voor de jaren tot 2010 worden alleen de correctiefactoren van tabel 4.1 toegepast op de AG-tafel. In de volgende paragraaf wordt gekeken of deze methode voor het bepalen van de sterftegrondslag goed genoeg is geweest.

4.3

Prestatie huidige grondslag

In deze paragraaf wordt de sterftegrondslag voor de jaren 2000 tot en met 2005 vergeleken met de waargenomen sterftequoti¨enten, om te kijken of de sterftegrondslag naar behoren gepresteerd heeft in de afgelopen jaren. Ik heb besloten om de waargenomen sterftequo-ti¨enten eerst met het Van Broekhoven Afrondingsalgoritme te benaderen door kansen met een gladder verloop. Op deze manier hebben de waargenomen sterftequoti¨enten eenzelfde behandeling ondergaan als de grondslag waarmee ze worden vergeleken.

De sterftegrondslag wordt net zoals de overlevingstafels GBM/V eens in de vijf jaar aan-gepast. De AG-tafels worden ook nog eens achteraf gemaakt, waardoor je als het ware achter de feiten aan loopt. Dit blijkt ook het geval te zijn met de sterftegrondslag. Als de waargenomen sterftequoti¨enten naast de grondslag worden gelegd dan valt op dat de sterftekansen te hoog ingeschat worden. Vooral voor de jaren 2000 tot en met 2003 was dit het geval. In 2004 is de grondslag aangepast en deze nieuwe grondslag sluit iets beter aan bij de waargenomen sterftequoti¨enten. Als de sterftekansen te hoog ingeschat worden dan leven de mensen in de praktijk langer dan verwacht, wat PGGM extra geld kost.

Tabel 4.3: Verschil in levensverwachting (waargenomen - grondslag) van een 25-jarige.

Jaar 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Mannen 2,17 2,36 2,47 3,01 0,96 1,68

Vrouwen 1,65 1,80 1,69 1,94 -0,35 -0,18

4 Analyse huidige sterftegrondslag Prestatie huidige grondslag

Hoofdstuk 5

Modelkeuze

Er bestaan diverse modellen voor het voorspellen van sterftekansen. In dit hoofdstuk wor-den drie van deze modellen bekeken en vergeleken. Ze worwor-den getoetst aan de hand van data van PGGM. Met de waargenomen sterftequoti¨enten van PGGM van 1994 tot en met 2002 wordt een voorspelling gemaakt van de sterftekansen voor de jaren 2003 tot en met 2005. De voorspelling kan vervolgens met de waargenomen sterftequoti¨enten vergeleken worden. PGGM heeft helaas geen data beschikbaar van voor 1994, hierdoor is het mogelijk dat de modellen niet goed werken. Daarom zal ook een voorspelling gemaakt worden met gegevens van het CBS, deze bestaan uit meer waarnemingen en gaan verder terug in de tijd. Als nu blijkt dat geen van de modellen goed genoeg werkt met de beschikbare data van PGGM, wordt zoals gezegd gebruik gemaakt van de data van het CBS voor het bepalen van de sterftegrondslag. Er wordt dan een voorspelling gemaakt voor de sterftekansen op basis van de gehele bevolking. Om deze voorspelling te laten passen bij het deelnemersbestand van PGGM moet een correctie worden toegepast. Door de waargenomen sterftequoti¨enten van PGGM te vergelijken met die van het CBS kunnen correctiefactoren bepaald worden. Aan de hand van deze vergelijking worden nog een aantal keuzes gemaakt met betrekking tot de correctiefactoren. Allereerst het aantal correctiefactoren dat moet worden gebruikt. Vervolgens het aantal jaren waarop de factoren worden bepaald en tenslotte welke leeftij-den als basis voor de correctiefactoren worleeftij-den meegenomen.

5.1

Beschrijving modellen

5 Modelkeuze Beschrijving modellen

5.1.1

Lee & Carter

Het model dat in deze paragraaf besproken wordt is het model dat Ronald D. Lee en Lawrence R. Carter beschrijven in hun artikel Modeling and Forecasting U.S. Mortality uit 1992. In Nederland wordt dit model nog niet veel gebruikt, maar buiten Nederland is het een veelvuldig toegepast model. Het is dan ook de moeite waard om te kijken hoe dit model werkt met Nederlandse data.

