Het automatiseren van rekenen en voorspellers voor rekenvaardigheid

FACULTEIT DER MAATSCHAPPIJ- EN GEDRAGSWETENSCHAPPEN Graduate School of Childhood Development and Education

Het automatiseren van rekenen en

voorspellers voor rekenvaardigheid

Masterscriptie Orthopedagogiek

Faculteit der Maatschappij en Gedragswetenschappen Universiteit van Amsterdam

Student: J.J. Roosendaal (10002966) Begeleidster: M. van den Boer, Msc Tweede beoordelaar: Prof. dr. P.F. de Jong

Inhoudsopgave Inhoudsopgave ... 2 Abstract ... 3 Inleiding ... 4 Automatiseren ... 4 Voorspellers rekenvaardigheid ... 6 Fonologisch werkgeheugen ... 6 Getalbegrip ... 7

Overlap met lezen ... 8

Fonologisch bewustzijn ... 9 Huidig onderzoek ... 10 Methode ... 11 Beschrijving steekproef ... 11 Meetinstrumenten ... 11 Procedure ... 15 Resultaten ... 17 Descriptieve statistieken ... 17 Automatiseren ... 19 Voorspellers rekenvaardigheid ... 20 Getalbegrip ... 20 Fonologische vaardigheden ... 23 De ultieme test ... 25 Discussie ... 26 Automatiseren ... 26 Voorspellers rekenvaardigheid ... 27

Fonologische vaardigheden als voorspeller voor rekenvaardigheid en leesvaardigheid ... 29

Beperkingen van het onderzoek ... 30

Conclusie ... 31

Literatuurlijst ... 32

Bijlagen – uitgevoerde taken ... 34

Abstract

In deze studie werd onderzocht hoe we kunnen vaststellen wanneer kinderen rekenfeiten geautomatiseerd hebben door gebruik te maken van rapid automatized naming. Daarnaast werd gekeken naar fonologisch werkgeheugen, getalbegrip, fonologisch bewustzijn en RAN als voorspellers voor rekenvaardigheid. Er namen 27 kinderen uit groep 4 en 29 kinderen uit groep 7 deel aan het onderzoek. De resultaten lieten zien dat kinderen in groep 7 simpele sommen tot tien geautomatiseerd hebben, echter bij complexe sommen tot twintig was er geen sprake van automatiseren. In groep 4 werd niet aangetoond dat kinderen de simpele en complexe sommen automatiseren. Getalbegrip kwam naar voren als belangrijke voorspeller voor rekenvaardigheid. Uit huidig onderzoek kwamen fonologisch werkgeheugen en fonologisch bewustzijn niet naar voren als voorspeller voor rekenvaardigheid.

Abstract

This study examined how we can determine when children have automatized arithmetic facts by using Rapid Automatized Naming (RAN). Moreover, we studied phonological working memory, number sense, phonological awareness and RAN as predictors of arithmetic skills. Twenty-seven second grade children and twenty-nine fifth grade children participated in this study. The results indicated that fifth grade children have automatized simple arithmetic facts, however these same children have not yet automatized the more complex facts. The results did not demonstrate that children in the second grade automatized the arithmetic facts. Number sense was found to be a significant predictor of arithmetic skills. Phonological working memory and phonological awareness were not found to be predictors of arithmetic skills.

Inleiding

De afgelopen jaren is er steeds meer aandacht binnen het onderwijs voor de basisvaardigheden van rekenen. Onder rekenbasisvaardigheden worden optelsommen, aftreksommen, keersommen en delingen verstaan. Deze basisvaardigheden zijn van belang in het dagelijks leven. Moeilijkheden met deze vaardigheden kunnen problemen geven in de schoolse ontwikkeling van het kind, maar ook in het dagelijks leven worden problemen ondervonden. Hierbij kan gedacht worden aan het betalen in een winkel, maar ook aan het optellen van punten bij het sporten (Berg, 2008). Op de basisschool wordt daarom al vroeg ingezet op het automatiseren van de basisvaardigheden van rekenen, zodat leerlingen hier profijt van hebben bij de ontwikkeling van latere rekenvaardigheden. In de dagelijkse schoolpraktijk wordt er veel tijd besteed aan het herhalen en inoefenen van de rekenbasisvaardigheden. Van de kinderen wordt verwacht dat ze rekenfeiten makkelijk en accuraat kunnen reproduceren en dat de aangeleerde rekenbasisvaardigheden hierbij worden ingezet. Onder rekenfeiten worden de antwoorden van simpele sommen verstaan (Locuniak & Jordan, 2008; Koponen, Aunola, Ahonen, & Nurmi, 2006). In het huidige onderzoek wordt onderzocht hoe vastgesteld kan worden wanneer kinderen rekenvaardigheden automatiseren. Daarnaast is er gekeken naar voorspellers van rekenvaardigheid.

