D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde · dbnl

D.J. Struik

bron

D.J. Struik,Geschiedenis van de wiskunde. Uitgeverij Het Spectrum, Utrecht 2001 (vierde druk)

Zie voor verantwoording: http://www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/colofon.htm

© 2008 dbnl / erven D.J. Struik

Voor Ruth en Rebekka

Voorwoord bij de Nederlandse heruitgave

Vrienden hebben mij verzocht eens mee te delen hoe deze beknopte geschiedenis van de wiskunde is ontstaan. Dat gaat al een zestig jaar terug. Ofschoon ik in mijn Leidse studententijd wel eens op een college van J.A. Vollgraff ben geweest, dateert mijn actieve belangstelling in die geschiedenis van de jaren 1924-'25, toen ik, op de historische bodem van Italië, kennis maakte met Enea Bortolotti, G. Vacca, F.

Enriques en Gino Loria. Vooral Bortolotti fascineerde me door me te vertellen van zijn studie der zestiende-eeuwse algebristen, waarvan in Bologna nog heel wat manuscriptmateriaal bestaat. Dat waren de lieden die de numerieke oplossing van de derde en vierdemachtsvergelijkingen vonden, in de ‘époque héroïque des algébristes italiens du seizième siècle’, zoals de Franse wiskundige Jean Dieudonné het heeft uitgedrukt.

Ik ben toen ook begonnen met de Renaissance-wiskundigen te bestuderen in incunabelen en andere oude boeken en heb dit tussen allerlei andere bezigheden voortgezet, ook toen ik na dec. 1926 aan het Massachusetts Institute of Technology was verbonden. Af en toe heb ik ook wel iets gepubliceerd, o.a. over Paulus van Middelburg en Kepler als wiskundigen, en ik heb mijn belangstelling tot andere perioden van de geschiedenis der wiskunde uitgebreid. Ik heb ook wel eens een voordracht gegeven, zoals in 1935, toen ik in Haarlem voor GE-WI-NA (Genootschap voor Geschiedenis der Genees-, Wis- en Natuurkunde) over de Nederlandse wiskunde vóór Descartes sprak. Ik heb eveneens aan het M.I.T. enige colleges over de geschiedenis van de natuurwetenschappen en de wiskunde gegeven, maar daar was weinig belangstelling voor. Dat was vóór de Tweede Wereldoorlog, toen de humaniora nog weinig toegang hadden tot technische instituten.

Omstreeks 1946 kreeg ik van professor W. Prager, toentertijd aan de Brown University in Providence verbonden, het verzoek voor de toen pas opgerichte Dover uitgeversfirma in New York een korte geschiedenis der wiskunde te schrijven. Ik had al heel wat manuscriptmateriaal en ging op het aanbod in. MijnConcise History of Mathematics kwam in 1948 uit, in twee kleine deeltjes. Ik geloof dat het het enige oorspronkelijke boek is dat Dover heeft uit-

gegeven, de firma heeft zich geheel op de befaamde ‘reprints’ toegelegd.

Het boek werd goed ontvangen. Er bestond eigenlijk niet veel in het Engels over de geschiedenis der wiskunde. Het boek van F. Cajori was van 1919, herzien in 1936, Chelsea herdruk 1985, wat lang en droog. De twee boeken van D.E. Smith beperkten zich voornamelijk tot elementaire wiskunde en waren van 1925. R.

Archibald'sOutline, uit 1932, had veel feitenmateriaal in voetnoten en een zeer beknopte tekst (een zesde druk verscheen in 1949). Dan was er nog dat zeer leesbare, maar verouderde boek van W. Rouse Ball van 1888 (een zesde druk verscheen in 1915 en niet zo lang geleden kwam zelfs een Dover-herdruk uit). Ik kon gebruik maken van nieuwe onderzoekingen, o.a. over de Babylonische wiskunde, en voor de negentiende eeuw gaf Felix Kleins boek van 1926-'27 uitstekende, zij het ook wat eenzijdige, leiding. Een Engelse uitgave van mijn boek kwam in 1954 uit en in 1967 kon ik een derde druk bewerken, nu in één deel. De eerste vertalingen kwamen uit in Japan en China, in 1956. Daarna zijn er nog andere verschenen, een aantal ervan in socialistische landen als de USSR en de DDR, waar men het ook waardeerde omdat ik kans had gezien, ondanks het korte bestek, enige aandacht te wijden aan de betrekkingen tussen wiskunde en maatschappij. Sommige van deze vertalingen bevatten ook iets meer over het eigen land, de Russische over Čebyšev en Ljapoenov, de Servische over Boscovich, de Italiaanse over de gehele negentiende eeuw (geschreven door prof. Umberto Bottazzini). Sommige vertalingen hebben een eigen voorwoord en in de bibliografieën zijn enige titels in de taal van het land opgenomen. De Nederlandse vertaling heb ik zelf bewerkt, met een beetje meer over Nederland.

Dit brengt ons tot de wiskunde in Nederland. Die kunnen we laten beginnen met bisschop Adalbold van Utrecht, die onder invloed stond van de toen beste wiskundige van West-Europa, Gerbert, van 999 tot 1003 paus onder de naam Sylvester II. Rond 1050 vinden we ook Franco van Luik, een geestelijke, geïnteresseerd in de

cirkel-kwadratuur. Het peil van hun wiskunde was niet hoog en ze hebben geen school gemaakt. Uit de zuidelijke Nederlanden kwam Willem van Moerbeke, een dertiende-eeuwse Dominicaan, die veel uit het Grieks en het Latijn vertaalde, o.a.

enige werken van Archimedes.

Er zijn twee bloeiperioden in de Nederlandse wiskunde. De eerste is die van de Gouden Eeuw, beginnend omstreeks 1580 met Stevin

en eindigend rond 1700 met Johann Bernoulli in Groningen. Behalve Stevin en Bernoulli ontmoeten we hier als belangrijke figuren Snellius, Descartes, Van Schooten, Jan de Witt, Hudde en Christiaan Huygens. Hun werk is een belangrijke bijdrage tot de wetenschappelijke revolutie van die tijd.

Als we het tegenwoordige België erbij betrekken, begint deze eerste bloeiperiode met Gemma Frisius in Leuven rond 1540. In de volgende eeuw vinden we in Antwerpen Grégoire de Saint Vincent en André Tacquet, twee Jezuïeten die bijdragen hebben geleverd tot de tegenwoordige integraalrekening.

De tweede bloeiperiode is het tegenwoordige tijdperk, waarvan het begin samenvalt met de hele opleving van het geestelijk leven die het intreden van Nederland in de moderne industriële economie begeleidde. In de wiskunde vinden we hier de ‘mannen van '80’, D.J. Korteweg, J.C. Kluyver en P.H. Schoute, die getracht hebben de wiskunde in Nederland op internationaal peil te brengen. De ontwikkeling die zij hebben ingeleid, is doorgegaan. We hoeven alleen maar aan L.E.J. Brouwer, J.A. Schouten en J.G. van der Corput te denken, om van de levende wiskundigen nog niet eens te spreken.

Van deze geleerden heeft alleen Korteweg méér dan sporadisch aandacht besteed aan de geschiedenis van de wiskunde. De beoefening van deze geschiedenis gaat terug op Gerardus Joannes Vossius, de ‘hooghgeleerde Vos’ van Vondel, die in zijn De universae mathesius natura et constitutione (1650) een inderdaad hooggeleerde en uitvoerige opsomming heeft gegeven van namen, titels en soms inhoudsopgaven, met gelijksoortige vervelende compilaties van andere takken van wetenschap.

Daarna komt de Nederlandse vertaling van Etienne Montucla'sHistoire des mathématiques van 1758, even geestig als Vossius' opsomming dor. De vertaler was A.B. Strabbe, de stichter van het Wiskundig Genootschap (1778). ZijnHistorie der Wiskunde kwam tussen 1782 en 1804 uit. Strabbe had in de jaren 1773-1780 al het populaire boek over sterrenkunde van Lalande (1764) vertaald. Men kan deze wiskundige leren kennen in M. van Haaftens geschiedenis van het Wiskundig Genootschap (1923).

