- - -
- - -
Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository
Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
De Witte, P. (1965). Kombinatorische eigenschappen van eindige plans (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/215339/1/9e2895a0-c088-4f03-b589-e1a24c3fe193.txt
(English version below)
Cette thèse de doctorat a été numérisée par l’Université libre de Bruxelles. L’auteur qui s’opposerait à sa mise en ligne dans DI-fusion est invité à prendre contact avec l’Université (di-fusion@ulb.ac.be).
Dans le cas où une version électronique native de la thèse existe, l’Université ne peut garantir que la présente version numérisée soit identique à la version électronique native, ni qu’elle soit la version officielle définitive de la thèse.
DI-fusion, le Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles, recueille la production scientifique de l’Université, mise à disposition en libre accès autant que possible. Les œuvres accessibles dans DI-fusion sont protégées par la législation belge relative aux droits d'auteur et aux droits voisins. Toute personne peut, sans avoir à demander l’autorisation de l’auteur ou de l’ayant-droit, à des fins d’usage privé ou à des fins d’illustration de l’enseignement ou de recherche scientifique, dans la mesure justifiée par le but non lucratif poursuivi, lire, télécharger ou reproduire sur papier ou sur tout autre support, les articles ou des fragments d’autres œuvres, disponibles dans DI-fusion, pour autant que :
Le nom des auteurs, le titre et la référence bibliographique complète soient cités;
L’identifiant unique attribué aux métadonnées dans DI-fusion (permalink) soit indiqué;
Le contenu ne soit pas modifié.
L’œuvre ne peut être stockée dans une autre base de données dans le but d’y donner accès ; l’identifiant unique (permalink) indiqué ci-dessus doit toujours être utilisé pour donner accès à l’œuvre. Toute autre utilisation non mentionnée ci-dessus nécessite l’autorisation de l’auteur de l’œuvre ou de l’ayant droit.
--- English Version ---
This Ph.D. thesis has been digitized by Université libre de Bruxelles. The author who would disagree on its online availability in DI-fusion is invited to contact the University (di-fusion@ulb.ac.be).
If a native electronic version of the thesis exists, the University can guarantee neither that the present digitized version is identical to the native electronic version, nor that it is the definitive official version of the thesis.
DI-fusion is the Institutional Repository of Université libre de Bruxelles; it collects the research output of the University, available on open access as much as possible. The works included in DI-fusion are protected by the Belgian legislation relating to authors’ rights and neighbouring rights.
Any user may, without prior permission from the authors or copyright owners, for private usage or for educational or scientific research purposes, to the extent justified by the non-profit activity, read, download or reproduce on paper or on any other media, the articles or fragments of other works, available in DI-fusion, provided:
The authors, title and full bibliographic details are credited in any copy;
The unique identifier (permalink) for the original metadata page in DI-fusion is indicated;
The content is not changed in any way.
It is not permitted to store the work in another database in order to provide access to it; the unique identifier (permalink) indicated above must always be used to provide access to the work. Any other use not mentioned above requires the authors’ or copyright owners’ permission.
9- é"
P
BIBLIOTHÈQUE 0£ ^ATliÉMATIQUES ET DE PHYSIQUE
Vrije Universiteit te Brussel
Fakulteit der Vifetenschappen
KOMBINATOIÎISGHE EIGENSCHAPPEN
VAN
EINDIGE PLANS ^
üJ lû-
Co^JL .
Proefschrift ingediend tôt het behalen van de graad van doctor in de wetenschappen, groep wiskunde
Paul de Witte 1965
A-2
How much shall I be chanG'd, Before I am chang'd I
John Donne,
Een woord van diepe erkentelijkheid aan mijn promotor, Professor Hirsch, zowel om zi^jn steun en goede raad als om talrijke bibliografische en mate- matische inllchtingen, Ik hoop dat zijn geduld en vertrouwen niet gans misplaatst zijn geweest. Ook mijn vriend, Dr,Marc Bonten van het Studiecentrum voor Kernenergie te Mol, v/iens briljante medewerking bij de oplossing van een ”probleempje" achteraf de eerste faze van deze verhandeling bleek te zijn,
mi^n oprechte dank. Tenslotte mag ik mijn verloofde, juffrouw Frieda Raes, niet vergeten. Haar toewijding en geduld bij het typen en hertypen van deze bar- baarse tekst wil en kan ik niet in woorden vertellen,
Tijdens de voorbereiding van dit proefschrift werd ik financiê'el gesteund door het Belgisch Gentrum voor Algebra en Topologie. Het weze hiervoor harte- lijk gedankt.
2895Ô1
A-3
OVERZIGHT
Inleiding, A-^+ tôt 13
Hoofdstuk I. Hoofdeigenschappen van plans. Belangrijkste spéciale gevallen.
ï:l.-
Ç. Plans. Het postulant (Po-k-/^). I-l-l tôt 14
t •
¥'2. Morfismen van plans. 1-2-1 tôt 6
Eindige plans. 1-3-1 tôt 12
Hoofdstuk II. Kombinatorische eigenschappen blokruimten.
van eindige ^
â 1* Blokruimten. II-l-l tôt 3
§ 2. Toepassing van vroegere resultaten
op eindige blokruimten. II-2-1 tôt 16 â 3. ‘ Symmetrische blokruimten. II-3-1 tôt 24
Hoofdstuk III, Teorema's van Henderson, Vermoeden van Motzkin Karakterizering van eindige projektieve en
affiene vlakken.
§ 1. Eindige linéaire ruimten. III-l-l tôt 15
§2. Karakterizering van eindige
projektieve vlakken. III-2-1 tôt 5
§ 3. Karakterizering van eindige
affiene vlakken. III-3-1 tôt 7
Referenties. Z-1 tôt 2
Stelling. Z-3
A-4
INLEIDING.
De aanleiding tôt dit proefschrift is een stellinr: van ErdSs ((R 5» p.51 )) geweest die onmiddellijk volgt uit het befaamde vermoeden van Sylvester (C Re 5» PP» 50-51 ; Re 6 pp. 65-66 , 181-182 )) . Verstaan we met Professor Libois
(( Re 50 )) onder een linéaire ruimte een verzameling van punten en van sets van punten, "rechten” geheten, zodanig dat elk twee- tal verschillende punten tôt juist één zelfde rechte behoren en dat elke rechte minstens twwe punten telt - dan is in een eindige linéaire ruimte met minstens twee rechten het aantal punten (p) nooit groter dan het aantal rechten (q) , toch als ze "ingebed" kan worden in een "gewone" linéaire ruimte (reè'el projektief vlak, orde-meetkunde, etc.) .
In deze stelling van ErdSs laat de inbeddingsvoorwaarde toe het vermoeden van Sylvester (dat hoewel in 1895 geopperd pas de eerste keer bewezen werd in 1955 door Gallai, alias Grünwald) toe te passen. In elke eindige linéaire ruimte
met minstens twee rechten bevindt zich dan minstens één rechte met juist twee punten erin. Neemt men dus één punt op een
dergelijke rechte weg, dan valt de rechte zelf ook weg. Vandaar een simpel induktie-bewijs voor ErdSs’ stelling.
In ’t algemeen is de Sylvester-eigenschap echter vais.
Tegenvoorbeeld : elk eindig projektief vlak (( Re 6, p.25^ )) . Maar het onderzoek naar een aantal dergelijke uitzonderingen toonde dat de relatie q ^ p daarom niet ophield ook dan nog te gelden., Vandaar het zuiver kombinatorische vermoeden : in elke eindige linéaire ruimte met q ^ 2 geldt q p . Meteen leek het plausibel dat q = p slechts optreedt in een eindig projektief vlak of in een "near-pencil" met (p-1) kollineaire punten.
In samenwerking met Dr.Bouten werd van beide vermoedens een bewijs gevonden, dat weldra gepubliceerd wordt in de
"Bulletin de la Société Mathématique de Belgique*', Het vernauwt in een ab absurdo - redenering geleidelijk de kring der moge- lijkheden tôt een definitieve kontradiktie wordt bereikt
(( zie III 2.15 )) .
t
Pas maanden later kwam me ter kerxnis - langs de be- spreking in de "Mathematical Reviews” (( 1? * 29^ )) van twee (onvindbare) artikels van H.Hanani om - dat G«Szekeres het eerste en ErdSs - de Brui,in (voor de eufonie in deze orde genoemd) de beide vermoedens reeds vroeger hadden bewezen.
De proef in Re 21 bleek echter radikaal van de onze te verschil- len : "neat and nice”, maar hierdoor ^juist beperkt en naar aile schijn niet zo vlot te extrapoleren.
Intussen was ik echter (nu alleen» maar ongeremd) aan een systematische studie begonnen. Op het zuiver kombinato- rische vlak ontstonden twee kernen van onderzoek, Enerzijds in eng verband met ons bewijs der twee vermoedens, een diepere studie der eindige linéaire ruimten. Hoofdstuk III bevat hier- van de meeste resultaten (hoewel niet altijd met gedetailleerd bewijs). Het bleek mogelijk uit de proef van Bouten en mezelf enkele "principes" te distilleren, die als hulpstellingen wer- den geformuleerd en die als het ware een "metode" (in plaats van een los bewijs) schiepen, waardoor het toepassingsgebied juist werd verruimd. Naast het teorema van Erdds - de Bruijn (voortaan "EdB” geheten in deze inleiding) kon ik zo aantonen dat uit een eenvoudige hypotese (( zie III 1.8 )) zelfs volgt dat q P + 3 * terwijl uit de stelling van Veblen en Bussey over het bestaan van eindige projektieve vlakken een argument kon gehaald (( zie III 1.81 )) waarom in de alternatieve hypotese een dergelijke verscherping van EdB niet mogelijk is.
