Hoofdstuk 1: EnergieParagraaf 1: Soorten energie klas 5 Antwoordenboek

Antwoordenboek

klas 5

Hoofdstuk 1: Energie

Paragraaf 1: Soorten energie

1 In een luchtballon wordt chemische energie uit brandstof omgezet in warmte (Q). Deze warmte zorgt er voor dat de luchtballon gaat bewegen (kinetische energie) en omhoog beweegt (zwaarte-energie). Ook gaat er wat warmte (Q) verloren. We vinden dus:

Ech→ Q → Ekin + Ez + Q

In een zonnecel wordt stralingsenergie (licht) omgezet in elektrische energie. Ook gaat er wat warmte (Q) verloren:

Estraling → Eelek + Q

In een föhn wordt elektrische energie omgezet in beweging van een ventilator. Ook gaat er wat warmte (Q) verloren:

Eelek → Ekin + Q

In een dynamo van een fiets wordt de beweging van het wiel (kinetische energie) omgezet in elektrische energie. Ook gaat er bij dit proces wat warmte (Q) verloren. De elektriciteit wordt daarnaa omgezet in stralingsenergie (licht). Ook hier gaat wat warmte (Q) verloren:

Ekin → Eelek + Q → Estraling + Q

2 Warmte (Q) en kinetische energie (Ekin) 3 Ez → Ekin + Q

4 Eveer → Ekin + Q + Ez → Q + Ez

5

6 [Ekin] = [1/2] [m] [v²] = kg m²/s²

7 [Ez] = [m] [g] [h] = kg m/s² m = kg m²/s²

[Eveer] = [1/2] [C] [u²] = N/m m² = Nm = kg m/s² m = kg m²/s² In de één na laatste stap is gebruikt dat:

[F]= [m][a] = kg m/s²

[Q] = [Fw] [s] = Nm = kg m/s² m = kg m²/s² 8

a. Veerenergie wordt omgezet in kinetische energie. Er geldt dus:

Eveer = Ekin

b. De bal begint met kinetische energie en dit wordt omgezet in zwaarte-energie:

Ekin = Ez

c. De veerenergie van de drie veren wordt omgezet in zwaarte-energie en warmte:

3Eveer = Ez + Q

De kinetische energie komt hier niet voor, omdat de bal zowel op het begin als het eind stil staat. Op de tussengelegen momenten is wel kinetische energie aanwezig.

d. Ez = Eveer

e. Eelek = Eveer + Ez

f. Ekin,begin + Ez = Ekin,eind + Q 9 Ez = Ekin

mgh = 1/2mv² gh = 1/2v² 9,81 x 10 = 1/2v² 98,1 = 1/2v² 196,2 = v²

v = √196,2 = 14 m/s 10 m = 350 g = 0,350 kg

Ez = Ekin + Q mgh = 1/2mv² + Q

0,35 x 9,81 x 6,4 = 1/2 x 0,35 x 10² + Q 22,1 = 17,5 + Q

Q = 4,5 J

11 v = 45 km/h = 12,5 m/s Ekin,begin + Ez = Ekin,eind

1/2mvbegin2 + mgh = 1/2mveind2

1/2vbegin2 + gh = 1/2veind2

1/2 x 12,5² + 9,81 x 1,8 = 1/2veind2

191,6 = veind2

veind = √191,6 = 14 m/s

12 Voordat de slinger wordt losgelaten is er alleen zwaarte-energie. De maximumsnelheid behaald de slinger in het laagste punt. Voor de beweging geldt:

Ez = Ekin

mgh = 1/2mv² gh = 1/2v²

(h = 5 cm = 0,05 m) 9,81 x 0,05 = 1/2v² 0,981 = v²

v = √0,981 = 0,99 m/s

13 De persoon springt ongeveer zijn eigen hoogte. Laten we zeggen 1,80 m. Laten we zijn massa schatten op 80 kg. De zwaarte-energie wordt dan:

Ez = mgh

Ez = 80 x 9,81 x 1,80 = 1,4 x 10³ J

Als we wrijvingskracht even verwaarlozen, dan geldt:

Eveer = Ez

Dus:

Eveer = 1,4 x 10³ J 14

a. vb = 17,5 m/s Ekin = Q

1/2 x 270 x 17,5² = Q Q = 4,1 x 10⁴ J

b. De afgelegde afstand tijdens het remmen is gelijk aan het oppervlak onder de grafiek van t = 0,75 tot 4,5 s.

s = 17,5 x (4,5 – 0,75) /2 = 32,8 m Q = Fw s

Fw = Q / s

Fw = 4,1 x 10⁴ / 32,8 = 1,3 x 10³ N 15

a. sin(25^o) = overstaande / schuine Δx = 29 / sin(25⁰) = 68,6 m v = Δx/Δt

v = 68,6 / 33 = 2,1 m/s b. Ekin + Eelek = Ekin + Ez

De kinetische energie is echter gelijk gebleven, dus deze kunnen we wegstrepen:

Eelek = Ez

Pelek x t = mgh U x I x t = mgh

380 x I x 33 = 6,65 x 10³ x 9,81 x 29 I = 1,5 x 10² A

c. Ez,begin = Ez,eind + Ekin

6,65 x 10³x 9,81 x 29 = 6,65 x 10³x 9,81 x 15 + 1/2 x 6,65 x 10³ x v² v = 17 m/s

d. sin(30^o) = overstaande / schuine s = 29 / sin(30⁰) = 58 m

Q = Fw s

Q = 2,50 x 10³ x 58 = 1,5 x 10⁵ J

16 1 is de totale energie. Deze blijft namelijk constant.

