Enige theoretische beschouwingen en experimenten over trilling verschijnselen in circuits met nietlineaire elementen

(1)

Tijdschrift van het Nederlandsch Radiogenootschap

November 1949 Deel XIV No. 6

Enige theoretische beschouwingen en experimenten over trilling verschijnselen in circuits met niet

lineaire elementen

door G. J. Elias en S. Duinker

S U M M A R Y

After a short introduction, an analysis is given of the solutions of the equation y -\-y ^{-f- vj/3}= a ^COS(fix T describing the behavior of a non

linear electric circuit with a sinusoidal e.m.f. The existence ol periodic solutions, with a fundamental frequency being a submultiple of the gene

rator-frequency, is proved.

The period can be expressed as an elliptic integral in the event ol free vibrations; for forced vibrations an extension ol this expression is given and the stability of the solution is discussed with respect to the possible real values, one of the parameters can have. 11 the e.m.f. is varied continuously, several jump-phenomena must occur in order to sustain a periodic forced vibration in a fundamental or subharmonic irequency.

The differential equation is also considered, if the non-linear relation is extended with an unrestricted number ol odd powers ol y. In this case, the expression for the period becomes a hyperelliptic function. If sinh y is used instead of a power series, again an elliptic function results.

At last experiments are discribed, being chiefly in accordance with the preceeding mathematical investigations, in particular concerning the higher jump-boundaries for larger values of the e.m.f. Oscillograms of subhar

monic vibrations with a fundamental frequency up to the 21st, are shown.

Ii lidding.

De consequenties van het niet-lm eaire verband tussen de physische grootheden van electrische circuits, op de zich daarin afspelende verschijnselen, is reeds sedert geruimen tijd een onderw erp van onderzoek gew eest in de electrotechniek.

In 1910 verscheen een publicatie van M a r t i e n s s e n 1), w aarin langs m athem atische weg getracht w erd, het kip-ver-

(2)

164 Trillingverschijnselen in niet-lineaire circuits

schijnsel, dat optrad in niet-lineaire seriekringen, zoals voor het eerst w erd beschreven door B é t h e n o d ²), te verklaren.

N aderhand w erd dit probleem o.a. ook door B i e r r a a n n s ³) en R ü d e n b e r g 4) ter hand genomen.

D oor M a u d u i t 5) w erden in 1926, bij de bestudering van de invloed van een inschakelstoot op een niet-lineaire kring, oscillogrammen verkregen, w aarop subharm onischen van de generator!requentie w aren w aar te nemen. Een uitvoerige be

schrijving over deze onderw erpen is gegeven door R o u e l l e ⁶, 7, ⁸).

U it deze tijd stam t ook de misleidende benaming „ferro- resonantie , w aarm ee de met het kippen verband houdende verschijnselen veelal w orden aangeduid.

F a l l o u 9) ontw ierp een !requentiedeler, gebaseerd op het circuit van M auduit. O ok het kipverschijnsel vond practische toepassing, o.a. in relais voor controle-system en, zoals te vinden is in artikelen van S u i t s ¹⁰) en T h o m s o n ^{1 1} ).

U ater w erden ook in andere niet-lineaire circuits, die voor de electro-techniek van belang zijn, kipverschijnselen en subharmonischen gevonden, b.v. door P e d e r s o n ^{1 2}) in luid- spreker-system en; het probleem is daar van electrom echanische aard. Een zeer uitgebreide literatuur bestaat over de zuiver mechanische analogie van deze verschijnselen, b.v. de gedwon

gen trillingen van niet-lineaire veren, behandeld door d e n H a r t o g 13, 14). M eer algemene niet-lineaire mechanische problem en zijn uitgew erkt door K r y l o v en B o g o l i u b o f f 15). Verschillende iteratieve methoden, die zijn toegepast voor de benaderende oplossingen van de niet-lineaire differentiaal

vergelijkingen, die bij deze problem en een rol spelen, zijn door F r i e d r i c h s en S t o k e r 16) behandeld.

In de literatuur, w aarnaar hierboven w erd verwezen, w ordt vrijwel zonder uitzondering het geval beschouwd van een kleine afwijking van de lineariteit, w aardoor veelal de vergelijkingen tot een bekend type kunnen w orden teruggevoerd. Evenw el kunnen niet alle, aan niet-lineaire system en inhaerente eigen

schappen op een dergelijke wijze w orden verklaard. In het volgende is nu getracht, door uit te gaan van een meer alge

mene opzet van het probleem, ook de, voor zover ons bekend, tot dusverre onbekende eigenschappen van deze system en naar voren te brengen, n.¹. het optreden van m eerdere kipgrenzen en de instabiele en subharmonische trillingstoestanden in de omgeving daarvan. Ofschoon de m athem atische behandeling zich

(3)

G. J. Elias en S. Duinker 165

moeilijk leent tot het maken van numerieke benaderingen, laten de exoerim enten zich toch aan de hand van de berekeningen^A.

bevredigend verklaren.

Tenslotte w ordt een beschrijving gegeven van de experimenten, terw ijl de resultaten, welke hierbij w erden verkregen, aan de hand van oscillogrammen w orden besproken.

Literatuur

1) O . M a r t i e n ss en, Phys. Zeitschr. 11 (1910), p. 448.

2) J. B é t h e n o d , l'Eclairage Eleclr. 53 (1907), p. 289.

3) }. B i e r m a n n s , Arch. f. Electr. 10 (1922), p. 30.

4) R. R l i d e n b e r g , Zeitschr. f. Angew. M ath. u. M ech.

(1923) p. 454.

5) A. M auduit, Rev. Gén. de 1’Electr. 19 (1926) p. 937.

6) E. R o u e l l e , C. R. de 1'Acad. des Sc. 185 (1927) p. 1450.

7) E. R o u e l l e , idem, 188 (1929) p. 1392.

8) E. R o u e l l e , Rev. Gén. de 1’Electr. 27 (1934) pp. 715,

’ 763, 795, 841.

9)

f.

F a l l o u , idem, 19 (1926), p. 987.

10) C. G. S u i t s , Summer Convention A l EE, Cleveland, June 1932.