Zoals in III 3.0 uiteengezet, suggereert EdB een onbe- grensde verzameling van analoge problemen : in hoever leert een relatie tussen p en q iets over de struktuur op de linéaire ruimte ? Voor p = q is de vraag bevestigend én élégant te beantwoorden. Is dit ook het geval voor andere bekende meet- kunden ? Met de "metode" waarvan sprake kon het probleem even gelukkig opgelost voor de (eindige) affiene vlakken ; hieraan is § III. 3 gewijd. Verrassend bleek het zelfs mogelijk de
O
gelijkheid (q-p) - p te vervangen door een ongelijkheid (( zie III 3.1 voor het precieze énoncé )) . Waarschijnlijk is dit typisch voor de "metode" ((zie II 3.92 )) , die haast uitsluitend
A-6
met ongelijkheden goochelt. ii/el is wezenlijk de eis dat p een volmaakt kwadraat is, zoals eenvoudige tegenvoorbeelden kunnen leren,
Het algemene vraagstuk, of zelfs het vraagstuk al voor hoger-gedimensioneerde (projektieve en affiene) ruimten, werd niet aangesneden. Een moeilijkheid - of eventueel een reden waarom geen prettig antwoord bestaat - lijkt me te zijn dat de "afstand” tussen het minimum p voor q en de dan geldende waarde van q steeds groter wordt en meteen misschien het aan- tal kompatibele strukturen,
Algemene eigenschappen van (eindige) linéaire ruimten, zoals de hulpstellingen waarop de ”metode” berust, zijn in
§ III.1 ondergebracht. Wel werden formules die uit de vorige hoofdstukken volgen door de parameter X gelijk aan 1 te stellen niet meer herhaald. In 1,4 vindt men een sleutel-stelling,
waarop zowel het voor de affiene vlakken belangrijke leimna 1.46 als de meermaals gebruikte benedengrens voor A2 uit 1.5 steunen.
Eveneens onontbeerliJk zijn de stellingen uit 1,6 en 1.7 ♦ Toch gaat in deze paragraaf de aandacht in de eerste plaats naar twee recente teorema's van Henderson (( Re 25 )) waarvan met behulp der algemene teorie een uiterst snel bewijs werd gegeven. Wel moest hiertoe in 1,1 een lemma ingevoerd, dat spontaan het probleem uit 1,11 oproept : wat gezegd als door elk pimt een zelfde aantal rechten gaan ? Twee tegenvoorbeelden tonen dat geen simplistische oplossing (in de lijn van het lemma) mogelijk is. Het tweede tegenvoorbeeld beantwoordt bovendieo negatief een vraag door Motzkin gesteld (( Re 31, p.^52 )) . Jainmer genoeg zou deze, positief beantwoord, een simpèl bewijs van Sylvesters vermoeden hebben gegeven I
De tweede en grootste kem van onderzoek ontstond rond Boses bewijs (( Re 17, p.99 )) van de onReli.ikheld van R.A.Fisher
(de beroemde statisticus) voor blokolannen, Zoals welbekend is een blokplan een verzameling van punten (00k ”variëteiten” ge- heten) en van sets van punten, "bloks" geheten, die voldoen aan het postulaat :
A-7
(Po-K-) *'Elk ( K+l)-tal (verschillende) punten behoren tôt juist \ gemeenschappelijke bloks."
voor de waarden en/l^l»en bovendien aan de eis dat elk blok een zelfde aantal punten telt. Deze blokplannen ofte
*'BIB-designa" spelen In de statistiek een grote roi bij de
"analysis and design of experiments" - zoals de titel van Manns mooie boekje (( Re 9 )) luidt.
Hier was de aanleiding dat ik opmerkte dat in Boses bewijs de beperking "in elk blok evenveel punten" en zelfs de
zwakkere beperking "door elk punt evenveel bloks" onnodig waren.
Hiertoe moest de déterminant uit II 2.5 worden berekend, maar in de klassieke algebra was dit reeds gedaan. Meteen was een nieuw bewijs gevonden van de ongelijkheid van Szekeres - Endos - de Bruijn, aangezien linéaire ruimten aan de voorwaarde -A » 1 voldoen.
Grosso modo was dit tweede onderzoek er dan vooral op gericht zoveel mogelijk af te komen van de beperking dat elk blok een zelfde aantal punten telt. Ook voor de statistiek is dit van belang. Zoals Mann opmerkt (( Re 9, p.150 )) kan men biJ proeven niet steeds het aantal variëteiten per blok konstant houden : noms al omdat een proef mislikt, soms ligt het in de natuur der zaak,
Ook de onderstelling (RJ) dat elk blok een subset van punten is bleek raeestal overbodig. Het begrip "blokruimte"
werd ingevoerd, Zowel punten als bloks worden er als "dingen"
opgevat en alleen de eis (Po-k- A ) met K = 1 en /j > 1 bleef over, Het hoofdstuk II is eraan gewijd.
Maar hiermee was het abstraktie-proces nog niet voltooid, Verschillende intéressante resultaten bleven gelden ook als
K / 1 en sommige zelfs in nog algemenere omstan^igheden. De teorie is "in statu nascendi" en het leek me vooringenoraen (en zelfs onwijs) onderstellingen of namen voorbarig te gebruiken, Ik heb daarom getracht elk résultant zo precies mogelijk te
formuleren. Soms heeft dit de bondigheid geschaad. Maar alleen door "gevit" en "gepeuter" - zoals men dergelijke analyses wel eens heet - beseft men de draagwijdte van bepaalde hypotesen,
A-8
de ballast of de nutteloosheid soms, en in blokruimten het grote belang van de voorwaarden p 2 en
(J) "Elk punt ligt op minstens (A +1) bloks".
In hoofdstuk I werden deze diversen ondergebracbt. Het is een onbegonnen werk ze samen te vatten. Maar de aandacbt moge hier toch gevraagd voor volgende resultaten ;
(a) De studie vanaf 1.7 die uitloopt op de meermaals toegepaste bi-implikaties in 1.75 en 1.76 .
(b) De formules (T ) uit 3.3 die de formules van Hughes uit 3.5 veralgemenen.
(c) De resultaten in 3.6 en 3.7 over matrixen. Ze werden be- komen door na te gaan waarom de deterrainanten-bewijzen van Bose en mezelf slagen. Het staat in verband met de klassieke
stelling "het produkt van twee staande matrixen is nul", Ilierbi^j blijkt dat een ongelijkheid als q > p in zeer ruime voorwaarden geldt, en een grappige toepassing vindt men in 3*75 . Bovendien kan de rang van de incidentie-matrix bepaald. In 3.6^ wordt dan nog getoond hoe q p + 1
eventueel te bewijzen. Dit wordt later toegepast in II 3.73.
(d) De formules uit 3.82 tôt 3.87 * van groot belang in hoofd- stuk II. Ik vond ze door uitbreiding van (de aldaar vermel- de) formules van Mann. Mann onderstelt de traditionele
beperkingen "op elk blok evenveel punten" en "door elk punt
‘ evenveel bloks". Maar door het volgende trucje konden zijn resultaten substantiëel verbeterd worden. Men behoeft zelfs het postulant (Po~K-/i ) niet I Onderstel dat a^^ •••
niet-negatieve getallen zijn. Om aan te tonen dat ze nul zijn, toont Mann het verdwijnen van a^ aan en besluit hier- uit door analogie tôt het verdwijnen van de andere getallen.
Het trucje neemt de som (a^ + a2 + ... + ) en toont aan dat deze som verdwijnt. Terwijl in de algemene situaties elk getal a^ ingewikkeld opgebouwd is, blijkt hun som han- delbaar (( zie ook II 3.2^ )) .
I
A-9
Verraelden we nog dat (ook in hoofdstuk II) met de incidentie-matrix gerekend wordt. Meestal werd ”syntetisch”
geredeneerd, maar wat ondervinding met studenten uit het eerste licentiaat wiskunde heeft me de ”anal3rtische" metode doen ver- kiezen. Dit heeft natuurlijk niet belet dat meer dan één nieuw résultant (zoals het allerbelangrijkste uit II 5.15) eerst syntetisch werd vermoed l
Hoofdstuk II is als het zwaartepunt van deze verhandeling.
Ilet konvergeert naar de resultaten van 5.95 en 5.9^ en lijk hoofdstuk III ”sluit” het met open problemen. Zoals I en III is het axiomatisch zover het kan, origineel zover het mag,
Sommige bekende formules en stellingen zijn onmisbaar, Meestal werd nog getracht een nieuw of vernieuwd bewijs te geven. Steeds is aangeduid wanneer bewust "plagiant” werd gepleegd.
Twintig hoofdformules werden doorlopend genuimaerd die in 2.1 en 2.2 worden vaak onvernoemd toegepast. Van (1) en (2) kan ik de oorspronkelijkheid onmogelijk meten. Misschien behoren ze tôt een mondelinge overlevering ? In 2.5 staat de
"katalytische" vondst waarvan reeds sprake. Vanaf 2.5 worden de formules uit I 5.8 ingevoerd. Hieruit bekomen we onder meer de belangrijke stelling in 2.55 .
