K4 Relativiteitstheorie Diagnostische toets

(1)

Diagnostische toets

1 Welke twee postulaten gebruikte Einstein bij het opstellen van zijn speciale relativiteitstheorie?

2 Twee treinen rijden naast elkaar met constante snelheid in dezelfde richting.

Trein A heeft een snelheid van 30 m/s en trein B een snelheid van 50 m/s.

Op het tijdstip

𝑡 = 0

s is de voorkant van trein B op positie

𝑥 = 0

^{m, en is}

de voorkant van trein B 100 m achter de voorkant van trein A. We maken aan iedere trein een referentiesysteem vast met de x-as in de bewegingsrichting.

a Hoe groot is de snelheid van trein B, gezien vanuit het referentiesysteem van trein A?

b Hoe groot is de snelheid van trein A, gezien vanuit het referentiesysteem van trein B?

c Teken in het

𝑥, 𝑡

-diagram van figuur 1 de bewegingen van beide treinen, gezien vanuit het referentiesysteem van een stilstaande waarnemer op positie

𝑥 = 0

^m.

d Lees uit het bij vraag c getekende

𝑥, 𝑡

-diagram af op welk tijdstip de voorkanten van beide treinen op dezelfde plaats zijn. Leg uit dat dit tijdstip in overeenstemming is met de in vraag a en b gegeven relatieve snelheden.

3 Een trein rijdt met een constante snelheid langs een perron. De trein en het perron zijn intertiaalsystemen. Een stilstaande waarnemer in de trein en een stilstaande waarnemer op het perron nemen tijddilatatie en lengtecontractie waar.

a Beschrijf wat inertiaalsystemen zijn.

b Wat wordt bedoeld met tijddilatatie?

Zowel de waarnemer in de trein als de waarnemer op het perron nemen de tijdsduur waar, waarin een lichtpuls in een verticale lichtklok van de ene naar de andere spiegel gaat.

c Leg uit welke waarnemer de langste tijdsduur noteert als:

● de verticale lichtklok in de trein staat;

● de verticale lichtklok op het perron staat.

d Wat wordt er bedoeld met lengtecontractie?

Zowel de waarnemer in de trein als de waarnemer op het perron nemen de afstand waar tussen de twee spiegels van een horizontale lichtklok.

e Leg uit welke waarnemer de kleinste afstand noteert als:

● de horizontale lichtklok in de trein staat;

● de horizontale lichtklok op het perron staat.

4 Een ruimteschip met een lengte van 50 m nadert een ruimtestation met een snelheid

𝑣 = 0,45 ∙ 𝑐

. Het ruimtestation is 250 m lang.

a Bereken de waarde van de gammafactor in deze situatie.

b Bereken de lengte van het ruimteschip zoals een waarnemer in het ruimtestation die waarneemt.

c Bereken de lengte van het ruimtestation zoals een waarnemer in het ruimteschip die waarneemt.

K4 Relativiteitstheorie

Ruimtetijd | vwo

Figuur 1

(2)

d Bereken hoe lang het verbroken contact volgens de astronauten in het ruimteschip geduurd heeft.

5 Een ruimteschip vliegt voorbij de aarde met een snelheid

𝑣 = 0,600 ∙ 𝑐

^op

weg naar de ster Sirius. De afstand Aarde-Sirius is 8,70 lj, bepaald door een waarnemer op aarde.

a Hoe lang duurt de reis volgens een waarnemer op aarde?

b Hoe groot is de afstand Aarde-Sirius voor een waarnemer in het ruimteschip?

c Hoe lang duurt de reis volgens een waarnemer in het ruimteschip?

6 Teken in het (lege) ruimtetijddiagram van figuur 2 de wereldlijnen van:

a een stilstaande waarnemer;

b een lichtsignaal in de positieve richting;

c een lichtsignaal in de negatieve richting;

d een ruimteschip met een snelheid

𝑣 = 0,6 ∙ 𝑐

in de positieve richting;

e een ruimteschip met een snelheid van

𝑢 = 0,3 ∙ 𝑐

in de negatieve richting.

7 In figuur 3 zie je het ruimtetijddiagram van twee stilstaande waarnemers W¹ en W2. Hun klokken zijn gesynchroniseerd. Zij nemen beide waar dat een lamp aan gaat. Voor W1 is dit gebeurtenis A en voor W2 is dit gebeurtenis B.

Teken in het ruimtetijddiagram van figuur 3 de gebeurtenis L: de lamp gaat aan.

8 In het ruimtetijddiagram van figuur 4 zie je de wereldlijnen van een

ruimtestation S (zwart) en twee ruimteschepen R1 en R2 (rood). De klokken in S en R1 worden gelijkgezet op het tijdstip

𝑡 = 0

^s.

Om de klokken in de beide ruimteschepen te synchroniseren zendt R1 op datzelfde tijdstip een lichtsignaal naar R2.

a Teken in het ruimtetijddiagram van figuur 4 de procedure van het synchroniseren van de klokken in de beide ruimteschepen.

b Geef in figuur 4 aan welk tijdstip voor R1 gelijktijdig is met het tijdstip waarop R2 het lichtsignaal terugkaatst.

c Leg aan de hand van figuur 4 uit dat gebeurtenissen die voor de ruimtevaarders gelijktijdig zijn, voor waarnemers in het station niet gelijktijdig zijn.

d Is voor de bemanningen van R1 en R2 een lichtsignaal van R1 naar R2

even lang onderweg als een teruggaand lichtsignaal van R2 naar R1? En in het stelsel van het ruimtestation?

e Geef in figuur 4 met een pijl de afstand tussen de twee ruimteschepen aan in het stelsel van de ruimteschepen.