Dan komt David Bierens de Haan, hoogleraar in Leiden, met zijn studies over Nederlandse wiskundigen tussen 1874 en 1893, gedeeltelijk ook in boekvorm onder de titelBouwstoffen uitgegeven. Tussen 1898 en 1909 heeft ook de leraar N.L.W.H.

Gravelaar uit Deventer een aantal studies aan zestiende- en zeventiende-eeuwse

wiskundigen gewijd. Door J. Versluys is in 1902 een ‘Beknopte Geschiedenis der Wiskunde’ gepubliceerd, voornamelijk gebaseerd op de Duitse boeken van M.

Cantor.

In de eerste zestig jaar van onze eeuw leefden drie historici die ook buiten Nederland bekendheid hebben verworven, J.A. Vollgraff, C. de Waard en E.J.

Dijksterhuis. Vollgraff kreeg die bekendheid voornamelijk door zijn werk tussen 1910 en 1950 aan de laatste zeven delen van deOeuvres van Christiaan Huygens, De Waard door zijn editie van Isaac Beeckman en zijn bijdrage tot de edities van Mersenne en Paul Tannery, en Dijksterhuis doorDe Mechanisering van het Wereldbeeld (1950), dat met zijn vertalingen in het Duits en Engels één der beste, zo niet het beste werk over dit onderwerp is. We moeten ook pater H. Bosmans uit België niet vergeten, die in het Frans over verscheidene Nederlandse wiskundigen heeft geschreven. Ook nu bezit Nederland verdienstelijke historici der wiskunde.

De volgende afkortingen voor vaak geciteerde bronnen zijn gebruikt:

Historia Mathematica HM =

Archive for History of Exact Science AHES =

Dictionary of Scientific Biography DSB =

Dirk J. Struik

Belmont, Massachusetts december 1988

Woord vooraf bij de eerste druk

Het grote gedachtenavontuur dat wiskunde heet brengt ons in aanraking met gedachten en redeneringen die vaak het denken van eeuwen hebben beïnvloed.

Het is niet eenvoudig een overzicht te geven van de ontwikkeling van zulk een gebied, een overzicht dat ook maar enigszins recht doet aan de rijkheid van ideeën die het bezit en de invloed die ze hebben uitgeoefend. Zulk een overzicht samen te stellen wordt een oefening in zelfbeperking. De schrijver heeft het nochtans aangedurfd, nadat hij door de uitgever der Dover Boeken in New York daartoe werd aangemoedigd, en zo is de eerste uitgave van deConcise History of Mathematics in 1948 te New York verschenen. Sedertdien is dit boek herhaaldelijk herdrukt, herzien en vertaald. De tekst die we hier aanbieden, is door de schrijver zelf vertaald en bewerkt.

In de eerste plaats moest grote aandacht worden besteed aan de keuze van de stof. Het was duidelijk dat alleen de ontwikkeling van de voornaamste ideeën kon worden geschetst, en vaak moest dan toch nog slechts terloops naar belangrijke gebeurtenissen worden verwezen. Verscheidene figuren van betekenis, zoals Roberval, Čebyčev of Schwartz, moesten stilzwijgend worden voorbijgegaan en de bibliografie moest tot de voornaamste geschriften worden beperkt.

Het is te begrijpen dat we ook kort moesten zijn met het schetsen van de algemene maatschappelijke en culturele atmosfeer, waarin de wiskunde van een bepaalde periode tot verdere rijpheid - of verval - kwam. De wiskunde is in de loop der eeuwen beïnvloed door de handel en industrie, door de scheepvaart, de cartografie, de natuur- en sterrenkunde, het ingenieurswezen in oorlog- en vredestijd, de wijsbegeerte en de godsdienst, en heeft ook op haar beurt andere gebieden beïnvloed. We denken bijvoorbeeld aan de wederzijdse beïnvloeding van

hydrodynamica en functietheorie, van elektrodynamica en differentiaalvergelijkingen, van het landmeten en de meetkunde, van de invloed van het Cartesianisme of de Scholastiek op de infinitesimaalrekening. Zulke onderwerpen konden niet of slechts in een paar woorden worden behandeld. Toch kan men alleen een goed begrip van de loop en inhoud der wiskunde in een bepaald tijdvak verkrijgen, zo

men deze factoren in rekening brengt. Vaak moest ook in ons verhaal een verwijzing naar de literatuur de plaats innemen van een geschiedkundige beschouwing.

Onze beschrijving gaat tot het einde van de negentiende eeuw. Het is, althans voor schrijver dezes, onmogelijk het grote terrein van de nieuwere wiskunde zó te overzien, dat het met voldoende zakenkennis en redelijkheid in zijn geheel kan worden omvat en besproken. In plaats daarvan verwijzen we naar enige

monografieën, waarin een overzicht over gedeelten van het wiskundig onderzoek der laatste vijftig jaren wordt aangeboden.¹

Wij hopen, dat wij, ondanks al deze beperkingen, toch in staat zijn geweest de hoofdtrekken van het wiskundig onderzoek in de loop der eeuwen, en ook die van haar maatschappelijke en culturele betrekkingen vrij redelijk te hebben weergegeven.

De keuze kon ook met de beste wil van de wereld niet geheel objectief zijn, ze moest wel door de persoonlijke smaak, de kennis - of het gebrek aan kennis - van de schrijver worden beïnvloed. Het gebrek aan kennis komt bij voorbeeld tot uiting in de omstandigheid, dat het niet altijd mogelijk was de bronnen zelf te bestuderen, zodat de informatie tweedehands was. Wij raden daarom iedere lezer aan alle beweringen die hij in dit boek vindt, zo nodig aan de bronnen te toetsen, en dit geldt voor al zulke geschiedenissen. Er zijn verscheidene goede redenen voor een studie van de bronnen. Het is verkeerd schrijvers als Euklides, Diofantos, Descartes, Laplace, Gauss of Riemann alleen maar tweedehands te bestuderen. Er is in deze auteurs een oorspronkelijkheid en kracht van stijl, die op hun gebied niet onderdoen voor die van Cervantes of Shakespeare, en er zijn stukken van Archimedes, Fermat, Euler, Jacobi en vele andere wiskundigen, die even mooi zijn als de verzen van Vondel of van Horatius.

Hier volgen een aantal overwegingen, waardoor de schrijver zich heeft laten leiden.

1. Nadruk is gelegd op de continuïteit en het gelijksoortige karakter van de Oosterse wiskunde, ondanks de noodzaak van het soms mechanische opsplitsen in de culturen van Egypte, Babylonië, China, India en de Islam.

2. Getracht is een onderscheid te maken tussen vaststaand feit, hypothese en traditie, vooral in de wiskunde der Oudheid.

1 B.v. in de boeken van E.T. Bell (1945) en N. Bourbaki (1960), aangevuld door die van F. le Lionnais, zie inleiding. Zie verder het eind van hoofdstuk VIII.

3. De twee stromingen in de Renaissance-wiskunde, de arithmetisch-algebraïsche en de ‘infinitesimale’ zijn in betrekking gebracht met de commerciële en ingenieursbehoeften van die periode.

4. In de beschouwingen over de negentiende-eeuwse wiskunde hebben wij ons op personen en scholen gericht, en ons in de eerste plaats laten leiden door de geschiedenis van deze periode zoals Felix Klein die heeft geschreven. Zo men een uiteenzetting naar onderwerpen verlangt, dan kan men die vinden in de boeken van Cajori en Bell, of, met veel meer technische details, in de Encyclopaedie der mathematischen Wissenschaften (Leipzig 1898-1935, 24 delen), of, in korter bestek, in PascalsRepertorium der höheren Mathematik (Leipzig 1910 - 29, 5 delen).

