Examen Numerieke Analyse I, 10 sept 1996
1. Gegeven is een n× n (circulant-) matrix A van de vorm
A :=
α1 βn
β1 α2
β2 α3
. .. ...
. .. . ..
βn−1 αn
met Aji:=
αi als j = i
βi als j = i mod n + 1 0 anders
a. Aan welke voorwaarde moeten de getallen α1· · · αn en β1· · · βn voldoen, opdat de matrix inverteerbaar is?
b. Veronderstel, dat A inverteerbaar is en dat de vektor b ∈ IRn gegeven is. Schrijf een (numeriek stabiel) algorithme voor het oplossen van het stelsel vergelijkingen Ax = b met behulp van een LU-ontbinding, die is toegesneden op de speciale vorm van A, en die, behalve de arrays α, β en b hoogstens tw´e´e hulparrays van lengte n gebruikt.
c. Hoe kunt U het stelsel oplossen met minimaal rekenwerk als een der α’s of β’s nul is?
2. Laat Hu de Householdertransformatie zijn die de vektor x∈ IRn afbeeldt op de vektor αe1 met e1 := (1, 0, 0,· · · , 0)T ∈ IRn.
a. Bepaal formules voor u en α
b. Laat zien dat het eigenwaardenprobleem
(A− λI)x = 0
d.m.v. een rij Householdertransformaties vereenvoudigd kan worden tot een equivalent probleem met A ∈ IRn×n een Hessenbergmatrix. (Geef dus aan, hoe een rij Householder- transformaties gemaakt kan worden, die A op een gelijkvormige matrix met Hessenbergvorm brengt. A is Hessenbergs als Aij = 0 als i > j + 1). A en B heten gelijkvormig als er een in- verteerbare matrix S is waarvoor geldt S−1AS = B, zodat ze gelijke eigenwaarden hebben).
3. Laat A∈ IRn×n een inverteerbare matrix zijn en laat B∈ IRn×n een benadering van A−1 zijn waarvoor geldt :
kB − A−1k · kAk < 1 . Laat zien dat het proces
< kies startvektor x0 >;
for k := 1 to · · · do r := b− Axk−1 ; xk:= xk−1+ Br od
convergeert naar de oplossing van het probleem Ax = b voor iedere startvektor x0
4. Zij f een voldoend gladde funktie op IR met nulpunt α. Voor gegeven punten a en b met a < α < b en met het product f (a)f (b) < 0 defini¨eren we β als het nulpunt van het lineaire interpolatiepolynoom van f op de steunpunten a en b.
Laat zien dat er een ξ∈ (a, b) is, waarvoor geldt :
β = af (b)− bf(a)
f (b)− f(a) en β− α = 1
2(α− a)(α − b) b− a
f (b)− f(a)f00(ξ) .
NB. Deze methode heet ”inverse interpolatie” en wordt gebruikt om het nulpunt van een (gladde) funktie te schatten uit een aantal discrete (gemeten of numeriek berekende) waarden.
1