1 1 ) W . T. T h o m s o n , AI E E Transact. 57 (1938), p. 469.

12) P. O . P e d e r s o n , Journ. Acoust. Soc. Am. ⁶ (1935), p. 227 en 7 (1935), p. 64.

13) J. P. d e n H a r t o g , Journ. Appl. M ech. 3 (1936) A-127.

14) J. P. d e n H a r t o g , M echanical vibrations, M cG raw -H ill, 2nd ed. (1940), Ch. V II, V III.

15) N. K r y l o v en N. B o g o l i u b o f f , Introduction to non linear M echanics, Princeton, 1943.

16) K. O . F r i e d r i c h s en J. J. S t o k e r , Q uart. Appl. M ath.

1 (1943) p. 97.

§ 1-

In een vorige publicatie ]) w erd de mogelijkheid van het op

treden van subharm onische frequenties beschouwd naar aan

leiding van een aldaar opgestelde differentiaalvergelijking. Deze beschrijft het gedrag van een serieschakeling van een wikkeling op een ferrom agnetische kern — welk element dus een niet

9 G. J. Elias T. Ned. Radiogen. X III (1948) p. 37.

(4)

166 Trillingverschijnselen in niet-lineaire circuits

lineaire karakteristiek bezit — een condensator en een te ver

w aarlozen w eerstand, terw ijl het circuit onderw orpen is aan een uitwendige emk.

N a gesteld te hebben:

y = 'F/'P

o ;

a = è co C!i

⁰ ;

p

=

co/co

⁰

; x = t ^ i0fC F

⁰

,

w erd voor de magnetische flux

W

de volgende vergelijking ver

kregen, w aarbij het niet lineaire verband tussen

lF

en

i

tot uiting w ordt gebracht door de term

v y \

I* ^ ^

+ ƒ +

vy — a

cos

(px

⁴-⁹⁹)

d x

2

H ierin zijn

lF

⁰ en

i

⁰ constanten, w aarvan het quotiënt

F

⁰

/i

⁰ bepaald w ordt door de helling van de raaklijn aan de

lF — i

kromme in de oorsprong, welk quotiënt als coëfficiënt van zelfïnductie

L

kan w orden gedefïniëerd. V erder is

oP0LC — \ f

w aardoor

co

⁰ gedefïniëerd is. Tenslotte is

co

de generatorfrequentie,

è

de am plitudo van de uitwendige emk, terw ijl

v

een kleine grootheid w ordt verondersteld.

Evenals vroeger kunnen we invoeren

zv —

—— ,

dx

hetgeen geeft:

w dw dy

^4-

y

4-

vy — a

² cos

{px

⁴- ⁹⁹) .

N a differentiatie naar

y

kan de variabele

x

w orden geëlimi

neerd, w aardoor verkregen w ordt

,2 / ' , 3\2 , ² /

r/

¹^'2 ^2,2 ² ^,2 /0\

p (w w

⁴

- y

4-

vy

) 4-

w (zvw

⁴

- w

⁴- ^{1 4- 3}

vy ) = a p • \A)

W e stellen nu

w = a o + a^y + v

^/O

w aarin

z

een functie is van

y.

Bij invoering hiervan in (2) w ordt verkregen bij behoud van term en met de eerste macht van

v

alleen:

(p

+ 4-

fl-P) y

4- #⁰⁽¹ 4-

ciP)

4- ²

v

⁽¹ 4-

ciP) P y\y

^{+ -}³ ²

4-

(a

⁰ ⁴-

a^y

) ---h

Z

^{r f} ³

y

4-

v z

( I ⁴-

a2) = a p

²^,²

Indien

v —

O — het lineaire geval — w ordt hieraan voldaan d o o r:

(5)

G. J. Elias en S. Duinker 167

2 , ²

P 4- — O

a o

=

a p

(i 4-

a2)

Is v « I, dan kan gesteld w orden:

2 ,2

P

+ ^2 — £ * = /? y + f «o =

a p

(i + o

Bij invoering hiervan in bovenstaande vergelijking en substi

tutie van

a2 —

—

p

² in de met ^e resp.

v

evenredige term en w ordt hieraan voldaan d o o r:

ß =

^{4 /} ⁶

v a,

i - ⁹/

9P -

i

C = o ,

zodat

en ve rd er

,2 4

4 P y

i - ⁹/

2 4

^ = «o + «'aj' + «4-k ’ (3)

w aarin

a.

-

p

+ ^é "4 = 4 / *i - 9 /

O p deze wijze w ordt een oplossing van (1) verkregen, die zich aansluit bij het lineaire geval. D oor substitutie van in bovenstaande uitdrukkingen voor

aa

en

a

a w ordt verkregen:

« o 1

- P

+ 6

v a

⁰ 9 / - i

2 , 2

=

a p

. (4)

D ifferentatie naar

a

geelt:

dan l da

I -

p

4-2

9 P~ -

6 ^vö^I0 I - / + ---- --- 1 - 2 ² ^{1 8} r rt'o .

ap

.,-

9 P ~

ⁱ

2 / ^{1 8} r #0 \

da

⁰

.

..

tfo = (/ - 0 (⁹/ - o

18

V

(6)

168 Trillingverschijnselen in niet-lineaire circuits

en verd er

p

- I

£ — 1^_______ 1 + = f O - / ) ,

:odat

; ( / - 0 ( 9 / - i ) 9 « V i8 r 4 ( i - / ) ”

De zoeven bedoelde w aarde van

a

w ordt dus gegeven door

*2/ * = FT ( / - O ' ( 9 / - O . (5>

w aarbij moet w orden opgem erkt, dat w eerstand en hysteresis grote invloed op deze grensw aarde hebben. Deze w aarde voor

(

6

⁾

²

⁰

—

verkregen worden, die physische betekenis hebben; van de andere tw ee is er, zoals vroeger vermeld w erd 1), één, die labiel is, terw ijl de vierde geen physische betekenis heeft, het

geen kan worden ingezien door

v

= O te stellen. V an de tw ee bruikbare oplossingen sluit de kleinste zich aan het lineaire geval aan en w ordt nul voor

a

= O , terw ijl de andere, de zgn.

„grote” oplossing ook voor

a — O

eindig is.