De schrijver spreekt hier gaarne zijn dank uit aan dr. O. Neugebauer die zo vriendelijk is geweest het eerste hoofdstuk van dit boek te lezen, hetgeen tot verschillende verbeteringen heeft geleid; aan dr. A.P. Joesjkewitsj heeft hij verbeteringen in de secties over de Islam en aan dr. Kurt R. Biermann verscheidene bibliografische gegevens te danken. Voor de hulp bij het opsporen van andere tekorten is hij aangenaam verplicht aan wijlen dr. R.C. Archibald, aan dr. E.J. Dijksterhuis, de heer S.A. Joffe en aan andere lezers. Bij de bewerking van deze Nederlandse uitgave zijn enige verbeteringen aangebracht en sommige details over de wiskunde in Nederland verder uitgewerkt. Ook zijn enige in het Nederlands geschreven publikaties aangehaald.

1948

I. Het begin

1.

Voor onze eerste voorstellingen van getal en vorm moeten wij tot ver in het verleden teruggaan, tot in het Oudere Stenen Tijdperk, het Paleolithicum. Gedurende de honderdduizenden jaren van dit tijdperk, waarin de mensen vaak in holen leefden, was er in vele opzichten weinig verschil tussen de levenswijze van de mensen en die van de hogere dieren - met één belangrijke uitzondering: zij hadden het vuur.

Ze verschaften zich voedsel door jacht of visserij, of door het plukken van wilde gewassen. Ze traden met elkaar in gemeenschap en zo begon de taal zich te ontwikkelen. In de loop der millennia werd hun scheppend vermogen vergroot, en zo kunnen we nu nog hun kunstzinnige holschilderingen bewonderen. Die

schilderingen van dieren en jagers, die we in Spanje en Frankrijk vinden en die ongeveer 15.000 jaar oud zijn, hadden vermoedelijk rituele betekenis; in elk geval verraden ze een merkwaardige zin voor vormen. Meer dan dat, ze vertellen ons dat er een uitstekend begrip was voor een tweedimensionale afbeelding van

ruimtevormen.

De ontwikkeling van het getalbegrip en van ruimtelijke begrippen maakte grote vorderingen toen het uitsluitendvergaren van het voedsel begon plaats te maken voor deproduktie van voedingsmiddelen. Dit betekent dat naast jacht en visserij ook landbouw en veeteelt werden beoefend. Dat was een wezenlijke verandering in het menselijk bestaan, een ware omwenteling, waarin de mens van een passieve tot een actieve verhouding ten aanzien van de natuur overging. Dit nieuwe tijdvak wordt met de naam Neolithicum, het Nieuwere Stenen Tijdperk, aangegeven.

Deze grote omwenteling in de geschiedenis van de mensheid begon waarschijnlijk ongeveer 10.000 tot 15.000 jaar geleden, toen het ijsdek dat gedeelten van Europa en Azië had bedekt, zich had teruggetrokken en plaats had gemaakt voor vlakten, moerassen en wouden. Er waren nomadische volkeren die ophielden al zwervend naar voedsel te zoeken, en zich ontwikkelden tot aanvankelijk primitieve boeren, die ook nog wel jaagden of visten, maar die zich zo lang de bodem vruchtbaar bleef aan één lokaliteit verbonden hadden. Ze begonnen blijvende woningen te bouwen om zich tegen het weer of de aanvallen van rovers te beschermen. Vele zul-

ke nederzettingen uit het Neolithicum zijn door opgravingen aan het licht gekomen en komen nog steeds aan het licht, ook in Nederland. Uit die opgravingen blijkt dat zich in die nederzettingen langzamerhand eenvoudige vormen van handwerk, zoals pottenbakkerij, timmermanswerk en weverij ontwikkelden. Er kwamen stapelplaatsen van koren, zodat het mogelijk was voorraden te verzamelen voor de winter of voor slechte tijden. Men bakte brood, men brouwde bier, en in latere perioden van het Neolithicum begon men koper en brons aan te wenden voor sieraden en

gebruiksartikelen. Van de vele en belangrijke uitvindingen uit die tijden moeten we speciaal het wagen- en het pottenbakkerswiel vermelden. Zulke vernieuwingen traden gewoonlijk op binnen zekere gebieden, van waar ze zich dan naar andere streken verbreidden - of misschien ook niet. Zo is de kennis van het wiel, om een voorbeeld te noemen, niet vóór de komst der blanken tot de Amerikaanse bevolking gekomen, tenzij misschien als speelgoed. Men kan met zekerheid verklaren dat het tempo van de uitvindingen, vergeleken met dat van het Oudere Stenen Tijdperk, snel aan het toenemen was.

Tussen de dorpen ontstond handel, die heel omvangrijk kon worden. Men kan betrekkingen aantonen tussen gebieden die honderden kilometers van elkaar af lagen. De ontdekking van het bewerken en smelten van ertsen en de daaruit voortkomende metallurgie, eerst van koper, dan van brons, en nog later van ijzer, heeft die handelsbetrekkingen zeer in de hand gewerkt. Dit bevorderde ook de ontwikkeling van de taal. Oorspronkelijk drukten de woorden zeer concrete dingen uit, zodat er geen plaats was voor abstracties, en slechts heel eenvoudige getallen- en vormrelaties konden worden aangegeven. Men vond zulk een taalniveau bij vele Amerikaanse, Afrikaanse en Australische stammen in de periode waarin zij met de blanken in aanraking kwamen. Ook nu bestaan zulke relaties nog wel, zodat het mogelijk is een studie te maken van de wijze waarop zulke stammen in hun cultuur getallenbetrekkingen uitdrukken.

2.

Aangezien - om met Adam Smith te spreken - getallen behoren tot de meest abstracte ideeën die de menselijke geest kan vormen, kwamen speciale uitdrukkingen voor getallen slechts langzaam in gebruik. Aanvankelijk droegen die uitdrukkingen eerder een kwalitatief dan een kwantitatief karakter, omdat men slechts onderscheid maakte tussen één (of eigenlijk één man in plaats van een mán), twee en veel. Men kan die oorsprong van de getallenvoor-

stellingen nog hier en daar terugvinden in de duale vervoegingen die men in sommige talen, b.v. in het Oud-Grieks of Keltisch vindt (b.v. Grieks: anèr, man; andre, twee mannen), het getal twee is hier nog aan een onderwerp gekoppeld. Wanneer dan de behoefte ontstaat het getalbegrip uit te breiden, worden grotere getallen

aanvankelijk door optelling gevormd, b.v. drie door twee en één, vier door twee en twee op te tellen.

Hier volgt een voorbeeld ontleend aan sommige Australische stammen:

Murray River: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval-enea, 4 = petcheval-petcheval

Kamilaroi: 1 = mal, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bulan, 5 = bulanguliba, 6 = guliba-guliba¹

Door de ontwikkeling van het handwerk en de handel werd deze groei van het getalbegrip sterk bevorderd. Getallen werden gerangschikt en gebundeld tot grotere eenheden, en daarbij werd vaak van de vingers van een hand of van beide handen gebruik gemaakt, iets dat bij de handel heel natuurlijk is. Zo kwam het getal vijf en daarmee ook tien als hogere eenheid in gebruik en door deze werden weer andere getallen door optelling of aftrekking verkregen, b.v. twaalf als tien plus twee, of negen als tien minus één. We vinden ook wel 20, het aantal van vingers en tenen (of van de handen tweemaal) als basis in gebruik. W.C. Eels, die 307 getalsystemen van Amerikaanse volkeren heeft onderzocht, vond 146 systemen decimaal, en 106 op 5, 10, of 20, of op combinaties daarvan, berustend.²Het vigesimale stelsel (dus dat stelsel dat op de basis 20 berust) komt in zijn meest karakteristieke vorm voor bij de Maya's in Mexico en bij de Kelten in Europa.

Er bestonden verschillende manieren om numerieke resultaten voor te stellen:

door bundelen, door strepen te kerven op een stuk hout of been, door knopen in een touw te leggen, door steentjes of schelpen in hoopjes van vijf opeen te stapelen - methoden die doen denken aan de kerfstok van een herbergier uit de oude tijd.

Dit leidde weer tot de invoering van speciale symbolen voor 5, 10, 20, enz. en we vinden inderdaad in de periode, waarin de geschreven geschiedenis begint, zulke symbolen in gebruik.