^ Een eerste toepassing hieirvan is de stelling in 2.5^ . Analyseert men de gekende bewijzen van Rysers teorema uit 5.21|
dan vallen ze aile uiteen in drie "fazen". De laatste faze is juist deze stelling uit 2.5^ . Het bewijs erin verschilt totaal van de vroegere. De middenfaze vindt men al in Re 22 en zou reeds in 1959 door Bose gepubliceerd zijn. (( op.cit., p.95 )) . Ze komt ongeveer overeen met het lemma 2.8A . Ook dit bewijs lijkt anders dan de me bekende : het past doodgewoon de stelling van Cramer toe. (( Maar de laatste regels in Re 52 suggeren een mogelijke analogie met Boses bewijs. Dit bevindt zich in deel 9 van de "Annals of Eugénies" en kon niet geraadpleegd worden. ))
De eerste faze is de moeilijkste en Rysers eigenlijke bijdrage tôt zijn teorema (( Re 52 )) . Hiervan werd een nieuw (en, naar ik hoop, niet zo ingewikkeld) bewijs gegeven in 2.81 . Het werd afgeleid uit een algemene stelling in 2.8 .
A-10
Y
In 2.71 treffen we een dikwijls toegepaste eigenschap aan ; hetzelfde geldt voor de formules uit 2.72 en 2.75 • Meestal heeft men A « 1 , raaar in de toepassing van 5.95 is
A
> 2 .(( Het belang hiervan is dat men tôt een nuttige ondergrens voor geraakt.)) Vanaf 2.9 voeren we de gerande matrix uit I 3.63 in. Het hoofdresultaat is de nodige en voldoende voorwaarde uit 2.95 » (( Merkwaardig is wel dat (1) toeliet de twee stelsels (c) en (d) uit I 3.63 effektief op te lossen. )) Ze wordt toe- gepast in 3.75 en dus in het '’konvergentiepunt" 3.93 .
Een eindige blokruimte heet 'feyrametrisch" als P » q . In § III.5 worden vooral enkele nodige en voldoende voorwaarden hiertoe bestudeerd. In 5.1 onderzoeken we de gevolgen van het
postulant
(Po°-K-j*- ) "Elk ( K +l)-tal (verschillende) bloks gaan door juist
!*. geraeenschappeliJke punten,"
voor K » 1 . Een eerste hoofdresultaat wordt bereikt in 3.15 . Noodzakelijk geldt A ^ en p » q . Maar er kan niet aan- toond dat op elk blok een zelfde aantal punten liggen, Hiertoe zijn diepere stellingen nodig. Voor A » 1 wordt een bevredigend antwoord door 3.1^ geleverd, Intuïtief komt dit neer op het wel- bekende projekteren van de punten op een rechte vanuit een punt erbuiten. Maar voor A ^ 2 - zoals in de tekst regelmatig wordt opgemerkt - ziJn de verhoudingen soms verrassend anders.
Soms onaangenaam, zoals in 5.61 ; de "metode" uit hoofdstuk III kan niet uitgebreid tôt \ >/ 2 , Maar soms ook prettig, zoals de mooie en haast onvermoede stelling in 3.15. Voor A >2 kan men als het ware projekteren van op het blok zelf. ((De faktor ( A-1) legt uit waarom dit résultant voor A » 1 verdwijnt. )) Meteen wordt voor A > 2 de stelling 3.17 bewijsbaar. Haar zusterstel- ling voor A » 1 in 3.18 kan echter geen gebruik maken van het résultant uit 3.15 î vandaar voor rechten de komplikatie van de ontaarde projektieve vlakken (de "near-pencils”).
1
A-11
In 5»5 krijgen we dan een eerste syntese. Vergelijking met EdB (en zo is de kring nu rond) suggereert een boeiend (en nog steeds niet afgesloten) probleem, Het komt hierop neer » in Rysers teorema wordt ondersteld dat door elk punt een zelfde aeintal bloks gaan. Voor A = 1 is dit overbodig, zoals EdB leert.
Is dit ook overbodig voor A > 2 ? De rest van bet hoofdstuk is hoofdzakelijk gewijd aan twee onderwerpen :
(a) het gedeelte van het nieuwe bewijs van EdB dat ook g±»oten- deels zou opgaan als A A 2 (( zie vooral 5 «92 ]) dat daarom in hoofdstuk III niet werd geplaatat ;
(b) een reduktie van het daareven gestelde probleem tôt de reeds eenvoudige vorm in 5.93 •
In allebei wordt zowel van de stelling uit 5.8 als van het even- eens syntetische teorema uit 5.9 grondig gebmik gemaakt.
Ik eindig het hoofdstiik met een heel onlangs vermoeden uit te spreken, dat het probleem in 5.93 onmiddellijk zou op- lossen. In elk gebied van ons onderwerp stoten we dus op on- beantwoorde vragen. Maar kan men beter wensen ? Zegt men niet dat dit het kenmerk is van beloftevolle wiskunde ?
Dit wat de hoofdzaken betreft. Heel wat werd niet ver—
meld. Stellingen zoals I 1,2 , III 5.5 en 5.6 ; verbeteringen aan het bewijs van ErdSs - de Bruijn zoals het profiteren van permutaties of het verwisselen van punten en rechten (( zie III 2.21 ). Maar voor sommige gedeelten was het niet doenbaar ze recht te laten wedervaren. Tenslotte vormt deze tesis een geheel en kan een inleiding niet meer doen dan binnenleiden 1
A-12
In de blbliografie werden, op zes titels na, alleen boeken (1 tôt 17) en artikels (21 tôt 52) opgenomen waarvan
sprake in de inleiding of de eigenlijke tekst, De standaard- werken van Netto en Riordan werden eerbiedshalve, de artikels 2^ en 26 volledigheidshalve vermeld. Wel moet opgemerkt dat
Hughes reeds in artikel 26 over "t-designs" spreekt ((vgl.I 1.44)) en de ongelijkheid van Fisher uitbreidt van K = 1 tôt K>1.
Halls artikel 24 resuneert een heleboel resultaten die raeestal opk elders te vinden zijn. De artikels 28 en 29 onderstellen de inbedbaarheid in een "gewone" ruimte. Intéressant is de bibliografie bij Kelly en Moser, die volledig lijkt tôt 1957.
Hun figuur 4.1 (p.217) is ons tegenvoorbeeld in III 1.5 * maar ze speelt er een andere roi. Lang bewijst de duale van Sylvesters vernioeden door een metrische redenering. Eerst ‘ lag het in de bedoeling een hoofdstuk te wijden aan inbedbare ruimten en aan linéaire ruimten waarin elke eindige deelruimte minstens één "ordinary line” bevat (dat is een rechte met juist twee punten erin). Tijdsgebrek verhinderde dit opzet. Naast een paar referenties zijn alleen de paragraaf over morfismen (inbeddingen) en de negatieve oplossing van Motzkins probleem van de voorstudie ertoe de "stille getuigen” . --
•.'•H'- Als achtergrond voor de logika en de verzamelingsleer werd aan de ”Axiomatic Set Theory” van Bernays en Fraenkel
(North-Holland, 1958) gedacht. Hier en daar werd wel afgeweken
•1;
van hun notatie of terminologie. Meestal spreken de innovaties 1
voor zich. Zo is een biset R niets anders dan een set van geordende paren en stelt R niet alleen de konverse van R voor maar ook voor matrixen de getransponeerde. Het kartesisch produkt A x A wordt afgekort tôt A^. Het komplement van A
(tegenover een impliciet bepaalde "totaalruimte”) wordt met
”co A” aangeduid en de kanonische extensie van een map f naar de familles der subsets (( Re 2, p.lOl )) met «fo”, Door te sandwichen met ”co" ontstaat de duale fo =» co f° co . Veron~
achtzaamt raen dit begrip, dan kan de illusie ontstaan dat open en gesloten maps in topologie elkaars duale zijn.
A-13
(( Hun namen zi^jn slecht gekozen : in tegenstelling met sluiting en opening zijn gesloten en open maps auto-duale begrippen.))
Afgezien van enkele neologismen werd - wat het Neder- lands betreft - het Engelse "blocks” door "bloks" (niet door
"blokken") weergegeven, Bovendien werd van elk stel punten meestal gezegd dat ”ze liggen" (niet dat "het ligt") j en item voor analoge situaties,
AANVULLING, Een der prijsvragen dit Jaar uitgeschreven door het Wiskundig Genootschap te Amsterdam betreft het vermoeden van Sylvester. Zie "Nieuw Archief voor Wiskunde", derde sérié, XJII (1965), p.^1 . Vermelden we ook een aantal intéressante opmerkingen erover op pp, 7-8 van de "Kombinatorische Geometrie in der Ebene" van H.Hadwiger en H.Debrunner (L'enseignement mathématique, Genève, I960),
«
I-l-l
HOOPDSTUK I.
HOOPDEIGENSCHAPPEN VAN PLANS. BELANGRIJKSTE SPECIALE GEVALLEN.
§ 1. Plans. Het postulaat (Po-if-/^),
§ 2. Morfismen van plans.
S 3» Eindige plans.
§ 1. PLANS. HET POSTULAAT (Po-<c-/l).
1.0, Vele reeds bestudeerde strukturen worden p;edrap:en door een tweetal niet-ledige sets, P en Q, en voortp;ebracht door een biset R ertussen, We beperken ons hier tôt dergelijke strukturen. Hoewel pas nadat bepaalde postulaten als (Po-«—H) (( zie 1.4 )) zijn ingevoerd volgende benaraingen aanvaardbaar klinken, zullen we ze kortheidshalve toch van meet af aan
invoeren. De elementen van P zullen "punten" heten, die van Q
"bloks" en die van R "incidenties" of met Hughes (( Re 27» p.200 ))
"vlaggen”, Zelfs het woord "plan" wordt gebruikt voor elke struktuur (P,Q,R) met P/0, Q/0 en RSPxQ,
1.01, Als veranderlijken voor P gebruiken we : u,v,w, voor Q ; x,y,z, en natuurlijk telkens ook hun traditionele
derivaten, Het incideren van u met x duiden we aan met "u R x", het niet-incideren met "u R x". V/e lezen u R x ook als
"u ligt op x" of als "x gaat door u".