5 is de veerenergie van de trampoline. Alleen op t = 3,2s raakt de persoon namelijk de trampoline.

2 is de zwaarte-energie. De zwaarte-energie moet namelijk nul worden als de trampoline geraakt wordt (t = 3, 0 s) en is maximaal op het hoogste punt (t = 1,5 s).

4 is de kinetische energie. Deze is nul op het hoogste en het laagste punt.

3 is de veerenergie van de elastieken. Deze is het grootst op het laagste punt en het kleinst op het hoogste punt.

17 Als we de tweede verdieping als h = 0 nemen, dan vinden we:

Ez = Ekin

mgh = 1/2mv² gh = 1/2v² 9,81 x 1 = 1/2v² v = 4,4 m/s.

Als we de eerste verdieping als h = 0 nemen, dan vinden we:

Ez,begin = Ekin+ Ez,eind

mghbegin = 1/2mv² + mgheind

ghbegin = 1/2v² + gheind

9,81 x 4 = 1/2v² + 9,81 x 3 9,81 = 1/2v²

v = 4,4 m/s.

We vinden hetzelfde antwoord. Het maakt dus niet uit welke hoogte we h = 0 noemen.

18

a. Zonder wrijving verwachten we hier een rechte lijn. We hebben dan een constante

versnelling van 9,81 m/s². Dat is hier duidelijk niet het geval. In plaats daarvan zien we hier dat de versnelling afneemt. Dit komt door de luchtwrijvingskracht.

b. veind = 35 m/s

De hoogte h is gelijk aan het oppervlak onder de grafiek.

Eén groot hokje is 10 x 1 = 10 m. Er zijn ongeveer 10 hokjes:

h = 10 x 10 = 100 m

Aan het begin hadden we alleen zwaarte-energie. Dit is omgezet in kinetische energie en warmte. Het percentage dat in kinetische energie is omgezet is:

Ekin / Ez x 100 = percentage

Ekin / Ez x 100 = 1/2 mv² / (mgh) x 100

Als de teller en de noemer van de breuk delen door m, dan kunnen we dit versimpelen tot:

Ekin / Ez x 100 = 1/2 v² / (gh) x 100 = 1/2 x 35² / (9,81 x 100) x 100 = 62%

62% van de energie is dus omgezet in kinetische energie. De rest, 38%, is dus omgezet in warmte.

Paragraaf 2: Chemische energie

1

a. In de motor de chemische energie in de benzine omgezet in motorenergie en warmte:

Ech = Emotor + Qmotor

b. Deze motorenergie heeft de auto nodig om in beweging te komen. Deze energie wordt omgezet in kinetische energie en warmte:

Emotor = Ekin + Q

c. Voor de beweging geldt:

Ekin,begin + Em = Ekin,eind + Ez + Q

We maken onderscheid tussen Ekin,e en Ekin,b, omdat de snelheden aan het begin en het eind zijn veranderd.

d. Ekin + Emotor = Ekin + Ez + Q

De kinetische energie is aan het begin en het eind hetzelfde, omdat de snelheid constant is gebleven. We kunnen de kinetische energie daarom aan beide kanten van de vergelijking afhalen:

Emotor = Ez + Q

2 De stookwaarde van benzine is 33 x 10⁹ J m^-3. V = 250 mL = 250 cm³ = 250 x 10^-6 m³

Ech = rVV

Ech = 33 x 10⁹ x 250 x 10^-6 = 8,3 x 10⁶ J 3 Ech = Emotor / η

Ech = 3,0 x 10⁴ / 0,40 = 7,5 x 10⁴ J V = Ech / rV

V = 7,5 x 10⁴ / (33 x 10⁹) = 2,3 x 10^-6 m³ = 2,3 cm³ = 2,3 mL 4

a. Ech = rVV

Ech = 36 x 10⁹ x 0,5 x 10^-3 = 1,8 x 10⁷ J Emotor = η x Ech

Emotor = 0,33 x 1,8 x 10⁷ = 6,0 x 10⁶ J b. s = Emotor / Fmotor

s = 6,0 x 10⁶ / (2,8 x 10³) = 2,1 km 5 Ech = rVV

Ech = 33 x 10⁹ x 1,5 x 10^-3 = 5,0 x 10⁷ J Emotor = η x Ech

Emotor = 0,45 x 5,0 x 10⁷ = 2,2 x 10⁷ J Fmotor = Emotor / s

Fmotor = 2,2 x 10⁷ / 15000 = 1,5 x 10³ N

6 Een kubieke meter benzine heeft volgens BINAS een energie van 33 x 10⁹ J Een kilogram hout heeft een energie van 16 x 10⁶ J