1 L. Conant,The Number Concept (New York, 1896) blz. 106-107, met verscheidene andere voorbeelden.

2 W.C. Eels,Number Systems of North American Indians, Amer. Mathem. Monthly 20 (1913) blz. 293.

Een vroeg voorbeeld van zulk een kerfstok gaat terug tot het Oudere Stenen Tijdperk.

In 1937 werd bij Věstonice in Moravië de rib van een jonge wolf gevonden, ongeveer 20 cm lang, waarin 55 diepe kerven waren gesneden, de eerste 25 in groepen van 5. Dan volgt een kerf die tweemaal zo lang is en waarmee de rij van kerven eindigt;

met een andere kerf, ook tweemaal zo lang als de eerste 25 kerven, begint een nieuwe reeks die tot 30 loopt.¹

Men ziet dus dat het niet geheel juist is om met Jacob Grimm en anderen te zeggen dat tellen begon met vingertellen. Dit vingertellen, dat wil dus zeggen rekenen in groepen van vijf en tien, kwam eerst in gebruik nadat het tellen reeds een zekere ontwikkeling had doorgemaakt. Toen deze ontwikkeling ver genoeg was gevorderd, konden getallen worden uitgedrukt met behulp van een basis, waarin dan weer grotere getallen konden worden uitgedrukt. Zo ontstond een eenvoudige

rekenkundige methode waarin b.v. 14 als 10 + 4, doch ook als 15 - 1 kon worden uitgedrukt. Vermenigvuldiging zien we daar optreden, waar 20 niet als 10 + 10, doch als 2 × 10 wordt opgevat. Zulke dyadische bewerkingen vindt men duizenden jaren lang, als een soort middenweg tussen optelling en vermenigvuldiging, in gebruik b.v. in oud Egypte en in de pre-Arische beschaving van Mohenjo-Daro aan de Indus.

Deling begon daar waar 10 werd uitgedrukt als de ‘helft van een lichaam’, of in soortgelijke gevallen, doch bewuste breukenvorming kwam weinig voor. Bij Noordamerikaanse stammen bijvoorbeeld vinden wij slechts enkele uitdrukkingen voor breuken, en in bijna alle gevallen betreft dit ½, al vindt men ook wel eens uitdrukkingen voor ⅓ of ¼.²Ook vindt men heel vroeg een merkwaardige voorliefde voor heel hoge getallen, iets dat misschien samenhangt met een al-te-menselijke drang om de grootte van kudden of van verslagen vijanden te overdrijven; zo'n voorliefde bespeuren we ook wel in de Bijbel en in andere heilige geschriften.

3.

Men kreeg ook behoefte aan het meten van de lengte en inhoud van voorwerpen.

Daarvoor moesten zekere eenheden worden ge-

1 Isis 28 (1938) bldz. 462-463, ontleend aan Illustr. London News van 2 Oct., 1937.

2 G.A. Miller heeft opgemerkt dat het woord helft (one-half, semis, moitié), niet in directe betrekking staat tot het woord twee (two, duo, deux) in tegenstelling tot de woorden één-derde, één-vierde, enz., hetgeen er op schijnt te wijzen dat het begrip ½ onafhankelijk van het begrip 2 ontstond.Nat. Mathem. Magazine 13 (1939) blz. 272.

kozen, die nogal onnauwkeurig waren, vaak delen van het menselijk lichaam, zoals vingers, duimen of voeten. Aan deze gewoonte worden we ook herinnerd als we woorden als el, span of vadem gebruiken¹. Bij de bouw van huizen, zoals bij de landbouwende Indiërs of de paalbewoners van Centraal Europa, moesten regels worden vastgelegd waarmee men langs rechte lijnen en volgens rechte hoeken kon bouwen. Het woord ‘recht’ hangt samen met ‘rekken’, het woord ‘lijn’ met ‘linnen’, het Engelse woord ‘straight’ (recht) met het werkwoord ‘stretch’ (strekken); al deze uitdrukkingen wijzen op metingen met koorden of touwen.²Het woord ‘linnen’ wijst op een verband met het spinnen en weven.

De neolithische mens had ook een levendig gevoel voor meetkundige patronen.

Het bakken en kleuren van aardewerk, het vlechten van bindwerk en manden, het weven van doeken en later het bewerken van metalen, leidde allemaal tot een versterking van het gevoel voor vlakke en ruimte-relaties. We kunnen hier misschien ook dansfiguren aan toevoegen. Men treft in neolithische versieringen veel

congruentie, symmetrie en gelijkvormigheid aan. Getalverhoudingen komen ook voor, zoals in sommige voorhistorische figuren die driehoeksgetallen voorstellen, of bij zgn. heilige nummers.

Interessante meetkundige patronen op aardewerk, op mandwerk en op geweven stoffen vinden wij op neolithische potten in Bosnië en op kunstvoorwerpen van de Ur-periode in Mesopotamië³, op Egyptisch aardewerk der voordynastische periode (4000-3500 v. C.)⁴, op voorwerpen gebruikt door paalhuis-bewoners bij Loebljanka (Joegoslavië) in de Hallstadt periode (Midden Europa, 1000-500 v. C.)⁵, en op vele andere plaatsen. Op urnen uitgegraven bij Sopron in Hongarije zien we rechthoeken waarin driehoeken en driehoeken waarin cirkels. Deze figuren vertonen een

1 El staat in verband met elleboog, span is de breedte van de uitgestrekte hand (vgl. het woord omspannen), vadem is de afstand tussen de handen van de uitgestrekte armen (vgl. het woord omvademen).

2 In vele landen werden mensen, die metingen verrichtten ‘touwspanners’ genoemd, b.v.

‘harpedonaptai’ (Grieks), ‘massah’ (Arabisch), ‘masihānu (Assyrisch). Zie S. Gandz,Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik I (1930), 255-277.

3 W. Lietzmann,Geometrie und Praehistorie, Isis 20 (1933), 436-439.

4 D.E. Smith,History of Mathematics (New York 1923) Dover herdruk 1951-53 I 15. Dit boek heeft ook een uitvoerige bibliografie.

5 M. Hoernes,Urgeschichte der bildenden Kunst in Europa (Wenen, 1915).

neiging om tot driehoeksgetallen te komen, getallen die later in de wiskunde der Pythagoreeërs een belangrijke rol zullen spelen¹.

Zulke versieringen zijn ook in historische tijden populair gebleven en worden nog heden met succes aangewend. Men kan mooie voorbeelden vinden op de dipylon vazen uit de Minoïsche (Kreta) en archaïsch-Griekse tijd, in Byzantijnse en Arabische mozaïeken, of op Perzische en Chinese tapijten. Oorspronkelijk zullen sommige van deze figuren wel een magisch-godsdienstige betekenis hebben gehad, maar het esthetisch element heeft op den duur wel de overhand behouden².

De godsdiensten van het Stenen Tijdperk kunnen worden aangezien als pogingen om met de natuurkrachten te kampen. Godsdienstige ceremonies worden vaak begeleid door andere ceremonies, die men eerder magisch kan noemen, en dit magische element kan men weer terugvinden in bepaalde opvattingen omtrent getal en vorm in kunst en dagelijks leven. Voorbeelden van magische getallen zijn 3, 4, 7, 10, van magische figuren het pentagram en de swastika (links of rechtsgewonden).

Sommige schrijvers hebben de godsdienstige zijde van de vroege wiskunde als het beslissende element van haar groei beschouwd³, maar al zijn ook de

maatschappelijke wortels der wiskunde in moderne tijden vaak moeilijk te ontdekken, ze zijn in de vroege periode van de menselijke geschiedenis toch wel duidelijk te zien. De traditie van die getallenmystiek leeft nog voort in zo iets als de ‘moderne’

numerologie en de vrees voor het getal dertien. Er zijn hotels zonder ‘dertiende’

etage!

4.