1.02, De kardinale getallen van P, Q en R stellen we resp. voor door p, q en r. Dus p^l, q^l, r ^ p x q, relaties
1-1-2
die nog steeds gelden als p en q (en dus r) natuurlijke getallen zijn. In dit geval spreken we van een eindig plan.
1,03. De klasse der plans, als morfismen opgevat, vormt een auto-duale kategorie.
(( Zie Cohn, Universal Algebra, 1965, p.^0 )) .
1.1. Dualizeren is overgaan van het plan (P,Q,R) naar - U
het plan (Q,P,R). Deze overgang induceert met elke bev/ering ee^ tweede bewering, de duale ervan. Zijn beide gelijkwaardig, dan heten ze "auto-duaal".
1.11. Wezen K en À natuurlijke getallen. De duale van (a) Ligt elk punt van een m-stel op elk blok van een n-stel,
dan geldt m é K of n £ À , is natuurlijk
(b) Gaat elk blok van een m-stel door elk punt van een n-stel, dan geldt ra of n ^ A ,
Of dus 00k
(b*) Ligt elk punt van een m-stel op elk blok van een n-stel, dan geldt m ^ A of n -6 k ,
Dus zijn (a) en (b) auto-duaal als k = A .
1.12. Nu is (a) 00k te formuleren als
(a') Elk (K+l)-tal (verschillende) punten liggen op hoogstens A gemeenschappelijke bloks.
Of als
(a") Elk (/l+l)-tal (verschillende) bloks gaan door hoogstens K gemeenschappelijke punten.
1-1-3
De eis, verderop (Po-K-/^) geheten, dat elk (K+l)-tal (verschil- lende) punten op .julst À geraeenschappelijke bloks ligt, bevat dus alleen voor = A een auto-duaal gedeelte.
1.2. Door symmetrlzerinp: bekomt men als volgt een struktuur gedragen door de set 0 en voortgebracht door de symmetrische biset S tussen 0 en 0 :
0 = PuQ , S = RuR.
STELLING. Alleen als (R\R) disjunkt is met (P Q)^» dus in 't bijzonder als P dis^unkt is met Q, geeft deze overgang van R naar S geen verlies aan informatie. Inderdaad, uit
R^PxQ en RÇQxP volgt dat R/i(PxQ) = R ,
Ro(PxQ) « ((Rn(QxP) ))o(PaQ) » Rn(PoQ)^ , en dus
S^(PxQ) = R .t/. Rn(PnQ)^ - Ruconv (( R ^ (P/nQ)^)).
Geldt S(P X Q) » R (d.w.z. kan men R uit S terugberekenen) , dan moet dus
conv ((R O (P/^ Q)^)) ç R of te
waaruit
R n (Pn Q)^ S R ,
(R\R) n (Pn Q)^ = RncoRn(PnQ)^ e
U O
Omgekeerd, is (RnR) disjunkt met (P/pQ) ,
w U R -nco R dan moet
^ P
R n CO R(o(PnQ) » 0 ofte
R n (Pn Q)^ s R ,
0 .
waaruit
1-1-4
R £ S/^CP^Q) < R wconv R « R .
1.21. Hieruit "volgt" de opmerking van Pickert (( Re 15» p.2, voetnota 2 )) s Dadurch (ni. dat PoQ = 0
niet noodzakelijk geldt) ist es allerdings unstatthaft geworden, die Inzidenzrelation zu "symmetrisieren" ; ohne Zusatz-
voraussetzung wird R noch nicht durch diejenige Relation bestimmt, deren Bestehen zwischen x und y dasselbe bedeutet wie *'x R y oder y R x”.
1.22. Bruck (( Re 4, p.l7 )) gebruikt een minder
algemeen begrip : de "partial planes". Ze worden gedragen door een tweetal sets, P en Q , en voortgebracht door een symaetrlsche biset S, met nog
PnQ = 0 , S ç (P X Q) vy (Q < P) .
Zonder verlies aan Infornatie is hieruit steeds een plan (P,Q,R) af te leiden. Stel daartoe
R a S n (P XQ) . Dan is immers
Ri^R = Sn(PxQ) ,u. S n (Q X P)
- S .n. (PxQ) u(Q xP) = S .
We merken volledigheidshalve nog op dat P/nQ = 0 nergens gebruikt werd. Gelet op 1.2 moet echter toch gelden
(RnR) n (PnQ)2 » 0 . Inderdaad
RR = S O (P X Q) n co (( S n (Q X P) ))
= S n (Px Q) n co(Q X P) Çr co(Q x P) .
Dus is (R "N R) disjunkt met (QxP) en a fortiori met (PnQ)^ .
1.5. Twee maps, i : zijn kanonisch te konstrueren.
1-1-5
i U = j X : U R X
Dit zijn injekties wanneer resp. geldt
(Ri) (Ax) (u R X <=^ V R x)
(RJ) (Au) (u R X <=> U R y)
In dit laatste geval "identificeert i
ermee dbor j korresponderende subsets van punten. Q wordt dus een familie van subsets van P en u R x hetzelfde als u e x , Ilet plan heten we dan "familiaal".
1.31. Het kardinale getal van (i u o i v) stellen we voor door b(u,v), dat van (J x n J y) door a(x,y).
We stellen kort
a(x) » a(x,x) , b(u) = b(u,u) .
1.32. (Rj) is dikwijls nuttig te versterken tôt
(RJ J) Jxçjy =^x = y.
Weze K bijvoôrbeeld een klasse van sets. Een plan heet
"K-regulier" als ^ ^ .
(RR) (ôxnjy)eK x = y ,
wat kan gesplitst worden in twee voorwaarden ; (RK-1) (oxndy)eK x => y ,
u = V ,
• ^ *
=5> X = y .
men de bloks vaak met de P Pq en j : ^ Q F , Men stelle daartoe
Jx = ju:uRx C.
(®) Uit de kontekst is duidelijk dat deze bi-implikatie geëist wordt voor aile bloks x en y.
We laten dergelijke preciseringen dikwijls achterwege.
1-1-6
(RK-2) ô X e K .
K-reguliere plans voldoen aan (R^d) zijn dus met familiale plans te identificeren, Inderdaad, uit het antecedens volgt dxnjy = jx, wat wegens (RK-2) (jx/-idy)€K
impliceert, en dus wegens (RK-1) het consequens.
1.33. Als voorbeelden van K-reguliere plans kiezen we de Steiner-systeroen. Ze voldoen onder meer aan (( Re 13» p.286)) :
(a) Elk (K+l)-tal (verschillende) punten liggen op hoogstens één gemeenschappelijk blok,
(b) Elk blok gaat door minstens (k+1) punten,
HierbiJ is < een natuurlijk getal, Men kieze dus als K de klasse der sets met minstens (k+1) elementen, Voor Steiner-systemen is het dus overbodig - zoals het in de literatuur gebeurt - (RJ) als een apart postulaat in te voeren.
1 Plans voldoen meestal voor een of andere keu'ze van de natuurli.jke p:etallen k en A aan het postulaat :
(Po-K-i^) Elk (K+l)-tal (verschillende) punten liggen op juist /i gemeenschappelidke bloks,
Het is de kon.junktie van ;
(a) Elk (K+l)-tal (verschillende) punten liggen op minstens
^ gemeenschappelijke bloks.
(b) Elk (K+l)-tal (verschillende) punten liggen op hoogstens /^ gemeenschappelijke bloks.
1,41. Uit (a) en p > k+1 volgt dat (Au) b(u) » /I en dus q ^ À . Ken heeft overigens nog pq > r > p ,
1-1-7
1.42. Voor A » 0 is (a) triviaal voldaan en betekent (b) dat elk blok door hoogstens < punten gaat. Vandaar dat meestal ondersteld wordt À ^ 1, Dit is steeds het geval vanaf hoofdstuk 11. In dit hoofdstuk is A o o dikwijls toegelaten.
1.45. Zoals reeds opgemerkt is (b) NIET auto-duaal voor K / À . Dit heeft als gevolg dat sornmige resultaten die wel
Juist zijn voor < » /J « 1 niet kunnen geëxtrapoleerd worden tôt de algemene situatie ^ » 1, A tenzij men de duale van (b) als nieuw postulant toevoegt (( vergeli jk met 3»^ )) •
De duale van (Po-*f-/|) stellen we voor door (Po^-k’-A) ; dit betekent dus :
Elk (K+l)-tal (verschillende) bloks gaan door Juist A gemeenschappeli;jke punten.
Praktisch altijd zal (als dit postulaat verderop ter sprake komt) de parameter, die hierin de roi van A speelt, van nul verschlllend ondersteld worden. (( Zie 11 1.2.))
1.44. Heel onlangs werd door Hughes (( Re 27 ); het begrip van t-design ingevoerd. Een t-design is niets anders dan een familiaal (en waarschijnlijk eindig) plan dat voldoet aan (Po - (t-1) - A ) en aan de eis dat op elk blok hetzelfde aantal punten ligt. Het veralgemeent op zijn beurt vroeger ingevoerde koncepten, zoals de reeds verraelde Steiner-systemen, de blokplannen ((Re 13» P»287 )) ofte balanced incomplète
block designs (( Re 17» p.96 )) en de eindige affiene en projek- tieve vlakken. De Steiner-systemen voldoen aan A * 1» de
blokplannen aan k » 1 en A 1» de vlakken aan allebei.