Nu zal bij de gebezigde benadering, w aarbij alleen gebruik gem aakt is van (3) zonder verdere machten van

y 2,

als gevolg hiervan, de periode vooral bij de „grote” oplossing afwijken van die van de emk, terw ijl er toch zoals we verderop zullen zien, een periodieke oplossing moet bestaan met een periode overeenkomende met die van de emk. Teneinde hieraan tegemoet te komen kunnen we wederom (3) bezigen met de uitdrukkingen (7) voor de coëfficiënten

a

⁰ en

a4,

terw ijl

a

² niet uit (6) w ordt bepaald, doch met behulp van de voorw aarde voor de periodi

citeit.

Zodoende w ordt verkregen :

2 /

dy

^{\ 2}

a f

2

v p

² ⁴ ⁹

a

² 4 w = h r

\d x)

^{( 1 4} #2) + --- ^ ---² ^{1 4}

p

^{4 1 0}

a

²

y >

w aaruit v o lg t:

) Zie G. J. Elias, loc. cit. p. 43.

(8)

170 Trillingverschijnselen in nietdineaire circuits

x -f C —

d y

2 ,2

(ï + a 2)

a p

2

v p

+ ⁹

a

+ a2y

---7₂ i +

p

+ i ^

oa.

²

y

⁴

Stellen we

y — q t

, dan w ordt, daar:

2 . 2

a„ =

a p

(ï -h

a2y

x + C = -4 ^{= i -}

d t

I + ²^.+ o ² *7

< f f - -

2 ƒ (i + ƒ + IOtf2)^{( 1}IJ 9 , + <*»)* ( / + 9 a») 49 .7 ^/4 w aarvoor geschreven kan w orden :

C = 4 = <71

i ao j ~ f)

(i -> è V ) w aarin :

r (i + O 2 ( / + 9 a 2) 4

2 <?2/>2 (i + f -r IO tf2) 7

terw ijl voor ^<7 de vergelijking geldt:

7 -

a2 i + p + io a.

_{2 ƒ>}²^.² _{I -f}

p

+ IO <7,

* / + 9 ^ 2 r ( i + f l a) ( / + 9 « a) De grondperiode bedraagt:

(8)

(9)

X = 4

q ^{d t}

^{2 n}

ia0J \

( i -

f)

( i -

k

²

p

⁽

¹⁰

⁾

aangezien ²

n\p

de periode van de emk is. U it (10) kan nu de nog onbekende grootheid ^<?2 en daarm ee

a

⁰ w orden bepaald, nadat

q

uit (9) is berekend.

V oor

ci

-> o w ordt uit (9) één w ortel

q

verkregen, die nul w ordt voor

a —

o , w aarvoor geldt

2 , ²

2

l a p

q =

_#2

_{0 4-} _aP) ^a. _a.

(9)

D aar voor

a —

O ook

k*

= O , volgt in dit geval

a

²

G. J. Elias en S. Duinker 171

= —

p*

, dus,

2 .2

ao

= (I - / )^P _{2v 2}

zoals te verw achten was, aangezien we nu immers het lineaire geval hebben teruggekregen.

D e andere w ortel

q

voor

a —

O w ordt:

2 a2 I + + IO a2

v

ƒ * 2 + 9

a2

Aangezien thans

q

imaginair w ordt

(a

² < o), moeten we hier de imaginaire periode van de functie van Jacobi bezigen, n.1.

M et behulp van de bekende uitdrukkingen hiervoor ) vinden we 4 ^q

' In

^q

. K (

^q

)

-

71 P

indien

Q

= (i + <?2)o 2

ö a p v iP-

§ 3 sprake was. Teneinde de mogelijkheid hiervan in te zien, stellen we in (1)

y

=

v~l z u,

w aardoor verkregen w o rdt:

') Zie hiervoor o.a. W hittaker & W atson, M odern Analysis, 4e druk, 1946, hoofdst. XXi en XXII.

2) Voor de beschouwingen in deze paragraaf zijn wij dank verschuldigd aan Prof. Dr. N. G. de Bruyn.

(10)

172 Trillingverschijnselen in nietdineaire circuits

— +

u

+

u

=

e cos (p x

4-

cp)

, (12)

d x

w aarin

e = a v ^ .

Volgens een bekende stelling van P o i n c a r é 1) bestaat er een oplossing van deze vergelijking, die in de om

geving van

e = O

analytisch in

e

is. Aangetoond moet worden, dat deze oplossing periodiek kan zijn.

a*

^

B2

L aat de periode voor

e = O

gegeven zijn door

/*

71 X —

4

m d

_<P ²

ie n

)

2 CL ²

I -+

a

H---cos ₂

cp p

⁽¹³⁾ w aarin

a

de am plitudo is voor ^e = O . V oor (12) met e = O kan n.1. geschreven worden, als

w

=

du dx

dw

³

zv

---

du V u + u —

o ,

of

zv

²

= a o ^u

²^---

^U

^zodat

^dx ^du

a o

—

u

2 ---

u

2

T) H. Poincaré, Acta math. 13 (1890), p. 9.

P. Painlevé, Ene. d. M ath. W iss. II. Bd., 1. 1, § 4 a, p. 205.

(11)

G. J. Elias en S. Duinker 173

M et

u

= /?

t

w ordt verkregen

dx — - = P dt

1a0

V(i

f ) ’

⁽¹⁴⁾

als ^{f f} = V I 4- 2 <?0 - I , k 2 = - ft* / 2 a0 .

a⁴

De amplitudo w ordt verkregen uit

a0 — ü

---= O ,

dus

u —

y I -f ² — I , zodat

ft = ü .

O ok is ²

a0 —

(i + ^/?2)2 —

— i =

f?

⁽² H- /f) . Anderzijds kan voor (13) geschreven worden, als sin

op — t

,

X dt

/( i - O ( i - k:‘ f ) w aarinin

k 2

= ₂ + a^a W e zien onmiddellijk, dat beide uitdrukkingen voor

k

² met elkaar overeenstemmen, als

a —

/?, derhalve is a de am plitude.

