Gelijkvormigheid en diagonaliseerbaarheid

Definitie

Laat A een n × n matrix zijn.

Een scalar λ heet een eigenwaarde van A als er een vector x bestaat, x 6= 0, zodat A x = λ x.

x heet een eigenvector van A bij λ.

Het is niet moeilijk om te onderzoeken of een vector x een eigenvector is van een n × n matrix A.

Hoe kunnen we bij een geven eigenwaarde λ = λ0 de bijbehorende eigenvectoren vinden?

A x = λ₀x ⇐⇒

A x − λ₀x = 0 ⇐⇒

A x − λ0Inx = 0 ⇐⇒

(A − λ0In) x = 0

De eigenvectoren van A bij de eigenwaarde λ = λ0 kunnen dus worden gevonden door de matrixvergelijking

(A − λ0In)x = 0 op te lossen.

Opmerking

x is een eigenvector van A bij de eigenwaarde λ = λ0 alleen maar als x ∈ null(A − λ₀I_n)\{0}

Definitie

null(A − λ₀I_n) heet de eigenruimte van A bij de eigen- waarde λ = λ₀.

Dit is een deelruimte van Rⁿ. Notatie

E_λ0 = null(A − λ₀I_n)

Hoe kunnen de eigenwaarden en de bijbehorende eigen- vectoren van een n × n matrix A worden gevonden?

Laat A een n × n matrix zijn

x 6= 0 is een eigenvector van A bij een eigenwaarde λ ⇐⇒

A x = λ x voor zekere x 6= 0 ⇐⇒

A x − λ x = 0 voor zekere x 6= 0 ⇐⇒

A x − λ I_nx = 0 voor zekere x 6= 0 ⇐⇒

(A − λ I_n)x = 0 voor zekere x 6= 0 ⇐⇒

(Fundamentele stelling voor inverse functies)

(A − λ In) is niet inverteerbaar ⇐⇒

det(A − λ In) = 0

Definitie

det(A − λ In) heet het karakteristieke polynoom van A.

De eigenwaarden van A zijn de nulpunten van dit polynoom.

Notatie

cA(λ) = det(A − λ In)

Conclusie

Laat A een n × n matrix zijn.

De eigenwaarden en bijbehorende eigenruimten van A kun- nen als volgt worden bepaald.

1. Bepaal het karakteristieke polynoom cA(λ) = det(A − λ In) van A.

2. Bereken de nulpunten van c_A. Dit zijn de eigen- waarden van A.

3. Bepaal bij elke eigenwaarde λ = λ₀ de bijbehorende eigenruimte E_λ0 = null(A − λ0In).

4. Bepaal eventueel van elke eigenruimte een basis.

Stelling

Als A een boven-of onderdriehoeksmatrix is dan staan de eigenwaarden van A op de hoofddiagonaal.

Stelling

Een vierkante matrix A is alleen inverteerbaar als 0 geen eigenwaarde is van A.

Stelling

Als λ1, λ2, · · · , λm verschillende eigenwaarden zijn van een matrix A en x₁, x₂, · · · , x_m zijn bijbehorende eigenvectoren dan is {x₁, x₂, · · · , x_m} een verzameling lineair onafhanke- lijke vectoren.

Stelling

Laat A een matrix zijn met eigenwaarde λ = λ0 en bijbe- horende eigenvector x. Dan geldt:

a. Voor elke n ∈ N is λ = λⁿ₀ een eigenwaarde van Aⁿ en x een bijbehorende eigenvector.

b. Als A inverteerbaar is dan is λ = 1

λ₀ een eigenwaarde van A⁻¹ en x een bijbehorende eigenvector.

c. Als A inverteerbaar is dan is voor elke n ∈ Z, λ = λⁿ₀ een eigenwaarde van Aⁿ en x een bijbehorende eigen- vector.

Gevolg

Als A een n × n matrix is met eigenwaarden λ₁, λ₂, · · · , λ_m en bijbehorende eigenvectoren

x₁, x₂, · · · , x_m in Rⁿen x is een lineaire combinatie van deze eigenvectoren, x = c₁x₁ + c₂x₂ + · · · + c_mx_m, dan

Aⁿx = c1λⁿ₁x1 + c2λⁿ₂x2 + · · · + cmλⁿ_mxm

voor n ∈ N.

Gelijkvormigheid en diagonaliseerbaarheid

Definitie

Laten A en B twee n × n matrices zijn.

A heet similair of gelijkvormig met B wanneer er een inverteerbare matrix P bestaat zodat P⁻¹A P = B.

Stelling

Laten A, B en C n × n matrices zijn. Dan geldt: a. A ∼ A.

b. Als A ∼ B dan B ∼ A.

c. Als A ∼ B en B ∼ C dan A ∼ C.

Laten A en B twee n × n matrices zijn.

A heet similair of gelijkvormig met B wanneer er een inverteerbare matrix P bestaat zodat P⁻¹A P = B.

Notatie A ∼ B Stelling

Laten A, B en C n × n matrices zijn. Dan geldt:

a. A ∼ A.

b. Als A ∼ B dan B ∼ A.

c. Als A ∼ B en B ∼ C dan A ∼ C.

Stelling

Laten A en B twee n × n matrices zijn zodat A ∼ B.

Dan geldt:

a. det(A) = det(B).

b. A is inverteerbaar dan en slechts dan als B inverteer- baar is.

c. rank(A) = rank(B).

d. cA(λ) = cB(λ) voor elke λ ∈ R.

e. A en B hebben dezelfde eigenwaarden.

Definitie

Een n × n matrix A heet diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D bestaat zodat A ∼ D.

Er bestaat dus een inverteerbare matrix P zodat P⁻¹A P = D.

Stelling

Een n × n matrix A is diagonaliseerbaar dan en slechts dan als er een stelsel van n lineair onafhankelijke eigenvectoren bestaat.

Is P = [ x₁x₂ · · · x_n] en D = diag (λ₁, λ₂, · · · , λ_n) dan zijn x₁, x₂, · · · , x_n, n lineair onafhankelijke eigenvectoren van A bij de eigenwaarden λ₁, λ₂, · · · , λ_n.

Gevolg

Als A een n × n matrix is met n verschillende eigenwaarden dan is A diagonaliseerbaar.

Stelling

Laat A een n × n matrix zijn met verschillende eigenwaar- den λ₁, λ₂, · · · , λ_k. Laat B_i een basis zijn van eigenvectoren voor E_λi voor i = 1, 2, · · · , k.

Dan is B = B1∪ B₂∪ · · · ∪ B_k een verzameling lineair onaf- hankelijke eigenvectoren van A.

Gevolg

A is alleen diagonaliseerbaar als B uit n vectoren bestaat.

Definitie

Laat A een n × n matrix zijn met eigenwaarde λ0.

Als cA(λ) = (λ0 − λ)^αpA(λ) waarbij pA(λ0) 6= 0 dan heet α de algebra¨ısche multipliciteit van λ₀.

Verder heet dim(E_λ0) de geometrische of meetkundige multi- pliciteit van λ₀.

Stelling

Laat A een n × n matrix zijn met eigenwaarde λ0.

Dan is de meetkundige multipliciteit van λ0 kleiner of gelijk aan de algebra¨ısche multipliciteit van λ0

Stelling (over diagonaliseerbaarheid)

Laat A een n × n matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen equivalent:

a. A is diagonaliseerbaar.

b. De vereniging van de bases van eigenruimten van A bij de verschillende eigenwaarden bevat n vectoren.

c. De meetkundige en de algebra¨ısche multipliciteit van elke eigenwaarde zijn gelijk.