Zelfs bij volkeren met een maatschappelijke cultuur verwijderd van onze technische beschouwing vinden we een soort tijdrekening, dus een besef van de beweging van zon, maan en sterren. Door de uitbreiding van landbouw en handel begint deze kennis een meer wetenschappelijk karakter te krijgen. Zo ontstond een

maankalender, doordat de veranderingen in de groei der gewassen

1 Vgl. ook F. Boas,General Anthropology (1930), blz. 273.

2 Men denke hier ook aan het werk van de Nederlandse kunstenaar M.C. Escher. Wie zich in de wiskundige theorie van deze vakversieringen interesseert raadplege A. Speiser,Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. (Leipzig 1925, herdruk New York 1945).

3 W.J. Mc Gee,Primitive numbers, Nineteenth Annual Report, Bureau Amer. Ethnology 1897/98 (1900) 825-851. Vgl. A. Seidenberg,The ritual origin of geometry, Archive f. Hist. Exact. Sc.

1 (1962) 488-527;The ritual origin of counting, ibid. 2 (1962) 1-40.

en andere periodiciteiten in de natuur in verband werden gebracht met de wisselingen van de maanstanden. Daarnaast ontwikkelde zich ook een zonnekalender, maar een nauwkeurige omschrijving van het verband tussen beide kalenders wordt eerst in de historische periode gelegd; in verschillende landen op verschillende manier.

Bij ‘primitieve’ volkeren vinden we ook wel belangstelling voor zonnewendingen of de opgang van de Plejaden in de ochtendschemering, omdat deze dienst deden als gids bij de scheepvaart. Overigens placht men in historische tijden aan die vroegere, prehistorische, periode wel eens een overdreven astronomische kennis toe te schrijven.

Algemeen gesproken kan men zeggen dat uit deze prehistorische studie der hemellichamen enige kennis van bol en cirkel werd verkregen. Ook kwam er enig besef van ruimtelijke richtingen.

5.

Uit deze voorbeelden blijkt wel dat de historische groei van een wetenschap niet noodzakelijkerwijze dezelfde ontwikkeling moet doormaken als die waarop we haar in het huidige onderwijs doceren. Sommige meetkundige vormen, die eerst in de tegenwoordige tijd wetenschappelijk zijn bestudeerd, zoals knopen en patronen, waren al in vroege tijden bekend. Anderzijds zijn sommige tamelijk elementaire wiskundige gebieden van betrekkelijk jonge datum; wij denken b.v. aan de grafische voorstelling of aan de beginselen der statistiek. De Züricher professor A. Speiser heeft het eens met een zekere ironie en een zekere overdrijving aldus uitgedrukt:

‘Alreeds de uitgesproken neiging om vervelend te worden, die voor de elementaire wiskunde karakteristiek schijnt te zijn, kan voor zijn late oorsprong pleiten, daar de scheppende wiskundige liever zijn aandacht besteedt aan belangwekkende en mooie vraagstukken’.¹

6.

Hier is misschien een goede plaats om als overgang tot het volgende hoofdstuk iets te vermelden over de wiskunde van de Minoische-Myceense cultuur, die der Maya's en die der Inca's, culturen die nu slechts herinneringen zijn door nagelaten

voorwerpen, teksten en monumenten, doch waarvan de invloed op het verdere verloop van de wiskunde op zijn best gering schijnt geweest te zijn. Toch blijft deze wiskunde voor ons interessant en leerzaam.

In de Minoïsche en Myceense ruïnes op Kreta en het Griekse vasteland zijn wiskundige symbolen voor administratieve doelein-

1 A. Speiser, l.c., p. 3/6.

den gevonden. Ze zijn in het zogenaamde Lineair A en B schrift en behoren tot de periode van circa 1800 tot 1200 v. C. Evenals in Egypte worden getallen additief geschreven met symbolen voor 1, 10, 100, 1000; die symbolen zijn geheel van die in Egypte verschillend. Ook voor eenvoudige breuken bestaan symbolen, doch er zijn (nog?) geen eenheidsbreuken als bij de Egyptenaren gevonden. De schrift is op kleitafeltjes als bij de Babyloniërs, doch de klerken bakten ze niet, zodat de enige tafeltjes die over zijn komen van de laatste brand die de paleizen heeft verwoest (als b.v. het zgn. paleis van Nestor). Het is dus niet bekend hoever de wiskundige vaardigheid van deze klerken ging. Wat we weten is dat de Homerische helden dienaars hadden die schriftelijk konden rekenen.

De Maya's in Midden Amerika, speciaal in huidig Guatemala en Yucatan, bezaten een beschaving die meer dan duizend jaren heeft bestaan en haar hoogtepunt heeft bereikt in de zgn. klassieke periode, zo tussen 200 en 900 n. C. De arithmetica van deze Maya's is in hoofdzaak ontcijferd door de studie van hun gebeeldhouwde reliëfs en van sommige codices en Spaanse kronieken. Ze stond in direct verband met het kalendersysteem, en dit hing weer af van hun sterrenkunde. Het systeem was vigesimaal, dus gebaseerd op 20 als eenheid. We vinden hier stippen voor getallen van 1 tot 4, horizontale streepjes voor de vijven tot 15, en voor grotere getallen een positiestelsel waarin machten van 20 worden voorgesteld door hetzelfde symbool als 20. Er kwamen variaties voor in verband met periode en kalenderstelsel. Een positiesysteem eist een symbool voor de nul, die werd aangegeven door een soort schelp of halfgeopend oog. Deze soort arithmetica beïnvloedde die van andere volkeren - een voorbeeld is de beroemde grote, ronde kalendersteen der Azteken, nu in het Archeologische Museum in Mexico Stad - de Azteken kwamen in Mexico tegen het einde van de twaalfde eeuw (n. C.).

De Inca's beheersten een uitgestrekt rijk in het Andes-gebied, dat van het midden der 13e eeuw tot de tijd der Spaanse verovering drie eeuwen later bestond met hoofdstad Cuzco (nu in Peru). Zij waren bekwaam in administratie, hand- en kunstwerk, stedenbouw en ingenieurstechniek, en dit alles zonder een schrift. Voor hun bureaucratie gebruikten ze een rekenmethode en statistiek gebaseerd op de quipu. De eenvoudigste quipu bestaat uit een hoofdkoord van gekleurd katoen of wol, waaraan andere koorden met knopen hangen. Die knopen vormen groepjes van één knoop tot 9 knopen, en een groep van 4 knopen gevolgd door een van 9 en dan door een van 2 stelt het getal 492 voor. Hier hebben we dus

een positiestelsel met de nul hier voorgesteld door een grotere afstand tussen knopengroepjes (zie hfdst. II, sectie 4). De kleuren van de koorden kunnen voedsel, kleding, soldaten, enz. voorstellen. Er kunnen weer koorden van de vorige koorden afhangen, zodat men een tamelijk gecompliceerde statistiek kan bijhouden. Met die quipus kan ook gerekend worden, zelfs in tamelijk ingewikkelde processen in een techniek die enigszins aan de Chinese ‘matrix’-methode doet denken.

Quipu's zijn gevonden met honderden koorden, de meest gecompliceerde quipu tot nu gevonden heeft 1800 koorden; ze kan de samenstelling van een leger, een werkkracht, een opslagplaats hebben voorgesteld. De Spanjaarden plachten de quipu's als heidense instrumenten te vernielen. De ongeveer 400 quipu's die we nu hebben, zijn in graven gevonden in woestijngebieden.

Deze quipu's leren ons dat een uitgebreide bureaucratisch georganiseerde maatschappij kan bestaan zonder een schrift. Dit doet allerlei vragen opkomen.

Hadden b.v. de klerken (priesters, druiden?) die in het veronderstelde ‘astronomisch laboratorium’ Stonehenge (in Z. Engeland) werkten, ook een quipu-achtige manier om informatie te bewaren en te bewerken, maar waarvan geen overblijfselen bestaan?

7.