Figuur 2

Figuur 3

Figuur 4

(3)

ruimtestation S (zwart) en een ruimteschip R (rood).

a Bepaal uit het ruimtetijddiagram van figuur 5 de snelheid

𝑣

^{van het}

ruimteschip R ten opzichte van het ruimtestation S, uitgedrukt in de lichtsnelheid

𝑐

^.

De wereldlijn (rood) van het ruimteschip R is voor een waarnemer in het ruimteschip de tijd’-as.

b Teken in figuur 5 de ruimte’-as voor de waarnemer in het ruimteschip R.

In het ruimtetijddiagram zijn drie gebeurtenissen weergegeven: A, B en C.

c In welke tijdsvolgorde vinden deze drie gebeurtenissen plaats voor de waarnemer in het ruimtestation S?

d In welke tijdsvolgorde vinden deze drie gebeurtenissen plaats voor de waarnemer in het ruimteschip R?

10 In het ruimtetijddiagram van figuur 6 zijn twee gebeurtenissen A en B weergegeven. In het getekende zwarte stelsel van waarnemer W1 gebeurt B later dan A.

a Teken in het ruimtetijddiagram van figuur 6 een rood stelsel van waarnemer W2 (met dezelfde oorsprong als het zwarte stelsel) waarin A gelijktijdig plaatsvindt met B.

b Bepaal de snelheid

𝑣

van dit rode stelsel ten opzichte van het zwarte stelsel, uitgedrukt in de lichtsnelheid

𝑐

^.

11 In figuur 7 zie je het ruimtetijddiagram met de wereldlijnen van een ruimtestation S (zwart) en een ruimteschip R (rood). Het ruimteschip R beweegt met een snelheid

𝑣 = 0,500 ∙ 𝑐

ten opzichte van het

ruimtestation S. Het ruimtestation S zendt met een frequentie van 1,00 Hz lichtflitsen uit.

a Teken in het ruimtetijddiagram van figuur 7 de wereldlijnen van de op het tijdstip

𝑡 = 0

s uitgezonden lichtflits en de twee volgende lichtflitsen.

b Geef in figuur 7 de aankomst van de lichtflitsen bij het ruimteschip R aan als gebeurtenissen A, B en C.

c Bepaal de door de waarnemer in het ruimteschip R waargenomen frequentie van de lichtflitsen.

12 Een ruimteschip R passeert met een snelheid

𝑣 = 0,40 ∙ 𝑐

op het tijdstip

𝑡 = 0

s een ruimtestation S. Op het moment van passeren vuurt het ruimteschip R een raket Ra af met een snelheid

𝑢 = 0,60 ∙ 𝑐

^{in de}

bewegingsrichting van het ruimteschip R.

a Teken in het (lege) ruimtetijddiagram van figuur 8 de wereldlijnen van het ruimtestation S, het ruimteschip R en de raket Ra.

b Bepaal uit het getekende diagram de snelheid

𝑤

waarmee de raket Ra zich van het ruimtestation S verwijdert.

c Bereken met de formule voor het optellen van relativistische snelheden de snelheid

𝑤

waarmee de raket zich van het ruimtestation S verwijdert.

13 Een ster verwijdert zich met een snelheid

𝑣 = 0,20 ∙ 𝑐

van de aarde. Laat met de formule voor het optellen van relativistische snelheden zien dat het licht van deze ster voor ons op aarde toch de lichtsnelheid heeft.

Figuur 5

Figuur 6

Figuur 7

Figuur 8

(4)

met een versnelspanning van in totaal 1,50 MV.

Bereken de massa en de snelheid van dit elektron aan het eind van de versneller, volgens waarnemers in het laboratorium.

15 Twee deeltjes D1 en D2 in een deeltjesversneller bewegen voor hun botsing in tegengestelde richtingen, beide met een snelheid

𝑣 = 0,75 ∙ 𝑐

^ten

opzichte van de deeltjesversneller.

a Teken in het (lege) ruimtetijddiagram van figuur 9 de wereldlijnen van het laboratorium L en de twee deeltjes D1 en D2. Neem voor het gemak van het tekenen aan dat de deeltjes elkaar op

𝑡 = 0

s op een haar na missen, zodat ze zich met onveranderde snelheid van elkaar verwijderen.

b Maak met het getekende diagram een schatting van de snelheid

𝑤′

waarmee de twee deeltjes elkaar naderen.

c Bereken met de formule voor de onderlinge snelheid van relativistisch bewegende deeltjes de snelheid

𝑤′

waarmee de deeltjes elkaar naderen.

16 Het licht van een zeer ver verwijderd sterrenstelsel heeft een doppler- verschuiving waarbij de op aarde waargenomen golflengte zo ver is verschoven dat de fotonfrequentie de helft is van de door het sterrenstelsel uitgezonden frequentie:

𝑓 = 0,50 ∙ 𝑓

^.

a Leg uit of het sterrenstelsel zich naar de aarde toe of van de aarde af beweegt.

b Bereken de snelheid van het sterrenstelsel met de klassieke benaderingsformule voor het dopplereffect, en leg uit waarom deze formule in dit geval niet gebruikt mag worden.

c Bereken de snelheid van het sterrenstelsel.

Figuur 9