Het model van Lee & Carter gebruikt als invoer voor T jaren de force of mortality µ(x, t), het aantal levenden in een bepaald jaar van een bepaalde leeftijd l(x, t) en het aantal over-ledenen per jaar d(t), dit zijn het aantal overover-ledenen d(x, t) gesommeerd over alle leeftijden. De gegevens zijn zoals gezegd beschikbaar voor T jaren terug in de tijd. De tijdsindex t loopt dan van 1 tot T , het laatste waarnemingsjaar. Met het model wordt een voorspelling gemaakt voor de jaren T + 1, T + 2, . . . , T + S.

Het volgende verband wordt verondersteld voor de force of mortality: ln[µ(x, t)] = a(x) + b(x)k(t) + (x, t). Voor de force of mortality wordt gebruik gemaakt van µx = qx. Deze

benadering is uitgelegd in paragraaf 3.1. Dit geeft het volgende verband: ln[q(x, t)] = a(x) + b(x)k(t) + (x, t). Deze vergelijking is niet eenduidig op te lossen, daarom worden de volgende restricties verondersteld:

ω X x=0 b(x) = 1 en T X t=1 k(t) = 0.

Gegeven deze restricties geldt dat a(x) kan worden geschat door het gemiddelde over de tijd van ln[q(x, t)], ofwel

ˆ a(x) = 1 T T X t=1 ln[q(x, t)]. Nu kan de eerste schatting k1_{(t) voor k(t) worden berekend:}

k1(t) =

ω

X

x=0

ln[q(x, t)] − ˆa(x).

Als voor elke x een regressie uitgevoerd wordt van ln[q(x, t)]−ˆa(x) op k1_{(t), dan kan hieruit}

een schatting voor b(x) worden bepaald. Dit komt overeen met:

5 Modelkeuze Beschrijving modellen

In de volgende stap wordt een nieuwe schatting ˆk(t) gemaakt voor k(t) door middel van vergelijking 5.1. Dit is een iteratief proces, waarbij voor k(t) de geschatte waarden uit de vorige stap, k1_{(t), als startwaarde worden genomen.}

d(t) =

ω

X

x=0

l(x, t)eˆa(x)+k(t)ˆb(x). (5.1)

Nu wordt ˆk(t) gemodelleerd met behulp van een ARIMA model. In het artikel wordt een random walk with drift gebruikt. Met het geschatte ARIMA model kan een voorspelling gemaakt worden voor ˆk(t), t = T +1, T +2, . . . , T +S. De co¨effici¨enten a(x) en b(x) worden constant verondersteld in de tijd. Met de voorspelling van ˆk(t) kan nu een voorspelling gemaakt worden voor ln[q(x, t)], namelijk:

ln[q(x, t)] = ˆa(x) + ˆb(x)ˆk(t), t = T + 1, T + 2, . . . , T + S. Ofwel,

q(x, t) = eˆa(x)+ˆb(x)ˆk(t), t = T + 1, T + 2, . . . , T + S.

5.1.2

AG model

In de komende paragraaf wordt een model besproken dat is ontwikkeld door de werkgroep Sterfte en Overleven van het Actuarieel Genootschap. Er wordt gebruik gemaakt van voortschrijdende gemiddelden om de sterftekansen glad te strijken.

Allereerst worden de ruwe sterftequoti¨enten afgerond met behulp van het Van Broekho-ven Afrondingsalgoritme, uitgelegd in paragraaf 4.1. De sterftequoti¨enten q(x, t) zijn de afgeronde sterftequoti¨enten qx in jaar t voor de leeftijden x = 20, 21, . . . , 90. Per leeftijd

wordt een 5-jarig voortschrijdend gemiddelde gemaakt. Dit levert de volgende gemiddelde sterftequoti¨enten op: Q(x, t) = 1 5 2 X k=−2 q(x, t + k), t = 3, 4, . . . , T − 2.

Voor elke leeftijd wordt nu een reductiefactor rx als volgt bepaald:

rx =

Q(x, T − 2) Q(x, 3)

!_{T −4}1

.

