Oplossing 1de deelexamen Calculus II van 29/2/2012
March 6, 2012
1 Vraag 1
Beschouw de volgende kromme in R3, geparametriseerd als r(t) = ti + (2t − 1)j + t2k.
(a) Als de parameter t een tijd aangeeft, bereken dan de vectori¨ele snelheid v(t), de grootte van de snelheid, en de vectori¨ele versnelling a.
(b) Bepaal de vergelijking van een vlak dat de kromme bevat. Via de normaal op dat vlak geef je vervolgens de uitdrukking van de eenheidsbinormaalvector ˆB voor die kromme in een willekeurig punt (opmerking: kies de richting van de normaal zodat zijn x-component positief is).
(c) Bereken de eenheidsraakvector ˆT voor de kromme, en dit in een willekeurig punt bij parameterwaarde t. Gebruik je resultaat voor de eenheidsbinormaalvector om nu ook de eenheidsnormaalvector ˆN uit te rekenen in dit willekeurig punt.
(d) Bereken de relatie s(t) tussen de booglengteparameter s en de parameter t. Reken dit door tot je een formule hebt die hun verband via mogelijks transcendente functies uitdrukt (maar je hoeft je resultaat niet te inverteren tot t(s)).
Antwoord:
(a) Om dat t de tijd weergeeft, hebben we v(t) = dr(t)
dt = i + 2j + 2tk v(t) =p
1 + 4 + 4t2 =p 5 + 4t2 a(t) = dv(t)
dt = 2k.
(b) Je kan de parametervoorstelling van de kromme ook schrijven als
x(t) = t y(t) = 2t − 1 z(t) = t2.
Je ziet dan onmiddellijk dat elk punt op de kromme voldoet aan de vergelijking y − 2x + 1 = 0 en dit is de vergelijking van een vlak. Een normaalvector op dit vlak lees je af uit de co¨efficienten van x, y en z in deze vergelijking dus
n = 2i − j,
waarbij we ervoor zorgden dat de x-component positief is. Om de eenheidsbinor- maalvector te vinden, moeten we n nog normeren. Dus
B =ˆ n
|n| = 1
√5(2i − j).
(c) De eenheidsraakvector is gegeven door T =ˆ v(t)
v(t) = 1
√
5 + 4t2(i + 2j + 2tk).
De eenheidsnormaalvector vinden we dan als N = ˆˆ B × ˆT = 1
√
25 + 20t2
i j k
2 −1 0 1 2 2t
= −2ti − 4tj + 5k
√
25 + 20t2 . (d) De booglengte s(t) is gegeven door
s(t) = Z t
a
v(τ ) dτ = Z t
a
p5 + 4τ2dτ.
De precieze waarde van a is van geen belang, want duidt enkel aan vanaf waar op de kromme je de lengte begint te meten. We nemen hierna a = 0. Deze integraal kan je uitwerken met behulp van een formule op de achterflap van het handboek.
Je vindt dan
s(t) = Z t
0
p5 + 4τ2dτ u := 2τ, dτ = 1 2du
= 1 2
Z 2t 0
p5 + u2du
= 1 2
u 2
p5 + u2+ 5
2ln |u +p 5 + u2|
2t 0
= t 2
p5 + 4t2+5
4ln |2t +p
5 + 4t2| − 5 4ln√
5.
Opmerkingen:
• Bij vraag (b) wordt er gevraagd om een vlak te bepalen waartoe de kromme be- hoort. Om te beginnen is het natuurlijk van belang dat je antwoord de vergelijking van een vlak is, dus van de vorm Ax + By + Cz = D met (A, B, C) 6= (0, 0, 0).
Veel studenten antwoorden met een kwadratische vergelijking in x, y, z. Dit is een kegelsnede en geen vlak. Je kon het vlak vinden zoals hierboven in de oplossing beschreven staat. Een alternatieve methode (die weliswaar wat meer tijd vergt) bestaat erin om drie punten op de kromme te kiezen en het vlak op te stellen dat deze punten bevat. Dit kan je doen door twee richtingsvectoren te berekenen en dan de normaal op het vlak te vinden als het kruisproduct van deze richtingsvectoren.
• Vereenvoudigen is sterk aanbevolen. Als je voor het vlak de vergelijking 4x − 2y − 2 = 0 vindt, is dat juist, maar zeg nu zelf, de vereenvoudigde versie 2x − y − 1 is beter.
• In (c) wordt er gevraagd de eenheidsraakvector ˆT in een willekeurig punt te bereke- nen. Veel studenten kiezen hier zelf een expliciete waarde voor t, bv. t = 1, en rekenen daarmee verder. Dat is niet willekeurig, maar specifiek. Je moest hier gewoon t laten staan, zodat je een antwoord vindt voor eender welke waarde van t en niet enkel voor een specifieke.