De dichtheid van balsahout is 0,15 x 10³ kg/m³ Eén kubieke meter balsahout bevat dus 0,15 x 10³ kg

De totale chemische energie in een kubieke meter balsahout is dus:

0,15 x 10³ x 16 x 10⁶ = 2,4 x 10⁹ J

De chemische energie in een kubieke meter hout is dus 2,4 x 10⁹ J. Dit is minder dan benzine.

7

a. De stookwaarde van benzine is 33 x 10⁹ J m^-3. 4,5 L = 4,5 x 10^-3 m³

Ech = rv V

Ech = 33 x 10⁹ x 4,5 x 10^-3 = 1,5 x 10⁸ J We combineren deze formule met:

Emotor = η Ech

0,45 x 1,5 x 10⁸ = 6,7 x 10⁷ J

Er wordt dus 6,7 x 10⁷ J nuttig gebruikt door de motor en er wordt in totaal 1,5 x 10⁸ J gebruikt. De motor verspilt dus de volgende energie aan warmte:

Qmotor = 1,5 x 10⁸ J - 6,7 x 10⁷ J = 8,1 x 10⁷ J b. Ekin,b + Emotor = Ekin,e + Qwrijving

Omdat de snelheid aan het begin en aan het eind gelijk is, kunnen we de kinetische energie aan beide kanten wegstrepen:

Emotor = Qwrijving

De motorenergie is dus gelijk aan de warmte die door de wrijving is ontstaan. De motorenergie hadden we al berekend in de vorige vraag. We vinden dus:

Qwrijving = 6,7 x 10⁷ J c. Emotor = Qwrijving

Emotor = Fw s Emotor / Fw = s

De wrijvingskracht en de motorkracht zijn gelijk omdat het voorwerp met een constante snelheid rijdt (eerste wet van Newton):

6,7 x 10⁷ / (3,2 x 10³) = 2,1 x 10⁴ m

8 veind = 80 km/h = 22,2 m/s

De auto rijdt van een hoogte van 30 m naar 45 m. We mogen het laagste punt van de beweging echter h = 0 m noemen. De hoogte aan het eind van de beweging is dan h = 15m.

sin(10^o) = overstaande / schuine s = 15 / sin(10^o) = 86,4 m Emotor = Ekin,eind + Ez + Q

Fm x s = 1/2mve2+ mgh + Fw x s

1,5 x 10⁵ x 86,4 = 1/2 x 4,0 x 10³ x 22,2² + 4,0 x 10³ x 9,81 x 15 + Fw x 86,4 12957234 = 1576254 + Fwx 86,4

Fw = 1,3 x 10⁵ N

Paragraaf 3: Arbeid

1 Dit is de hoek tussen de richting van de kracht en de richting van de beweging.

2

a. Wspier = Fspier x s x cos(0^o) = 200 x 3 x 1 = 6,0 x 10² J b. Fw = Fspier (eerste wet van Newton)

Ww = Fw x s x cos(180^o) = 200 x 3 x -1 = - 6,0 x 10² J c. Wz = Fz x s x cos(90^o) = Fz x 3 x 0 = 0 J

WN = FN x s x cos(90^o) = FN x 3 x 0 = 0 J

Omdat beiden krachten loodrecht op de beweging staan, wordt er geen arbeid verricht.

3 Voor alle gevallen is het antwoord 0 J. Dit komt omdat s = 0 en hierdoor is W = F x s x cos(α) ook nul.

4

a. Fz = mg = 3,5 x 9,81 = 34 N

Wz = Fz x s x cos(180^o) = 34 x 4,5 x -1 = -1,5 x 10² J Ww = Fw x s x cos(180^o) = 8,5 x 4,5 x -1 = -38 J b. ΣW = Ww + Wz = -1,5 x 10² - 38 = -1,9 x 10²J

Met het arbeid-energietheorema vinden we nu -1,9 x 10² J = ΔEkin. De toename van de kinetische energie is dus negatief. We hebben dus te maken met een afname van de

kinetische energie. Dit klopt, want bij het omhoog bewegen neemt de snelheid van de steen af.

c. Fz = mg = 3,5 x 9,81 = 34 N

Wz = Fz x s x cos(0^o) = 34 x 4,5 x 1 = 1,5 x 10² J Ww = Fw x s x cos(180^o) = 8,5 x 4,5 x -1 = -38 J d. ΣW = Ww + Wz = 1,5 x 10² - 38 = 1,2 x 10² J

Met het arbeid-energietheorema vinden we nu 1,2 x 10² J = ΔEkin. De toename van de

kinetische energie is dus positief. Dit klopt, want bij het omlaag bewegen neemt de snelheid van de steen toe.

