Tijdschrift van het Nederlands Radiogenootschap
Mei 1950 D eel X V No. 3
Trillingsverschijnselen in een circuit met gebroken lineaire karakteristiek.
door G. J. Elias en S. Duinker
S U M M A R Y
I h e vibration phenom ena in a non-linear series circuit containing an in d u ctan ce — w ith a core m aterial having a sh arp knee in the m agnetization- curve (i.e. /«-metal, perm alloj') — a cap acito r an d a neghgable resistance, are investigated. T h e non-linear characteristic is ap p ro x im ated bij p a rts o f a straight line.
It is sh o w n th a t forced subharm onic vibrations can exist and th a t a jum p-phenom enon occurs, w h e n the knee of the ch aracteristic is surpassed.
T he higher jum p boundaries, ap p e a rin g w ith large values of the am p li
tude of: the periodic electro m otoric force (as described in a form er article (3)), can be bro u g h t into connection w ith the free vibrations w o rk in g during a large p a rt of the period in the s a tu ra te d region w h e re the influence of hysteresis can not be neglected. E v e ry n ew ju m p -b o u n d a ry a d d s a n ew inner loop to the main hysteresis loop, pointing to the a p p e a ra n c e of a p a ir of n e w real b ran ch -p o in ts in the hyper-elliptic ex
pression for the free vibrations.
Inleiding
R eeds verschillende malen w erd en in dit tijdschrift artikelen gepubliceerd, die de behandeling van trillingsverschijnselen in een niet-lineair circuit, b estaan d e uit een serieschakeling van een condensator, een sm oorspoel m et een niet-lineaire k a r a k teristiek en een te v erw aarlo zen w e e rs ta n d to t o n d erw erp hadden. (1, 2, 3)*)
H ierin we rd vrijwel steeds het niet-lineaire v e rb an d b en ad erd
*) Z ie de literatu u ro p g av e aan het eind van het artikel.
80 G. J. Elias en S. Duinker m et een m achtreeks, die op grond van de rad iale sym m etrie van het i?-//-v erb an d van h e t sp o elk ern m ateriaal slechts oneven m achten b ev atte, zodat de stroom i en de flux yj door de volgende relatie a a n e lk a a r w a re n gebonden :
3 , 5
z = a z ip + a 3yj 4- cis ip 4- 2 il + 1
4 ^2« + i V ' 4* . . . ( i ) Invoering van (1) in de voor h e t systeem geldende differen
tiaalvergelijking :
d \ i
---1— = a cos (cot 4- w) d f C
doet een niet-lineaire differentiaalvergelijking o n tstaan , die to t dusv er niet o p lo sb aar is gebleken, aangezien men gevoerd w o rd t to t hyper-elliptische integralen.
Indien in (1) ei. , ci^...= o w o r d t gesteld, is w e lisw a a r (2) niet oplosbaar, m a a r kunnen d a a ru it toch h e t b e sta a n van periodieke oplossingen m et grond- of subharm onische frequentie en h et o p tred en van kipverschijnselen aannem elijk gem aakt w orden.
H e t medenemen van alleen de derde m acht is evenw el slechts
Circuit met gebroken lineaire karakteristiek 81 toegestaan, indien het niet-lineaire v e rb an d niet te veel van het lineaire geval afw ijkt. M e t name voor spoelen m et een ke rn van /^-metaal is deze benadering niet te gebruiken, a a n gezien hier h et ?/>z-verband na een vrijwel lineair verloop, via een scherpe knie o v e rg aa t in een nagenoeg lineair verzadigings- gebied (zie osc. 1).
E en dergelijke k a ra k te ristie k kan o n ta a rd gedacht w o rd en in rechten, zoals is getekend in n ev en staan d e figuur.
Bij het doorlopen van de k a ra k te ristie k blijft to t a an de dis- continuiteitspunten A en B , de zelfinductie L — tg a constant.
Bij overschrijding van deze punten g a a t L plotseling over in de w a a rd e A — tg p -
In aansluiting op de berekeningen van B o g a j i a n (4), w e rd voor het geval L — c o , door T r a v i s en W e y g a n d t (5) reeds een analyse gegeven van de optredende trillingsverschijn- selen, w a t b e tre ft h et voorkom en van periodieke to estan d en m et een sub- of grondharm onische frequentie.
In h et volgende zal nu g e tra c h t w o rd en deze beschouw ingen uit te breiden voor het geval d a t L eindig is, doch w aarbij L » A . D aarb ij zal blijken, d a t rekenschap gegeven k an w o rd en van h et kipverschijnsel m et inbegrip van de hogere kipgrenzen en de niet-periodieke toestanden, hetgeen voor het geval L — oo niet w el mogelijk is.
§ 1.
O p elk van de takken, dus tussen de discontinuiteitspunten, is het systeem lineair. O n d e r invloed van een sinusoïdale emk e = ê cos cot van zodanige grootte, d a t de knie van de k a ra k te ristie k w o rd t gepasseerd, w o rd en resp. de volgende a l
gemene oplossingen van de differentiaalvergelijking verkregen : voor de ta k A B :
r sin cot .
C = --- h A 1 sin co1t + jb1 cos co1t ; (3) co L - ~
co C voor de ta k k e n AC en D B :
^ sin cot .
z2 = --- ---h A 2 sin co21 + 2 cos co2t , (4) co A --- ^
co C
w aarbij : co\ L C — \ en col A C — I .
82 G. J. Elias en S. Duinker V a n de invloed van de w e e rs ta n d en de hysteresis is afge
zien, d a a r deze slechts w erk zaam zijn gedurende h et doorlopen van de rechte stu k k en van de k arak teristiek . D e eigenfrequen- ties w o rd en ech ter steeds w e e r bij h et p asseren van de knie aang esto ten en zullen dus blijven optred en in een eventueel mogelijke blijvende toestand.
V o o r de flux'en w o r d t uit (3) en (4) v e rk reg e n : L è sin*
Wi = ---
cd L — •
yj2 — yj' = | ---b A 2 sin CD2t + B 2 cos CD2t — l j A , (6)
L A- >
CD L
cot 4- L A x sin (Dl t -b L B t cos (Dxt (5) CD
c
w a a rin i// en ï de coördinaten van de discontinuiteit voorstellen.
T enslotte geldt voor de condensatorspanningen :
e cos cd t A t .
U. = --- COS CD1t H--- Sin CDJ
CD L C — I (Dj C OJj C
e cos <Dt A 2 B 2
u0 — --- cos cd2 t ~b ---Sin CD CD2 A C — I co2 C co2 C
O p grond van de aannam e, d a t verliezen mogen w o rd e n v e r
w aarloosd, mag w o rd e n ondersteld, d a t de stroom ten opzichte van de emk een hoek TT/ 2 is verschoven. D e rh a lv e w o r d t op de eerste ta k gevonden ten tijde t = O : = O , w a a rd o o r
B x = o en voorts :
O n d e r invoering van h e t tijdstip t ’, w a a ro p de knie w o rd t gepasseerd, verkrijgt men als ra n d v o o rw a a rd e n , d a t ten tijde t = t' :
y>i = = v>' >
en
d r d yj2 d t d t
Circuit met gebroken lineaire karakteristiek 83 D it geeft uit de vergelijkingen (4), (5) en (6)
, L e sin co t' .
xp = --- 1- L A j sin col t co L -
co C
(
10
)r T B C S i n CO t j . . , T -r\ ,t / I 1 \
yj — L i — ---h L A 2 sin co 2 1 + L cos co2t . (11) co A -
co C
co L è cos co t ’ , co A è cos co t' - + co1 L A , cos co11 — ---h
co L - I co A - i
co C co C
+ co0 A A„ cos co« t ’ — co~ A B 0 sin co0 t' .