5 Modelkeuze Beschrijving modellen

Tenslotte kan een voorspelling gemaakt worden voor de sterftekansen voor de jaren T + 1, T + 2, . . . , T + S door middel van formule 5.2.

ˆ

q(x, T + k) = (αx)k+2Q(x, T − 2), k = 1, 2, . . . , S (5.2)

Het is opvallend dat bij het bepalen van de reductiefactoren rxalleen Q(x, 3) en Q(x, T −2)

gebruikt worden. Hierdoor worden alle tussenliggende jaren als het ware weggegooid. Wel-licht kan hier in de toekomst nog een verbetering gemaakt worden in het model.

5.1.3

Lineair

Het laatste model dat wordt besproken, is een model dat gebruik maakt van lineaire regres-sie. Allereerst om de sterftekansen per leeftijd te voorspellen, vervolgens om de sterftekan-sen over de leeftijden glad te strijken. Dit is een zeer eenvoudig model en zal vermoedelijk niet als beste uit de bus komen. De reden dat er toch naar gekeken wordt is om na te gaan of de modellen van de vorige paragrafen niet te ingewikkeld zijn.

Gegeven zijn de sterftequoti¨enten q(x, t) voor de leeftijden x = 25, 26, . . . , 85 en voor de jaren t = 1, 2, . . . , T . Voor elke leeftijd x wordt een lijn geschat door alle waarnemingen, q(x, t) = α(x) + β(x)t. Dit gebeurt met de kleinste kwadraten methode. Voor α(x) en β(x) kunnen de volgende schattingen worden bepaald:

ˆ α(x) = T P t=1 t2 PT t=1 q(x, t) − PT t=1 t PT t=1 t · q(x, t) T PT t=1 t2 ₋ PT t=1 t !2 en ˆ β(x) = T PT t=1 t · q(x, t) − PT t=1 tPT t=1 q(x, t) T PT t=1 t2₋ PT t=1 t !2 .

Vervolgens kan voor elke leeftijd x deze lijn worden doorgetrokken naar de toekomst. Er wordt S jaar vooruit voorspeld. De toekomstige sterftekansen worden berekend als ˆ

q(x, t) = ˆα(x) + ˆβ(x)t voor t = T + 1, T + 2, . . . , T + S. Deze voorspelde sterftekansen worden vervolgens per voorspeld jaar gladgestreken over de leeftijden door de volgende regressie uit te voeren:

5 Modelkeuze Toetsen modellen op data PGGM

Dit geeft de volgende schattingen voor a(t) en b(t):

ˆ a(t) = 85 P x=25 x2 P85 x=25 ln[− ln(1 − ˆq(x, t))] − P85 x=25 x P85 x=25 x · ln[− ln(1 − ˆq(x, t))] 61 P85 x=25 x2₋  ₈₅ P x=25 x 2 en ˆ_{b(t) =} 61 P85 x=25 x · ln[− ln(1 − ˆq(x, t))] − P85 x=25 x P85 x=25 ln[− ln(1 − ˆq(x, t))] 61 P85 x=25 x2₋  ₈₅ P x=25 x 2 .

De voorspelling van de sterftekansen kan nu als volgt bepaald worden: ˜

q(x, t) = 1 − exp{−eˆa(t)+ˆb(t)x}, t = T + 1, T + 2, . . . , T + S.

5.2

Toetsen modellen op data PGGM

Met de drie modellen uit de vorige paragraaf is een voorspelling van de sterftekansen van PGGM gemaakt voor de jaren 2003 tot en met 2005 voor de leeftijden 25 tot en met 85. Al snel blijkt dat de modellen niet goed werken met de beperkte data van PGGM. Voor de leeftijden 25 en 26 worden absurd hoge kansen voorspeld.

Leeftijd Sterftekans 25 26 27 28 29 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Waargenomen AG Lee & Carter

5 Modelkeuze Toetsen modellen op data CBS

Bij het AG model zijn de reductiefactoren voor de laagste leeftijden veel te groot en dit wordt steeds meer opgeblazen naarmate er verder in de toekomst voorspeld wordt. Ook het model van Lee & Carter heeft problemen met de beperkte data van de eerste leeftij-den. Dit geheel is goed te zien in figuur 5.1 waar de voorspelde sterftekansen voor mannen voor het jaar 2004 voor de leeftijden 25 tot en met 30 zijn weergegeven samen met de waargenomen kansen. Voor de overzichtelijkheid van de figuur is het lineaire model niet afgebeeld in figuur 5.1, want de voorspellingen komen goed overeen met de waargenomen sterftequoti¨enten.