5

a. Fz = mg = 35 x 9,81 = 343 N Δx = v x Δt

Δx 0,50 x 18 = 9,0 m

Wz = Fz x s x cos(180^o) = 343 x 9 x -1 = -3,1 x 10³J

b. Omdat de snelheid constant is, moeten de krachten op het blok in evenwicht zijn.

Fspan werkt omhoog en Fz en Fw werken omlaag. Er geldt dus:

Fspan = Fz + Fw

Fspan = 343 + 50 = 393N

Wspier = Fspan x s x cos(0^o) = 393 x 9 x 1 = 3,5 x 10³J

6 Met behulp van de formule W = F x s x cos(α) zien we dat hoe groter de verplaatsing s is, hoe groter ook de arbeid is die op de kogel uitgeoefend wordt.

Volgens het arbeids-energietheorema (W = ΔEkin) zorgt een grotere arbeid voor een grotere toename van de kinetische energie en dus een grotere snelheid.

7

a. Met het arbeidsenergietheorema (W = ΔEkin) kan je uitrekenen hoeveel arbeid er nodig is om een persoon bij een botsing tot stilstand te krijgen. Omdat de begin- en eindsnelheid met en zonder airbag gelijk is, is ook de benodigde arbeid in beide gevallen gelijk.

Door het indrukken van de airbag legt de persoon tijdens de impact een grotere verplaatsing af. Aan de formule W = F x s x cos(α) zien we dat bij een grotere verplaatsing s door het indrukken van de airbag—en met gelijke W—dat de kracht af moet nemen. Als gevolg ondervindt de persoon minder letsel.

b. Ww = Ekin,e - Ekin,b

Omdat de eindsnelheid nul is bij een botsing vinden we:

Ww = - Ekin,b

Fw s cos(180^o) = - 1/2 mvb2

-Fws = - 1/2 mvb2

Fws = 1/2 mvb2

Fw x 0,20 = 1/2 x 70 x 30² Fw = 1,6 x 10⁵ N

c. Ekin = Q 1/2 mv² = Fw s

1/2 x 70 x 30² = Fw x 0,20 Fw = 1,6 x 10⁵ N

8

a. De arbeid is 0 J, omdat kracht loodrecht op de beweging staat (de middelpuntzoekende kracht werkt naar het midden van de cirkelbaan).

b. De snelheid verandert niet. Volgens het arbeid-energietheorema is ΔEkin = 0. De arbeid moet dus ook nul zijn.

9 De arbeid van de elektromotor zorgt ervoor dat de hoogte toeneemt (Ez) en zorgt ervoor dat de elastieken uitrekken (Eveer).

Ez = mgh

48 x 9,81 x 2,3 = 1,1 x10³J Eveer = 2 x 1/2Cu²

2 x 1/2 x 120 x 3,1² = 1,2 x 10³J

De totale arbeid is dus die de elektromotor minimaal verricht is:

1,1 x10³ + 1,2 x 10³ = 2,2 x 10³ J

We spreken van een minimum omdat er ook elektrische energie in warmte wordt omgezet.

10

a. De normaalkracht staat loodrecht op de bewegingsrichting. De hoek is dus 90 graden en hierdoor is de arbeid 0 J.

b. De afbeelding is op schaal dus je kunt de hoek opmeten met de geodriehoek. Dit levert een hoek van 26^o.

De lengte van de helling is:

s = 7,5 / sin(26) = 17,1m.

De hoek tussen de bewegingsrichting en de zwaartekracht is 90 - 26 = 64^o.

De arbeid die de zwaartekracht verricht is dus:

Wz = Fz s cos(hoek) = 20 x 9,81 x 17,1 x cos(64) = 1,5 x 10³ J c. Wz = Ez = mgh = 20 x 9,81 x 7,5 = 1,5 10³ J

We vinden hier inderdaad hetzelfde antwoord als bij vraag b.

Paragraaf 4: Vermogen

1 Pm = 105 x 10³ W

v = 230 km/h = 63,9 m/s Pm / v = Fm

105000 / 63,9 = 1643N

Omdat de auto op zijn topsnelheid rijdt is de snelheid constant en volgens de eerste wet van Newton betekent dit dat Fres = 0. De motorkracht moet dus in evenwicht zijn met de

wrijvingskracht.

Fm = Fw

Fw = 1,64 x 10³ N

2 v = 130 km/h = 36,1 m/s Fw = 1,66 x 10³ N

Fm = Fw (eerste wet van Newton, want v = constant) Pm = Fm x v

Pm = 1,66 x 10³ x 36,1 = 6,0 x 10⁴ W De motorenergie wordt:

ΔE = P x Δt

ΔE = 6,0 x 10⁴ x 10 = 6,0 x 10⁵ J Ech = Emotor / η

Ech = 6,0 x 10⁵ / 0,40 = 1,5 x 10⁶ J V = Ech / r

V = 1,5 x 10⁶ / (33 x 10⁹) = 4,5 x 10^-5 m³ = 45 mL

3 Aan de formule Pm = Fm x v kunnen we zien dat als Pm gelijk blijft, en v groter wordt, dan Fm

dan afneemt.

