Examen Numerieke Analyse I, september 1998
maak iedere opgave op een apart vel papier, zet op ieder vel je naam en het nummer van de opgave.
1. Laat f : IR→ IR een begrensde re¨ele functie zijn met begrensde en continue derde afgeleide:
| f(x) | ≤ 1 en | f(3)(x)| ≤ 1 .
a. Bewijs dat de afbreekfout R(h) als functie van de stapgrootte h in de centrale differentie voor f0(x) gelijk is aan 16h2f000(ξ) voor een zekere ξ ∈ (x − h, x + h):
∃ξ∈(x−h,x+h) : f0(x) = f (x + h)− f(x − h)
2 h + R(h) , R(h) =−1
6h2f000(ξ) . (1) b. Veronderstel dat we voor de berekening van f (x) een procedure hebben, die voor iedere x een resultaat aflevert met een absolute fout van ten hoogste de standaard machineprecisie η (≈ 10−16), d.w.z. | f(x) − f`(f(x)) | ≤ η voor alle x . Bepaal dan een (goede) bovengrens (als functie van h) voor de afrondfout in de berekende waarde van de betreffende centrale differentie.
c. Welke stapgrootte minimaliseert de totale fout, die je in je berekeningen maakt door de afgeleide f0(x) te vervangen door de centrale differentie?
2. Gegeven is een n× n (circulant-) matrix A van de vorm
A :=
β1 α2
β2 α3
. .. ...
. .. . ..
βn−1 αn
α1 βn
met Aij :=
βi als j = i
αi als j = i mod n + 1 0 anders
a. Hoe verandert de matrix als je de eerste rij onderaan plaatst, als je de eerste kolom achteraan plaatst en als je beide permutaties achter elkaar (of tegelijk) doet? (Alle andere rijen en kolommen schuiven dus een plaats naar boven resp. naar voren.)
b. Laat zien dat de matrix inverteerbaar is als en slechts als α1· α2· · · αn6= (−1)nβ1· β2· · · βn.
c. Veronderstel, dat A inverteerbaar is en dat de vektor b∈ IRngegeven is. Schrijf een (numeriek stabiel) algorithme voor het oplossen van het stelsel vergelijkingen Ax = b met behulp van een (speciale vorm van) LU-ontbinding (of Gausseliminatie), die is toegesneden op de speciale vorm van A, en die, behalve de arrays α, β en b hoogstens tw´e´e hulparrays van lengte n gebruikt.
d. Hoe kunt U het stelsel oplossen met minimaal rekenwerk als een der α’s of β’s nul is? (gebruik onderdeel a.)
3. Wat is een Givenstransformatie en leg uit hoe je met een serie Givenstransformaties een kleinste- kwadratenprobleem kunt oplossen.
4. Bewijs de interpolatieformule van Lagrange (desgewenst alleen voor het geval n = 2):
Als f ∈ Cn[a, b] en als x1 < x2 <· · · < xn een verzameling van n onderling verschillende punten in het interval [a, b] is, dan is er een ξ∈ [a, b] zodat
f (x) = Xn i=1
f (xi) L(n)i (x) + f(n)(ξ) n!
Yn i=1
(x− xi) , L(n)i (x) = Yn j=1 , j6=i
x− xj
xi− xj
,
of in het geval n = 2
f (x) = f (x1)x− x2
x1− x2
+ f (x2) x− x1
x2− x1
+12(x− x1)(x− x2)f00(ξ) .
1