• Een alternatieve methode om de integraal uit (d) te berekenen (zonder substitutie) is de volgende
s(t) = Z t
0
p5 + 4τ2dτ
= 2 Z t
0
q5
4 + τ2dτ
= 2 τ 2
q5
4 + τ2+5
8ln |τ + q5
4 + τ2|
t 0
= t q5
4 + t2+5 4ln |t +
q5
4+ t2| −5 4ln
q5 4.
Je maakt hierbij ook gebruik van de formule op de achterflap. Opvallend is dat slechts drie studenten deze vraag foutloos beantwoorden. Bij de methode met substitutie wordt meestal de voorfactor 12 vergeten. Ook bij de tweede methode zit de fout meestal in de voorfactor 2.
2 Vraag 2
Gegeven de functie van drie veranderlijken E(S, V, N ) via de formule
E = 3h2N 4πm
N V
2/3
e(3N k2S −53)
waarbij h, m, k gekende (natuurkundige) constanten zijn. Introduceer de temperatuur via T = ∂E∂S en de druk via p = −∂E∂V;
(a) Toon aan dat p(N, T, V ) = kN T /V .
(b) In de driedimensionale (N, T, V )-ruimte, bereken ∇p.
(c) Bereken de directionele afgeleide van p in de richting bepaald door een richtvector van de rechte die de doorsnede is van de twee vlakken V = 0 en N = T .
(d) Beschouw het niveauoppervlak p = k. Bereken het raakvlak aan dit niveauopper- vlak in het punt (1, 1, 1).
Antwoord:
(a) Het berekenen van twee partieel afgeleiden geeft ons
p = −∂E
∂V = h2 2πm
N V
5/3
e(3N k2S −53), T = ∂E
∂S = h2 2πmk
N V
2/3
e(3N k2S −53).
Uit deze formules volgt onmiddellijk dat kN T
V = p.
(b) We berekenen de gradi¨ent van
p(N, T, V ) = kN T V . Dit is
∇p = ∂p
∂Ni + ∂p
∂Tj + ∂p
∂V k = kT
V i +kN
V j −kN T V2 k.
(c) We zoeken eerst de richtvector u = u1i + u2j + u3k. Omdat u tot het vlak V = 0 behoort is u3 = 0. Omdat u tot het vlak N = T behoort, is u2 = u3. We vinden dus u = u(i + j) voor een u ∈ R \ {0}. De eenheidsvectoren in deze richting zijn dan
bu = ± 1
√2(i + j).
Het maakt voor deze vraag niet uit welk teken je kiest. De directionele afgeleide in de richting vanu is danb
Duˆp =u · ∇p = ±b 1
√
2(i + j) · kT
V i +kN
V j − kN T V2 k
= ±k(T + N )
√ 2V .
(d) Een eerste manier om dit te doen gaat als volgt. Het niveauoppervlak p(N, T, V ) = k wordt gegeven door de vergelijking V = N T . Dit is een oppervlak in de driedimensionale ruimte en hieraan moeten we het raakvlak vinden in het punt (1, 1, 1) = i + j + k. De partieel afgeleiden van V (N, T ) = N T zijn
V1(N, T ) = T, V2(N, T ) = N.
Ge¨evalueerd in het punt (N, T ) = (1, 1) wordt dit V1(1, 1) = 1, V2(1, 1) = 1.
Het raakvlak aan de grafiek van deze functie wordt dan gegeven door (zie HB p685) V = V (1, 1) + V1(1, 1)(N − 1) + V2(1, 1)(T − 1).
Ingevuld wordt dit
V = N + T − 1.
Een tweede manier gaat als volgt. We gebruiken hier niet de expliciete vergeli- jking van het niveauoppervlak, maar werken in het domein R3 van de functie p(N, T, V ) = kN T /V . Het gezochte vlak heeft ∇p(1, 1, 1) = (1, 1, −1) als normaal en gaat door het punt (1, 1, 1). Het vlak wordt dus gegeven door de vergelijking
1(N − 1) + 1(T − 1) − 1(V − 1) = 0.
Of vereenvoudigd,
N + T − V − 1 = 0.
Voor een soortgelijke redenering zie HB p721 example 6b.
Opmerkingen:
• Voor vragen (b), (c) en (d) was het de bedoeling dat je vertrok van wat je in (a) bewezen had.
• De richtvector voor een richtingsafgeleide moet genormaliseerd zijn (d.w.z. norm 1 hebben). Je berekent dan de richtingsafgeleide als het inproduct van deze een- heidsvector met de gradi¨ent en bekomt dus een re¨eel getal als uitkomst (hier in functie van N, T, V ), maar geen vector.