4

a. Door het contragewicht hoeft alleen de massa van de passagiers opgetild te worden (de attractie/stoeltjes zelf worden ‘getild’ door het contragewicht). De benodigde energie van de elektromotor moet dus de zwaarte-energie van de 22 passagiers leveren.

Ez = m g h = 22 x 60 x 9,81 x 30 = 388476 Enuttig / Etotaal = η

Ez / Eelek= η Eelek = Ez / η

Eelek = 388476 / 0,90 = 4,3 x 10⁵ J Pel = Eel / t

Pel = 4,3 x 10⁵ / 8,0 = 5,4 x 10⁴ W

b. Voor t = 5 s is er energie nodig om de snelheid (en dus de kinetische energie) te doen

toenemen en er gaat energie verloren aan warmte. Na t = 5 is de zweefmolen op snelheid. Er is nu alleen nog energie nodig om te compenseren voor het verlies aan warmte.

c. Er is nu alleen nog energie nodig om te compenseren voor het verlies aan warmte.

5

a. In de eerste 3,5 s wordt alleen snelheid gemaakt, en dus de Ekin speelt alleen een rol. De toename van Ekin is:

Ekin = 1/2mve2 = 1/2 x 3,3 10³ (205/3,6)² = 5,3 x 10⁶ J.

Dit gebeurt in 3,5 s dus het vermogen is Pelek = Eelek / t

Pelek = Ek / t

P = 5350405 / 3,5 = 1,5 x 10⁶ W

b. Er gaat ook energie verloren in de vorm van warmte. Hier is nog geen rekening mee gehouden.

c. De trein heeft onderaan een Ekin ‘beschikbaar’ van 5 350 405 J. Deze wordt bij het omhoog gaan omgezet in zwaarte-energie. De kar moet 139 hoog komen, dit komt overeen met:

Ekin= Ez + Q

5,3 x 10⁶ = 3,3 10³ x 9,81 x 139 + Q Q = 8,5 x 10⁵ J

Als percentage is dit:

Q / Ekin = 8,5 x 10⁵ J / 5,3 x 10⁶ J = 0,16 0,16 x 100 = 16%

6 De voet maakt een cirkelvorm. Er geldt dus:

s = 2 π r

s = 2 π 0,175 = 1,10 m

In de grafiek zie je een patroon dat zich herhaalt. Elk periode is gelijk aan één omwenteling.

Je ziet van t = 0,18 tot t = 1,59 twee omwentelingen.

Eén omwenteling duurt:

T = (1,59 – 0,18) / 2 = 0,705 s.

De kracht varieert maar is gemiddeld ongeveer 200 N (dit kan je zien door een horizontale lijn te trekken, zodanig dat er net zo veel ‘oppervlakte’ boven als onder deze lijn zit (zie de onderstaande afbeelding).

Omdat er 2 voeten zijn, moet je de kracht (of het vermogen) verdubbelen.

W = 2 x F s

W = 2 x 200 x 1,10 = 439,8 J

P = W / t = 439,8 / 0,705 = 6,2 10² W

7

a. Uit de bovenste grafiek kan je de Fw halen, uit de onderste grafiek v. Kies een tijd waarbij beide waardes niet te klein zijn, bijvoorbeeld t = 0,4 s. Aflezen geeft:

Fw = 0,85 kN = 0,85 10³ N v = 3,4 m/s.

Fw = k v² k = Fw / v²

k = 0,85 10³ / 3,4² = 74 Voor de eenheid van k geldt:

[k] = [Fw] / [v²] = N / (m²/s²) = kg m/s² / (m²/s²) = kg / m Het antwoord is dus:

k = 74 kg / m

b. Met behulp van de grafieken bepalen we de gemiddelde kracht en de gemiddelde snelheid in de eerste 0,5 seconden:

We vinden:

Fgem = 0,7 kN.

vgem = 2,3 m/s.

P = Fv

P = 700 x 2,3 = 1610 W W = Pt

W = 1610 x 0,5 = 8,1 x 10² J

METHODE 2:

Δx = vgem Δt

Δx = 2,3 x 0,5 = 1,15 m.

W = F s

W = 0,7 10³ x 1,15 = 8,1 10² J

8

a. Voor het vermogen geldt: P = ΔE / Δt. In een E,t-diagram geldt dus: hoe steiler de grafiek, hoe groter het vermogen. Wanneer je met je geodriehoek ‘langs’ de grafiek gaat, vindt je dat de grafiek het steilste loopt op t = 0,08 s.

b. De stijgende grafiek is de zwaarte-energie en de dalende grafiek is de afzetenergie. Op t = 0 begint de sprong en daar staat de springer dus nog stil (v = 0 m/s). Hier is de kinetische energie dus ook nul.