(12)
N em en w e v e rd e r aan, d a t voor t — 71/2 co : i2 = i0 en u2 — O, dan verkrijgt men nog :
eA
= + A 0 s i n --- + h 0 c o s ---, . 71 CO2 t> ^ ^ 2
co A — 2 co 2 CO
co c
(13)
O = — A. 71 CO, B
co2 C cos H--- s i n ---:2 . 71 CO,
co co 2 C 2 co (14)
T hans w o rd t ingevoerd coz = vi co en co2 — 11 co , w a a rin 11 en m rationele breu k en of gehele getallen m oeten zijn, aangezien w e de eventueel mogelijke periodieke to estan d en w ensen te onderzoeken, w a a rv o o r dus een periode T is te definieren. O p grond van b.v. (3) en (4) m oet dan gelden :
cox T — 2 71 k cOj/co = u x 2 71 ,
w a a rin k een geheel getal is, evenals n lf zo d at cojco = n j k — m een rationele b reu k of een geheel getal moet zijn. O p grond van dezelf
de overw egingen m oet hetzelfde gelden voor co2/co = n ^ k — n . A fhankelijk van de grootte van A , kan 11 een even veelvoud van 2 zijn. L a te n w e onderstellen, d a t dit het geval is, dan volgt uit (14), — O , z o d at (13) o v e rg aa t in :
eA
lo = --- b Bo . (16)
co /.
84 G. J. Elias en S. Duinker V erd er volgt uit (9)
cA
un = -
co L C — i m co C (17)
Invoering van A 1 en B2 uit (16) en (17) in (10), (11) en (12), m et inachtnam e van (15), d o et o n tsta a n :
V = L e sin co t'
T I
co L —
1--- m co L C [ uQ +l T /- /
cA
co L C - i . sin vi co t ’ , (18) co c
. L ê sin co t' T . . yj = --- + L I ?0 -
CA
C O S n co t ’ , (19)
co A -
co c co A -
O) C
co L c cos co t' — m co L Cl u0 +
cA
co L C - i cos in co t' = co A è cos oo f
O) A - i
— ii co A L —
cA (
20
)COC co A —
co C
U it (18) la a t zich 7i0 oplossen, terw ijl iQ volgt uit (19), w a a r na substitutie in (20) een impliciete goniometrische vergelijking in t* oplevert, w a a rv o o r n a enige rangschikking geschreven kan w o rd e n :
/ ( , in A A j / i
co yo I m cotg vi co t H---- - n t g n co t I = e j l ---
+ 111 cotg 111 CO t' 11 tg 11 co t
I — 111 +
— 11 I — 111
• /'I sin oo t \ ,
cos oo t' 4- (
21
)I - 11 I
indien men bedenkt, d a t vi oo L C = n oo A C — I , zo d at A /L = m In* .
D e oplossing van t' uit (21) g a a t bezw aarlijk, doch a a n de h an d van enkele a an de practijk ontleende gegevens om tren t de w a a rd e v an ni en 11 k an een b en ad erd e w a a rd e voor tt w o rd e n gevonden.
V o o r een spoel m et /i-m etaal-kern w e rd bij benadering ge
v o n d en : in — 1/4 en 11 — 400 , d.w.z. L » A . W o r d t v e rd er
Circuit met gebroken lineaire karakteristiek 85 ingevoerd co t' — z , dan verkrijgt men uit (2 1) het b en ad erd e v e r b a n d :
( I Z I \ A Pt T
— cotg----1--- tg 20 z \ z ^ — sin“ ---tg 20 z . sin z .
2 2 80 / 3 2 20 '
Schrijft men th an s z = n j2 — r] , w a a rin > 20 > TT/2 dus 20 7] in h et tw eed e q u a d ra n t gelegen is, dan o n ts ta a t :
— t g 2 0 Tj| = c \ — sin (— - —) + — t g 2 0 Z . cos z
8o I (3 \4 2 / 20
M e n k an hierin stellen 20 i] = — I- £ , w aarbij O <C C<CTT/ 2 . In-
2
dien nu de am plitudo van de emk zodanig w o rd t gekozen, d a t co \p' — Cf dan w o rd t verkregen :
, f I I I n C \ ] 4 . 2/19 C \ I . (19 C \ cotg Q ]--- 1--- c o s --- 1--- — ~ sm ( — re--- --- cotg — n ---
| 8o 20 \40 20/ J 3 \8o 40/ 2 \8o 40/ Indien uit deze vergelijking f w o rd t opgelost, zal blijken, d a t
£ 71/ 2 , w a t te d anken is aan de grote w a a rd e van n. M en heeft dus 20 i] —> n en derhalve 20 z -> 9 71 •
M e n kan nu vragen n a a r de w a a rd e van de stroom. D eze w o rd t gevonden uit (19), m et co yj’ = è , hetgeen o p le v e rt:
i0 = • - 9 v '/L = 9 i ' .
U it dit re s u lta a t is de volgende conclusie te trekken. Z o d ra r zo groot w o rd t gekozen, d a t de knie in de k a ra k te ristie k w o rd t bereikt, k an in v e rb an d m et de periodiciteit slechts een oplossing van de in het voorgaande b esp ro k en systeem verge- lijking b estaan, indien in dit p u n t de stroom discontinu o v erg aat op een enkele malen grotere w a a rd e . D it verschijnsel la a t zich identificeren m et het w elbekende kip-verschijnsel. In d e rd a a d w o rd e n daarbij experim enteel p iek stro o m w aard en gevonden, in grootte ongeveer overeenstem m ende m et de hierboven berekende.
N a a rm a te A kleiner w o rd t, zal de sprong g ro ter w orden, terw ijl voor A — o , voor i0 de w a a rd e 00 zou w o rd en gevonden.
§ 2.
O p grond van de aannam e oot' = z — n j2 — 7] , w aarbij
86 G. J. Elias en S. Duinker Tij'20 7] ji/40 , is c o t ' ^ j i /2 . In v e rb a n d hiermee zal slechts een klein gedeelte van de periode van de uiteindelijk resu l
terende trilling nodig zijn voor h et doorlopen van het verzadi- gingsgebied van de k a rak te ristie k .
V e rd e r w a s aangenom en, d a t ni — 1/4 , dus d a t de eigenfre- quentie op het eerste deel van de k a ra k te ristie k co rresp o n d e e rt m et die van de tw eed e subharm onische, terw ijl n — 40 0, zo d at de eigenlrequentie in het verzadigingsgebied overeenkom t m et die van de 20e bovenharm onische van de generatorfrequentie.
Aangezien nu L^>^> A zal de am plitudo van de vrije trillingen op h et eerste deel van de k a ra k te ristie k aanzienlijk g ro te r kunnen zijn d an in het verzadigingsgebied (hoew el dit niet s trik t noodzakelijk is), terw ijl deze trillingen bovendien zoals we juist zagen, vrijwel gedurende de gehele periode van invloed zijn.
O p deze wijze is a a n v a a r d b a a r te maken, d a t uiteindelijk een trilling m et frequenties co en zal resulteren, indien w a t b e tre ft de com ponent m et frequentie co1 aan zekere v o o rw a a rd e n a an g aan d e de periodiciteit is voldaan.
Bij variatie van de w a a rd e van de capaciteit kan een andere w a a rd e van m en 11 w o rd en verkregen. O p deze wijze kunnen verschillende subharm onischen w o rd en gerealiseerd.