In de laatste jaren wordt meer en meer aandacht geschonken aan de wiskundige ideeën die we aantreffen bij stammen of volksgroepen die nog geen of nauwelijks een geschreven schrift kennen. Door M. en R. Ascher is hiervoor de naam

‘ethnowiskunde’ (ethnomathematics) voorgesteld, als de studie van de wiskundige begrippen van niet-geletterde (non-literate) volken. Volken waarvoor men vaak de term ‘primitief’ gebruikt, maar wier cultuur verre van ‘primitief’ blijkt te zijn. Zulk een studie houdt zich bezig met de meet- en rekenkundige begrippen die men daar aantreft, de manier van weven, netten maken of pottenbakken, de versieringen van weefsels, potten of eigen lichaam, en de bloedverwantschappen (kinship relations) die vaak een merkwaardig wiskundig schema kunnen onthullen. Zulke volken kan men vinden in Afrika, in Poly- en Melanesië, Australië, doch het onderzoek kan zich uitstrekken tot geïsoleerde gebieden en getto's van industriële landen. Deze studie staat in nauw verband, vooral in de vroegere koloniale landen, met de wijze waarop wiskunde moet worden gedoceerd aan leerlingen die uit hun traditionele cultuur in de moderne beschaving worden gebracht, zij deze kapitalistisch of socialistisch.

Het blijkt dan aanbevelenswaardig te zijn aan te knopen bij

zulke wiskundige begrippen als eigen zijn aan de traditionele cultuur, b.v. zulke ontleend aan het bouwen van hutten of gemeenschapshuizen, patronen bij textiel of keramiek, het maken en de vorm van knopen bij netten, enz. Geschiedenis, antropologie en opvoeding gaan hier hand in hand.

Literatuur

Behalve de reeds geciteerde boeken en artikelen van Conant, Eels, Smith, Lietzman en Speiser kunnen we nog noemen

K. Menninger,Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahlen, Göttingen 2e ed., IZahlreihen und Zahlsprache 1957, II Zahlschrift und Rechnen 1958.

Ook in Engelse vertaling.

D.E. Smith - v. Ginsburg,Numbers and Numerals, N.Y. Teachers College 1937.

V. Gordon Childe,What Happened in History (Pelican Book,

Harmondsworth-New York, 1942) Ned. vertaling:Van Vuursteen tot Wereldrijk (Amsterdam, 1952).

D.J. Struik,Stone Age Mathematics, Scientific American, Dec. 1948.

Interessante ornamenten vindt men o.a. in het reeds geciteerde boek van Speiser en in de volgende artikelen beschreven:

L. Spier,Plains Indian Parfleche Designs, Univ. Washington Publ. in Anthropology 4 (1931) 293-322.

A.B. Deacon,Geometrical Drawings from Malekula and other Islands of the New Hebrides, Journal Royal Anthropol. Institute 64 (1934) 129-175.

M. Popova,La géométrie dans la broderie bulgare, Comptes Rendus Premier Congrès des Mathématiciens des Pays Slaves (Warschau 1929) 367-369.

De wiskunde van de Amerikaanse Indianen wordt ook behandeld in:

J.E.S. Thompson,Maya Arithmetic, Contributions to Amer. Anthropology and History 36, Carnegie Inst. of Washington Publ. 528 (1941) 37-62.

E.C. Lounsbury,Maya Numeration, Computation and Calendrical Astronomy, DSB 15 (1978) 759-818 met uitvoerige bibliografie.

M. en D. Ascher,Code of the Quipus. A study in Media, Mathematics and Culture, Ann Arbor, Mich. 1981. Zie ook AHES 8 (1972) 288-320, en Visible Language, Cleveland, Ohio, 1975, 329-356.

D.J. Struik,Minoan and Mycenaean Numerals, HM 9 (1982) 54-58.

C. Zaslavsky,Africa Counts, Boston, 1973.

D.W. Crowe,The Geometry of African Art, Journal of Geometry, 1 (1971) 169-182; 2 (1975) 253-271.

Over ‘ethno-wiskunde’ raadplege men:

M. en R. Ascher,Ethnomathematics, History of Science 24 (1986) 125-144.

M. Ascher,Graphs in Culture. A Study in Ethnomathematics, HM 15 (1988)201-227.

U. D'Ambrosio,Mathematical Education in a cultural Setting, Intern. Journ. f.

Educ. Sci. Techn. 16 (1985) 469-477.

P. Gerdes,On possible Roots of traditional Angolan Sand Drawings in the Mathematics Classroom. Educational Studies in Mathematics 19 (1988) 13-22.

Zie ook Gerdes' proefschriftZum erwachenden geometrischen Denken (Dresden, 1985, 2 dln.).

Over het verband tussen ritueel en wiskunde, zie de artikelen van A. Seidenberg, AHES 1 (1960-61) 480-527, 2 (1962) 1-40, 18 (1970) 301-342.

Over de ontwikkeling van wiskundige begrippen bij kinderen vindt men beschouwingen en literatuur in:

A. Riess,Number Readiness in Research (Chicago, 1947).

J. Piaget,La Genèse du Nombre chez l'enfant (Neuchâtel 1941) en Le développement des Quantités chez l'enfant (ib. 1941).

L.N.H. Bunt,The Development of the Ideas of Numbers and Quantity according to Piaget (Groningen, 1951).

Over ‘megalitische’ sterrenkunde en wiskunde:

G.S. Hawkins,Beyond Stonehenge, Londen, 1973.

D.C. Haggie,Megalithic Science, Londen, 1981.

Interessant is ook:

U. Seibt, ‘Zahlbegriffe und Zahlenverhältnisse bei Tieren’,Zeitschrift für Tierpsychologie 60 (1982), 325-341.

II. Het oude Oosten

1.

Gedurende het vijfde, vierde en derde millennium v. C. ontstonden nieuwe en meer ontwikkelde maatschappijvormen uit neolithische gemeenschappen die zich reeds eeuwen lang in subtropische of bijna subtropische gebieden langs de oevers van grote rivieren in Afrika en Azië hadden gevestigd. Deze rivieren waren de Nijl, de Tigris en de Eufraat, de Indus, en later de Ganges, de Hoang-ho en de Yang-tse.

De landerijen langs die rivieren konden overvloedige oogsten opleveren wanneer de rivieren onder controle waren gebracht en moerassen waren drooggelegd. In scherpe tegenstelling tot de woestijnen en berggebieden die deze gebieden omringden, konden de rivierdalen in een paradijs van vruchtbaarheid worden herschapen. Dit werd in de loop der eeuwen volbracht door het bouwen van dijken en dammen, het graven van kanalen en het aanleggen van reservoirs. De regeling van de watertoevoer vereiste samenwerking tussen de verschillende

gemeenschappen, ook al lagen die naar toenmalige verhoudingen een heel eind van elkaar verwijderd. Dit bracht centrale administratie-organen in het leven, die niet meer in primitieve dorpen, doch insteden moesten worden gelokaliseerd. Deze steden, op kruispunten van handelswegen in of ook buiten de administratieve centra, werden tegelijkertijd plaatsen waar de produkten van landbouw en veeteelt ter markt konden worden gebracht. Er ontstond een tamelijk hoog overschot van zulke produkten, dat niet alleen de algemene levensstandaard verhoogde, doch ook een stedelijke aristocratie met machtige opperhoofden schiep. Er kwamen vele

gespecialiseerde beroepen: handwerkers, soldaten, beambten, priesters. Het beheer der openbare werken werd in de handen van een blijvende bureaucratie geplaatst, een groep die verstand had van het gedrag der jaargetijden, de bewegingen der hemellichamen, de kunst van het landmeten, het opstapelen van voedingsmiddelen, of de heffing van belastingen. Gaandeweg ontstond een schrift waarin de handelingen van de bureaucratie en de daden der opperhoofden konden worden beschreven en bewaard. Zulke handwerkers en bureaucraten verkregen langzamerhand heel wat speciale technische kennis, waartoe ook kennis van de metaalbewerking en van de geneeskun-

de behoorde. En zo begonnen ze ook de kunst van het rekenen en meten te beheersen.

De maatschappij ten tijde van deze opkomst der steden (men spreekt wel van een revolutie:the urban revolution) was ook langzamerhand in klassen gesplitst.