Op t = 0,5 s loopt de lijn van de zwaarte-energie voor een moment horizontaal (de lijn zal hierna weer gaan dalen). De hoogte blijft hier dus een moment gelijk en dat betekent dat de springer zijn hoogste punt bereikt heeft. Ook hier staat de persoon dus een moment stil en is de kinetische energie dus nul.

c. Op het tijdstip t = 0 is de afzetenergie 8,2 x 10² J, de zwaarte-energie 5,8 x 10² J en de kinetische energie 0 J (zie vraag b). De totale energie is hier dus gelijk aan:

8,2 10² + 5,8 10² + 0 = 14 10² J

Doordat energie behouden blijft moet gelden dat op elk moment de totale energie gelijk is aan 14 x 10² J (zie de blauwe lijn in de onderstaande diagram).

We kunnen nu de grafiek voor de kinetische energie zo tekenen dat de drie energieën samen 14 x 10² J leveren (zie de rode grafiek in het bovenstaande diagram).

9

a. Bij een vrije val geldt: Ez,begin = Ek,eind

m 9,81 h = 1/2 x m x 15,2²

We kunnen de massa aan beide kanten wegstrepen.

9,81 h = 115,52

h = 115,52 / 9,81 = 12 m

b. De verplaatsing is een kwart cirkel:

s = 1/4 x 2πr = 1/4 x 2π 5 = 7,9 m.

De energievergelijking is:

Ek,b + Ez = Ek,e + Q

1/2 x 250 x 15,2² + 250x 9,81x 5,0 = 1/2 x mx ve2 + 0,5x 10³ x 7,9 41142,5 = 1/2x 250x ve2 + 3926,99

125 ve2 = 37215,5 ve2 = 297,7 ve = 17 m/s

c. De totale massa is 250 kg + 30 kg = 280 kg.

Frem = Prem / v

Frem = 12 x 10³ / 15 = 800 N.

Een remkracht van 800 N levert dan een vertraging.

a = Fres / m

a = 800 / 280 = 2,9 ms^-2 d. Ekin = 1/2 x m x v²

Ekin = 1/2 x 280 x 15² = 31500 J.

Elke veer moet dus een energie van 31500 / 2 = 15750 J opnemen.

Eveer = 1/2 C u²

15750 = 1/2 x C x 1,2²

C = 15750 / ( 1/2 ^. 1,2²) = 2,2 10⁴ N/m

Paragraaf 5: (F,s)-diagrammen

1

a. Gedurende de gehele beweging is de kracht positief en volgens Fres = ma is dan ook de versnelling positief. We hebben dus gedurende de gehele beweging te maken met een versnelling (zelfs in de laatste seconde—hier neemt de kracht af, maar de kracht blijft positief, dus blijft de versnelling ook positief).

b. Het oppervlak onder de grafiek bestaat uit twee driehoeken en een rechthoek:

(30x1)/2 + 30x4 + (30x1)/2 = 1,5 x 10² J 2

a. De formule voor de veerkracht is Fveer = Cu. De helling van de grafiek is hier gelijk aan C. We vinden:

C = Fveer / u

C = 200 / 0,06 = 3,3 x 10³ N/m

b. Het oppervlak onder de grafiek tussen u = 1 cm en u = 5 cm bestaat uit een driehoek en een rechthoek.

32,5x4 + (135x4)/2 = 4,0 x 10² J

3

a. Als de snelheid constant is, dan moet de resulterende kracht nul zijn. Op dit moment moet de zwaartekracht daarom gelijk zijn aan de elastische kracht. Voor de zwaartekracht geldt:

Fz = mg

Fz = 250 x 9,81 = 2,45 x 10³ N

In het diagram kunnen we aflezen dat op een hoogte van 16 meter de elastische kracht ook gelijk is aan 2,45 x 10³ N. Hier moet de snelheid dus even constant zijn.

b. Op het laagste punt werkt alleen elastische energie en op het hoogste punt alleen zwaarte- energie. Er geldt dus:

Eelas = Ez

Eelas rekenen we uit met het oppervlak onder de grafiek. Voor één hokje geldt 2000 x 2 = 4000 meter. Er zijn in totaal ongeveer 27 hokjes. Het totale oppervlak is dus:

4000 x 27 = 1,1 x 10⁵ J h = Ez / (gm)

h = 1,1 x 10⁵ / (250 x 9,81) = 44 m.

c. Op h = 24 m is er nog wel een snelheid aanwezig. Er geldt:

Eelas = Ez + Ekin

1,1 x 10⁵ = 250 x 9,81 x 24 + 1/2 x 250 x v² v = 20 m/s

4

a. Ekin,man+stok + Ez,b,man+stok = Ez,e,man + Ez,e,stok

1/2 x (80 + 3) x 8,8² + (80 + 3) x 9,81 x 0,90 = 3 x 9,81 x 3 + 80 x 9,81 x h h = 4,9 m

b. De kinetische energie is omgezet in de veerenergie van het matras. De veerenergie bij het neervallen is gelijk aan het oppervlak onder de bovenste grafiek. 1 hokje is gelijk aan 0,10 x 2000 = 200 J. Er zijn ongeveer 14,5 hokjes. Het totale oppervlak is dus 200 x 14,5 = 2,9 x 10³ J.