D an volgt ook uit (14)

X =

⁴

m a dt 2 n u

- 0 ( 1

- k 't ') P

⁽¹⁵⁾ w aarin

Jz —

— a^4/2 , terw ijl a² = ] I

V 2 a0 — \ .

De am plitudo

a

geldt nu voor

e =

O . Zij voor

e

^ o de op

lossing van (12)

y — G

(

b

, e, ⁹⁹, ;r) , w aarin

b

de w aarde van zij voor

x = O ,

welke w aarde we als een maximum aannemen.

D an geldt dus

G(b,t,<p, o) = t> ; (— \

\d X 1 Ef q>t o

=

⁰

.

B estaat er een periode

X,

dan moet gelden:

G (b

,

e,

^99,

X ) = b dG

d x = O .

b, e, cp, X

Aangezien

X

een constante grootheid is, kan gesteld worden

G (b, e, (p, X ) = f

(.

b, e

, ^{99) ,}

dG d x = g(b>£><p)

•

b, e, (f, X

(12)

174 Trillingverschijnselen in nietdineaire circuits

D an is

f (b,

^e^,

cp)

—

b

en

g(pt £, cp)

— O. U it de laatste verge

lijking volgt

b — P

⁽^e^,

cp)

, w aarop de eerste vergelijking geeft

f { p

(«>

<p

)>«. ⁹

}

= ^p («> ⁹

)

- zodat

cp

een functie van

e

moet zijn.

V oorts is ƒ

(a,

o.

cp)

=

n

en ^ o, = o , zodat =

P cp)

De vergelijking

b

= ƒ> (⁶, ⁹⁹) geeft nu, aangezien de oplossing

in de omgeving van ^e

— O

analytisch is,

b = P

(o,

cp)

+ ^e

(—

\

dP d P d cp\ Ö£

+

dep

*

d

^e

Je=o

⁺ du:

b a

+ ^e _----+

dP

d

^e

dP dep'

d cp d£

, +

Hierm ee is dus het bestaan van een periodieke oplossing aangetoond met am plitudo

b,

die in het algemeen zal verschillen van de am plitudo voor ^e

=

o.

In (13) resp. (15) is ¹¹ de rangorde der subharm onischen,

m

die van de bovenharm onischen van de frequentie der emk.

§ 5-

Teneinde nu een oplossing van (12) te verkrijgen, gaan we op soortgelijke wijze te w erk als in het voorgaande geval, doch be

schouwen nu niet

p~

-b <?2 als een kleine grootheid, doch I

+ a2 .

U it de verg. (12) verkrijgen we thans na eliminatie van x, als w = — ,

du

dx

p ( w w + u + u ) + zv(ww + ^{1 + 3} (16)

H ierin stellen we

zv2 — a0

-b <?2

u*

4-

z

, w aarin

z

een functie van

7C

is. O p die wijze verkregen:

(p2

+ (I +

a X U + a

Q(i +

a X

+ ^{2 ( 1} +

P

^

u

+

- \

+•

+ («o + u ) (— + ³

u

_{+ (}aQ⁺a2 u⁺

z)

[---b

z

³ u \^-b / /

+ p I U -h .6<7' \ 2 +

z

⁽¹ -b <?2)

+

²

z (\

-b <?2) (---b ³

u

) =

a p

² . ²‘ v . W e stellen hierin

aQ

⁽¹ b <?2) =

a p~ v

, w aaruit voor I -b

n2

= O alleen een eindige w aarde van

a0

resulteert, indien

a —

O. W o rd t

(13)

G. J. Elias en S. Duinker 175

nu I -f- a2 als een kleine grootheid beschouwd, dan volgt uit_o bovenstaande vergelijking, dat u + z ^/2 van de orde van I -I- a2 is, zodat gesteld kan w orden

z^{= -} ²⁺ ² ⁽¹ ⁺a2)^£' ^{of wel} z — —^?;4/2⁺ ^{2 (1} 4- #2) £ , w aarin £ een funtie van u zal zijn. Bij invoering hiervan w ordt verkregen na deling door ⁽¹ 4- :

(p 1

+

aP) ii

t 2 ( / « r + (tf0 + «2) +2 V C.w'l

a0 + a2u

---h ² ( i + 2) £ r + / r + ^{2 ( 1} + o £ - - + 4- ^{2 1 2 ( 1}l ⁴- ^2) £ ---² '4 = o .

H ieraan zal voldaan kunnen worden door

£ = Co + ( 1 + <?2) £ 1 + ( 1 + ^ 2) £ 2 +

w aarbij voor £0 g eld t:

(p2 -

I

⁾

u +

²^{

P~ uCo + (p0

^\ ^u^-^{— _}²

u) Co) -t[a0 —

^u ^C _{o +}²

2 5. 2

+ P Co

^2/ ^u^£⁴^>⁰ ⁼ ⁰ ^.

O p deze wijze kan -S’ in de omgeving van

a2 = — 1

als een analytische functie van 14

-

w orden ontwikkeld. N aarm ate a p kleiner is, zal

a2

minder van — I verschillen en zal de reeks met minder term en kunnen w orden benaderd.

V oor a p 2 v⁼ ^O (v^{^}^o) kan gesteld w orden

w 2 — a0 — u — uA!

² . (17) D eze uitdrukking kan ook onmiddellijk uit (16) w orden ver

kregen. V oor

a p 2 v

= O w ordt aan deze vergelijking voldaan door ww 4- u 4- u — O , dus w2 = a0 — u — u4/².

V oor

a p 2 v

-zé o w ordt aan (16) voldaan door 4-

u

⁴-

4- u — a W ² = g , dus w2 = aQ — u2 —\ ^ua + 2 ^{e u} . (18)

§ 6 *

Ie r oplossing van (1) zullen we de beide hierboven uiteen

gezette methoden kunnen bezigen.

(14)

176 Trillingverschijnselen in niet-lineaire circuits

V oor een emk nul geldt voor de periode verg. (13) resp. (15).

Al naar gelang van de w aarden van

m

en

n

zijn er verschil

lende mogelijkheden, w aarbij telkens de w aarde van de am pli

tudo (en mede van

a

0) een andere zal zijn. M et

m —

^I en = ^I volgt uit (13) de w aarde van de am plitudo (en ook van

a0),

afhankelijk van

p >*

terw ijl telkens + ^I

= o .