Automatiseren

Dagelijks wordt van kinderen verwacht dat ze rekenfeiten makkelijk en accuraat kunnen reproduceren (Locuniak & Jordan, 2008; Koponen et al., 2006). Onder het automatiseren van rekenen wordt het snel, makkelijk en accuraat kunnen ophalen en uitvoeren van aangeleerde rekenbasisvaardigheden verstaan. Maar ook het direct ophalen van rekenfeiten. Het automatiseren van deze aangeleerde basisvaardigheden en rekenfeiten is van belang voor het oplossen van wiskundige problemen in de latere rekenontwikkeling. Het uitvoeren van rekensommen met grotere getallen hangt af van de mate waarin de basisvaardigheden zijn geautomatiseerd. Bijvoorbeeld het optellen en aftrekken van sommen tot duizend kunnen gemakkelijker worden opgelost wanneer de sommen tot twintig geautomatiseerd zijn en ook deelsommen worden beter gemaakt wanneer de keersommen geautomatiseerd zijn (Locuniak & Jordan, 2008). Voordat er sprake is van het automatiseren van rekenen maken kinderen stappen in de rekenontwikkeling.

Om te weten te komen hoe kinderen rekenfeiten automatiseren, hebben Fanget, Thevenot, Castel en Fayol (2011) onderzoek gedaan naar het oplossen van simpele

optelsommen bij tienjarige kinderen. Ze onderzochten of oplossingen opgehaald worden uit het lange termijn geheugen of dat er een rekenstrategie wordt gebruikt om tot een oplossing te komen. Een rekenstrategie houdt in: een manier om tot een oplossing te komen, zoals verder tellen, dubbelen of de som omdraaien. Uit eerder onderzoek van Thevenot, Fanget, en Fayol (2007) bleek dat bij sommen onder de tien de oplossingen vaak uit het geheugen worden opgehaald. Vervolgens neemt het gebruik van rekenstrategieën toe bij het vinden van oplossingen voor sommen groter dan tien. In het onderzoek van Fanget et al. (2011) hebben kinderen vergelijkingsopgaven en optelsommen gekregen. Bij de vergelijkingen moesten kinderen aangeven of een derde getal tussen twee andere getallen invalt. Bij de optelsommen moesten kinderen aangeven of een derde getal correspondeert met de uitkomst van de som van de eerste twee getallen. Uit dit onderzoek is gebleken dat het herkennen van getallen na een vergelijking niet moeilijker is dan na een optelsom wanneer het een som tot de tien is. Dit laat zien dat kinderen de getallen vasthouden in het werkgeheugen om tot een oplossing te komen. Bijvoorbeeld bij de som “6+4=10”, het getal zes wordt vastgehouden in het geheugen en wanneer het getal 4 gepresenteerd wordt, wordt direct het antwoord “10” geactiveerd. Dit wil zeggen dat simpele rekensommen worden opgelost door het ophalen van de oplossing uit het geheugen en er geen rekenstrategieën worden gebruikt. Wanneer er een rekenstrategie wordt gebruikt zullen de getallen “7, 8, 9” in dit geval ook tijdelijk vastgehouden worden in het geheugen en duurt het langer voordat de som opgelost is.

Een andere manier om te kijken naar automatiseren komt voort uit onderzoek naar lezen, maar kan mogelijk ook voor rekenen van belang zijn. Het gaat hierbij om het gebruik van rapid automized naming (RAN) om automatiseren vast te stellen. RAN is de vaardigheid een set bekende symbolen te benoemen, zoals letters, cijfers, objecten en kleuren (de Jong, 2011). In het onderzoek van de Jong (2011) wordt aangetoond dat RAN gebruikt kan worden om vast te stellen of woordlezen geautomatiseerd is. De relatie tussen RAN en leesvloeiendheid is afhankelijk van zowel RAN als de leestaak. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen het serieel snelbenoemen en het discreet snelbenoemen. De serieel snelbenoemtaak bestaat uit een reeks van 50 letters of cijfers die achter elkaar hardop gelezen worden. Bij het discreet snelbenoemen verschijnt er op een computerscherm één voor één een letter of cijfer dat zo snel mogelijk benoemd moet worden. Er kan gesproken worden van geautomatiseerd lezen op het moment dat er een significante correlatie is tussen het discreet snelbenoemen van letters of cijfers en het discreet snelbenoemen van één-lettergrepige woorden. Daarbij dient er geen significante of een lagere correlatie te zijn tussen het serieel snelbenoemen van letters en het discreet snelbenoemen van één-lettergrepige woorden. In dat