Bij deze subharm onische trillingen is dus essentieel, d a t h et trillingsverschijns el zich hoofdzaak afsp eelt op het onverzadigde gedeelte van de k a rak te ristie k . D e flux zal dan vrijwel u it
sluitend zijn opgebouw d uit de tw ee harm onische com ponenten co en cOj = m co . H ierbij d ringt zich een vergelijking op m et de trillingsverschijnselen, die een vorige m aal w erd en beschreven 3) en die o p trad en , n a d a t de trillingstoestand terugkipte, d o o rd a t de am plitudo van de emk w e rd verkleind.
D a t hier in d e rd aa d sp rak e kan zijn van dezelfde su b h a r
monischen, moge blijken uit de overweging, d a t de m et het terugkippen g e p a ard gaande verstoring van het systeem , a a n leiding zal geven to t het o p tred en van vrije trillingen m et een frequentie coIf die dus afhankelijk van de grootte van m, kunnen overeenstem m en m et een subharm onische van de g e n e ra to r
frequentie.
D ezelfde subharm onischen kunnen ook w o rd en verkregen, door het plotseling inschakelen van de emk m et een am plitudo van zodanige grootte, d a t de knie v a n de k a ra k te ristie k juist w o rd t gepasseerd, (zie b.v. 6, 7, 8,)). H e t is duidelijk, d a t hier het inschakelverschijnsel v eran tw o o rd elijk is voor het voor de eerste maal a a n sto ten van de eigenfrequenties. M en zal hierbij
Circuit met gebroken lineaire karakteristiek 87 kunnen verw achten, d a t de fase op het moment van inschakelen een rol zal spelen 9, 10).
In al deze gevallen echter, zullen slechts blijvende subhar- monische trillingstoestanden optreden, indien de fasehoeken van de steeds opnieuw, door het overschrijden van de knie in de m agnetiseringskrom m e aangestoten eigenlrequenties, zulks ge
dogen.
§ 3.
E en andere trillingstoestand zal o n tstaan , indien de am pli
tudo ê zodanig w o r d t vergroot, d a t de trillingen voor h et g ro o t
ste gedeelte zich afspelen op de verzadigingstakken van de k a rak te ristie k . In d a t geval is dus a> t ' « n / 2 . O o k dan zal de trillingstoestand bij overschrijding van de knie kippen, doch de d aarm ee g e p a a rd gaande verstoring zal th an s zeer aanzien
lijk zijn, zodat de vrije trillingen, die hiervan het gevolg zijn, in veel ste rk e re m ate dan in het vorige geval, hun invloed zul
len doen gevoelen.
In onze beschouw ingen w e rd to t dusver afgezien van de in
vloed van w e e rs ta n d en hysteresis. O p grond van de experi
m enten m oet evenw el besloten w orden, d a t voor de nu b e schouw de trillingstoestanden w el degelijk dissipatie in rekening m oet w o rd e n gebracht, zo d at de trillingen op de bovenste t a k ken (die nu voor een groot deel van de periode w erkzaam zijn) gedem pt zullen zijn. D eze dem ping k an zo aanzienlijk zijn, d a t de vrije trillingen vrijw el aperiodiek w orden. D e beginamplitu- do van deze trillingen s ta a t in v e rb a n d m et de m et h e t kippen corresponderende verstoring. D eze trillingen tred en op rondom h et p u n t A ' van de k arak te ristie k , d a t direct na h et kippen w o r d t b e re ik t (zie fig.). Indien zij een am plitudo verkrijgen van dusdanige grootte, d a t in de negatieve helft van de eerste p e
riode de knie w ederom w o rd t gepasseerd, zal opnieuw een (zij h e t veel m inder heftige) k ip to e sta n d optreden, w a a rd o o r o p nieuw een vrije trilling w o rd t geïnitieerd, w a a rv a n de am pli
tudo evenw el kleiner zal zijn. O o k deze vrije trilling k an op zijn b e u rt w e e r zo groot zijn, d a t de knie w o rd t overschreden, w a a r n a w e e r een kipverschijnsel k an volgen enz. Aangezien deze opvolgende kipverschijnselen steeds m inder heftig w orden, zal ten slo tte een vrije trilling w o rd e n aangestoten, w aarbij in de negatieve helft, de knie niet m eer w o rd t gepasseerd, w a a r d oor a a n de reeks van kipverschijnselen een eind is gekomen.
88 G. J. Elias en S. Duinker V erg ro tin g van de emk zal de beginam plitudines van de na elke maal kippen o p tredende trillingen v erg ro ten zo d at op deze wijze w e e r nieuwe kipgrenzen kunnen w o rd e n verkregen.
In de tijd verlopende tussen tw ee opeenvolgende kiptoestan- den, w o rd t in de k a ra k te ris tie k een binnenlus doorlopen, die voor h et grootste deel gelegen is in h et verzadigingsgebied en slechts voor een klein gedeelte om de knie heenbuigt. In v ro e
gere analytische beschouw ingen (zie 3); formule 25) w e rd de periode van de o p tred en d e trillingen gegeven in een integraal- vorm, w elke vorm ook nu van toepassing is, indien men in de m achtreeksontw ikkeling voor het niet-lineaire v e rb an d een vol
doend groot a a n ta l term en m edeneem t om de k a ra k te ristie k van h et ^-m etaal redelijk te benaderen. H ierin m oet th an s ni
— het a a n ta l rondgangen om de v ertak k in g sp u n ten — w o rd en vervangen door een a n d e r sym bool fri, om v e rw a rrin g m et de thans gedefinieerde m 2 — ij co'2 L C te vermijden. Indien men een dergelijke integraalvorm o p stelt voor h et geval d a t de opge
d ru k te emk ongelijk nul is, kunnen m eerdere p a re n reëele v e r
tak k in g sp u n ten van de in teg ran d w o rd en gevonden, d an de punten t — + I alleen. Telkenm ale, indien bij vergroting van è een aanvankelijk geconjungeerd complex of zuiver im aginair p a a r v ertak k in g sp u n ten de reëele as bereikt, kan gesproken w o rd en van h et o n tsta a n van een nieuwe periode. D eze reëele periode k an w o rd en verkregen, niet door ;;z'-maal een contour te d o o r
lopen om de v ertak k in g sp u n ten t — i I, doch d oor de contour te kiezen éénm aal om deze punten en v e rd er rondom h e t p a a r juist o ntstane reële vertakkingspunten. E lke volgende k ip to estan d geeft zodoende aanleiding to t h et o n tsta a n van een nieuwe reëele periode en d aarm ee to t h e t verschijnen van nieuwe bin- nenlussen.
D e zo juist b esproken hogere kipgrenzen, w a a rv a n reeds melding w erd g em aak t in een vorige publicatie 3) laten zich op grond van het voorgaande in v e rb an d brengen m et kippen van de vrije trillingstoestanden in het verzadigingsgebied in ge
val van grote am plitudines van de opgedrukte emk.
V a n een en a n d e r k a n men zich een indruk vorm en a an de hand van de oscillogrammen 3 en 4, die beide een periode van flux te zien geven, vlak voor resp. direct na het o p tred en van de derde kip to estan d , hetgeen to t uitdrukking kom t in h et v e r
schijnen van een derde periode van de vrije trilling. D uidelijk kom t h et snel afnem ende k a r a k te r in de g rootte van opvol
gende k ip to estan d en to t uitdrukking. In de oscillogrammen 5
OSCILLOGRAM M E N
o Ô
Circuit met gebroken lineaire karakteristiek 89 en 6 zijn nog enkele afbeeldingen gegeven bij een grotere w a a rd e van ê, doch bij verschillende w a a rd e van de w e e rs ta n d in het circuit. Bij osc. 6 w as de w e e rs ta n d slechts enkele ohms g ro ter dan bij osc. 5 w a t blijkbaar een grote invloed heeft op de beginam plitudo van de vrije trillingen.
