Wederopstanding van een bewijs
Wiskunde Sir Andrew Wiles ontving dinsdag de Abelprijs voor het oplossen van de laatste stelling van Fermat.
Door onze medewerker Alex van den Brandhof
AMSTERDAM. De laatste stelling van Fer- mat, over de vergelijking xn+ yn= zn, was eeuwenlang het meest beruchte open pro- bleem in de wiskunde. Voor n = 2 is de Fer- matvergelijking de stelling van Pythago- ras en in dat geval zijn er oneindig veel op- lossingen, bijvoorbeeld 32+ 42= 52. Fer- mats laatste stelling zegt dat de vergelij- king voor n groter dan 2 geen enkele ge- heeltallige oplossing heeft.
Het Abelcomité noemt Wiles’ bew ijs
„over weldigend” en kent de prijs vooral ook toe omdat Wiles’ werk een nieuw tijd- perk in de getaltheorie heeft geopend.
Dat de Britse wiskundige de Abelprijs een keer zou krijgen, stond wel min of meer vast. De vraag was alleen wannéér.
Net als bij de Nobelprijzen zijn de laurea- ten vaak bejaard en worden ze geëerd voor onderzoek dat soms al decennia eerder is gedaan. Andrew Wiles is met 62 jaar de jongste Abelprijswinnaar ooit.
Als kind droomde Wiles er al van om Fer- mats probleem op te lossen. Toen hij tien jaar was en in de bibliotheek een wiskun- deboek doorbladerde, viel zijn oog op de kinderlijk eenvoudig ogende laatste stel- ling van Fermat. Het fascineerde hem dat hij die stelling als tienjarige kon snappen.
Vanaf dat moment was Wiles vastbesloten dit probleem op te lossen.
Pierre de Fermat had zijn stelling in 1637 in de kantlijn van de Ar ithmetica ge k r a b - beld met de mededeling dat hij hiervoor een ‘werkelijk schitterend’ bewijs had ge- vonden, dat ‘helaas niet in de kantlijn p a s te’. Het meest waarschijnlijk is dat Fer-
Fermat was z o’n beladen p rob l e e m ; werken in afzonder ing was noodzaak
Andrew Wiles kwam na zeven jaar in afzondering doorwerken met het bewijs voor een 350 jaar oud wiskundig probleem, de laatste stelling van Fermat. FOTO A
P
mat helemaal geen bewijs had en dat hij dat zelf later ook had ingezien. Hij gaf im- mers, vele jaren ná zijn kantlijnnotitie, een bewijs voor het speciale geval n = 4.
Eeuwenlang probeerden wiskundigen Fermat op te lossen. Vooral toen aan het begin van de vorige eeuw Paul Wolfskehl 100.000 Duitse mark beschikbaar stelde voor de bedenker van een sluitend bewijs, was het raak: alleen al in het eerste jaar kwamen er 621 kromme bewijzen binnen.
In de jaren zeventig, toen Wiles’ c arrière als wiskundige begon, was Fermat uit de gratie geraakt. Iedereen dacht dat die stel- ling onmogelijk te bewijzen viel. Wiles
kreeg van zijn promotor het advies om zijn jeugddroom te vergeten en zich met mo- derne wiskundige problemen bezig te hou- den. Het werden elliptische krommen, vergelijkingen die in eerste instantie wer- den bestudeerd in verband met de lengte van planeetbanen, en modulaire vormen, complexe functies met veel symmetrie-ei- ge n s c h a p p e n .
Aanvankelijk leek het erop dat ellipti- sche krommen en modulaire vormen niet met elkaar verweven waren. Maar in de ja- ren vijftig hadden twee Japanse wiskundi- gen, Taniyama en Shimura, een onver- wachte brug geslagen: ze hadden een plau- sibele reden gevonden om aan te nemen dat elke elliptische kromme in feite een modulaire vorm is. Dit inzicht choqueerde de hele wiskundige wereld.
Het vermoeden van Taniyama en Shi- mura, ook bekend als het modulariteits- vermoeden, groeide uit tot een van de grote onbewezen vermoedens in de wis- kunde. Maar wat had dit met de laatste stelling van Fermat te maken? In 1984 had de Duitser Gerhard Frey een spectaculaire ingeving: uit een hypothetische oplossing van de Fermatvergelijking kon een ellipti- sche kromme worden geconstrueerd die níét modulair is. Maar volgens Taniyama en Shimura was juist élke elliptische kromme modulair. Dus als Fermats stel- ling onjuist is, is het modulariteitsver- moeden dat ook. En als het modulariteits- vermoeden juist is, is Fermat dat ook.
Toen in 1986 het idee van Frey werd be- wezen, wist Wiles dat hij zich vanaf dat moment volledig met het modulariteits- vermoeden zou gaan bezighouden. Het was een verbluffende speling van het lot
dat twee onderwerpen waarin Wiles zich had gespecialiseerd – elliptische krom- men en modulaire vormen – precies de in- grediënten waren om Fermats laatste stel- ling te kunnen bewijzen.
Gedurende zeven jaar, in het diepste ge- heim, werkte Wiles aan de passie uit zijn kinderjaren. Alleen zijn vrouw wist waar hij mee bezig was. Fermat was zo’n beladen probleem; werken in afzondering was pure noodzaak. „Je kunt je er alleen jarenlang mee bezighouden als je je volledig kunt concentreren en dat lukt niet met zo veel to e s c h o u we r s ”, vertelt Wiles in een be- kroonde BBC-documentaire uit 1996.
In de zomer van 1993 kwam het grote moment: Wiles presenteerde zijn bewijs tijdens een congres in Cambridge. Het werd wereldnieuws. ‘Bewijs voor stelling Fermat is “waarschijnlijk correct”’, kopte deze krant op 1 juli 1993. Met het woord
‘waarschijnlijk’ werd een slag om de arm gehouden en dat bleek terecht. Toen col- l e g a’s het bewijs stap voor stap controleer- den, werd een ernstige fout ontdekt. Wi- les’ wereld stortte in, maar met behulp van zijn student Richard Taylor kon hij het gat dichten. In 1994 volgde de triomf als- nog en nog een jaar later besloeg het be- wijs van Wiles en Taylor een heel nummer van Annals of Mathematics.
Het bewijs is veel méér dan de oplossing van een beroemd vraagstuk uit de zeven- tiende eeuw. Wiles liet zien dat er diepe verbanden bestaan tussen ogenschijnlijk verschillende wiskundewerelden die in de tijd van Fermat nog niet bestonden, en creëerde een gereedschapskist die in de af- gelopen twee decennia tot vruchtbaar on- derzoek in de getaltheorie heeft geleid.
ABELPRIJS
Hoogste eerbetoon
De Abelprijs is de belangrijkste inter- nationale prijs in de wiskundeen geldt daarom (samen met de eveneens prestigieuze Fields Medal) wel als de niet-officiële ‘Nobelprijs voor de wiskun- d e’. De prijs werd in 2001 ingesteld door de regering van Noorwegen en werd twee jaar later voor het eerst uitgereikt.
Er is een bedrag van zes miljoen Noorse kronen (635.000 euro) aan verbonden.
De Abelprijs is vernoemd naar de ge- talenteerde Noorse wiskundige Niels Henrik Abel (1802–1829 ) . Hoe- wel hij jong stierf aan tuberculose, liet hij volgens zijn Franse collega Charles Hermite genoeg na „om wiskundigen vijfhonderd jaar bezig te houden”