geval is er geen sprake van automatiseren, maar van een serieel proces, namelijk decoderen. Uit het onderzoek van de Jong (2011) kan geconcludeerd worden dat het discreet snelbenoemen van letters en cijfers samenhangt met het discreet snelbenoemen van één-lettergrepige woorden. Dus als er geautomatiseerd is gaat het hardop lezen van een woord ongeveer op dezelfde manier als het hardop lezen van een letter of cijfer, namelijk door middel van het ophalen uit het geheugen.

In het huidige onderzoek wordt bekeken of de manier om automatiseren van lezen vast te stellen ook op gaat voor het vaststellen van het automatiseren van rekenen. Het proces van het automatiseren van lezen is vergelijkbaar met het proces van het automatiseren van rekenen. In het proces van het automatiseren van lezen begint het kind met het letter voor letter decoderen van woorden en dat ontwikkelt zich naar het vloeiend lezen. In het proces van het automatiseren van rekenen begint het kind met strategieën gebaseerd op tellen. Uiteindelijk verandert het proces van één-voor-één optellen naar het ophalen van oplossingen van rekensommen uit het geheugen (De Jong, 2011; Hecht, Torgesen, Wagner, en Rashotte, 2001; Koponen, Salmi, Eklund, en Aro, 2012; Koponen et al., 2006). Uiteindelijk wordt verwacht dat wanneer een kind rekenen heeft geautomatiseerd het de antwoorden van de sommen direct kan benoemen (Hecht et al., 2001). In het huidige onderzoek wordt gekeken naar de samenhang tussen het snelbenoemen van letters en cijfers en het snelbenoemen van simpele en complexe sommen, om te bepalen of via de methode waarmee gekeken is naar het automatiseren van lezen ook het automatiseren van rekenen vastgesteld kan worden. Namelijk wanneer het discreet snelbenoemen van een cijfer of letter op dezelfde manier gaat als het discreet benoemen van simpele en complexe sommen is het rekenen geautomatiseerd.

Voorspellers rekenvaardigheid

Een tweede vraag die in dit onderzoek centraal staat is welke voorspellers van belang zijn voor rekenvaardigheid. In het huidige onderzoek zullen fonologisch werkgeheugen, getalbegrip, RAN en fonologisch bewustzijn als voorspellers worden meegenomen.

Fonologisch werkgeheugen

Uit verschillende onderzoeken komt naar voren dat het werkgeheugen een belangrijke voorspeller is voor rekenvaardigheid. Ten eerste wordt aangegeven dat het werkgeheugen belangrijk is voor het ophalen van rekenfeiten en -vaardigheden. Dit wordt ondersteund in het onderzoek van Locuniak en Jordan (2008). Zij laten zien dat het werkgeheugen een belangrijke voorspeller is voor rekenvaardigheid, omdat het werkgeheugen in voldoende mate

ontwikkeld moet zijn om zowel rekenfeiten als rekenbasisvaardigheden uit het geheugen op te kunnen halen. Ook Geary (1993) geeft aan dat het werkgeheugen een belangrijke rol speelt in de rekenontwikkeling. Bij het vinden van de oplossing van een som als “2+5” kan het zijn dat kinderen verschillende rekenstrategieën gebruiken zoals verder tellen op de vingers of de som omdraaien. Hier wordt gesteld dat kinderen die beschikken over een goed werkgeheugen beter in staat zullen zijn om rekenfeiten snel en accuraat uit het geheugen op te halen. Het oplossen van een rekensom verloopt via het werkgeheugen, want tijdens de verwerking kunnen oplossingen vastgehouden worden in het werkgeheugen (Hecht et al., 2001; Geary, 1993).

Verder wordt in het onderzoek van De Smedt, Janssen, Bouwens, Verschaffel, Boets, en Ghesquière (2009) bevestigd dat het werkgeheugen een belangrijke voorspeller is voor rekenvaardigheid. De Smedt et al. (2009) hebben een longitudinaal onderzoek gedaan naar de relatie tussen het werkgeheugen en individuele verschillen in de rekenontwikkeling. Centraal in het werkgeheugen bevinden zich de centrale executieve functies. Deze staan voor de controle, regulatie en monitoren van complexe cognitieve processen, hieronder valt onder andere rekenen (Baddeley, 2003). Er wordt zelfs gesteld dat toetsing van het werkgeheugen op jonge leeftijd een waardevolle meting kan zijn om de rekenontwikkeling van een kind te bepalen.