Vanwege de veel te hoge sterftekansen voor de leeftijden onder de 30 jaar is het niet nodig te kijken naar de levensverwachting, deze wordt hierdoor te laag ingeschat. Het aantal waarnemingen voor leeftijden tot 30 jaar is duidelijk te weinig. Hierdoor is het interessant om te kijken hoe de modellen het er vanaf brengen met data van het CBS.

5.3

Toetsen modellen op data CBS

In de vorige paragraaf is gebleken dat de drie modellen uit paragraaf 5.1 niet goed werken bij de beperkte data van PGGM. Daarom heb ik nieuwe voorspellingen gemaakt met de sterftequoti¨enten van de hele Nederlandse bevolking, zoals berekend door het CBS.

Leeftijd Sterftekans 30 40 50 60 70 80 0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Waargenomen AG Lee & Carter Lineair

Figuur 5.2: Waargenomen en voorspelde sterftekansen voor mannen in 2004.

5 Modelkeuze Toetsen modellen op data CBS

gemaakt voor de jaren 2003 en 2004. De voorspellingen voor mannen voor het jaar 2004 zijn te zien in figuur 5.2.

Als figuur 5.2 vergeleken wordt met figuur 5.1 dan is duidelijk dat met de data van het CBS betere voorspellingen worden gemaakt dan de data van PGGM. Hierom heb ik besloten om de data van het CBS te gebruiken voor het voorspellen van de sterftekansen. Er moeten dan wel correctiefactoren worden bepaald om deze voorspellingen aan te laten sluiten bij de data van PGGM. In het volgende hoofdstuk worden een aantal mogelijkheden bekeken voor het bepalen van de correctiefactoren.

Op basis van de voorspelde sterftekansen kan de levensverwachting berekend worden. Ik heb voor alle voorspellingen en voor de waargenomen sterftequoti¨enten een levensverwach-ting berekend en deze is voor 45-jarige mannen weergegeven in tabel 5.1.

Tabel 5.1: Levensverwachting voor mannen op leeftijd 45.

2003 2004

Waargenomen 32,03 32,37

AG 31,87 31,98

LeeCarter 31,72 31,84

Lineair 31,82 31,94

Uit het voorgaande blijkt dat het AG model de beste voorspelling maakt. Dit is dan ook ´

Hoofdstuk 6

Nieuwe sterftegrondslag

In het vorige hoofdstuk is de keuze gemaakt voor het te gebruiken model om de sterfte-kansen te voorspellen. Vanaf nu wordt het AG model hiervoor gebruikt. In paragraaf 5.2 is gebleken dat het AG model niet goed werkt met de beperkte data van PGGM. Om deze reden heb ik besloten om de data van het CBS te gebruiken voor het voorspellen van de sterftekansen. Omdat de sterftekansen van het CBS zijn gebaseerd op de hele bevolking moet een correctie worden toegepast op de voorspellingen om ze goed te laten aansluiten bij het deelnemersbestand van PGGM. Dit kan door per geslacht ´e´en of meerdere correc-tiefactoren te gebruiken. Er wordt gekeken naar het meenemen van ´e´en factor β voor alle leeftijden, en naar twee correctiefactoren β1 en β2, er is dan sprake van een knipleeftijd xk.

Voor alle leeftijden kleiner of gelijk aan de knipleeftijd wordt de factor β1 gebruikt en voor

alle leeftijden groter dan de knipleeftijd wordt de factor β2 gebruikt.

Om te kijken welke keuzes omtrent de correctiefactoren het beste werken, wordt een voor-spelling gemaakt voor de jaren 2000 tot en met 2005, op basis van waargenomen sterfte-quoti¨enten in de jaren 1986 tot en met 1999. De correctiefactoren kunnen geschat worden door een vergelijking te maken tussen de waargenomen sterftequoti¨enten van PGGM en van het CBS. Ik ga kijken naar twee mogelijkheden met betrekking tot het aantal peiljaren voor de correctiefactoren. De eerste mogelijkheid is het meenemen van de laatste 5 jaren, een tweede mogelijkheid is om slechts de laatste 2 jaren mee te nemen. Voor het bepalen van de beste methode komt dit neer op de jaren 1995 tot en met 1999 in het eerste geval en 1998 en 1999 in het tweede geval.