In osc. 2 is het i/;-z-verband voor een dergelijke trillingstoe- stan d w eergegeven. H iero p kom t duidelijk n a a r voren, d a t de dissipatie in h et verzadigingsgebied voor h et grootste deel zal moeten w o rd en toegeschreven a a n de hysteresis.
D e vrije trillingen op het niet-verzadigde gedeelte van de k a rak te ristie k , zullen in h et hier beschouw de geval van zeer grote êt slechts gedurende een fractie van de periode .van in
vloed kunnen zijn; op grond van het experim ent blijkt deze invloed evenw el v e rw a a rlo o sb a a r.
§ -f-
T enslotte vestigen w e nog de a a n d a c h t op de trillingstoe- standen, die het gevolg zijn van een emk, w a a rv a n de am pli
tudo tussen de onder §§ 2 en 3 b esp ro k en grensgevallen is ge
legen. D aarb ij zullen in h et algemeen de vrije trillingen op beide tak k en van de k a ra k te ris tie k van invloed zijn, w a a rd o o r deze trillingen, bij afw ezigheid van voldoende dissipatie, op e lk a a r zullen inw erken. In h e t algem een zal d aaro m a a n de p erio d iciteitsv o o rw aard en te r p la a tse van de knie niet kunnen w o rd en voldaan, zo d at in zulk een geval geen periodieke tril
ling resu lteert. Bij deze spanningen zijn dus instabiele trillings- to estan d en te verw ach ten , w elke to estan d en vroeger eveneens reeds w erd en g e ra p p o rte e rd . 3)
E e rs t w a n n e er een d eelbare verhouding b e s ta a t tussen de eigenfrequenties onderling en de g en erato rlreq u en tie, zal een periodieke trilling h et gevolg kunnen zijn.
V ro e g er w as er eveneens reeds sp rak e van, d a t subharm o- nischen van verschillende orde konden optreden, al n a a r gelang de grootte van è en de w a a rd e van de capaciteit. U it onze zojuist gegeven beschouw ingen (§ 1) zou men echter uitsluitend to t het voorkom en van een subharm onische m et rangnum m er m kunnen besluiten.
In w erkelijkheid w ijkt echter de k a rak te ristie k , ook op de door ons lineair gedachte takken, van h et lineaire v e rb an d af, terw ijl v e rd er de knie in feite geen discontinuiteit is.
N e e m t men dit in aanm erking, dan ziet men onmiddellijk in,
90 G. J. Elias en S. Duinker d a t het k ippunt niet lan g er ondubbelzinnig b e p a ald is. H e t kippen zal blijven p laats hebben in een p u n t van de „knie”
van de k arak te ristie k , doch men heeft th an s onder „knie” te v erstaan , d a t gedeelte van de k a ra k te ristie k , w a a rv a n de helling (d.i. de differentiële zelfinductie) zeer snel v eran d ert. N a a r gelang de grootte van è en de w a a rd e van de capaciteit, zal kippen o p tred en in een a n d e r punt. D e als gevolg d a a rv a n o p tred en d e eigenfrequenties zijn dus niet langer uitsluitend b e p aald door de hellingen Z, en A van de (quasi-)lineaire gedeel
ten van de k arak te ristie k , doch voor een gedeelte ook door de differentiële zelfinductie te r p la a tse van h et kippunt.
M en k an dus op geen d e r ta k k e n m et scherpte een „eigen- frequentie” definiëren, d a a r deze sam enhangt m et de am plitudo.
O v e r deze am plitudo-afhankelijkheid zijn reeds publicaties v e r
schenen van de h an d van B i e r m a n n s 1 1, 12).
O p grond van h et voorgaande is in te zien, d a t bij opvoering van de w a a rd e van ê, doch bij eenzelfde w a a rd e van de c a p a citeit, subharm onische trillingstoestanden van verschillend ra n g num m er kunnen optreden. In het algem een zullen deze to estan d en afgew isseld w o rd en door instabiele toestanden, aangezien dan niet w o rd t voldaan a an de periodiciteits-eisen te r p laatse van de „knie” .
Literatuur
1) G . J. Elias en H . M iedem a, T. N ed. Radiogen. X I (1946),
p. 141.
2) G. J. Elias, id. X I I I (1948), p. 37.
3) G. J. E lias en S. D uinker, id. X I V (1949), p. 163.
4) A. Bogajian, Gen. E lectr. Rev.
34
(1931), pp. 531 en 745.5) I. T rav is en C. N . W e y g a n d t, T ran sact. A .I.E .E . 57 (1938),
p.
423.6) E. Rouelle, Rev. Gén. de TEL
36
(1934), pp. 715, 763, 795, 841.7) J. D . M cC rum m , T ran sact. A .I.E .E .
60
(1941), p. 533.8) J. Fallou, Rev. Gén. de TEL
19
(1926), p. 987.9) S. J. Angello, T ran sact. A .I.E .E .
61
(1942), p. 625.10) C. F. Spitzer, J. A ppl. P I ^ s . 16 (1945), p. 105.
1 1) J. Bierm anns, A rch. f. El.
3
(1915), p. 345.12) J. Bierm anns, id.
10
(1922), p. 30.Tijdschrift van het Nederlands Radiogenootschap
Piëzo^electrische elementen in de telecommunicatie techniek
door J. J. Vormer
Voordracht gehouden voor het Nederlands Radiogenootschap op 12 Mei 1950
S U M M A R Y
A survey is given of the properties of piëzo-electric elements for tele
com m unication purposes. Special attention is p aid to those points w hich are ol interest to the user of piëzo-electric elements, so th a t he m ay kn ow the possibilities as w ell as the restrictions.
Som e rem a rk s are m ade concerning the electric equivalent circuit, the reason for using piëzo-electric elements in oscillators an d filters a n d the different piëzo-electric m aterials. F u rth e rm o re some general p roperties of q u a rtz cry stal plates are outlined a n d m ethods are indicated for saving r a w m aterial.
N e x t the special dem an d s to be m ade on a q u a rtz plate are dealt w ith m ore in detail. T h e following p roperties are considered ; frequency, spurious resonances, te m p eratu re coëfficiënt ol frequency, d ep en d an ce on a tm o s
pheric pressu re and hum idity, seffinductance, cap acity-ratio, dam ping, stability an d aging, activity, a n d m axim um safe cry sta l current.
b or a n u m b e r of freq u en tly used q u a rtz crystal cuts, these p roperties are sum m arized in tw o tables.
Inleiding
Pïëzo-electrische k ristallen w o rd e n in de telecommunicatie techniek, in h et bijzonder voor oscillatoren en filters, in steeds toenem ende m ate gebruikt. V eelal w o rd t daarbij h et piëzo-elec- trische elem ent als electrische tw eep o o l in de schakeling opge
nomen ; er zijn echter ook een a a n ta l gevallen, w aarbij h et piëzo-electrische elem ent als electrische vierpoot dienst doet.
D e reden, w a a ro m men in b ep aald e gevallen in een schak e
ling bij vo o rk eu r gebruik m a a k t van een piëzo-electrisch elem ent is, d a t het moeilijk en v a a k zelfs onmogelijk is m et electrische middelen, d.w.z. m et behulp van spoelen, condensatoren en w eerstan d en , dezelfde eigenschappen te verkrijgen, die m et een piëzo-electrisch elem ent b e re ik b a a r zijn. K enm erkend is b.v. h et
94 J. J. Vormer u iterst geringe decrem ent van een piëzo-electrisch element, een
eigenschap die het tro u w en s m et vele an d ere mechanische system en gemeen heeft. V e r d e r zijn de k a ra k te ristie k e g ro o t
heden p rak tisch onafhankelijk van uitw endige invloeden, in h et bijzonder van de tem p eratu u r, terw ijl ze ook op de lange d uur weinig verandering ondergaan.