E chter is ook een oplossing van het in § 1 behandelde type mogelijk, w aarbij +

p —*

o , terw ijl verder

y — a/(l — p~)

en

a0 = a p

2/([ —

p 2)2

. Telkens w ordt voor

m

=

n

p

zal zulks even

eens het geval zijn, zelfs ook voor

n m

.

Zij de integraal in (13) gelijk aan

n fjcj2

, dan volgt uit (13)

rn ju

=

n/p

, (19)

w aarin voor reëele am plitudo steeds ^I . De periode bedraagt nu

2 ui m ju

; dit zal de periode van

y

zijn. Hogere harmonischen hiervan hebben de periode 2

n m ja/m'

§

7.

Indien de emk niet nul is, kunnen de

a0 — a

krommen ver

kregen w orden met behulp van één der m ethoden van § 5. Bij kleinere w aarden van

a p 2 v

kan als een eerste benadering (17)

(15)

G. J. Elias en S. Duinker 177

w orden gebezigd. Bij invoering hiervan in (16) kunnen de groot

heden

aQ, ci

² en

a4

w orden berekend uit het nul stellen van de coëfficiënten van

y°, y 2

en

y 4,

zoals reeds in § 1 is uiteengezet.

D aarbij w ordt I

a2

als een kleine grootheid beschouwd. O p die wijze w ordt de bovenste tak van de afgebeelde kromme verkregen. Om het verdere verloop van de kromme voor grotere w aarden van ^a

p 2

^v te verkrijgen is echter zeer bezw aarlijk.

O ok kunnen we gebruik maken van (18). M et behulp hier

van w ordt bij kleine w aarde van

£

verkregen, na (18) tot een biquadratische gedaante herleid te hebben1).

I + ^£²

0 + 2

a

0) ] i + y i + ²

ae

w aarin

)/ i - / i + 2

a0

JI I + y I + ² ^'

aQ

2

£

I —( 1 + 2 O ^3/2 V erder is

ƒ> • V i +

²

^{a0.t l}

U — ---

I ^{+ e f} 2^{tt (}I + 2 ^a0) w aarin :

**ƒ* =** ⁱ

^{I + 2}_{1 + 2}

^{a0 -} _a0

^{1 ƒ}_I ( l+ 2 « 0)3/2J

²

^e ^ï

^{x + c}

/ , als

A ⁴

m ^dt

J |/(i - O (i - fi f )

M et behulp van deze uitdrukkingen w ordt het verloop der kromme in het

(aQ, a2)-v

lak verkregen in de omgeving van het punt

m — n

voor

a = O .

D it verloop wijkt enigszins af van dat in de figuur op blz. 172 in het voorgaande, hetgeen het gevolg is van het feit, dat bij deze laatste de periode zich langs

‘) Zie W hittaker & W atson, loc. cit. pp. 513, 514.

(16)

178 Trillingverschijnselen in nietdineaire circuits

de kromme wijzigt tengevolge van de gebezigde benadering (zie § 3), terw ijl hier de periode constant blijft, zolang m en n

dezelfde w a a r d e behouden.

Bij toenemende w a a r d e van a~ zal de kromme m — 71 stijgen, doch bij een zekere w a a r d e van a ve ra n d e rt het verloop. H e t blijkt n.1., d at vo o r zeer grote w a a r d e van de emk (w aarb ij e ook niet langer klein is, doch groot), de w a a r d e van a0^{im agi}

nair w ordt. E r moeten derhalve een oneven a a n ta l punten zijn, w a a r de kromme om keert en de raaklijn v e rtica a l w o rd t. Bij toenemende w a a r d e van a moet dus de toestand overspringen op een andere kromme, b.v. m = 3 ; n = 1 of m — 5 ; n = 3, indien op deze kromme een reëele w a a r d e van a0 bestaat. o ? la a t s t genoemde krommen zal de toestand minder stabiel zijn (zie § 6).

E c h te r is op deze la a tste krommen een reëele w a a r d e van a0

ook niet o veral mogelijk. Bij verd ere toeneming van a zal d e r

halve de toestand w e e r op een andere kromme moeten o v e r

springen. G e e ft de kromme m = n vo o r die w a a r d e van a 2^een

reëele w a a r d e van aQf dan zal het mogelijk zijn w e e r op die kromme terug te springen, w a a r de toestand stabiel is. Bij verd ere verhoging van a zal de kromme m — n w e e r verlaten moeten w o rd en en treden minder stabiele toestanden op. O p deze wijze zullen gebieden van grotere en geringere stabiliteit elk a a r afw isselen , zoals in d erd aad w o r d t w aargenom en. D a a r bij kunnen in b ep aald e intervallen, w a n n eer n^> I, subharm o- nischen optreden. H e t telkens overspringen van de ene w a a r d e van m op een andere, k an als „kip p en ” w o rd en aangem erkt.

B o v e n sta a n d e beschouw ingen zijn met name van betekenis, indien p w einig g ro ter dan de eenheid is. V o o r p 1, doch 9 f - i > o , is er slechts één oplossing van (1), indien de keten w eerstan d slo o s is en de h y steresis w o r d t v e rw a a rlo o sd , a a n g e zien dan niet meer vo ld aan kan w o rd en aan (5) (bij ketens

met w e e rsta n d is p <C 1 ook mogelijk). E r b e s ta a t dan derhalve geen „g ro te ” oplossing, zodat in verb an d met het voorgaan de ook geen subharm onischen mogelijk zijn.

Is p w einig g ro ter dan I, b.v. < 2 , dan volgt uit (19^{), d at}

vo o r n — 3 (derde subharm onische) minstens 771 — 3 moet zijn, hetgeen zoals w e zagen, pas mogelijk is na tw ee- of meermalen

„k ip p en ” , d.w.z. bij grote w a a r d e van de emk.

Is daaren tegen / » I , dan k an b.v. de 5e of 7e harm oni

sche optreden bij 771 — 71, dus op de kromme, die na éénm aal kippen b ereik t w o r d t ; de hiertoe nodige emk is echter groot op grond van (5). Bij verlagin g van de emk blijven w e vóór

(17)

G. J. Elias en S. Duinker 179

hei terugkippen op de kromme

vi — n

en kunnen de subharmonischen nog bij lage w aarden van de emk w orden waargenom en.