1.45. Toch is de studie van (Po-<<-A) zeker hierom reeds van belang dat ze bekende begrippen overkoepelt waarbij op elk blok niet noodzakelijk hetzelfde aantal punten ligt en die dus geen bijzonder geval zi^n van een t-design. Voorbeelden : de equivalentiehokjes als bloks opgevat, met ac = 0 en A = 1 ;
1-1-8 I
de linéaire ruimten (in de zin van Professer Libois) met ^ ^ = 1 ; de blokruimten, in hoofdstuk 11 in te voeren, met K = 1 en
/I » 1 en waarover een rijke teorie in het verschiet ligt.
1,46. Vat men in de teorie der ongerichte ’^raphs"
(( Re 11 )) de "toppen" op als bloks en de "kanten" als punten en laat men geen "loops" toe, dan is voldaan aan (Po-<-/^) voor
k =* 0 en /I e 2 , Zo volgt het teorema van Euler dat zegt dat in een eindige ongerichte graph het aantal toppen met oneven
"graad” even is uit het algemehe résultant (Tq) (( zie 5.3 )) .
De studie der graphs viel echter huiten ons bestek. We verwijzen hiervoor naar het geciteerde werk van Ore evenals naar de leer- boeken van Konig en Berge.
1.5. Weze voldaan aan (Po-k-/|) met /I ^ 1. Kortheids- halve etiketteren we enkele voorwaarden :
(Jl) Minstens (/l+l) bloks gaan door minstens (k+1) punten.
(J2) Hoogstens (/l-l) bloks gaan door aile punten, (J3) (Au) b(u) / ^ .
(J) (Au) b(u) >/] + !.
STELLING. Deze voorwaarden zi,1n als volgt verbonden :
(Jl) , (J2) en ^ K +1 , . (J3) en p k +1 ==> (J)
• •
Het BEWIJS verloopt in verschillende stapjes.
1.51. LEMMA. Gaan minstens À bloks door aile punten (en is dus q » /I ), dan
(a) gaan juist /J bloks door aile punten, TOCH ALS p k+1 ;
1-1-9
(b) gaan de (q-A) overige bloks door hoogstens K punten.
BEV/IJo. Is P ^ K , dan geldt (b) zelfs voor elk blok, Onder- stel dus P K+1. Elk (K+l)-tal (verschillende) punten liggen zeker op de (rninstens À ) bloks door aile punten. V/egens
(Po-/f-/l) mogen het er maar /^ zijn. Dus geldt (a) en (b).
1,52. Hieruit volgt
(Jl) . (J2) en 'ç ^ K +1 »
Inderdaad, p ^ +1 is triviaal. Onderstel (J2) vais : rninstens X bloks gaan dan door aile punten. Wegens 1.51 voldoen dan
;juist X bloks x aan a(x) ^ >c+l| wat in strijd is met (Jl).
1.55. LEI^MA. Onderstel (J5) vais. Er bestaat dus een punt U zodat b(u) =
X
(waaruitq
)• Dan(a) gaan juist
X
bloks door aile punten, TOCH AL3 p >c+1 ; (b) gaan de (q-/l) overige bloks door hoogstens k punten / u , BEV/IJS. De bewering " / u" is triviaal. Is p ^ x , dan liggen op elk blok hoogstens K punten. Onderstel dan p » k+1 .Wegens moet elk /c-tal van u èn onderling verschillende punten op de
X
bloks door u liggen ; dezeX
bloks gaan dus door aile punten, zodat 1.51 kan toegepast.1.5^. Hiermee bevi^ijst men nu
P ^ « +1 en (J2) . (J3)
Inderdaad, was (J5) vais, dan kan men 1.53 toepassen ; de konklusie (a) is in strijd met (J2).
I-l-lO
1.55. Gelet op 1.^1 volgt uit p ^k+1 en (J3) natuurlljk (J).
1.6. Weze jm. eveneens een natuurll.jk p;etal ^ 1 en onderstel :
) Elk (<C+l)-t^l (verschillende) bloks gaan door juist
^ gemeenschappelijke punten.
Door duallzeren leidt men uit 1.53 af : Bestaat een blok x waarvoor a(x) = , zodat dus p , dan
(a®) liggen Juist ^ punten op aile bloks, TOCH ALS q » +1 ; (b®) liggen de (p-^w ) overige punten op hoogstens k bloks / x.
1.7. Onderstel zowel (?o->î-/l) als (Po®-^-^‘<-), met bovendlen ^ x , p k+1 en (-Eu) b(u) = A , zodat dus q >/■ X >/K * Welteverstaan is nog steeds en yu ^ 1, Uit 1.53 en (Po®-k-^) volgt dan
(c) X ^ ^ +1 /<=p;
(d) q max(<c ,0+1 q^/f+1 en q - X ^ 1
Eerste r:eval : X ^ k+1 . Dus, wegens (c), yu. = p ^ <c+1 . Gelet op (d) irapliceert dit q < max(/f,/I)+l = X +1 ofte q -é /I . Nu is echter q ^ /J . Dus q = // .
Bljgevolg ligt elk der p = punten op elk der q = X bloks.
Tweede geval s /I = < « q , Dan is (Po°~<f-y^) krachteloos en kan men alleen zeggen dat elk der p punten op elk der
q » /j » K bloks ligt.
I-l-ll
Perde pieval : A » k < q. Wegens (d) geldt dan ^ k < p.
Beschouw de A » k bloks die wegens 1.55 (a) door aile punten gaan samen met een (K+l)-de blok x. De gemeenschappelijke punten erop zijn natuurlijk de punten op x. Wegens (Po^-k-^ ) liggen dus op x Juist ^ punten.
Daar bovendien q k+1 kan 1.6 (a°) toegepast worden.
De ^ punten op x liggen dus op elk blok.
De (p-/*) overige punten liggen op hoogstens k bloks maar anderzijds gaan Juist A bloks door al deze punten. Daar
K » A betekent dit dat geen incidenties optreden tenzij die welke noodzakelijk volgen uit de twee regels :
1. juist A ( <q) bloks gaan door aile punten ; 2. Juist ^ (< p) punten liggen op aile bloks.
1.71. Sluit men nu het tweede geval uit door de eis q / K , of dus q > k+l, dan kan men het eerste en derde geval als volgt unificeren i
P = Pi - , P^^ r\ P2 = 0 , P-j^ telt JA. punten ;
(-n. ) Q “ Q]_ ^ Q2 1 Q2 “ 0 , telt \ bloks ;
R «» (?1 X Q) ( P X )
Bovendien is dan telkens (Ex) a(x) = I
(in de figuur stelt het ge- arceerde gebied R voor)
1-1-12
Dus
1.72. AANVULLING. De redenering toont bovendien dat
> K +1 • ' • =• P en ^ = q ; )[= K • ^ • < P en /I < q .
yU = P • • /I " q • // / A" . C Dit resultaat kan geraakkelijk intultief worden Ingezien I ))
1,73. Vandaar de STELLING :
Gegeven (A^l ,^«^1)
(P0-X-/I) met P K +1 ; (P)
(Po®-<c-^k) met q ^ K +1
Dan geldt
^ ^ K en (Eu) b(u) » /I • (-Q.) en (Ex) a(x)
1,7^. Verwisselt men A en onderling, dan zijn zowel (P) als (J2) auto-duaal.
Dus volgt uit (P) een tweede STELLING ;
en (Ex) a(x) * ^ (-^) en (Eu) b(u) = /j .
1.75. Uit de vorige redeneringen volgt ook dat in de ge- geven omstandigheden uit het "derde” geval van het "alternatief"
(11) steeds volgt dat zowel P2 als Q2 niet-ledig zijn.
Dus volgt dan uit (H) zowel (Ex) a(x) = als (Eu) b(u) = /j . We résuméren dit ailes in de STELLING :
1-1-13
X K
;i*. >/ K »
(Ex) a(x) »
1.76. Gelet op 1.41 en het duale ervan volgt dus uit (PP) nog de bl-lmpllkatle
(J) Niet(-A) .<É=^. (J°) ,
waarbij onder (J°) natuurlijk (Ax) a(x) m +1 verstaan wordt.
Gegeven ( ^ ;?'1 , 4^1)
(PP)
(Po-k-A) met P K+1 en
(Po^-K-yM^) met q j<+1 en
Dan geldt
(Eu) b(u) =
X
(.Jl)
1.8. Regelraatig treffen we de auto-duale hypotese
($) Niet elk punt ligt op elk blok.
aan ; ze is klaarblijkelijk onverzoenbaar met (Ax) a(x) » P
of met
(Au) b(u) » q .
In het "altematief" (-^) laat ze alleen het "derde" geval toe.
1.81. LEMMA. Onderstel dat (Po->i-/i) geldt. Bestaat er een punt u waarvoor b(u) /
X
, dan geldt (S)i TOCII ALS p > ^<+1.BEWIJS. Zoniet ligt elk punt op elk blok, ofte (Au) b(u) = q . Maar als p k +1 volgt uit (Po-/c-/J) dat dan
q
=>X
raoet zijn.Vandaar de kontradiktie (Au) b(u) =
X
1-1-14
1.82. GEVOLG. Rekenlng gehouden met 1.8 volgt hieruit , TOCH ALS P » K+1 ,
(Eu) b(u) / À .=^. (Ex) a(x) ^ p en (Eu) b(u) / q.
(( Natuurlijk moet ook (Po-ic-^) gelden.))