6 Nieuwe sterftegrondslag Correctiefactoren

6.1

Correctiefactoren

Er is een voorspelling voor de sterftekansen van het CBS voor de jaren 2000 tot en met 2005 op basis van het AG model. Deze kansen worden vermenigvuldigd met de correctie-factoren om een voorspelling te krijgen voor de sterftekansen van PGGM. Er zijn in totaal acht mogelijkheden voor het bepalen van de correctiefactoren, deze staan in tabel 6.1. Voor alle acht opties wordt een voorspelling gemaakt van de sterftekansen van PGGM voor de jaren 2000 tot en met 2005. Deze voorspelling wordt vergeleken met de waargenomen sterftequoti¨enten van PGGM en hier wordt een Mean Squared Error (MSE) van bepaald.

Tabel 6.1: Alle acht mogelijkheden voor de correctiefactoren.

1 correctiefactor 2 correctiefactoren

Optie Leeftijden Jaartallen Optie Leeftijden Jaartallen

1 20-90 95-99 5 20-90 95-99

2 20-90 98-99 6 20-90 98-99

3 25-85 95-99 7 25-85 95-99

4 25-85 98-99 8 25-85 98-99

Knipleeftijd

Mean Squared Error

60 65 70 75 80 0.003 0.004 0.005 0.006 Optie 5 Optie 6 Optie 7 Optie 8

Figuur 6.1: Mean Squared Error per knipleeftijd voor mannen.

6 Nieuwe sterftegrondslag Correctiefactoren

zijn weergegeven in figuur 6.1. Wat opvalt in deze figuur is dat optie 7 verreweg het beste is. Deze mogelijkheid geeft de kleinste kwadratische fout en levert dus de beste voorspelling van de sterftekansen van PGGM.

De optimale knipleeftijd is die leeftijd waarop de kwadratische fout minimaal is. Uit figuur 6.1 blijkt dat optie zeven de beste keuze is voor de mannen. Optie zeven uit figuur 6.1 is uitvergroot weergegeven in figuur 6.2. Uit deze figuur blijkt dat de optimale knipleeftijd 66 is. Voor de vrouwen kan een soortgelijke analyse gedaan worden. Bij de vrouwen is optie 7 ook heel goed, maar optie 8 levert een iets lagere kwadratische fout. Ook de optimale knipleeftijd is niet direct duidelijk, er lijken twee locale minima te zijn op de leeftijden 67 en 68 aan de ene kant en 73 aan de andere kant. PGGM heeft gekozen om voor de vrouwen 68 als knipleeftijd te gebruiken.

Knipleeftijd

Mean Squared Error

60 65 70 75 80

0.0033

0.0034

0.0035

0.0036

Figuur 6.2: Mean Squared Error per knipleeftijd voor mannen met een correctiefactor volgens mogelijkheid zeven.

Nu de knipleeftijden bekend zijn kan voor alle acht mogelijkheden voor het bepalen van de correctiefactoren de kwadratische fout op een rij gezet worden. Dit is gedaan in figuur 6.3. Hieruit valt af te leiden dat optie 7 voor mannen de beste keus is, de variant met ´e´en correctiefactor levert een hogere MSE. Voor de vrouwen is optie 8 minimaal, met optie 7 er vlak achter. Om de methode verder niet te veel te laten verschillen tussen mannen en vrouwen hebben zij ook besloten om voor de vrouwen ook optie 7 te gebruiken. Samen-gevat kan worden gezegd dat de correctiefactoren worden bepaald door te kijken naar de leeftijden 25 tot en met 85 en naar de laatste 5 jaar.

6 Nieuwe sterftegrondslag Lage en hoge leeftijden

met 2004. Voor het bepalen van de correctiefactoren worden de laatste vijf jaren gebruikt, ofwel 2000 tot en met 2004. Voor de mannen wordt een knipleeftijd gebruikt van 66 jaar en voor de vrouwen 68 jaar. De correctiefactoren die nu bepaald kunnen worden staan in tabel 6.2.