Ekin = Eveer

½ x 80 x v² = 2,9 x 10³ J.

v = 8,5 m/s

c. Als de atleet neervalt op de matras, dan doorloopt hij de bovenste grafiek. Het oppervlak hieronder is 2,9 x 10³ J. Als de persoon weer omhoog veert, dan doorloopt hij de onderste grafiek. Het oppervlak hieronder is 1,0 x 10³ J. Dit is de kinetische energie die de persoon terugkrijgt van het matras. De rest van de energie moet dus geabsorbeerd zijn door het matras:

Q = 2,9 x 10³ - 1,0 x 10³ = 1,9 x 10³ J

Paragraaf 6: Gravitatie-energie

1 Maarde = 5,972 x 10²⁴ kg G = 6,67 x 10^-11 m³/kg/s² raarde = 6,371 x 10⁶ m

vontsnapping = √(2GM/r) = 11,2 x 10³ m/s = 11,2 km/s 2 Er geldt:

Ekin,dichtbij + Eg,dichtbij = Ekin,ver + Eg,ver

Op grotere afstand wordt de gravitatie-energie volgens de formule Eg = - GMm/r groter (de negatieve gravitatie-energie komt dan dichter bij de 0 J). Om de totale energie toch gelijk te houden, moet de kinetische energie dus kleiner zijn op grotere afstand.

3 De snelheid moet redelijk dicht bij de nul komen. Vergeleken met de beginsnelheid van 7,5 x 10³ m/s, moet de eindsnelheid dus verwaarloosbaar zijn. We zetten deze dus op nul.

Ekin + Eg,b = Eg,e + Q

1/2 x 5,8 x 10³ x (7,5 x 10³)² – 6,67 x 10^-11 x 5,97 x 10²⁴ x 5,8 x 10³ / (6,371 x 10⁶ + 500 x 10³) = -6,67 x 10^-11 x 5,97 x 10²⁴ x 5,8 x 10³ / (6,371 x 10⁶) + Q

Q = 1,9 x 10¹¹ J

De order van grootte van Q is gelijk aan 10¹¹ J 4 v = 50 km/s = 5,0 x 10⁴ m/s

Ebegin = Ekin + Eg

Ebegin = 1/2mv² – GMm/r

Ebegin = 1/2 x 12 x 10³ x (5,0 x 10⁴)² – 6,67 x 10^-11 x 12 x 10³ x 5,97 x 10²⁴ / (6,371 x 10⁶ + 100 x 10³) = 1,43 x 10¹³ J

Aan het eind van de beweging is slechts 0,20% van deze energie over. Er geldt dus:

Eeind = Ebegin x 0,0020

Eeind = 1,43 x 10¹³ x 0,0020 = 2,85 x 10¹⁰ J Ook geldt:

Eeind = Ekin + Eg

Eeind = 1/2mv² – GMm/r

2,85 x 10¹⁰ = 1/2 x 6 x 10³ x v² – 6,67 x 10^-11 x 6,0 x 10³ x 5,97 x 10²⁴ / (6,371 x 10⁶) v = 1,2 x 10⁴ m/s

5

a. De formule voor de gravitatie-energie is:

Eg,baan = -GMm/r

Als r groter wordt, dan komt de negatieve energie dichter bij de 0 J te liggen. De energie neemt dus toe als r toeneemt.

b. De straal r bij het afwerpen van de raket is gelijk aan de straal van de aarde + 300 km:

rb = 6,371 x 10⁶ + 300 x 10³

De straal r bij de maan is gelijk aan de afstand van aarde tot maan uit BINAS min de straal van de maan.

re = 384,4 x 10⁶ – 1,74 x 10⁶ Ekin + Eg,b = Eg,e

Ekin - 6,67 x 10^-11 x 5,972 x 10²⁴ x 4,0 x 10³ / (6,371 x 10⁶ + 300 x 10³) = - 6,67 x 10^-11 x 5,972 x 10²⁴ x 4,0 x 10³ / (384,4 x 10⁶ – 1,74 x 10⁶)

De kinetische energie is dus gelijk aan:

Ekin = 2,4 x 10¹¹ J 6

a. Als de satelliet nog op het aardoppervlak is, dan is r gelijk aan de straal van de aarde. Er geldt dan dus:

Eg,aarde = -GMm/r = - 6,67 x 10^-11 x 5,972 x 10²⁴ x 3,90 x 10³ / (6,371 x 10⁶) = - 2,4 x 10¹¹ J Op een hoogte van 3,58 x 10⁷ m boven het aardoppervlak is r gelijk aan:

3,58 x 10⁷ m + 6,371 x 10⁶ m = 4,2 x 10⁷ m Er geldt dan dus:

Eg,baan = -GMm/r = - 6,67 x 10^-11 x 5,972 x 10²⁴ x 3,90 x 10³ / (4,2 x 10⁷) = - 3,7 x 10¹⁰ J Het verschil tussen deze energiën is gelijk aan de geleverde arbeid van de gravitatiekracht:

Wg = Eg,aarde - Eg,baan = (- 3,7 x 10¹⁰ J) - (- 2,4 x 10¹¹ J) = 2,0 x 10¹¹ J

b. De snelheid waarmee het aardoppervlak bij de evenaar draait berekenen we met:

v = 2πr / T

v = 2π x 6,371 x 10⁶ / (24 x 60 x 60) = 463 m/s

Ekin,aarde = 1/2mv² = 1/2 x 3,90 x 10³ x 463² = 4,19 x 10⁸ J

c. Aan het begin hebben we kinetische energie en gravitatie-energie en motorenergie. Aan het eind is de motorenergie op en hebben we een andere kinetische energie en een andere gravitatie-energie:

Emotor + Ekin,aarde + Eg,aarde = Ekin,baan + Eg,baan

Emotor + 4,19 x 10⁸ J + (- 2,4 x 10¹¹ J) = 1/2 x 3,90 x 10³ x (3054)² + (- 3,7 x 10¹⁰ J) Emotor = 2,2 x 10¹¹ J

7

a. De afstand tussen de aarde en Aldebaran is volgens BINAS gelijk aan 631 x 10¹⁵ m.

1 AE = 149,6 x 10⁹ m

v = 2,6 AE/jaar x 149,6 x 10⁹ = 3,89 x 10¹¹ m/jaar Δt = Δx / v

Δt = 631 x 10¹⁵ / (3,89 x 10¹¹) = 1,6 x 10⁶ jaar

b. Tim heeft gelijk. De zon remt de verkenner af bij het ontsnappen uit het zonnestelsel. Met deze lagere snelheid zal de verkenner het grootste deel van de afstand tot deze ster afleggen.

Pas dicht bij de ster zal de snelheid iets toenemen door de grote massa van Aldebaran. Dit heeft dus echter geen invloed op de snelheid gedurende het grootste deel van de vlucht.

c. v = 2,6 AE/jaar = 3,89 x 10¹¹ m/jaar

v = 3,89 x 10¹¹ / (365 x 24 x 60 x 60) = 1,23 x 10⁴ m/s Als Eg + Ekin ≥ 0, dan ontsnapt de verkenner. Er geldt dan:

-GMm/r + 1/2 mv² ≥ 0 -GM/r + 1/2 v² ≥ 0

- 6,67 x 10^-11 x 1,989 x 10³⁰ / (6,2 x 10¹²) + 1/2 x (1,23 x 10⁴)² = 5,47 x 10⁷ (J/kg) Dit is veel groter dan nul, dus de verkenner kan gemakkelijk ontsnappen.

Paragraaf 7: Modelleren met energie

1

a. De toename van de kinetische energie is gelijk aan:

ΔE = P x Δt

Deze toename voegen we toe aan de kinetische energie die het voorwerp al had:

Ek = Ek + ΔE We vinden dus:

Ek = Ek + Pm x dt

Met de formule voor de kinetische energie schrijven we:

v = √(2Ek/m)

b. De warmte vinden we met de formule Q = Fw x s.

Q = Fw x dx

Nu halen we de warmte van de kinetische energie af:

Ek = Ek + Pm x dt - Q

De formule voor de snelheid is weer hetzelfde:

v = √(2Ek/m) 2

a. Het netto vermogen bestaat uit het vermogen van de motor min het vermogen van de wrijvingskracht:

Pnettoc= Pm – Pw

Met P = Fv vinden we dan:

Pnetto = Pm – Fw x v

De toename van de kinetische energie is gelijk aan:

ΔE = P x Δt

Deze toename voegen we toe aan de kinetische energie die het voorwerp al had:

Ek = Ek + ΔE We vinden dus:

Ek = Ek + Pnetto x dt

b. De nettosnelheid (v – vwind) wordt kleiner door de windsnelheid. En als gevolg is er dus een kleinere wrijvingskracht. Dit gebeurt bij wind mee.

3 In de vorige stap is dW uitgerekend. Dit is de arbeid die de motorkracht verricht heeft en is dus gelijk aan de motorenergie die in deze afstand dx verbruikt is. Met een rendement van 100%, is dit ook gelijk aan de chemische energie.

Met de formule voor de chemische energie (Ech = rm) kunnen we de verbruikte massa (dm) in tijdstapje dt uitrekenen:

dm = Ech / r

De stookwaarde is in deze opdracht de verbrandingswarmte genoemd:

dm = dW/verbrandingswarmte

De verbruikte massa moeten we nu van de totale massa afhalen:

m_brandstof = m_brandstof - dm