Zoals we verderop in § 15 nog zullen zien, is een en ander in hoofdzaak in overeenstemming met het experiment.

In vele gevallen w ordt bij / » I naast een zekere subharmonische, de derde bovenharmonische van die subharm onische waargenom en, b.v. naast de 15e of 21e subharmonische, de 5e resp. 7e subharmonische. D an kan bij

n —

¹⁵ resp. 21

m —

5 resp. 7 zijn. U it (19) volgt dan, dat de am plitudo van de 5e resp. 7e subharmonische veel groter is dan die van de 15e resp. 21e. O ok dit stem t met het experim ent overeen.

Bij grote w aarde van

p

zal, zoals uit (5) blijkt, de emk voor het eerste kippen, dus om op de kromme

fn

=

n

= I te komen, groot zijn, zodat de subharm onischen bij continue opvoering van de emk niet gemakkelijk te verkrijgen zullen zijn. Ze zullen beter verkregen w orden door plotselinge impulsen, b.v. ver

kregen door het bij continue verlaging van de emk, snel passeren van de „knie" van de

XF

—

i

kromme, of bij het plotseling in

schakelen van een zekere emk.

§ 8.

In dit verband kan nog opgem erkt worden, dat er in dit niet-lineaire geval geen sprake is van resonantie in de gewone zin. Nemen we aan, dat de emk constant is, doch ^cd varieert.

W e zullen het verloop van ^a0 bij constante emk doch variabele w aarde van ^cd niet in bijzonderheden uiteenzetten, doch volstaan met het navolgende. V oor ^cd⁼ co0^, dus p —^{I ,} w ordt a0 gegeven door de in § 2 vermelde w aarde. Bij toename van ^cd neemt

a0

toe, totd at bij een zekere w aarde van ^cd tw ee physisch moge

lijke w aarden van a0 optreden (de derde is labiel). D e grootste w aarde van

aof

de voortzetting van het zoeven vermelde verloop vanaf ^{p —} ¹ , blijft toenemen, to td at bij een zekere w aarde van

cd deze tak ombuigt en a0 terugvalt op de kleinste w aarde, die dan bij verdere toename van ^cd het verloop van ^a0 weergeeft.

E r treedt op de bovenste tak een flauw maximum van a0 op, kort vóór het terugvallen op de onderste tak, doch het gehele verloop wijkt sterk af van de resonantiekrom m e in het lineaire geval.

§ 9^.

In § 1 en de verdere beschouwingen w erd het niet-lineaire

(18)

180 Trillingverschijnselen in nietdineaire circuits

verband tussen

lF

en

i

voorgesteld door slechts tw ee term en van een m achtreeks. D it zal hoogstens voldoende zijn voor be

trekkelijk lage w aarden van de magnetische inductie in het magnetisch circuit.

M eer algemeen kan in plaats van (1) worden gesteld

d y

—

¹⁺^{F (y)} =

a

cos ( / X 4- cp) ,

d x (

21

)

w aarin onder

F (y)

een éénw aardige functie w ordt verstaan.

O p een dergelijke wijze als in § 4, kan dan w orden aangetoond, dat aan (21) een periodieke oplossing voldoet, zolang

a

niet te groot is. W e kunnen dan w eer stellen — =

dx

d )'

w

a p 1,

(22) w aaraan voldaan w ordt door

dus

vu

hetgeen geeft

x y c —

w w + F (y) = a

,

=

a0

— 2

J F (y) d y

+ 2

a y

₍₂₃₎ ]/

a0 -

²

J F (y) d y + 2 a y dy

Stellen we

F (y) = y + a3y '

+

a5y

+ ...+

a2U + 1y 2/l + ]

+ ____, w aarbij de reeks zover kan w orden voortgezet als voor de voorstelling van de

B-H

kromme gew enst is. D an w ordt

Bij invoering van

y

=

qt

en

ci v ^

3 ₁

.

• • • • I "

dy ci v2 u2n + iy n +

i ^ +

2 a = O

w ordt verkregen

- f ___4-2

ay

w aarin de grootheden

k \, k \ ,

... /t2„ +...< o zijn, aan

gezien

a3, as .

, ö'2„ + I , .. O ; althans voor de

W

kromme.

(19)

G. J. Elias en S. Duinker V oorts w o rd t:

181

(x + t) , , k2 n + i y •

V oor

k5

, ... ,

k<

²

n

+¹ , . • • = O reduceert de functie zich tot die van Jacobi.

D e periode is gegeven door

Stellen we

dt

( I

k-1 n

+ X

t )

• • • • = 2 71 fl ,

dan kom t er evenals vroeger

m /ut

= 7/// (19). Steeds zal zijn

fx

I . Evenals in § 7 w orden thans in het

a0 -

tf2-vlak krommen verkregen, w aarop telkens ^ui en ⁿ zekere w aarden hebben.

E chter zijn deze krommen niet meer te berekenen, aangezien we te maken hebben met hyper-elliptische integralen.

De hier beschreven oplossingen zijn aan te merken als ,,grote oplossingen. E chter zullen er in het meer algemene geval ook oplossingen zijn, die nul worden voor

a — o y

dus van het karak

ter van de in § 1 behandelde. H et levert geen moeilijkheden op de vergelijking (1) te dien einde met meer machten van

y

voort te zetten. Veel m achten zijn hiertoe niet nodig, aangezien het de „kleine” oplossingen betreft.

§ io.

O ok kan in (21) voor

F(y)

w orden ingevoerd sinh

y,

w aar

door verkregen w ordt, als

a = o ,

x + C —

dy

|

a0 —

2 cosh

y

M et

t —

sin

jy j2

w ordt dit :

x + C —

dt

j f a

0 1 2

J

l(i - (i -

k ' f )

als

k2 =

— 4/(^ä0 — ²) .