Anderzijds zijn a an de toepassing van piëzo-electrische ele
m enten in electrische schakelingen een a a n ta l beperkingen v e r
bonden. D eze zijn ten dele van technische, ten dele ook van economische a a rd . D e technische beperkingen zullen nog n a d e r b esp ro k en w orden, o m tren t de economische k a n opgem erkt w orden, d a t piëzo-electrische m aterialen, vooral in grote a f
metingen, duur zijn terwijl, afhankelijk van de gew enste eigen
schappen, ook de fabricage soms hoge k osten m eebrengt.
l^er^a ngingd-dchenia
B eschouw t men de eigenschappen van een piëzo-electrisch elem ent in de omgeving van een resonantie-frequentie, dan k an
Fig. 1.
O o k indien een luchtspleet a a n w e z ig is geldt dit vervangingsschem a, echter o n d erg aan de w a a r d e n v an de electrische grootheden h ie r
do o r een verandering.
men voor de tw eepool h et in fig. 1 w eergegeven electrische vervangingsschem a optekenen. V o o r de vierpool gelden v e r
schillende vervangingsschem a s, afhankelijk van de wijze w a a ro p de vier electroden paarsgew ijze tezam en w o rd e n genomen. E en van de mogelijkheden is in fig. 2 voorgesteld. V o o r de an d ere mogelijkheden gelden dergelijke vervangingsschem a's. M e n ziet d a t de configuratie van elem enten uit fig. 1 ook o p tre e d t als een onderdeel van fig. 2. D eze configuratie b e v a t een tak, die gevorm d w o r d t door de statische capaciteit van de electroden Cp , eventueel v erm eerd erd m et stro o ic a p a c ite ite n ; p arallel d a a r a an is geschakeld een ta k die m et de mechanische eigenschappen
Piëzo-electrische elementen 95 van het plaatje sam enhangt, en die b e s ta a t uit een serie-scha- keling van een zelfinductie, een capaciteit en een w e e rstan d , resp. Lfoy Ck en L\.k»
D e reactan tie van de tw eepoot als functie van de frequentie
is voor te stellen als aangegeven in fig. 3. M e n ziet uit deze laatste figuur, d a t de schakeling van fig. 1 tw ee bijzondere frequenties heelt, n.1. de serie-resonantie frequentie cos, die practisch uitsluitend afh an g t van de grootheden uit de „m echa
nische” ta k van h e t vervangingsschem a, n.1. van Lk en van Ck, en d a a r n a a s t de parallel-resonantie frequentie cop, die boven-
Fiir. o.
dien nog van CP afh an g t. Aangezien Cp ten dele v ero o rzaak t w o rd t door allerlei onzekere factoren, is de parallel-resonantie frequentie cop niet bepalend voor h et piëzo-electrische element.
D e w a a rd e n van de grootheden in deze vervangingsschem a’s wijken aanzienlijk a f van w a t men bij electrische realisaties gew end is, en w el in zoverre, d a t Ck in h et algemeen zeer klein is, en Lj{ zeer groot. Teneinde een denkbeeld te geven
96 J. }. Vormer van de orde van grootte zij hier verm eld, d a t b.v. bij k w a rts
Ck van de orde van 0,01 /u/u F k an zijn, en Lk van de orde van IOO H . V an zelfsp rek en d is steeds co* = l/LkCk* D e grootte van R k is steeds zodanig d a t Q = cos L ^ R k groot w o rd t. P ractische w a a rd e n zijn Q — IO4 — IO .
Toepaóéing in oóciUatoren
D e toepassingen van piëzo-electrische elem enten in de tele- communicatie-techniek hebben voornamelijk betrekking op oscil
lator- en filterschakelingen. H e t is in teressan t na te gaan w aaro m dit geschiedt.
E lke oscillator-schakeling k a n men zich denken te b e sta a n uit tw ee delen n.1. een v ersterk er-d eel en een frequentie-bepalend
Fig. 4.
deel, zie fig. 4. Z oals bekend stellen am plitude en frequentie van een oscillator zich autom atisch zodanig in, d a t de ro n d gaande v ersterk in g I b e d raa g t, terw ijl de corresponderende faze-draaiïng O of een even a a n ta l malen Jt is. D e eerste v o o r
w a a rd e heeft voornam elijk betrek k in g op de am plitude van de gegenereerde w isselspanning, de tw eed e voornam elijk op de frequentie. W e n s t men nu een bijzonder constante frequentie, d an is h et gunstig, d a t de faze-draaiïng als functie van de frequentie in h et v ersterk er-d eel weinig verloopt, en in h e t frequentie-be- palende deel veel. In h et v ersterk er-d eel immers zal in het algemeen de genoemde functie ai hangen van buisconstanten, voedingsspanningen en dergelijke, terw ijl in h et frequentie-be- palende deel, d a t een passief n e tw e rk is, zulks niet h et geval is. H e t is derhalve gunstig, b.v. door to ep assen van negatieve terugkoppeling, in sam enw erking m et een am plitude-bepalend element, de faze-draaiïng van het v e rste rk e rd e e l in h e t gebruikte frequentie-gebied zo klein mogelijk te maken, en tegelijk de
Piëzo-electrische elementen 97 faze-draaiïng in h et frequentie-bepalende deel zo groot mogelijk.1)
Bovendien m oet natuurlijk de frequentie, w aarbij de grote ——
d co o p treed t, een goed gefixeerde w a a rd e hebben.
W a a r zoals reeds hiervoor opgem erkt is, de Q van een k w a rts - elem ent zeer hoge w a a rd e n k a n verkrijgen, w a a rm e e een zeer steil verloop van de faze-frequentie k a ra k te ristie k sam en gaat, is h et duidelijk, d a t voor oscillatoren, w aarbij hoge frequentie- constantheid een eerste vereiste is, k w a rtsk rista lle n als frequentie bepalende elem enten aangew ezen z ijn ; in h et bijzonder, om dat daarbij door juiste dimensionering en fabricage de kristaleigen- schappen tevens in hoge m ate onafhankelijk g em aakt kunnen w orden van uitw endige invloeden en van de tijd, iets w a t bij electrische en ook bij an d ere mechanische system en in veel geringer m ate h et geval is.
M en k a n zich afvragen of er behalve k w a rts , andere piëzo- electrische kristallen zijn, die mogelijk gunstiger eigenschappen als oscillator-kristallen zouden bezitten.
In dit v erb an d w o rd t opgem erkt, d a t de eigen frequentie van een p laatje steeds is aan te geven in een formule van de vorm :
f = < P •
w a a rin cp de dimensie van een lengte 1 heeft, terw ijl E een elastische constante is en q de dichtheid. M e n k an voor de w ortelvorm ook schrijven :
E— — v
w aarbij v de v o ortplantings-constante is van de acoustische trilling in h et m ateriaal.
Teneinde bij hoge frequenties niet te vervallen in plaatjes van o n h an d elb aar kleine afmetingen, heeft h e t dus voordeel te zoeken n a a r stoffen w a a rv o o r v een hoge w a a rd e heeft. V a n zelfsprekend moet bij die stoffen ook Q behoorlijk groot zijn.
l) M en zie hiervoor ook : E. J. P o s t en H . F. P it „A lgem ene principes bij het o n tw e rp e n van oscillatoren” . H e t P .T .T .-b edrijf, deel III, N o. 1.
