Examen algebraïsche structuren
19 augustus 2014
Theorie
✄
✂ ✁
1 a) Geef en bewijs de Chinese reststelling.
b) (bijvraag) Heeft het volgende stelsel een oplossing ? (x≡ 6 mod 12
x≡ 12 mod 15
✄
✂ ✁
2 a) Geef en bewijs de Stelling van Sylvester.
b) (bijvraag) Geldt deze stelling ook wanneer we werken met Q in plaats van met R ? Beargumenteer kort je antwoord.
Oefeningen
✄
✂ ✁
3 a) Kan een groep gelijk zijn aan de unie van twee echte deelgroepen ? b) Kan een groep gelijk zijn aan de unie van drie echte deelgroepen ?
(Verduidelijking : een echte deelgroep van een groep G is een deelgroep die niet gelijk is aan G)
✄
✂ ✁
4 a) Zij p een oneven priemgetal en n ∈ N zodat p|n2+ 1. Toon aan dat p ≡ 1 mod 4.
(Hint : Wat is de orde van [n]p in Zp×?) b) -Vraag vergeten-
✄
✂ ✁
5 Zij K een veld en zij l1, l2en l3∈ V∗gedefineerd als volgt : l1: K3→ K : (x, y, z) 7→ x + y − z
l2: K3→ K : (x, y, z) 7→ x + z − y l3: K3→ K : (x, y, z) 7→ y + z − x
a) Toon aan dat {l1, l2, l3} geen basis is van V∗ indien de karakteristiek van K gelijk is aan 2.
– Stel vanaf nu dat de karaksteristiek van K 6= 2 –
b) Vind een basis B van V zodat B∗= {l1, l2, l3} een basis van V∗ is.
c) Definieer volgende afbeelding l ∈ V∗ l: K3→ K : (x, y, z) 7→ x
Zoek de coordinaten van l t.o.v. de basis {l1, l2, l3}.