Ten slotte blijkt uit het onderzoek van Berg (2008) dat het werkgeheugen ook een belangrijke rol speelt bij het oplossen van complexere rekenbewerkingen. Dit is vooral van belang wanneer een rekenprobleem verbaal wordt aangeboden. In het werkgeheugen moet de verhaalsom omgezet worden naar een rekensom, zodat er een bewerking kan plaatsvinden en het goede antwoord gevonden wordt. Bijvoorbeeld bij de verhaalsom “Bij de sportdag heeft team 1 40 punten gehaald en team 2 heeft 56 punten gehaald. Hoeveel heeft team 2 meer dan team 1?”. Het verhaal moet omgezet worden naar de som “56–40”, dit vindt plaats in het werkgeheugen. Kortom, het werkgeheugen is een belangrijke voorspeller als het gaat om het ophalen van antwoorden uit het geheugen en het verwerken van rekensommen. Verder heeft het werkgeheugen ook invloed op andere cognitieve voorspellers die van belang zijn bij het automatiseren van rekenen en vervolgens bij de bredere rekenontwikkeling, zoals getalbegrip.

Getalbegrip

Een andere belangrijke component die rekenvaardigheid kan voorspellen is getalbegrip (Locuniak & Jordan, 2008). Jordan et al. (2006) verstaan onder getalbegrip de componenten tellen, schatten, getalpatronen, getalkennis en getaltransformatie. Deze reeks vaardigheden komt overeen met de betekenis van getalbegrip gegeven door Berch (2005). In dit onderzoek

wordt getalbegrip omschreven als het vermogen om kleine hoeveelheden in één keer te herkennen zonder te tellen, getalpatronen te onderscheiden, hoeveelheden te onderscheiden en te schatten, te tellen en eenvoudige bewerkingen met getallen uit te voeren (Berch, 2005). Als eerste wordt tellen gezien als belangrijk onderdeel van getalbegrip (Locuniak & Jordan, 2008; Jordan et al., 2006). Tellen blijkt een belangrijke voorspeller voor het automatiseren van rekenen (Koponen et al. 2006). Een tweede belangrijk aspect van getalbegrip dat samenhangt met rekenvaardigheid, is hoeveelheden in één keer herkennen, gemeten door middel van stippen tellen (Landerl, Bevan, & Butterworth, 2004). Een paar jaar later wordt in het onderzoek van Landerl, Fussenegger, Moll, en Willburger (2009) ook aangegeven dat plaatsing op de getallenlijn van belang is voor rekenvaardigheid. Door te oefenen met plaatsing op de getallenlijn komt er inzicht in de getallenlijn en dat werkt bevorderlijk voor getalbegrip en uiteindelijk voor de rekenvaardigheid. Daarbij lijkt het van belang dat de testen op het gebied van getalbegrip getimed worden. Door de snelheid te meten wordt gemeten hoe snel hoeveelheden herkend worden, dus in hoeverre het getalbegrip ontwikkeld is. Want wanneer er alleen naar de accuratesse wordt gekeken, zou het moeilijk zijn om onderscheid te maken tussen kinderen. Alle kinderen kunnen uiteindelijke tellen en lossen de taak goed op. Bovendien is het belangrijk te achterhalen welke specifieke componenten van getalbegrip meer voorspellend zijn voor rekenvaardigheid dan anderen. Uit het onderzoek van Locuniak en Jordan (2008) komt naar voren dat getalbegrip zeer belangrijk is voor de ontwikkeling van het automatiseren van rekenen. Kinderen met een beter getalbegrip en een beter vermogen om relaties tussen nummers te leggen hebben een voordeel als het gaat om rekenvaardigheid.