Men had opperhoofden, vrije en pachtboeren, handwerkers, schrijvers en andere beambten, horigen en slaven. Plaatselijke hoofden werden soms zo rijk en machtig dat ze van feodale heerschappen met beperkte autoriteit opklommen tot plaatselijke koningen met absolute macht. Twisten en oorlogen tussen allerlei despootjes konden er wel toe leiden dat grote gebieden onder een enkele monarch verenigd werden.

Deze althans in de centrale gebieden vaak op irrigatie berustende

maatschappijvormen met intensieve landbouw konden op deze manier tot een

‘Oosters’ type van despotisme voeren. Zulk despotisme kon eeuwen lang gehandhaafd blijven en dan weer ineenstorten, soms onder de aanvallen van woestijn- of bergstammen die aangetrokken werden door de rijkdommen der rivierdalen, ook wel door de verwaarlozing van het uitgestrekte, ingewikkelde en levensbelangrijke systeem van irrigatie. Onder zulke omstandigheden kon de macht van het ene koningshuis naar het andere overgaan, of het kon gebeuren dat het staatsverband opgebroken werd in kleinere feodale eenheden, en dan kon het proces van hereniging weer opnieuw beginnen, soms op hogere technische grondslag. Maar ondanks al die dynastieke revoluties en overgangen van feodalisme tot absolutisme en omgekeerd bleven de dorpseenheden, die de basis vormden van die ‘Oosterse’ maatschappijvormen, door de eeuwen wezenlijk onveranderd, en daarmee de wezenlijke economische en sociale structuur. De Oosterse maatschappij beweegt zich vaak in cyclische perioden, doch zelfs tot de huidige dag toe bestaan er nog vele gemeenschappen in Azië en Afrika (of Zuid-Amerika) waarin al eeuwen en eeuwen lang het leven op dezelfde wijze voortgaat. Onder zulke omstandigheden blijft de vooruitgang langzaam en aan toevalligheden onderworpen; perioden van culturele groei kunnen door eeuwen van stilstand en verval van elkaar gescheiden zijn.

Dit statische karakter van het Oosten verleende een zekere heiligheid aan zijn eeuwenoude instellingen, en maakte de vereenzelviging van de godsdienst met de staatsinstellingen mogelijk. De ambtenarij deelde vaak in dit godsdienstig karakter van de staat, en zo zien we in vele Oosterse landen de priesters als administrateurs van de domeinen. En aangezien de beoefening van de wetenschap de taak was van de bureaucratie vinden we in vele - maar ze-

ker niet in alle - Oosterse landen priesters als de voornaamste dragers van wetenschappelijke kennis.

2.

Oosterse wiskunde ontstond als een praktische wetenschap, nuttig voor het berekenen van de kalender, het beheren van de oogsten, de organisatie der openbare werken en de inzameling van belastingen. Oorspronkelijk werd uiteraard op praktisch rekenen en meten de nadruk gelegd. Doch wanneer een wetenschap eeuwen lang beoefend wordt door een speciale groep van mensen, wier taak het is, niet alleen die wetenschap toe te passen doch ook zijn geheimen aan leerlingen door te geven, dan ontwikkelen zich neigingen tot grotere abstractie en tot

wetenschap om der wille van de wetenschap, zodat men haar als theorie gaat bestuderen. Rekenen ging zodoende over in algebra, niet alleen omdat het sommige praktische berekeningen gemakkelijker maakte, doch ook als de natuurlijke

ontwikkeling van een wetenschap die in scholen van schriftgeleerden beoefend en ontwikkeld werd. Dit was ook de oorzaak dat het meten zich ontwikkelde tot een begin - maar ook niet veel meer dan een begin - van theoretische meetkunde.

Ondanks alle handel en verkeer, die in deze oude maatschappijen bloeiden, bleef de landbouw, verspreid over geïsoleerde en traditioneel voortlevende dorpen, de economische basis van de maatschappij. Daarom vindt men, ondanks een zekere gelijkvormigheid in de economische grondslagen en het algemene niveau van de wiskundige kennis, steeds verrassende verschillen tussen de diverse culturen. De afgeslotenheid van de Chinezen en de Egyptenaren was spreekwoordelijk, al was ze bij de Chinezen slechts in zekere perioden van hun geschiedenis een feit. Het is gemakkelijk het verschil te zien tussen de kunstvormen en de schrift van de Egyptenaren, de Mesopotamiërs, de Chinezen en de Indiërs. Men kan dus van Egyptische, Mesopotamische, Chinese en Indische wiskunden spreken, ofschoon zij in hun arithmetisch-algebraïsch karakter veel principiële overeenkomsten vertonen.

Zelfs dan, wanneer de wetenschap gedurende een bepaalde periode in één land grotere vooruitgang vertoont dan in een andere periode of een ander land, blijft het algemene karakter en zelfs de symboliek voortbestaan.

Het is moeilijk nieuwe ontdekkingen in het Oosten precies te dateren. Het statische karakter van de economische structuur draagt er toe bij dat een wetenschappelijk leergebied eeuwen lang weinig veranderingen ondergaat. Het komt voor dat ontdekkingen die in het isolement van één stadsgebied worden gemaakt, nooit verder

doordringen of zelfs weer verloren gaan. Grote schatten in wetenschappelijke en technische kennis kunnen door dynastieke veranderingen, door oorlogen of natuurrampen verdwijnen. Zo vertelt men dat in het jaar 221 v.C., toen China voor het eerst onder de heerschappij van een absolute despoot, Shé Hunag Di (Chhin Shih Huang Té, de eerste keizer van China) verenigd werd, alle leerboeken met uitzondering van sommige (b.v. over de geneeskunst) op 's keizers bevel werden vernietigd. Later, zo zegt men, werd heel wat van de verloren schatten uit het hoofd weer opgeschreven, maar men begrijpt hoe moeilijk onder zulke omstandigheden het dateren of zelfs het bewaren van ontdekkingen wordt.

Een andere moeilijkheid bij het dateren van ontdekkingen in de Oosterse

wetenschap komt voort uit het materiaal waarin de resultaten werden opgeschreven.

De Mesopotamiërs gebruikten kleitafeltjes, die gebakken werden en praktisch onverwoestbaar zijn zolang zij in de puinhopen der oude steden onder de grond liggen.¹De Egyptenaren gebruikten papyrus, en veel hiervan is in het droge klimaat bewaard gebleven. De Chinezen en Indiërs gebruikten materiaal dat veel minder bestand was tegen de tand des tijds, zoals schors of bamboe. In het tweede millennium v.C. begonnen de Chinezen papier te gebruiken, doch er is weinig behouden van wat vóór 700 n. C. is beschreven. Onze kennis van de Oosterse wetenschap is dus uiterst gebrekkig, en voor de eeuwen vóór onze jaartelling zijn we bijna uitsluitend op materiaal uit Egypte en Mesopotamië aangewezen. Het is niet onmogelijk dat nieuwe ontdekkingen onze opinies over de verschillende prestaties van de vóór-Griekse wiskundigen aanmerkelijk kunnen wijzigen. Er was een tijd dat onze rijkste historische bronnen uit Egypte kwamen, en dit was aan de ontdekking, in 1856, van de zgn. Papyrus Rhind te danken.²Deze Papyrus is omstreeks 1650 v.C. geschreven, doch bevat veel materiaal dat eeuwen ouder is.

In de laatste vijftig jaren is door de merkwaardige ontdekkingen van F. Thureau Dangin en O. Neugebauer onze kennis van de Mesopotamische wiskunde aanzienlijk vermeerderd. Deze geleerden hebben, door de ontcij-

1 Heel wat van die tafeltjes hebben na de opgravingen in de musea geleden. Bovendien is vaak de herkomst onzeker.

2 Zo genoemd naar de Schotse bankier en antiquair A. Henry Rhind (1833-'63), die de papyrus in Luxor aan de Nijl verkreeg. Ze bevindt zich in het Britse Museum, en wordt ook wel de Ahmes-papyrus genoemd, naar de klerk die de kopie maakte. Ahmes is de eerste persoonsnaam die we in de wiskunde kennen.

fering van vele kleitabletjes, de superioriteit van de Mesopotamische wiskunde boven de Egyptische aangetoond. Dit oordeel is waarschijnlijk wel van een blijvend karakter, aangezien in de Babylonische zowel als in de Egyptische teksten door de eeuwen heen een soort van wiskundige karaktervastheid bestaat. Tot die superioriteit kan hebben bijgedragen dat de economische ontwikkeling van Mesopotamië in het algemeen hoger stond dan die van de andere landen in de zgn. Vruchtbare Halve Maan (‘Fertile Crescent’), die zich uitstrekte van Mesopotamië tot Egypte.