Optie

Mean Squared Error

2 4 6 8 0.0 0.002 0.004 0.006 0.008 _Mannen Vrouwen

Figuur 6.3: Mean Squared Error voor alle acht mogelijkheden voor correctiefactoren.

Tabel 6.2: De correctiefactoren bij een knipleeftijd 66 voor mannen en 68 voor vrouwen.

≤ xk > xk

Mannen 0,88 1,06

Vrouwen 0,81 1,00

Het eerste deel van de grondslag is nu klaar. Er kan een voorspelling gemaakt worden voor de sterftekansen van PGGM voor de leeftijden 25 tot en met 85. Wat nog rest is de bepaling van de sterftekansen voor de leeftijden 0 tot en met 14 en 86 jaar en ouder.

6.2

Lage en hoge leeftijden

6 Nieuwe sterftegrondslag Lage en hoge leeftijden

2007 en 2008. Deze reductiefactoren zijn weergegeven in figuur 6.4. Zoals te verwachten zijn de reductiefactoren voornamelijk kleiner dan 1, hetgeen betekent dat de mensen naar verwachting in 2008 iets langer leven dan in 2007. Alleen voor vrouwen van de leeftijden 44 tot en met 52 geldt dat de reductiefactor groter dan 1 is, wat betekent dat er in 2008 meer vrouwen van die leeftijden komen te overlijden in vergelijking met het jaar daarvoor.

Leeftijd Reductiefactoren 30 40 50 60 70 80 0.975 0.980 0.985 0.990 0.995 1.000 1.005 _Mannen Vrouwen

Figuur 6.4: Reductiefactoren van de voorspellingen van 2007 naar 2008.

Wat verder opvalt aan figuur 6.4 is dat voor de eerste 5 jaren de reductiefactoren redelijk constant zijn. Dit is een reden dat ik ervoor gekozen heb om voor alle leeftijden onder de 25 de reductiefactor voor leeftijd 25 te gebruiken. Voor de hoge leeftijden is het minder duidelijk omdat de reductiefactoren hier niet constant zijn. Toch heb ik er voor gekozen om voor alle leeftijden vanaf 86 gebruik te maken van de reductiefactor voor de leeftijd 85. De waargenomen sterftequoti¨enten van PGGM hebben geen of nauwelijks waarnemingen voor deze hoge en lage leeftijden daarom wordt ook hier de data van het CBS gebruikt om een voorspelling te maken. Om de sterftequoti¨enten van het CBS aan te laten sluiten met de data van PGGM worden deze eerst vermenigvuldigd met de correctiefactoren uit tabel 6.2. Vervolgens wordt per leeftijd het gemiddelde genomen over de quoti¨enten voor de jaren 2000 tot en met 2004, Qx. Voor de hoge en lage leeftijden wordt nu een voorspelling

gemaakt door deze gemiddelde sterftequoti¨ent voor elk jaar te vermenigvuldigen met de bepaalde reductiefactoren,

q(x, t) = r₂₅(t−2002)Qx, x = 0, 1, . . . , 24 t = 2005, 2006, . . . , 2050

en

6 Nieuwe sterftegrondslag Effect nieuwe sterftegrondslag

De voorspellingen voor de lage en hoge leeftijden kunnen nu samengevoegd worden met de eerste gemaakte voorspellingen voor de leeftijden 25 tot en met 85. De nieuwe grondslag is nu volledig en kan deze worden doorgerekend met het premiestellingsmodel om te kijken wat de effecten hiervan zijn.

6.3

Effect nieuwe sterftegrondslag

In paragraaf 6.1 is een voorspelling gemaakt voor de sterftekansen van PGGM voor de jaren 2007 tot en met 2050. Deze voorspelling was alleen voor de leeftijden 25 tot en met 85. In paragraaf 6.2 is deze voorspelling uitgebreid met de overige leeftijden wat resulteert in een volledige nieuwe grondslag voor sterfte. Nu kunnen Dynamo en ALM worden door-gerekend met deze nieuwe grondslag om te kijken wat het effect hiervan is op de basispremie. Het doorrekenen van de nieuwe grondslag blijkt een stijging te geven in de basispremie van 0,8 procentpunt over S-F. Dit komt redelijk overeen met wat je zou verwachten op basis van de gevoeligheidsanalyse. De levensverwachting op basis van de oude grondslag was al bekend, maar ook voor de nieuwe grondslag kan deze eenvoudig bepaald worden. Deze levensverwachtingen staan in figuur 6.3. Ook het verschil tussen de oude en de nieuwe grondslag is weergegeven in de tabel.