Overlap met lezen

Uit verschillende onderzoeken blijkt dat er een raakvlak is tussen lees- en rekenvaardigheid. Het verband tussen rekenen en lezen kan verklaard worden doordat voor beide vaardigheden een beroep gedaan wordt op de algemene cognitieve competenties (De Smedt, Taylor, Archibald, & Ansari, 2010). Koponen et al. (2012) hebben longitudinaal onderzoek gedaan bij kinderen tussen de vijf en tien jaar. Er wordt in het onderzoek aangegeven dat kinderen die moeite hebben met rekenen vaak ook moeite hebben met lezen. Hieruit kan worden afgeleid dat mogelijk dezelfde cognitieve voorspellers aan de basis liggen van rekenen en lezen (Koponen et al., 2012; Koponen et al., 2006; De Smedt et al., 2010). Bijvoorbeeld RAN, naast dat RAN mogelijk iets kan vertellen over de mate van automatiseren van lezen wordt er ook aangetoond dat RAN een belangrijke voorspeller is van rekenen (Koponen et al., 2012). Koponen et al. (2012) hebben in hun onderzoek gekeken of

tellen en RAN significante voorspellers zijn voor de rekenontwikkeling. Daarnaast wordt gekeken naar de cognitieve mechanismen die een verband tussen de voorspellers mogelijk kunnen verklaren. In het huidige onderzoek wordt RAN als voorspeller voor rekenvaardigheid meegenomen.

Naast RAN zijn er nog twee mogelijke overlappende voorspellers. Zowel het fonologisch werkgeheugen als fonologisch bewustzijn worden genoemd als voorspellers voor lezen (Hecht et al., 2001; de Smedt et al., 2009; de Smedt et al., 2010). In het huidige onderzoek worden het fonologisch werkgeheugen en het fonologisch bewustzijn ook als voorspeller voor rekenvaardigheid meegenomen.

Fonologisch bewustzijn

Een bekende voorspeller van lezen is fonologisch bewustzijn. In dit onderzoek wordt gekeken of fonologisch bewustzijn ook een voorspeller is van rekenen. Fonologisch bewustzijn heeft betrekking op iemands bewustzijn van taal, de klankvorm en de manipulatie van klanken (Wagner & Torgesen, 1987). In het onderzoek van Hecht et al. (2001) wordt aangetoond dat er een overeenkomst is tussen de manier waarop rekensommen worden opgelost en de manier waarop fonologisch bewustzijn taken worden uitgevoerd. Hierbij is de fonologische lus, die verantwoordelijk is voor de tijdelijke opslag van fonologische informatie, van belang (Baddeley, 2003). Wanneer het kind een som verbaal aangeboden krijgt, wordt de som opgelost door gebruik te maken van het fonologisch decoderen van de som, bijvoorbeeld bij de som “18+7”. Om tot de oplossing te komen moet een kind de som fonologisch verwerken door de getallen te activeren als innerlijke taal. Vervolgens kan een kind een rekenstrategie toepassen. Bijvoorbeeld door eerst twee op te tellen bij achttien en dan vervolgens er nog vijf bij op te tellen. Of anders door eerst acht plus 7 te berekenen en dat bij de tien op te tellen. Deze denkstappen worden tijdelijk opgeslagen in de fonologische lus en kunnen gebruikt worden. Volgens Geary, Hoard, en Hamson (1999) wordt bij het oplossen van een som als “3x4” een op fonologie gebaseerd antwoord opgehaald uit het geheugen. Daarnaast, als het kind de telstrategie gebruikt, wordt de fonologische lus ook gebruikt om de fonologische codes van de getallen te produceren (Geary, 1993). Kortom, de fonologische lus is van belang voor het oplossen van rekensommen. Wanneer een kind zwakke fonologische vaardigheden heeft, heeft het moeite met het leren van rekenfeiten en -vaardigheden. Dit kan een verband veronderstellen tussen het fonologisch bewustzijn en rekenvaardigheid (De Smedt et al., 2010). Uit bovenstaande theorie kan geconcludeerd worden dat fonologisch bewustzijn naast een voorspeller voor lezen ook een voorspeller is voor rekenvaardigheid.

Huidig onderzoek

In het huidige onderzoek wordt ten eerste gekeken hoe we kunnen vaststellen wanneer kinderen rekenfeiten geautomatiseerd hebben. Dit wordt gedaan door het berekenen van correlaties tussen het serieel en discreet snelbenoemen van letters en cijfers met simpele en complexe sommen. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen groep 4 en groep 7. Verwacht wordt dat als rekenen geautomatiseerd is, er een significante correlatie is tussen het discreet snelbenoemen van cijfers of letters en het discreet benoemen van de antwoorden op simpele en complexe sommen. Wanneer een significante correlatie wordt gevonden tussen het serieel snelbenoemen van letters of cijfers en het serieel of discreet snelbenoemen van simpele of complexe sommen is er meer sprake van het gebruik van rekenstrategieën.