1 .9. V/egens p ^ 1 volgt uit (J) dat q /I +1 en wegens q 1 uit (J°) dat P ^ ^ +1. Gelet op 1.76 krijgen we dus de STELLING :
Gegeven
(P0-/C-/I) met ^ ^ i< ;
>
[2 !p :2j
(Po®-^-^) met y< ^ X- ✓
Dan geldt de rij bi-implikaties
(J) en P ^ H +1 (J) en (J®) (J®) en q ^ A +1 (SS)
(J) en P K +1 (jo) en q ^ >c +1
1.91. Uit (PPP) volgt bovendien dat elk der kon.junkties uit (SS) impliceert dat (S) geldt. Inderdaad, al de gegevens uit (PP) zijn dan verVUld en dus kan 1.76 toegepast. Dus moet
(-H.) vais zijn, dus ook het "eerste" geval. Bijgevolg geldt
P / y* of q ^ /I of (S) .
Is q / A en geldt (S) niet, dan kan 1.81 toegepast : dit geeft een kontradiktie. Duaal volgt dezelfde konklusie uit p
Dus geldt zeker (S).
1-2-1
§
2.
rî02Fl3Mi:N VAN PLAxNS.2.0. Gegeven twee plans, S = (P, Q, R) en 3’ «» (P',Q',R'), evenals twee maps
f J P -^P' , g s Q -+Q» .
Ilet koppel (f,B) heet een homomorfIsme van 3 In S* als (voor aile u en x)
(H) U R X fu R'gx .
2.01. STELLINO. Dit is gelijkv/aardig met (voor aile x) (H') fojx ç J’gx
of met (voor aile x)
(H”) fojx £ J’gx ^ f“P .
Ilierin stellen J en J ' natuurl'ijk de kanonische maps ult 1,3 voor bepaald door R en R' .
BSV/IJS. De gelijkwaardigheid van (H’) en (H") is triviaal. We tonen nog aan dat (H) (H'). Nu geldt
u' € f°Jx 4=^ (Eu) ( U R X en u*= fu ) ; U ’ € J ' gx 4=^ u • R ’ gx .
Bijgevolg, is u’ e f®jx , dan volgt hieruit dank zij (II) dat (Eu) (fu R'gx en u'= fu) en dus u'R'gx ofte u' € j'gx . Is u R X , dan is fu e f°Jx ; geldt dus (H'), dan moet fu ’e J'gx ofte fu R'gx .
2.02. Kan (II) versterkt worden tôt de bi-implikatie (I) u R X 4=^ fu R' ex ,
1-2-2
dan impliceert dit de
(!') f°;jx « J'gx n f»P
of dus de kommutativiteit van het diagramraa
Ç)pi
Q --- > Q’
e
waarbij r\ f°P : gedefiniëerd is door ( n f^P) U U U ^ f°P .
Inderdaad, het volstaat hiertoe ruimschoots dat uit (G) fu R’gx U R X
volgt dat
(G‘) J'gx n f«P ^ f®jx .
Weze nu u' 6 (j*gx n f®P) , Dus (Eu) (u’R'gx en u'= fu) , waaruit fu R'gx en dus u R x , Dus geldt u’ e f°Jx .
2.05. Is f In.iektlef « dan volgt oragekeerd 00k (I) uit (I*) . V/egens 2.01 en 2.02 iiioet nog aangetoond dut (G’) dan (G)
impliceert. V/eze nu fu R'gx . Dus geldt fu <5 (j'gx n f°P), waaruit (Ev) (v R x en fu = fv) . Nu noet Uo v ,
dus geldt u R x .
2.1. STELLIRG. Gegeven een in.jektief homomorfisme (l»s) van S in S' .
Voldoet S aan
1-2-3
(a) Elk ( K +l)-tal (verschillende) pixnten llggen op minstens A gemeenschappelijke bloks.
(c) Elk blok gaat door minstens k pxinten.
en S ’ aan
(b) Elk (X +l)-tal (verschillende) punten liggen op hoogstens A gemeenschappelijke bloks,
dan kan (H) tôt (I) versterkt v/orden.
BEWIJS. Weze u R x en toch fu R*gx , Op x liggen minstens K punten. Kies k ervan, Samen met u geeft dit ( A:+l) punten waardoor minstens A bloks gaan die aile van x verschlllen.
Door de injektie î worden deze ( x+1) punten gemapt op (><+!) punten van S*, zeg v^ ... (» fu) . Door de injektle g worden deze A bloks samen met x gemapt op (A +1) bloks van S’, zeg ...
C“ gx)
. Daar (f,g) een homomorfisme is, geldt (rekening gehouden met fu R*gx)R * y^p (^*^1 ... ^"t"!) ( ^ ...
wat in strijd la met (b).
2.2. Dit suggereert de DEPINITIE i ,
Een homomorfisme (f,g) van S in S* heet een inbedding van 8 in S*
^als bovendien f en g injektief zijn en (H) versterkt kan ! worden tôt (I) .
2.21. Gelet op 2.02 en 2.03 is (I) dan gelijkwaardig met (!•) .
2.22. Gegeven een Inbedding (f,g) van 3 in S’,
Voldoet S aan (RJ) en Is J dus een injektie, dan is het Injektief karakter van g bewi.isbaar.
Het volstaat hiertoe ruimschoots dat J'g J Q —>^P' een injektie Is. Weze nu J'gx - j’gy . Wegens (I') geldt dus f°Jx = • îîaar de beeldfunktie van een injektie is ook een Injektie, dus Jx « en tenslotte wegens (RJ) x ■ y . AANVULLING. Is g bovendien surjektief, dan voldoet (S’) ook aan (RJ). Dit volgt uit een algeraene stelling ; zie hiertoe Re 2 , p.8J , Théorème 1, geval f.
2,5. I/EMMA, Een nodige en voldoende voorwaarde opdat een map f \ ?->•?’ aan te vullen is tôt een homo-
morfisme (f,g) van S in S* is
(HA) (Ax) (Ex») f®Jx s J'x» .
BEWIJS. Wegens (H») is gx een dergelijke x» en omgekeerd mag raen voor elke x de aan te vullen gx gelijk kiezen aan één der korresponderende x* ,
. .
2.4, Een klasse K van sets heet "injektief-invariant"
als voor aile séts s en t waarvoor een injektie van s in t bestaat uit s K steeds volgt t € K ,
Hieruit volgt de monotoneïteit
s ^ K en set ,=^>, t fi K .
2.41. STELLING.
Gegeven s (a) S voldoet aan (RZ-2) j (b) S» voldoet aan (RK-1) ; (c) K is injektief-invariant,
Indien de injektie f aan (HA) voldoet, dan is ze ondubbelzinnlg aan te vullen tôt een homomorfisme (f,g) van 3 in 3* ,
1-2-5
BEV/IJS. Onderstel ab absurdo zov;el ç j'y als f°jx ç j'z . Dus geldt f®jx ç j'y n j’z .
V/egens (a) geldt jx 6 K en dus wegens (c) f®jx K ,
Gelet op de monotoneltelt van K impliceert dit (j'y ^ j'z) ^ K, waaruit wegens (b) tenslotte y = z .
2,5. In elk plan S o (P, Q, R) definiëert de uitdruk- king (in s)
(Ex € Q) s ç jx
een familie / van subsets van P. Het is duidelijk dat se/ en t ç s ,=^, te/,
verder dat j®Q ç / en dat j®Q zeker die se/ bevat waarvoor geldt (voor aile t)
(a) set t / .
Intuïtief is / een veralgeraening van de familie der subsets van onderling kollineaire punten (dus niet alleen tripels).
2.51. STELLUîG. Geldt (Rjj), dan is (a) zelfs te versterken tôt
s e joQ .4=^. se / en (At)(sct t ^ / ), wat toelaat j®Q uit / te "rekonstrueren".
BEV/IJG. Î7e hoeven alleen nog aan te tonen dat uit s ^ j®Q , set en te/ een kontradiktie volgt. V/elnu, uit
s e joQ volgt het bestaan van een x en uit te/ het
bestaan van een y zodat s = jx en t c jy . Dus jx c jy , wat in strijd is met (Rjj).
I-2-G
2.6. TEOREÎÎA. De voorwaarde (HA) is gelijkv/aardig met de "topologlsche"
(HA') (As Ç P) B e f f°3 €
(Hierbij stelt f' de famille voor, door 2.5 in S' gedefiniëerd.) Dit geeft dus een andere nodip:e en voldoende voorwaarde oodat een man f > P "» P* aan te vullen zou zl.jn tôt een homomorflsme (f.g) van 3 in S'.
BEV/IJ3. V/eze s / . Dus (Ex) s ç Jx . Hleruit volgt f°B £ f®jx ç J'x' . Dus f®a € -f\ Omgekeerd, steeds geldt ix € xf ^ dus ook f®Jx <s . Maar dit betekent
(Ex') f®Jx ç yx' ,
2.7. 3ESLUIT. Deze enkele resultaten tonen dat de morfismen van plans een ruime teorie toelaten. In de toe-
passingen speelt het begrip inbedding een fundamentele roi.
Ilet ware mogelijk geweest ook hlerover "aanvullingsvoorwaarden"
te enonceren. Dit zou dan kulmineren in een teorema analoog met Pickerts "Bei einem Isomorphismus einer regularen Inzidenz- struktur wird die Abbildung der Geraden bereits durch die dèr Punkte bestimmt". (( Re 13i P.^ )) . Hiertoe Is een famille ^ in te voeren diè zich verhoudt tôt / lijk de famille der
kollineaire tripels tôt de famille der kollineaire subsets.
1-3-1
§ 3. EINDIGE PLANS.
3.0, In deze § 3 beperken we ons tôt elndlp;e plans (( zie 1.02 )) . Geldt (RJ), dan volstaat het hiertoe dat P eindig is.
3.1. In dit geval heten we de punten ... , ze zodanig genummerd onderstellend dat
(J ... ^ hp ,
waarbij b(u^ , ) afgekort werd tôt b^^ en dus b(u^) tôt b5^ , Analoog heten we de bloks ... , met dit keer de voorwaarde
P ^ a^^ ^ ... ^ a^ ,
waarbij a(x^ , x^) = a^^ en dus a(x^ ) » a ^ .