Tabel 6.3: De levensverwachting bij de oude en de nieuwe grondslag.

Oude grondslag Nieuwe grondslag Verschil

Mannen 76,76 81,08 4,32

Vrouwen 82,73 81,97 -0,76

Voor de mannen stijgt de levensverwachting met 4,32 jaar, bij de vrouwen daalt de levens-verwachting met 0,76 jaar. In totaal is er sprake van een stijging van de levenslevens-verwachting met 3,6 jaar. In hoofdstuk 3 is gebleken dat als zowel de mannen als de vrouwen naar verwachting een jaar langer leven, de basispremie hierdoor met 0,5 procentpunt stijgt. Of-wel bij een toename in de levensverwachting van in totaal 2 jaar stijgt de basispremie met 0,5 procentpunt. Dit betekent dat een toename in de levensverwachting van 3,6 jaar een stijging in de basispremie moet geven van 0,9 procentpunt. Uiteraard is het niet hetzelfde als de verandering in levensverwachting bij de mannen en vrouwen wordt opgeteld, maar het geeft een goede indicatie. Immers de stijging in de basispremie blijkt 0,8 procentpunt te zijn.

6 Nieuwe sterftegrondslag Effect nieuwe sterftegrondslag

Hoofdstuk 7

Conclusie

Uit de gevoeligheidsanalyse blijkt dat sterfte een grote invloed heeft op de basispremie. Als de levensverwachting van de deelnemers met 1 jaar toeneemt dan stijgt de basispremie met een half procentpunt. Het is opvallend dat het verband tussen de basispremie en de toena-me in levensverwachting lineair is. Andersom geldt dus ook dat als de levensverwachting met een jaar daalt dat ook de basispremie met een half procentpunt daalt. Van de overige grondslagen hebben de administratiekosten ook een behoorlijke invloed op de basispremie. De excassokosten hebben redelijk wat invloed op de basispremie, hetzelfde geldt voor de grondslag samenwonen. De overige grondslagen hebben weinig invloed op de basispremie. De oude grondslag gaf in de jaren 2000 tot en met 2005 niet altijd een goede voorspelling van de waargenomen sterftekansen. Alleen voor de vrouwen in de jaren 2004 en 2005 kwam de grondslag in de buurt van de waargenomen sterftekansen. Voor de rest heeft de grond-slag de levensduur van de deelnemers behoorlijk onderschat. In de jaren 2000 tot en met 2003 werd de levensverwachting van vrouwen met bijna 2 jaar onderschat wat betekent dat de basispremie met bijna 1 procentpunt te laag bepaald is. Voor de mannen geldt dat de levensverwachting in de jaren 2000 tot en met 2005 met ruim 2 jaar is onderschat, hierdoor is de basispremie ruim 1 procentpunt te laag bepaald. Omdat de premie te laag gezet is, is PGGM in deze jaren veel premie-inkomsten misgelopen, terwijl er wel meer uitkeringen gedaan moesten worden.

7 Conclusie

alle leeftijden tot en met 66 jaar en β2 = 1, 06 voor de leeftijden vanaf 67 jaar. Voor de

vrouwen geldt dat β1 = 0, 81 voor leeftijden tot en met 68 jaar en β2 = 1, 00 voor alle

leeftijden vanaf 69 jaar.

Bibliografie

[1] http://statline.cbs.nl. [2] http://www.ag-ai.nl.

[3] Overlevingstafels naar geslacht en leeftijd. Hoofdafdeling Bevolkingsstatistieken, Cen-traal Bureau voor de Statistiek, 1991-1995.

[4] AG-tafels. Actuarieel Genootschap, 2002.

[5] Hans U. Gerber. Life Insurance Mathematics. Springer, 1997.