Vervolgens wordt gekeken naar voorspellers voor rekenvaardigheid. Als voorspellers voor rekenvaardigheid worden in het huidige onderzoek het fonologisch werkgeheugen, getalbegrip, RAN en het fonologisch bewustzijn meegenomen. Eerst wordt gekeken naar de invloed van fonologisch werkgeheugen en getalbegrip op de rekenvaardigheid van kinderen. Daarna wordt gekeken naar de invloed van de overlappende voorspellers, fonologisch bewustzijn en RAN, op rekenvaardigheid en leesvaardigheid. Hierbij wordt verwacht dat RAN en het fonologisch bewustzijn zowel voorspellend zijn voor leesvaardigheid als voor rekenvaardigheid.

Methode

Beschrijving steekproef

Aan dit onderzoek hebben van één basisschool 27 kinderen uit groep 4 (8 jongens en 19 meisjes) en 29 kinderen uit groep 7 (13 jongens en 16 meisjes) meegedaan. Er zijn geen specifieke inclusie of exclusie criteria gebruikt. Van alle kinderen hadden twee kinderen een andere moedertaal, de rest heeft Nederlands als moedertaal. De kinderen uit groep 4 hadden een gemiddelde leeftijd van acht jaar en nul maanden (SD = 4.527 maanden) en de kinderen uit groep 7 hadden een gemiddelde leeftijd van elf jaar en nul maanden (SD = 5.904 maanden).

Meetinstrumenten

Tijdens de metingen kregen de kinderen testen op het gebied van rekenvaardigheid, RAN, getalbegrip, fonologisch werkgeheugen, fonologisch bewustzijn, en leesvaardigheid.

Rekenvaardigheid Tempo-toets-rekenen

Om de rekenvaardigheid te meten werd gebruik gemaakt van de tempo toets rekenen (TTR; De Vos, 1992). De toets bestaat uit vijf onderdelen waarbij de vaardigheden optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en een combinatie van alle vaardigheden getest werden. Deze onderdelen worden aangeboden op een A4 papier met vijf kolommen; per kolom één vaardigheid. In het huidige onderzoek werden de vaardigheden optellen, aftrekken en vermenigvuldigen meegenomen. Ieder onderdeel bestond uit 40 items, die toenamen in moeilijkheid. Het kind kreeg per onderdeel één minuut de tijd om zoveel mogelijk sommen met zo min mogelijk fouten te maken. Per onderdeel werd er een ruwe score en een normscore berekend. Bij de ruwe score was 40 de maximale score bij ieder onderdeel. Bij de normscore werd het aantal goed gemaakte sommen omgezet naar de didactische leeftijd (DLE) van het kind. Daarbij was 70 onderwijsmaanden de maximale score. Bijvoorbeeld, een kind had bij het optellen 24 goed gemaakte sommen dan hoorde daar een DLE bij van 41 onderwijsmaanden. Dat wil zeggen dat het niveau van het kind ligt in begin groep 7.

Simpele en complexe sommen

Naast de TTR werd ook het serieel en discreet snelbenoemen van simpele en complexe sommen gebruikt om de rekenvaardigheid bij kinderen te meten.

Bij het serieel snelbenoemen van simpele sommen kreeg het kind een A4 papier met in totaal 18 simpele sommen waarbij het antwoord niet hoger was dan tien. Een voorbeeld van een simpele som is “2 + 3”. Bij het serieel snelbenoemen van complexe sommen kreeg het kind een A4 papier met in totaal 15 complexe sommen waarbij het antwoord niet hoger was dan 20. Een voorbeeld van een complexe som is “4 + 7”. De sommen waren weergeven in een lijst onder elkaar. Aan de kinderen werd gevraagd om de antwoorden van de sommen hardop en zo snel mogelijk te benoemen, zonder fouten te maken. De tijd dat kinderen over de taak deden werd genoteerd. Deze scores werden uiteindelijk omgezet naar het aantal correct benoemde sommen per seconde.

Bij het discreet snelbenoemen van simpele en complexe sommen verschenen dezelfde sommen als bij het serieel snelbenoemen, maar dan omgekeerd, dus bij het serieel benoemen “2 + 3” en bij het discreet benoemen “3 + 2”. De sommen verschenen één voor één op een computerscherm in plaats van op een A4 papier. Deze taak was geprogrammeerd in het programma E-prime (Schneider, Eschman, & Zuccolotto, 2002) en startte met enkele voorbeeld sommen. Elke som verscheen op het scherm in zwarte letters op een witte achtergrond. Eerst verscheen er een plusteken op het scherm om de aandacht van het kind te krijgen en vervolgens verscheen de som. Het kind kreeg een microfoon opgespeld en zodra de microfoon het antwoord opving verdween de som van het scherm. De testleider gaf dan op een response box aan of het een correct, incorrect of ongeldig antwoord was. Een poging was ongeldig als de microfoon niet adequaat reageerde op wat het kind zei. Vervolgens verscheen er weer een plusteken op het scherm. De score voor het discreet snelbenoemen was het aantal goed benoemde sommen per seconde.