3.11. NOTA. Van deze nummering wordt slechts afgeweken indien expllciet vermeld.
3.12. Indices als en ji zullen gebruikt worden voor de getallen van 1 tôt p, indices als cr en r voor de getallen van 1 tôt q, BiJ sommaties zullen dikwijls alleen de indices geschreven worden. Zo staan 2 en 2! voor en ,
^ e(: ! <Tr /
3.13. Daar de uitdrukking a^(a^-l) regelmatig optreddt, stellen we
A»- ■
3.2, Bovendien voeren we een q-p-matrix in,
"incidentie-matrix" geheten. We stellen een arbitrair element ervan voor door r^^ , waarbij
rTc>{ 1 <c=^ x^ gaat WEL door u ,
1-5-2
* 0 4=^ gaat NIET door
Dus 2 =« , wat bijvoorbeeld toelaat (J - ) te vereenvoudigen tôt (J-1).
Het is bovendien duidelijk dat dualizeren overeenkomt met transponeren van de incidentie-raatrix.
3.21. We hebben natuurlijk
^<rv - 1 * 1
zodat
^
’ L(T cn?r *en verder nog
r = 2 Z I*
waaruit
r <r<<
I I
o< cr (T« pq
(R) r = Z a_ « b. pq.
3.22. Daar verwaxring met de biset R onwaarschijnlijk is, duiden we ook de incidentie-matrix aan met R.
® ' Il I) •
5.23. NOTA. Het gebruik van indices en van de
incidentie-matrix wijst er steeds op dat we met een eindig plan werken.
5.5. Verschillen een stel getallen g^ ... g^ aile onderling. dan stellen we dit voor door / (g^ ... g^) .
Hiermee kan (Po-k-4) geschreven worden als
I er^
ic-i-i
• • • /I
1-5-5
Hieruit volgt nu het TEOREMA
À (p-s) ... (p->f) (s = 1, ,,. + 1)
dat bovendien nog geldt voor s = O, toch als men de eis / ... p.) als triviaal voldaan en het produkt ...
X U ^^ ^ ^ I
als = 1 aanziet. Met andere woorden
NOTA. Ook als ^ ^ K geldt het teorema. Wel is (Po-/<-/^) dan volslagen triviaal, maar voor s ^ p +1 is het antecedens
^ (*^2^ ... toch steeds onwaar en het consequens dus zonder belang terwijl voor s p het volgende geldt
(a) (p-s)... (p-k) = 0 , want p-s -^0 en p-k ^ 0 . (b) r^^^ ... r^^^ (a^-s).. .(a^-k) » 0 , want ofwel is
■ 0 ofwel is a^ » s en dus zoals voor (a) (a^-s)...(a^-K) « 0 .
BEWIJS; door induktie van (s+1) op s. Het bevindt zich in 5.51» 5.52 en 5.55* We merken op dat /^ *» 0 nergens moet uitgesloten worden.
5.51. hetzelfde als (Po-«-/^).
5.52. Weze Juist, terwijl s 1. Dus geldt voor / (-<1 ... “<'3+1)
X. ... ^a^-s-1).. .(a^->c) » X (p-s-1) . . .(p-k) .
Hieruit volgt dat indien / (<^, ... °<J)
X s
X
P ... ( p- k)r
• • •
1-3-4
Nu wordt in het tweede lid over (p-s) termen gesommeerd ; dus is dit gelijk aan/I (p-s) ... (p-K) .
Het eerste lid kan geschreven worden als
2 ••• (a^-s-l)...(a^-*) 2 r
■“'î Daar
^ ■ «T -
wordt dit eerste lid, gelet op de vereenvoudiging in 3.2 verraeld,
Dus is (T_) juist.
S
3.33. Tenslotte krijgen we (T^)
X (a^-1).. .(a^->f) = /I (p-1).. ,(p->c) , cr
wat na somraering van ^ onmiddelli Jk (Tq) geeft.
3.4. Zoals reeds opgemerkt in 1,4 kan gesplitst v;orden in twee beweringen :
(a) / C^x * * • ">î+l^ ^ ^ r ...
^ f't ^ ;
(b) / (“('l ^ ^<7V, • • •(T ' -<■ /I .
Elk van beide Impllceert een stel ongeli.jkheden analoog met de Identiteiten , Ze worden hier niet expliciet neergeschreven, Als K, m A is (b) auto-duaal en geldt dus bovendien
(c) 2 •<r Kt/ o<
1-3-5
eveneens gevolgd door een stel ongelijkheden. Deze gelden echter niet als ^ y tenzij (c) natuurlijk als nieuw postulaat werd toegevoegd.
5.5. Weze nu (A<r) » a, ^ ^1 en p » k+1. Dan is Z r ... r voor / ... V ) onafhankelijk van de keuze der c<'s en enkel een funktie f(s) van hun aantal s.
Bovendien voldoet f(s) aan de FORMULES VAN HUGHES t
(H ) (a-s) ,.. (a->c) f(s) = (p-s) ... (p->f) (s= 0,1,... ^+l)y
toch als men nog stelde f(0) = q. (Hq) volgt dan onmiddellijk uit (Tq). Voor s ^ 1 volstaat het aan te tonen dat, indien / ... '^g), 2 ... alleen van s afhangt. Maar dit is slechts een probleem als (a-s). .. (a-/ç) » 0. Dan zou
(p-s)... (p-*:) « 0 , want /I / 0 , v/at uitgesloten is wegens P ^ ^ +1 .
5.51. Ook als P = a ^ K gelden deze formules.
Inderdaad, op elk blok liggen dan aile punten, zodat voor aile s van 1 tôt p geldt
2 ••• “ q •
cr '
Dus f(s) » q. Toch lijkt dit resultaat onvoldoende om in een
"rijpe" teorie (Po-^-/l) niet aan te vullen met de eis p ^ ac +1.
5.52. In het reeds geciteerde artikel (( Re 27, p.l99 )) vermeldt Hughes jjesultaten analoog met 5.5 . De bewijzen ervan publiceert hij ih een artikel "On t-designs and groupa" dat weldra in het "American Journal of Mathematics" verschijnt, Toch gebruikt hij (Rj) ale een onderstelling terwijl ze hier bovendien uit een (nieuw) stel algemenere identiteiten, (T ) , worden afgeleid. Anderzijds veralgemenen de formules van Hughes vroegere resultaten van E.H.Moore en Witt ((zie Re 15, p.287 )).
1-3-6
3.6. We hoeven nu eerst een paar resultaten over matrixen af te leiden die verderop van belang zullen zijn. We beschouwen hiertoe een p-q-matrix M en een q-p-matrix N.
3.61. LEMT'IA.
det (MN) / 0 Rang M » p,
BEWIJS. Dus is voor aile het stelsel in x^
(a) J. (MN)^^ - y^
een stelsel van Cramer ; het heeft dus juist één oplossing.
Stelt men
2 N , Xfl , ji •r/i ^ '
dan wordt (a)
^ r '<< *
een oplosbaar stelsel dus in z^ , en dit voor elke keuze der y^ . Gelet op de bekende stelling uit de algebra
((Re 12, pp. 107-108 )) moet dus Rang M = p.
3.62. Hieruit volgt dadelijk dat
det (NM) 0 Rang N » Rang N o p, en dus
det (MN) / 0 Rang M » Rang N ■ p.
Nu is een rang nooit groter dan het aantal rijen of kolommen, dus geldt p é q. We resumeren dit in een STELLING »
det (MN) ^ 0 Rang M = Rang N = p ^ q,
NOTA. Het résultant p ^ q vindt men in de klassieke algebra vermomd als " het produkt van twee staande matrixen is nul"
(( Re 8, p.40 )) . De stelling 3.62 volgt ook uit de stelling
"de rang van het produkt van twee matrixen kan de rang van een
1-5-7
der faktoren niet overtreffen" C( Re 8, p.80 )) , Immers det (MN) ^ 0 betekent dat Rang (TIN) « p.
Uit
P c Rang (MN) ^
volgt natuurlijk : Rang M » Rang N = p ^ q.
Rang M j
^ - Rang N 1
P
q
3.63. Onderstel de stelsels in x en(T <T~
l V y.
s
voor elke keuze der en oplosbaar. We zagen reeds dat, als det (MN) / O, dit het geval is voor (c) ; het geldt dan eveneens voor (d). Men stelle nu
M° = M gerand door de rij-matrix der
(dus een (p+l)-q-matrix) ; N® « N gerand met de kolom-matrix der x^
(dus een q-(p+l)-matrix) ; en verder nog
(e) “ • f y, •
Dan is M°N® gelijk aan de matrix
'
» T4N . i
: i 11
sP l *t T • • •
ii ^ P
u
ii s
1-3-8
De stelling 3.62 hierop toegepast impliceert
det U / 0 Rang M® « Rang N® ■ p+1 ^ q .
Vandaar de STELLING : Gegeven det (MN) 0, Om aan te tonen dat p+1 6 q volstaat het zulk en t^ te vinden dat de matrix U, hieruit langs (c), (d) en (e) om berekend, voldoet aan det U / 0,
3.64. In een AB ABSURDO - bewijs mag men vertrekken met de konjunktie
P ■ q en det U » 0,
Inderdaad, een kontradiktie impliceert het "dilerama"
P / q of det U 0.
Uit P / q en het vroegere résultant p é q volgt p+1 ^ q, terwijl wegens de stelling 3.63 det U / 0 eveneens p+1 ^ q met zich brengt,
NOTA: Het afleiden van een kontradiktie is zowel een nodige als voldoende voorwaarde voor het bewijs van q » p+1 uit det (r-îN) / 0.