98 J. }. Vormer
Toepaéóing in JiLlcró
E r zijn tw ee redenen w a a ro m men k ristallen in electrische filters t o e p a s t :
le. M e n k a n m et behulp van k ristallen uitstekende kringen vorm en met hoge Q's, ook bij bijzonder grote w a a rd e n van de zelfinductie. H e t is electrisch dikwijls onmogelijk dergelijke grote zelfinducties te realiseren, aangezien de verliezen en vooral ook de eigen capaciteit van de spoel aanleiding to t moeilijkheden geven.
2e. Bij relatief smalle filters kom t de eis van een behoorlijke stabiliteit steeds m eer n a a r voren, en bij kristalfilters is a a n die eis betrekkelijk eenvoudig te voldoen ; in h et bijzonder v e ra n d e rt bij een k ristalfilter de d o o rla a t weinig of niet m et de te m p e ra tu u r en m et de tijd. F ilters m et zeer smalle d o o rla a t zijn d an ook practisch alleen als kristalfilter behoorlijk te verwezenlijken.
V o o r die frequentie-gebieden, w a a rv o o r men goede filter
kristallen k an maken, hebben condensatoren m eestal nog geringe v e rlie z e n ; bij spoelen zijn de verliezen als regel niet m eer te verw aarlozen. M e n k an in dit v e rb an d tw ee hoofdgroepen van kristalfilters onderscheiden, n.1. die uitsluitend sam engesteld met behulp van kristallen en condensatoren, en die w aarbij boven
dien ook nog spoelen g eb ru ik t w orden.
D e eerste zijn veelal aan trek k elijk er ; ze hebben evenw el een b e p e rk te r doorlaatgebied. N o e m t men de b a n d b re e d te van het filter 2 A co en de gemiddelde frequentie co0 d an geldt voor de m axim aal b e reik b a re relatieve b a n d b re e d te de betrekk in g :
2 A CO ^ 2 (cOp — (Os) _ Ck _ ^ E d?
co o co o Cp e
w a a rin A een num erieke constante is, die a fh a n g t van de tril- lingswijze, d is een piëzo-electrische modulus, E een elastische constante en e de diëlectrische constante. D e m et dit ty p e filter m axim aal b ereik b are b a n d b re e d te h an g t derhalve uitsluitend van de fa c to r CkjCp af, en deze is blijkens b o v en staan d e formule een m ateriaal-constante. D eze m ateriaal-co n stan te is afhankelijk van de richting, m a a r voor elke piëzo-electrische stof b e s ta a t een bovenste grens voor de m axim aal b e reik b a re relatieve b a n d breedte.
Piëzo-electrische elementen 99 Bij de gunstigste, voor filterkristallen b ru ik b are, k w a rtssn e d e b e d ra a g t de fa cto r CpjCk ongeveer 120, indien men de electroden direct op h et k w a rts a a n b re n g t en de k ristalv lak k en ten volle benut. M e n vindt derhalve bij k w a r ts voor de grootste re la tieve b a n d b ree d te ^ 0,8% . V o o r an d ere oriëntaties is de b e reik b are b a n d b re e d te nog geringer, zoals uit ta b e l I volgt. Bij an d ere piëzo-electrische k ristallen zijn soms b etere re su lta ten te verkrijgen. O n d e r s ta a n d lijstje illu streert d i t :
M a te r ia a l M a x im a a l b e re ik b a re relatieve b a n d b re e d te
K w a r ts ongeveer 0,8°/o
k h 2 p o 4 „ 1,0%
(N H 4) H 2 P 0 4 of A D P „ 8,0%
E D T „ 3,0%
M e n k an b an d b reed ten , g ro te r d an de hiervoor vermelde, verkrijgen, door in het k ristalfd ter spoelen op te nemen ; even
w el in tro d u ceert men hiermee verliezen. D o o r een speciale schakeling toe te passen k a n men er voor zorgen, d a t deze verliezen opgenomen w o rd en in de afslu itw eerstan d . D it la a tste is echter alleen mogelijk zolang de verliezen klein zijn. V e rd e r kan ook hier de eigen capaciteit van de spoel w e e r aanleiding to t moeilijkheden zijn. H o e b re d e r echter h et k ristalfd ter „van n a tu re ” is, des te kleiner kan de spoel zijn om de gew enste brede band te verkrijgen. In dit opzicht zijn de hiervoor ge
noemde m aterialen dus boven k w a rts te verkiezen.
Piëzo-eleclrijche materialen
Piëzo-electriciteit is een eigenschap van de gekristalliseerde stof. D e v ra ag kom t derhalve n a a r voren, w elke stoften ge
schikt zijn om piëzo-electrische elem enten te leveren. D eze stoffen m oeten d an vanzelfsprekend in de vorm van enkelvoudige k ris ta l
len, van niet al te geringe afmetingen, b e sc h ik b aa r zijn.
M e t de in de n a tu u r voorkom ende stoffen, is men in deze snel a an een eind. E en uitgebreid onderzoek heeft n.1. aan g e
toond, d a t van alle in de n a tu u r voorkom ende gekristalliseerde stoffen, er practisch m a a r tw ee in aanm erking komen n.1. k w a rts en toermalijn, w a a rv a n de laatste, tengevolge van de hoge kosten, feitelijk reeds o n b ru ik b a a r is. E r zijn w e lis w a a r nog vele andere piëzo-electrische mineralen, doch deze komen steeds in slechts kleine afm etingen voor. H e t is dan ook logisch, d a t veel van
100 J. J. Vormer het w e rk op piëzo-electrisch gebied zich geconcentreerd heeft op k w a rts , tem eer d a a r deze stof mechanisch in veel opzichten bijzonder gunstige eigenschappen heeft. E en b e z w a a r is n a tu u r
lijk, d a t k w a rts , geschikt voor piëzo-electrische toepassingen, slechts op b ep aald e p la a tse n op a a rd e gevonden w o rd t, o.a. in Brazilië en M a d a g a s k a r, terw ijl grote stukken — van enige kilogram m en — zeldzaam en dus d u u r zijn.
V o o ra l van m ditaire zijde is men voor grondstoffen niet g raag op het buitenland aangew ezen, v a n d a a r d a t allerw egen gezocht is n a a r kunstm atige vervangingsstoffen. D a a rb ij is tevens de v ra ag opgew orpen, of h et w ellicht mogelijk is niet alleen ge
lijkw aardige, m a a r zelfs b etere stoffen te vinden dan natuurlijk k w a rts . W a t men in dit geval onder „ b eter" m oet v erstaan , is niet voor alle toepassingen hetzelfde. W i l men piëzo-electri
sche elem enten in filters toepassen, bij niet hoge frequenties (draaggolftelefonie), dan heeft het, blijkens h et voorgaande, voordeel te zoeken n a a r stoffen, w aarbij de verhouding —- zo groot mogelijk is. W o r d e n de piëzo-electrische elem enten geEP b ru ik t in oscillatoren voor hoge frequenties, dan tred en and ere eigenschappen m eer op de voorgrond, o.a. n a a s t een hoge w a a rd e van Q, de tem p eratu u r-o n afh an k elijk h eid en een hoge voort- plantingsconstante van de ultra-acoustische trilling. V o o r beide soorten toepassingen is de afw ezigheid van nevenresonanties van belang. Bij filterkristallen kunnen deze n.1. aanleiding geven to t ex tra spergebieden in de d o o rla a t of e x tra do o rlaatg eb ied en in het spergebied. Bij oscillator k ristallen kunnen nevenfrequen
ties directe storing van de hoofdresonantie veroorzaken.
H e t onderzoek n a a r deze vervangingsstoffen is nog geenzins beëindigd; toch zijn reeds enige opmerkelijke re su lta te n b e re ik t:
le. M e n is er in geslaagd synthetisch k w a rts te vervaardigen, d a t vanzelfsprekend gebruikt k a n w o rd en voor al die to e p a s singen, w a a rv o o r men th an s het natuurlijke k w a rts gebruikt.