Rapid automatized naming (RAN)

Bij RAN werd er gebruik gemaakt van zowel serieel als discreet snelbenoemen van letters en cijfers. De letters waren A, D, O, P en S en de cijfers waren 1, 3, 5, 6 en 8.

Serieel snelbenoemen

Bij serieel snelbenoemen waren de vijf symbolen (letters en cijfers) weergegeven op een A4 papier in vijf regels met 10 symbolen. Elke taak begon met één regel van 10 symbolen om het kind te laten oefenen. Vervolgens werd van het kind gevraagd de 50 symbolen hardop zo snel mogelijk te benoemen. De score was de tijd in seconden die het kind deed over het benoemen van de 50 symbolen. Dit werd omgezet naar het aantal benoemde items per seconde.

Discreet snelbenoemen

Bij discreet snelbenoemen waren de symbolen (letters en cijfers) één voor één weergegeven op een computerscherm. De volgorde van de 50 symbolen was gelijk aan die van het serieel snelbenoemen. Ook deze taak begon met 10 symbolen om te oefenen. De taak discreet snelbenoemen was geprogrammeerd in E-prime (Schneider, Eschman, & Zuccolotto 2002). De procedure was hetzelfde als bij het snelbenoemen van simpele en complexe sommen. De score voor het discreet snelbenoemen was het aantal goed benoemde items per seconde.

Getalbegrip

Om getalbegrip te meten werd gebruik gemaakt van verschillende testen. In het huidige onderzoek werd stippen tellen, plaatsing van getallen op een getallenlijn en tellen meegenomen.

Stippen tellen

Ten eerste kregen de kinderen bij stippen tellen 24 patronen met witte en zwarte stippen te zien op het computerscherm. Deze taak was gebaseerd op de stippen taak van Landerl, Bevan, en Butterworth (2004). De aantallen zwarte stippen konden 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 zijn. De kinderen kregen de opdracht om de zwarte stippen te tellen in hun hoofd en het antwoord hardop te zeggen in de opgespelde microfoon. Daarbij werd aan het kind gevraagd zo snel mogelijk te antwoorden zonder fouten te maken. Zodra het kind het antwoord hardop zei verdween het item van het scherm en kwam er een nieuw item te voorschijn. De testleider gaf op een response box aan of het antwoord correct of incorrect was en daarna of het geldig of ongeldig was. De microfoon registreerde de reactietijd. De score voor het stippen tellen was de gemiddelde reactietijd op de goede items.

Getallenlijnen

Ten tweede kregen de kinderen bij het onderdeel getalbegrip twee opdrachten met getallenlijnen. Deze taken zijn gebaseerd op de nummer-positie-taak van Siegler en Opfer (2003, zoals beschreven in Landerl et al. 2009). Bij de eerste opdracht kregen de kinderen vijf getallenlijnen die liepen van 0 tot 20 en vijf getallenlijnen die liepen van 0 tot 100. Deze getallenlijnen werden aangeboden op een A4 papier. Het kind werd gevraagd het juiste getal in te vullen in het lege hokje boven de getallenlijn. De testleider gaf de range van de

getallenlijn en het midden aan. Bij de tweede opdracht kregen de kinderen ook vijf getallenlijnen die liepen van 0 tot 20 en vijf getallenlijnen die liepen van 0 tot 100. Het kind werd gevraagd het getal dat aan het begin van de lijn in het hokje staat op de goede plaats op de getallenlijn te zetten door een streep te trekken. De testleider nam per opdracht de tijd op van item één tot tien. Ook werd het verschil berekend tussen het antwoord van het kind en het juiste antwoord. De totaalscores waren de som van de verschilscores per getallenlijn bij de twee opdrachten. Daarnaast werd de tijd van de twee opdrachten bij elkaar opgeteld om tot een totale tijd te komen.

Tellen

Als laatste kregen de kinderen een teltaak. Deze taak was gebaseerd op de teltaak van Landerl et al. (2004). De kinderen kregen de opdracht om zo snel mogelijk en zonder fouten hardop te tellen van 1 tot 20; 45 tot 65; 0 tot 20 in stappen van twee; en terugtellen van 30 tot 0. Bij elke teltaak werd de tijd gemeten van het eerste tot het laatste item met een stopwatch door de testleider. De totale tijd over alle items samen was de score.