(20)

182 Trillingverschijnselen in niet-lineaire circuits

V oor een reëele periode zal zijn :

iik

dt

(i - 7 )

~ (T -~ ¥7)

Stelle n we w eer :

2

71 n

P

f

dan verkrijgt men w eer betrekking (19) :

m ju

=

nip ,

w aarin

ju

< i .

W o rd t

a

⁰² , dan is

/u

->I , terw ijl voor — ² ->• oo , |/£| -> o verder

ju

—> —₇₁²

In

⁴

(aQ -

²)

\ «o - 2

D erhalve is o <C /i <C I , zodat er dus bij

m — n

en

p

I steeds een w aarde van

a0

te vinden zal zijn, die aan (19) voldoet.

Deze oplossing zal aan te merken zijn als een ,,grote” oplossing.

Bij andere w aarden van

m

en

n

behoort voor zover mogelijk een andere w aarde van

ciQ

. D it alles geldt voor

ct

= o .

Is

aP>

o , dan zullen krommen in het

a0

— <V-vlak verkregen worden, w aarbij evenals in het vorige geval, de mogelijkheid van ,,kippen zal bestaan, terw ijl er eveneens subharmonischen kunnen optreden. Echter kan de desbetreffende integraal

dy

\a0 —

² cosh

y

| ²

a y

niet voor willekeurige w aarde van

a

w orden berekend.

De ,,kleine oplossing, die voor

a —

O de amplitudo nul heeft, kan worden verkregen door cosh

y

in een reeks te ontwikkelen met medeneming van slechts enkele term en en dan te w erk gaan, zoals in § ¹ is uiteengezet.

§ 1 1

W erd in het voorgaande het optreden van kipverschijnselen en subharm onische trillingstoestanden in een aan een periodieke storing onderw orpen niet-lineair circuit, aannemelijk gem aakt, thans zal een beschrijving w orden gegeven van de experim enten en de resultaten, die daarbij aan de dag traden.

Aangezien het onderzoek gericht w as op het verkrijgen van

(21)

G. J. Elias en S. Duinker 183

inzicht in de zich afspelende verschijnselen in deze niet-lineaire trillm gskringen, w erd in eerste instantie van quantitatieve me

tingen afgezien en zullen onze mededelingen van zuiver qualitatieve aard blijven. H et zal daarbij blijken, dat in hoofdzaak de in het voorgaande langs theoretische weg gevonden conclu

sies, door de experim enten w orden bevestigd.

De metingen w erden verricht aan een circuit, bestaande uit een serieschakeling van een, als lineair te beschouwen, capaciteit en een op 1 errom agnetische kern gewikkelde en derhalve m et-hneair werkende smoorspoel. Deze kring w as via een regeltransfor- m ator aangesloten op het 50 periodennet, w aardoor de spanning op het circuit continu vanai nul kon w orden gevarieerd. De flux

lF

van de spoel kon w orden waargenom en op het scherm van een kathodestraaloscillograaf, na integratie van de spoel- spanning met behulp van een /vC-integreercircuit. Teneinde de vorm van de stroomkromme te kunnen bestuderen w erd nog_• een kleine w eerstand

R

opgenomen, w aarover een spanning w erd verkregen evenredig met de stroom sterkte ²

.

Stroom en flux w erden zowel ieder afzonderlijk, als onderling gecoördineerd waargenom en, in welk laatste geval de met de hysteresislus ver

gelijkbare !P —

i

kromme ontstond.

§ 1 2

H et is gebleken, dat het al oi m et optreden van -subharmonischen van de generatorfrequentie in de flux en stroom, in sterke mate afhangt van de aard van het kernm etaal. H et gun

stigst voor het te voorschijn roepen van de subharm onischen blijkt te zijn een m ateriaal, w aarvan het

lF —

² verband, althans bij gedeelten in sterke mate niet-lineair is. D it is o.a. het geval bij /^-metaal, dat aanvankelijk een betrekkelijk lineair verloop heeft w aarna een vrij scherpe knie volgt, die overgaat in een min of meer lineair verzadigingsgebied. H et /^-metaal heeft bo

vendien een, in vergelijking met gewone qualiteiten transform a- torblik, veel geringere hysteresis.

Voor de realisatie van het kip verschijnsel blijkt een ve el ge

ringere niet-lineariteit te zijn vereist, zodat daarvoor kan w or

den volstaan met gewoon blik.

Aangezien het van belang bleek, het optreden van subhar

monischen in verband met de kipverschijnselen te onderzoeken (zie § 7), w erden voor onze waarnem ingen voornamelijk smoor- spoelen met kernen van /{-metaal gebruikt.

(22)

184 Trillingverschijnselen in niet-lineaire circuits

H et is verder V3.ii belang, dat de w eerst and in het circuit voldoende laag w ordt gehouden. K iest men de w aarde van

R

te groot, dan heelt dit tot gevolg, dat in de eerste plaats het optreden van subharm onischen w ordt onderdrukt, terw ijl bij verdere vergroting tevens de kipverschijnselen gaan verdwijnen.

V oorts moet w orden genoemd, de grote gevoeligheid van eventueel optredende subharmonischen w at hun stabiliteit betreft, voor kleine variaties in de netfrequentie. Bij de proefnemingen w erd gebruik gem aakt van het lichtnet, w aarvan de frequentie evenwel voor deze metingen te sterk varieert. Bij herhaling van de proeven met een spanningsgenerator, w aarvan de fre

quentie in sterke mate constant w erd gehouden, bleken ook voor die w aarden van de am plitudo van de opgedrukte emk, w aarbij aanvankelijk niet-periodieke trillingstoestanden w erden waargenomen, min of meer stabiele subharm onischen te kunnen bestaan.

W o rd t de emk plotseling met een bepaalde am plitudo op het circuit aangesloten, dan blijken zowel het kipverschijnsel, als de eventueel optredende gedwongen periodieke trillingen met sub- of grondharm onische frequentie, afhankelijk te zijn van de fase der emk op het moment van inschakelen. O ver deze af

hankelijkheid w erd ook reeds in de vorige publicatie het een en ander medegedeeld. In § 4 w erd afgeleid bij het existentie- bewijs van periodieke oplossingen, dat deze afhankelijkheid tot uitdrukking brengt, dat de lase op het moment van inschakelen zek ere betrekkingen in verband met de systeem grootheden en de beginvoorw aarden moet vervullen, teneinde aan de eis van periodiciteit te kunnen voldoen. W egens het ontbreken van de apparatuur, w aarm ee men de fase op het moment van inscha

kelen in de hand heeft, is deze afhankelijkheid nog niet verder onderzocht. H etgeen in het volgende zal w orden beschreven, heeft dan ook uitsluitend betrekking op dié inrichting van de proef, w aarbij de am plitudo van de emk continu w ordt gevari

eerd.