D e fabricage is to t nu toe k o s tb a a r en verg t vrij veel tijd, m a a r mogelijk zullen deze b ezw aren in de toekom st verm inderen.
2e. V o o r filterkristallen, zoals die bij draaggolf-telefonie ge
b ru ik t w orden, is in zekere zin een oplossing gevonden in stoffen als E D T , A D P e.d. D eze stoffen vorm en uit w aterig e oplos
singen kristallen, die gunstige piëzo-electrische eigenschappen hebben — de verhouding —- is b e te r dan bij k w a rts — echterCj zijn de mechanische eigenschappen niet bizonder goed.c p
Piëzo-electrische elementen 101 3e. V o o r oscillator-kristallen, in h et bizonder voor die van hoge frequentie, schijnt men nog allerw egen te zoeken. Als mogelijk gunstige stoffen w o rd en o.a. genoemd : kunstm atige Niphelin, kunstm atige M ontm orilloniet, en kunstm atig beryllium- oxyd. O m tre n t de re su lta te n is nog betrekkelijk weinig bekend.
O pm erkelijk is w el d a t men blijk b aar in de richting van de kunstm atige m ineralen zoekt.
4. N o g dient opgem erkt te w orden, d a t men m et een geheel andere groep van stoffen, w a a rv a n b.v. barium - en strontium - tita n a a t voorbeelden zijn, mogelijk piëzo-electrische elementen k a n sam enstellen. D eze stoffen w o rd en in p o ^ k rista llijn e vorm gebruikt, en zijn als zodanig niet piëzo-electrisch. Z e zijn echter sterk electro-strictief, terw ijl ze bovendien ferro-electrische eigen
schappen hebben. D e combinatie van deze eigenschappen m a a k t de stoffen van deze groep geschikt voor gebruik als piëzo-elec
trisch element, doch o m tren t de practische toepassingen zijn nog weinig gegevens beschikbaar.
U it het voorgaande blijkt wel, d a t het natuurlijke k w a r ts voorlopig nog een van de belangrijkste uitgangsm aterialen voor piëzo-electrische elem enten in de telecommunicatie techniek is.
W e zullen ons in h et volgende dan ook voornamelijk to t dit m ateriaal beperken.
Enige eigenschappen van kwarts
A lle ree rst dient iets verm eld te w o rd en o m tren t de vorm w a a rin het k w a rts voorkom t, en om tren t de nam en die aan de diverse sneden w o rd en gegeven. H e t voor piëzo-electrische doel
einden gebruikte z.g. a -k w a rts is silicium-dioxyde, d a t op een b ep aald e m anier gekristalliseerd is. D it a -k w a rts is beneden 572° C stabiel. H e t kan in tw ee modificaties voorkom en n.1.
als rech ts-d raaien d en als links-draaiend a -k w arts. Fig. 5 geeft een afbeelding van deze beide modificaties voor geidealiseerde kristallen.
D e Z -as noem t men de optische as, de W a s de electrische as, en de F-as de mechanische as. E en plaatje, w a a rv a n h et grootste vlak loodrecht op de W a s s ta a t heet een W sn ed e, s ta a t h et grootste vlak loodrecht op de I-a s , dan sp re e k t men van een F-snede enz.
V o o r technische doeleinden w o rd t veel gebruik g em aakt van plaatjes, die niet loodrecht op de Ar- of op de F-as staan, doch
102 J. J. Vormer w a a rv a n de norm aal in het Y -Z vlak ligt en een b ep aald e hoek m et de Z -as m aakt. M.en duidt dergelijke p laatjes in h e t alge
meen a an als „om de V -as gedraaide F -sneden” of F'-sneden.
In hg. 6 zijn de hoeken voor enige van de m eest gebruikte F'-sneden w eergegeven. D e getekende lijnen zijn de snijlijnen van de vlakken, w a a rin de diverse plaatjes liggen, m et het
FZ-vlak.
Fig. 6.
A /'-snede © = + 35°,15' rrr- „ = -■48°,50' c r~ „ = + 37°,30' D T - „ = - 5 1 « , 4 5 '
G T- „ = + 51 ",30 ( ± 45° g ed ra a id in eigen vlak) H T- „ = + 36°
AT-y BT-y CF-sneden, enz. zijn speciale F -sn e d e n , die geken
m erk t zijn door een lage tem peratuur-coëfficiënt.
Bij and ere p laatjes m a a k t de norm aal hoeken m et alle drie de assen ; fig. 7 geeft d a a rv a n enige voorbeelden.
Piëzo-electrische elementen 103 Bij zijn vele goede eigenschappen heeft het natuurlijke k w a rts o.a. h et nadeel, d a t enkelvoudige k ristallen practisch niet v oor
komen. D e m eeste stu k k en k w a rts , die men zo op het eerste gezicht voor een enkel k rista l zou verslijten, blijken uit m eer d an één individu te b estaan , z.g. tweelingen. D eze tw eelingen kunnen nog w e e r van tw eeërlei a a rd zijn, n.1. optische tw e e lingen, w aarbij het stu k k w a rts b e s ta a t uit tw ee individuen, w a a rv a n h et ene uit links- en h et andere uit rech ts-d raaien d k w a rts b e sta a t, of w el electrische tweelingen, w aarbij beide individuen dezelfde draairich tin g hebben, en evenwijdige b a s s e n , doch w aarbij de electrische assen tegengesteld gericht zijn.
D e beste m ethode om na te gaan ol een stuk k w a r ts tw e e lingen b e v a t b e s ta a t in h et etsen b.v. m et behulp van fluoor- w atersto f. D o o r d a t de verschillende kristallen, w a a ru it een stuk
Fig. 7.
M T - snede t> = + 5°
(p = ± 40°
N T - „ cp en # zijn
functies v an breed te en lengte, die men kiest in v e rb a n d m et de frequentie en
im pedantie v an het kristal.
natuurlijk k w a r ts b e sta at, na etsing, het licht op verschillende wijzen teru g k aatsen , w o rd e n op elk o p p erv lak v an h e t k w a rts - blok de tw eeling-kristallen m acroscopisch direct zichtbaar. Zie
foto a.
/tle l boden om het gebruik van ruw kwarto te beperken.
M e n moet ervoor zorgen, dat het uiteindelijke piëzo-electrische plaatje geen tw eelingen b e v a t m.a.w. al die delen die niet van gelijke oriëntatie zijn, m oeten verw ijderd w orden. M en r a a k t zodoende van het toch reeds k o stb a re m a te riaa l nog een a a n zienlijk deel kw ijt en h et is dan ook begrijpelijk, d a t het niet a an pogingen o n tb ro k en heeft, dit verlies te beperken.
M e n k an hiertoe verschillende w egen inslaan :
le. Soms k an men een k w a rts b lo k d a t tw eelingen bevat, zo
danig verdelen, d a t de stukken voldoende groot zijn, om uit elk d a a rv a n piëzo-electrische elementen te maken. D eze wijze
104
van doen k an zowel voor optische als voor electrische tw e e lingen to eg ep ast w orden.
2e. M e n zal er in het algemeen n a a r streven een b e p a ald piëzo-electrische elem ent te m aken m et behulp van zo weinig mogelijk m ateriaal, natuurlijk m et behoud van de voor het p laatje specifieke eigenschappen. D a t men door een verstandige keuze soms veel m ateriaal kan b esparen, moge uit het volgende v o o r
beeld blijken :
W a n n e e r een oscillator-kristal verlangd w o rd t van om streeks 500 k H z, k an men d a a rv o o r kiezen een z.g. A 7 -snede. D e dikte van het k rista l b e p a a lt dan voornam elijk de frequentie, terw ijl de d iam eter groot ten opzicht van de dikte m oet zijn. G unstige afm etingen zijn in dit geval :
V o o r een ronde A F - sn e d e :
dikte — 3,51 mm, d iam eter = 27,5 mm, inhoud = 2082 mm3 en voor een v ierk an te A F - s n e d e :
dikte = 3,44 mm, vierkantsafm eting — 19,8 mm, inhoud — 1348 mm3.