3.7. De resultaten in 3.61 en 3.62 impliceren voor de incidentie-matrix R de belangri.jke formules :
3-71. |b^^| / 0 Rang R » P ^ q
5-72. la,^( / 0 =?> Rang R ■ q ^ P i/
Inderdaad, (RR)^^ ■ en ®’<r r-
3.75. In hoofdstuk II zal 3.71 toelaten voor blokruimten onder zeer algemene omstandigheden te besluiten tôt p q.
Van 3.72 volgt nu een grappige toepassing* Onderstel dat elk
1-3-9
punt op hoogstens één blok ligt en dat elk blok door minstens één p\mt gaat. (Dit doet zich voor als de bloks equivalentie- hokjes zijn.) Dan is a^^ = a^ ^ 1 terwijl voor <r / f geldt is |si(7-r| ^ Bijgevolg overtreft het aantal bloks nooit het aantal punten !
5.8, We leiden nog diverse resultaten af die in hoofd- stuk II toegepast zullen worden. Het postulaat (Po-«'-/-i) wordt
nergens ondersteld.
3.81, Voor aile -K en <r heeft men klaarblijkelijk
ai ^ a r • Dus, wegens (R),
? ‘’l " ^ S cr
a2 • Natuurlijk geldt bovendien
J b2 » r <î=^> ( A<^) . 0 I
2. al .
(T ^ (a<r)
^cr (a^-1) = 0 .
3.82. Het is duidelijk dat
Zzr a <rzr =. Z^ r _ b<Tc< » waaruit
(a) 21. a 'Cf:<r
Z b . -
o( (TV a _ cr =» Z r_ (b,-1) ,<Tc( ' < ’ formule die ook geldt als q = 1 (( verifiëren I ))
Is (A-<) b^ = b , dan volgt hieruit een reeds in de literatuur aangetroffen formule
Z. = (b-1) a^
4 ^
1-3-10
d zie Re 9, p.l24, formule 9.22 )). We raerken echter op dat het een zeer algemeen resultaat is.
5.83. Verder geldt
(b) f r - = a (a^-1) .
Duaal hiermee is
2 Ztr (P =■ ^ (b^ -1) .
Hieruit volgt (ook als q = 1 )
(ri) 2 2 = ? b, -1) ,
<r r/(T
formule die ook uit (a) was af te leiden.
3.84. Het is duidelijk dat
(c) a
<rr ^ ^ ^ r .( /3 ^v,K ^<7-J ^T,J! /
2 2 r2
V or r^ + J 2^. ^ r r _, r __ r^,
(Toi Vo( T- X <J i-v <7'°<T ^ /
2 acr r Z Z
■< !i
(Tx b
7 7' *
Vandaar
a (a^^-1) = 2. ^ r_ r b.
Gelet op (b) volgt hieruit
(d) 21 a^^ (a .^-1) = 2. 2! r^ ^ “1) •
1-5-11
Dit is de veralgemening van een andere reeds in de literatuur aangetroffen formule (( Re 9; p. 12^, formule 9.25 )) .
Inderdaad, is (voor = /t , dan wordt het
' i
rechter lid gelet op (b)
-1) a^ Ca^-1) . Tenslotte volgt uit (a) en (d)
Z
ir (TT 1 Z -Z. r (b . -1)al <r<< ^ ot. '
Dit resultaat kon ook rechtstreeks uit (c) bekomen worden.
Sommering over cr geeft
(^2) 2 2^^ - Z 2^ b^^ Cb^^-1) + Z b^ (b^ -1) .
Deze formule geldt ook als q =■ 1 of p » 1. Alleen voor
P « 1 is de "kontrole" niet "onmiddellijk évident", We hebben dan aan te tonen dat
Z Z (b^ -1) .
<r vf<r
Nu is 21^ J. gelijk aan 0 of 1 ; het linker lid is dus gelijk aan het aantal ongeordende paren van verschillende bloks waarop u^ is gelegen, dus b^ (b^ -1) ,
5,85. Uit (Fl) en (F2) volgt de fundamentele identltelt (s een arbitrair reëel getal)
(P) Z Z (a^^-s)2
= Z Z b^, (b^. -1) + (l-2s) Z b^(b^-l) + S^q(q-l)
< f < ^ ^
die dus ook geldt als q»l of p-1.
1-5-12
3.86. Duaal hiermee is
(F°) J Z (b,«-s)2
•< p*‘< '
I 1 (a^^-1) + (l-2s) Z a Ca -1)
(T -C^r r ^ (TT '' ir (T <r '
We merken bovendien op dat wegens (d)
(ppo)
Vandaar
(F»F) Z (a,,-s)2 - 2^Z .3)'
(2s-l) ( Z a^ - Z b^ ) + (( q(q-l) cr V <\ ^
3.87. Dus volgt uit q =1 P en ^ a^ “ Z ^ b^“7
Z I (a -s)^ = Z Z (b . -s)^ .
(T V
C
+ s^p(p-l).
- p(p-l) )).
dat
HOOPDSTUK II.
KOMBINATORISCHE EIGENSCHAPPEN VAN EINDIGE BLOKRUIMTEN.
§ 1. Blokruimten.
§ 2. Toepassing van vroegere resultaten op eindige blokruimten.
§ 5. Symmetrlsche blokruimten.
■ ■ 'J. '. ..
§ 1. BLOKRUIMTEN.
1.0. Onder een blokruimte verstaan we dus een plan dat voldoet aan (P0-I-/I) met /) ^ 1. Voortaan duiden we dit postu
lant met (Po->^) of zelfs met (Po) aan. Alleen in deze paragraaf onderstellen we niet noodzakelijk dat de blokruimte eindig is.
1.1. Uit I 1,5 halen we :
(Jl) .==». (J2) en p^2 . (J3) en p^2
Hierbij berinneren we aan de betekenis van (Jl), (J2), (Jl) Minstens (/i+1) bloks gaan door minstens twee pûnten, (J2) Hoogstens (>j-l) bloks gaan door aile punten.
(J3) (Au) b(u) / ^ . (J) (Au) b(u) ^ /i + 1 .
^ (J)
(J3) en (J).
II-1-2
1.11. Volledigheidshalve : de konklusie (a) uit het lemma I 1.55 geldt nog als p *» 1 ,
1.12, (Jl) is zeker voldaan als /\ *» 1 en
(Eu) (Ex) (( a(x) 2 en u R x )) » dus a fortiori als » 1 en q ^ 2 en (Ax) a(x) > 2 .
1.13» (J2) is zeker voldaan als /I2 en (Rj) geldt.
1,2, Het postulaat (Po°-l-s) duiden we kort aan met (Po°-s) of zélfs als s » met (Po®). Het betekent dus :
elk tweetal (verschillende) bloks gaan door Juist s gemeenschap- pelijke punten, Het is NIET noodzakelijk dat s / 0, maar
onder ia. verstaan we zoals onder \ steeds een natuurli.ik getal
> 1. Onder (J°) wordt dan (Ax) a(x) > yu. +1 verstaan.
1.21, Uit de stellingen I 1,75 en I 1.76 halen we : Uit
(Po-/l), (Po°-y(* ), p>2 en q^2 volgt
(a) (Eu) b(u) » ^ (-^) A—(Ex) a(x) » ^ en
(b) (J) Niet (XL) (JO) .
1.22. Uit de stelling I 1,9 halen we ; Uit (Po-/\) en (Po®^ ) volgt de ri^ "bi-implikaties
(J) en P +1 .<=#. (J) en (J°) (J°) en q » /I +1
(M) % t
(J) en P > 2 (J®) en q ^ 2
II-1-5
1 1.23. Zie I 1.8 .
1.24. Gelet op I 1.91 volgt uit elk der konjixnkties van ($$) dat ($) geldt, TOCH in een blokruimte waar (Po®-^)
geldt.
1.3. Voldoet een blokruimte aan (Po®- 0), dan
"ontmoeten” twee verschillende bloks elkaar niet.
Dus geldt (Au) b(u) ^ 1.
Is P 2, dan volgt dank zij I 1.41 hieruit dat X •£ b(u) é 1 of dus /I a 1.
Bovendien liggen aile punten dan op één zelfde blok, terwijl de eventueel overige bloks door geen enkel punt gaan.
Is P a 1, dan gaat hoogstens één blok door dit ene punt.
KORT : de situatie (Po®- 0) is "ontaard".
II-2-1
§ 2. TOEPAGSING VAN VROEGERE RESULTATEN OP EINDIGE BLOKRUIMTEN.
2.0. De rest van het hoofdstxik II werken we in een EINDIGE BLOKRUIMTE. In deze paragraaf passen we de resultaten
toe uit § 3 van hoofdstuk I. (( Zie echter de nota in 2.8.))
2.1. Het teorema uit I 3.3 geeft (voor s = 2, 1, 0) achtereenvolgens
( Ho ) K ^ ^ — ^ fx jj ~ ^ •
(1) Z! r (a^-1) = ^ (p-1) ,
wat ook te schrijven is als
(!•) 2 ^ (p-1) + .
(2) X (a^ -1) =
A
p(p-l) »of, wegens I 3.13»
(2*) X = /I p(p-l) .
cr
V/e gaan deze formules dikwijls toepassen zonder uitdrukkeli.ike vermelding.
2.2. Weze nu (A<r) a^ «a. Gelet op I 3.5 en I 3.51 volgt hieruit, ook als p = 1, dat (A<=^) = b» met bovendien
(3) (a-1) b = ^ (p-1) .
Uit (R) volgt dan
(^) q a = p b,