§ 13

Als m aatgevende grootheid voor het al of niet optreden van de onderhavige verschijnselen, zal formeel w orden ingevoerd de grootheid

p — aojco0

. H ierin stelt

co

de generatorfrequentie voor,

terw ijl

co0 = (LC)

X/~ , w aarin

L

w ordt gedefinieerd als in § 1;

L

correspondeert dus met de w aarde van de zelfinductie in

(23)

G. J. Elias en S. Duinker 185

het lineaire geval. D an is immers

dW ^

^.

L

constant. In het niet-Iineaire geval heelt ----

d i

⁷ voor alle buiten de oorsprong ge-

legen punten van de karakteristiek een w aarde kleiner dan

L.

Gevonden w erd, dat

p

een w aarde moet hebben, giotei dan een in de buurt van de eenheid gelegen getal, willen kipverschijnselen en subharm onischen kunnen optreden (zie ook (5)).

De aard van de optredende verschijnselen hangt in sterke mate af van het feit hoeveel groter men

p

kiest dan de zoeven ge

noemde grensw aarde. W e zullen dan ook in het volgende trach

ten het qualitatief gedrag der verschijnselen in te delen en te bespreken, al naar gelang de grootte van

p.

§ 14.

G aat men uit van een w aarde van p gelegen tussen de grens

w aarde en een w aarde van ongeveer 3, dan neemt men bij con

tinu opregelen van de amplitudo der sinusvormige emk w aar, dat bij een bepaalde w aarde van de amplitudo, de nog nage

noeg enkelvoudig harmonische trillingstoestand van de flux, plotseling overgaat in een toestand, die aanzienlijk vcr\ ormd is.

Deze overgang gaat met een fasesprong gepaard en is het w elbe

kende „kip '-verschijnsel. M en kan zich hiervan een duidelijke indruk vormen aan de hand van de oscillogrammen ¹ en

2,

^die

één periode van de flux te zien geven, vóór resp. na het kippen.

D at dit kippen inderdaad een zeer abrupt karakter heelt, moge blijken uit het feit, dat de met elk van de toestanden cones- ponderende am plitudines van de emk, slechts ca. l ^°/0 van elkaar verschilden.

Indien men bij de gekipte toestand voortgaat, de am plitudo van de emk te verhogen, dan ziet men de vervorming zeer snel toenemen. De toestand blijft echter stabiel en heelt de generatorfrequentie tot grondfrequentie. Tenslotte w ordt een toe

stand bereikt, die niet meer stabiel is te noemen, aangezien hiervan geen stilstaand beeld op de oscillograal is te krijgen.

Deze instabiele trillingstoestanden kenm erken zich door het voortdurende sprongsgewijs wisselen van de grondfrequentie, welke daarbij w aarden aanneem t van de generatorfrequentie of de een of andere subharmonische daarvan. Tegelijkertijd treden voortdurende fasesprongen op. V an een bepaalde trillingstoe

stand is hier dus geen sprake.

(24)

186 Trillingverschijnselen in nietdineaire circuits

In deze niet-stabiele gebieden zijn min of meer stabiele perio

dieke tri llings toe standen mogelijk, w aarbij dan evenwel de grondfrequentie steeds een subharmonische is van de generatorfrequentie. Deze toestanden zijn reproduceerbaar. In de oscillogrammen 3 en 4 ziet men enkele illustraties van deze gevallen.

M en ziet hierop een periode van de flux resp. stroom met een derde subharmonische grondfrequentie. Oscillogram 5 geeft een periode van de flux met een vijfde subharmonische. Deze krom men zijn aanzienlijk vervormd.

khj nog verder opregelen van de emk begeeft men zich w eer in een gebied, w aarin een stabiele trilling met 50 Hz als grondfrequentie optreedt. D it gebied w ordt w eer gevolgd door een instabiel gebied van hetzelfde karakter als hiervoor w erd ge

schetst.

M en heeft dus te maken met elkaar afwisselende stabiele en instabiele gebieden, naarm ate men de emk opvoert. In de in

stabiele gebieden kunnen subharm onische toestanden optreden, die een zekere m ate van stabiliteit bezitten. In verband met het voorgaande kunnen deze toestanden geïdentificeerd w orden met de ,,grote oplossingen van de systeem differentiaaJverge- lijking w aarvan in § 7 sprake w as. M et elk van deze toestan

den correspondeert dus een bepaalde w aarde voor m en n.

Indien m en n aan elkaar gelijk w orden verkrijgen we w eer een grondharmonische trillingstoestand. In de instabiele gebie

den verspringen de w aarden van m en n voortdurend, zodat daar geen bepaalde trillingstoestand te definiëren valt.

-Laat men vervolgens de am plitudo der emk w eer afnemen, dan krijgt men wederom met deze gebieden te maken, w aarbij evenwel de stabiliteitsgrenzen enigszins anders komen te liggen.

Al terugregelende, zal bij een bepaalde w aarde van de am pli

tudo de trillingstoestand terugkippen in een toestand, die w eer nagenoeg enkelvoudig harmonisch is. O ok hier ligt de kipgrens w eer enigszins lager dan bij het heenkippen.

Is aarm ate men de condensatorw aarde en daarm ee de w aarde van p groter kiest, verschuiven de grenzen van deze gebieden naar hogere w aarden van de spanning, terw ijl het traject, w aar- o\ er deze gebieden stabiel resp. instabiel zijn, ook groter w ordt.

§ 15

K iest men de w aarde van p aanzienlijk groter dan 3, b.v. in de grootteorde 8 of hoger, dan treden qualitatieve verschillen op met het onder § 14 besprokene.

(25)

(26)