M e n kan echter ook van een z.g. H F -snede gebruik maken.
Hierbij b e p a a lt de b reed te van het rechthoekige p laatje in eerste instantie de frequentie, de dikte m oet klein zijn ten opzichte van de breedte, terw ijl de lengte ongeveer 7,5 m aal de b reed te moet bedragen. In dit geval zijn de afm etingen :
dikte = 1,15 mm, b re ed te = 5,21 mm, lengte = 38,58 mm, inhoud = 231 mm3,
le n s lo tte k an men ook nog een z.g. C /"-snede kiezen. D it is een v ierk an t plaatje, w aarbij de vierkants-afm eting de frequentie b ep aalt, terw ijl de dikte klein m oet zijn ten opzichte van deze vierkants-afm eting. G unstige afm etingen zijn in dit geval :
dikte = 0,50 mm, b re e d te en lengte = 6/20 mm, inhoud = 19,4 mm3.
Alle drie hiervoor genoemde plaatjes hebben een kleine tem- peratuur-coëfficiënt in h et w erkgebied. In d e rd a a d verloopt bij de A F -snede de tem peratuur-coëfficiënt m et de te m p e ra tu u r iets m inder d an bij de an d ere sneden. O o k is de demping in h et algemeen kleiner n a a rm a te de m assa g ro te r is. Bovendien w o rd en bij de zeer kleine C7’-snede hoge eisen gesteld aan de juiste centrering van de ophangdraden. D e afregeling is echter bij de A 7-*) en 777-snede w e e r moeilijker, zo d at de to tale k o s t
prijs voor de C7'-snede nog het gunstigst is.
*) In het bijzonder bij de ronde A T -snede, die w a t b e tre ft de m ontage mogelijkheden boven de vierk an te uitvoering te verkiezen is.
J. J. Vormer
Foto a.
G eëist k w a rts k ris ta l met tweelingen.
V :in
Foto b.
V ier k w a rts p la a tje s van ongeveer 500 k H z .
links n a a r rechts resp. : C l-, H l'-, vierkante A T - en ronde A 7 -snede.
________________________________________________ ______ _______
Piëzo-electrische elementen 105 In practisch alle gevallen k an men voor g e n e ra to r kristallen een goed uitgevoerde C7'-snede even goed gebruiken als een A T - snede, en dan verkrijgt men d a a rd o o r alleen een 50 a 100- voudige besparing aan m ateriaal, nog afgezien van het feit, d a t men bij de vervaardiging van C l -sneden van veel kleinere en dus goedkopere kristallen kan uitgaan, of w el men k an alval gebruiken d a t bij de fabricage van grote C 7 -platen is o v er
gebleven. Z ie foto b.
3e. M e n heeft ook g e tra c h t k w a rts d a t tw eelingen b e v a t te regenereren. Ten opzichte van electrische tw eelingen is d itin d er- d a a d mogehjk gebleken, hoew el de to t nu toe m eest gebruikte m ethode, w aarbij het plaatje tegelijk a an verhoogde te m p e ra tu u r en mechanische spanning w o rd t o n d erw o rp en , aan zekere beperkingen onderhevig is. Tengevolge hiervan kunnen b.v. uit bep aald e sneden tw eelingen vlot verw ijderd w orden, terw ijl dit bij andere moeilijk of niet mogelijk is. Toch h eelt men op deze wijze het percentage b ru ik b a a r m ateriaal soms aanzienlijk k u n nen vergroten.
E ijen aan een kwarUplaatjc le jlellen.
D e eisen, w a a ra a n m oet w o rd en voldaan, hangen sterk af van h et doel w a a rv o o r men h et plaatje w e n st te gebruiken.
N ie t voor alle doeleinden behoeft derhalve aan alle hierna te noemen eisen te zijn voldaan. In h et algemeen w o rd en v o o r
w a a rd e n gesteld ten aanzien van : le. de frequentie.
2e. de nevenresonanties.
3e. de afhankelijkheid van tem p eratu u r, lucht
d ru k en vochtigheid.
4e. de zellinductie.
5e. de k w a lite itsfa c to r Q.
6e. stab iliteit en veroudering.
7e. de activiteit.
8e. de b e lastb aarh eid .
Enige van de hiervoor genoemde eigenschappen hangen samen m et de keuze van de kristalsnede, andere m et de fab ricag e
m ethode of m et de m ontage. H e t is m eestal niet lastig een plaatje een of tw ee van de gew enste eigenschappen te geven ; de moeilijkheden nemen echter ste rk toe m et het a a n ta l ge
w en ste eigenschappen.
B ehalve de hiervoor genoemde eigenschappen zijn soms nog
106 J. J. Vormer andere van belang. Z o als reeds verm eld op bladz. 98 en 99 is voor filter-kristallen b.v. een zo klein mogehjke w a a rd e van de grootheid —r = a nuttig. V o o r sommige g en erato r-k ristallen isq
6*
een bepaalde w a a rd e van R k gew enst, (zie blz. 123)
D a t deze eigenschappen in de hiervoor genoemde opsomming niet verm eld zijn vindt zijn oorzaak, niet in h et feit d a t ze on
belangrijk w o rd en geacht, m a a r d a a rin d a t men weinig vrijheid in de keuze van deze grootheden heeft.
W e l k ty p e plaatje men voor een b ep aald doel zal nemen w o rd t als regel b e p a ald door an d ere facto ren n.1. allereerst door de gew enste frequentie, die n au w v e rb an d h o udt m et de trillingswijze en vervolgens door eisen ten aanzien van tem pe- ratuur-afhankelijkheid, nevenfrequenties e.d.
H e e ft men in v e rb an d m et deze facto ren eenm aal een bep aald e snede gekozen, d an k an men de daarbij behorende w a a rd e n van a, resp. R& nog slechts in geringe m ate beïnvloeden.
D e grootheid a = — is in ta b e l I voor de verschillende sneden£ Ck
vermeld. H e t opgeven van een w a a rd e voor R/e heeft weinig zin aangezien deze grootheid, evenals de grootheid Q, in hoge m ate afhankelijk is van de m ontage van h e t plaatje.
Frequentie.
D e frequentie van een k rista lp la atje is voor iedere trillings
wijze in eerste benadering te schrijven a ls : f = F c . cp , w aarbij , / p
de factor F c, die overeenkom t m et de grootheid 1/ _ van blz. 97, uitsluitend m ateriaal-co n stan ten bevat, terw ijl cp van de a f ' Q metingen en van de trillingswijze van h et p laatje afh an g t. M en noem t F c de frequentie-constante*) en d ru k t deze uit in m m .kH z;
de grootheid cp w o r d t u itg ed ru k t in mm-1.
• In tab el I zijn voor de diverse sneden de num erieke w a a rd e n van b c vermeld. Tevens is daarbij aangegeven hoe cp voor de verschillende trillingswijzen m et de afm etingen sam enhangt
(/ = lengte, b — b reed te en d — dikte).
V o o r vele toepassingen is h et nodig, d a t de frequentie van een piëzo-electrisch elem ent zo n au w k eu rig mogelijk een van te
*) D e facto r Fc is slechts in eerste b en ad erin g een constante, a fw ij
kingen van een gem iddelde w a a r d e kom en soms voor.