Mesopotamië lag op het kruispunt van een groot aantal karavaanwegen, terwijl Egypte betrekkelijk geïsoleerd lag. Bovendien eiste het in bedwang houden van de onberekenbare Tigris en Eufraat meer technische kennis en bestuursbekwaamheid dan het in bedwang houden van de Nijl, de rivier die wel de ‘most gentlemanly of all rivers’, de rivier met de beste manieren, is genoemd (Sir William Willcocks).¹We zouden in het geheel niet verbaasd zijn als b.v. verdere studie van de oudste wiskunde der Hindoes merkwaardige resultaten zou opleveren, al hebben wij daarvan tot nu toe geen overtuigend bewijs gezien.

3.

Wij putten onze kennis van de oud-Egyptische wiskunde voornamelijk uit twee mathematische papyri: allereerst uit de reeds vermelde Papyrus Rhind, die 84 opgaven bevat, en ten tweede uit de zgn. Moskouse Papyrus, die misschien twee eeuwen ouder is, en 25 opgaven heeft. Deze problemen waren al oude kost toen die papyri werden geschreven, doch er zijn papyri gevonden die van veel later, zelfs uit de tijd der Romeinen en Byzantijnen stammen, en die dezelfde methoden gebruiken. Deze methoden zijn gebaseerd op een tientallig getallenstelsel waarin iedere hoge eenheid, 1, 10, 100, 1000 enz. door een apart symbool wordt aangeduid.

Aan zo'n systeem zijn wij gewend door de Romeinse schrijfwijze, want daar wordt b.v. 1878 uitgedrukt doorMDCCCLXXVIII. Deze notatie is in wezen additief, omdat b.v.DCbetekent dat menD= 500 bijC= 100 moet optellen, en zo was ook de Egyptische rekenkunde sterk additief ingesteld. Dit betekent in de eerste plaats dat vermenigvuldiging tot herhaalde optelling werd teruggebracht. Zo werd, bijvoorbeeld, een getal met 13 vermenigvuldigd door het eerst te verdubbelen, dan het resultaat nogmaals, en dit nogmaals te verdubbelen, en de som van de laatste twee uitkomsten bij het oorspronkelijke getal op te tellen.

1 W. Willcocks,Irrigation of Mesopotamia, 2e ed. (Londen, 1917) p. XI.

11 /1

Voorbeeld van de berekening 13 × 11:

22 2

44 /4

88 /8

De met een streepje / aangegeven nummers worden opgeteld, hetgeen 11 + 44 + 88 = 143 geeft. Deling van 143 door 11 gaat analoog.

Het merkwaardigste kenmerk van de Egyptische rekenkunde was de breukrekening.

Breuken met (wat wij zouden noemen) teller 1, zgn. stambreuken, werden

aangegeven door het getal van de noemer, met een tekentje erboven, dat wij hier door een streepje aanduiden, zodat wij 1/10 als /10 zullen schrijven. Alleen voor ½ en ⅔ bestonden speciale tekens. Alle breuken werden teruggebracht op sommen van stambreuken en hiervoor werden speciale tafels voor de herleiding van breuken van de vorm 2/n tot stambreuken gebruikt. Met het oog op de dyadische vorm van de vermenigvuldiging was dit voldoende om alle breuken tot stambreuken terug te voeren. De Papyrus Rhind bevat zulk een tafel, die voor alle breuken met oneven n van 5 tot 101 een reductie tot stambreuken geeft. Bijvoorbeeld:

(dus ⅖ = ⅓ + 1/15)

/15 /3

n = 5:

/28 /4

7:

/531 /236

/36 59:

/776 /679

/56 97:

Het principe dat aan deze speciale herleiding tot stambreuken ten grondslag ligt (b.v. waarom voorn = 19 de herleiding /12, /76, /114 en niet /12, /57, /228) is niet geheel duidelijk en men heeft hiervoor verscheidene theorieën ontwikkeld.¹De eerste breuk is echter altijd zo groot mogelijk, zodat de ontbinding in stambreuken tevens een soort benadering is. De tafel is waarschijnlijk eerst in de loop der eeuwen tot stand gekomen. Maar het rekenen met stambreuken heeft, ondanks het

gecompliceerde karakter dat het delen erdoor kreeg, duizenden jaren geduurd; we vinden het niet alleen terug bij de Grieken, ook in de Europese middeleeuwen.

1 O. Neugebauer,Arithmetik und Rechentechnik der Ägypter, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik B I (1931), pp. 301-380; B.L. v.d. Waerden,Die

Entstehungsgeschichte der ägyptischen Bruchrechnung, ib 4 (1938), pp. 359-382; K. Vogel, Vorgriechische Mathematik (Hannover, 1958) I, p. 34-45. Vgl. ook E.M. Bruins, Verh. Kon.

Akademie v. Wetensch. A 55 (1952).

Vele problemen waren heel eenvoudig en gingen niet verder dan elementaire rekenkunde en een algebra bestaande uit één lineaire vergelijking met één onbekende:

Een grootheid daarbij haar ⅔, haar ½ en haar 1/7, samen opgeteld, geeft 33. Wat is deze grootheid?

Het antwoord, 14 28/97, wordt in stambreuken geschreven:

14 /4 /97 /56 /679 /776 /194 /388, hierbij vormen /56 /679 /776 juist /97 × 2.

Voor de onbekende in een vergelijking werd een hiëroglief ingevoerd, dat ‘hoop’, Eg. hau, betekende. Men spreekt dus wel van de Egyptische algebra als de ‘hau’

rekening.

De opgaven behandelen onderwerpen als de sterkte van brood en bier, het voederen van dieren en het bewaren van graan, en laten duidelijk de praktijk zien waaruit deze omslachtige en primitieve algebra is voortgekomen. Soms vindt men een vraagstuk van meer theoretische aard, b.v. dat waarin gevraagd wordt 100 broden onder 5 man zó te verdelen, dat hun aandelen een rekenkundige reeks vormen, en 1/7 van de som van de drie grootste aandelen gelijk is aan de som van de twee kleinste (eerst wordt de reeks 23, 17½, 12, 6½, 1 opgezet, de som hiervan is 60, en wordt deze reeks met 100/60 vermenigvuldigd). In één vraagstuk vinden we zelfs een meetkundige reeks: hier hebben we te doen met 7 huizen, in ieder huis zijn 7 katten, iedere kat bespiedt 7 muizen, enz.¹

Enige vraagstukken waren meetkundig en ook gewoonlijk van praktische aard.

Verscheidene behandelen het meten van oppervlakken. We denken hier aan het bekende verhaal van Herodotus, dat de Egyptenaren de meetkunde hadden uitgevonden omdat ze gedwongen waren iedere keer na de overstromingen van de Nijl de grenzen van de landerijen opnieuw uit te meten. Het oppervlak

1 Men denkt hier aan het Engelse kinderrijmpje:

As I was going to Saint Ives, I met a man with seven wives, Every wife had seven sacks, Every sack hat seven cats, Every cat had seven kits;

Kits, cats, sacks and wives,

How many were there going to Saint Ives?

(vrij vertaald):

Ik ging eens naar het eiland Schouwen En zag een man met zeven vrouwen, Elke vrouw had zeven zakken.

Elke zak had zeven katten Elke kat had zeven poesjes Poesjes, katten, zakken, vrouwen Hoeveel gingen er naar Schouwen?

Men ziet hoe eenzelfde soort vraagstuk door de eeuwen heen bewaard kan blijven.