Fonologisch werkgeheugen Luisterspantaak

Om het fonologisch werkgeheugen te meten werd er een luisterspantaak gebruikt die is ontwikkeld aan de Universiteit van Amsterdam. Deze taak was vergelijkbaar met de werkgeheugentaak uit het onderzoek van Hecht et al. (2001). De testleider bood het kind verbaal zinnen aan en van de kinderen werd gevraagd om aan te geven of deze zinnen goed of fout waren. Vervolgens werd er van het kind gevraagd van iedere zin het laatste woord te zeggen in de goede volgorde. De moeilijkheid liep op van twee zinnen naar vijf zinnen per item. Een voorbeeld item van twee zinnen; testleider: “een hond blaft”; kind: “goed”; testleider: “een vogel rijdt”, kind; “fout”, vervolgens kind; “blaft en rijdt”. Voor ieder goed genoemd laatste woord van de zin werd er een punt gescoord, oplopend tot maximaal vijf punten per item. Verder werd er één punt gescoord voor het benoemen van de reeks in de goede volgorde en nul voor een verkeerde volgorde. De test bestond uit twee oefenitems en 4 sets van twee-, drie-, vier- en vijf zinnen, waarbij de maximale score 56 was voor het aantal goede woorden en 16 punten voor de goede volgorde van de reeksen. Uiteindelijk werd de score voor goede volgorde van de reeksen meegenomen in het huidige onderzoek. De taak werd afgebroken als bij de 4 items van hetzelfde aantal zinnen de reeksen niet in de goede volgorde werden genoemd.

Fonologisch bewustzijn Klankdeletietest

Het fonologisch bewustzijn werd gemeten met behulp van de klankdeletietest (de Jong & van der Leij, 2003). Er werd een verkorte versie afgenomen bij de kinderen. Tijdens de test bood de testleider het kind nonwoorden verbaal aan en vroeg het kind een klank weg te laten. Vervolgens gaf het kind aan welk nonwoord er over bleef. De test bestond uit twee delen. Het eerste deel bevatte acht items waarbij één klank weggelaten moest worden uit de één lettergrepige non-woorden en de twee lettergrepige non-woorden. Het tweede deel bevatte 4 items waarbij twee keer dezelfde klank weggelaten moest worden uit twee lettergrepige non-woorden, dus in totaal waren er 12 items. De test begon bij het eerste deel met drie voorbeelditems, vervolgens startte deel twee met twee voorbeelditems. De maximale score die behaald kon worden was 12, want dat is het totaal aantal goede items.

Leesvaardigheid Eén-minuut-leestest

Om deze vaardigheid te meten werd er gebruik gemaakt van de één-minuut-leestest (Brus & Voeten, 1995). In deze test werden woorden gelezen om zo het leesniveau van basisschoolkinderen te bepalen. Aan de kinderen werd gevraagd om in één minuut zoveel mogelijk woorden goed hardop te lezen. De test bestond uit 116 woorden die toenemen in moeilijkheid. De woorden werden aangeboden op een A4 papier in 4 kolommen, die van boven naar beneden gelezen dienden te worden. De ruwe score was het aantal gelezen woorden min het aantal fout binnen een minuut. Daarnaast kon de ruwe score worden omgescoord naar een normscore. De normscore liep van één tot negentien, waarbij tien het gemiddelde was.

Procedure

Het testen heeft plaats gevonden in de maanden april en mei 2013. Voorafgaand aan het testen is er actief toestemming gevraagd aan de school door middel van contact met de directeur en de desbetreffende groepsleerkrachten. Vervolgens hebben de kinderen een brief meegekregen waarmee passief toestemming is gevraagd aan de ouders om deel te mogen nemen. Er is uitgelegd wat het doel is van het onderzoek en dat deelname geheel anoniem is. Tijdens het testen werden de kinderen één voor één uit de klas gehaald. De testleider legde aan het kind uit wat hij of zij kon verwachten en hoe de verschillende taken werkten. Alle testen werden in één keer afgenomen en namen ongeveer 40 minuten in beslag per kind. De

kinderen zijn begonnen met de taken op de computer en vervolgens zijn de overige taken bij ieder kind in dezelfde volgorde afgenomen.

Resultaten

Descriptieve statistieken

De resultaten worden weergegeven in vier delen. Eerst de descriptieve statistieken, dan de correlaties van het automatiseren van rekenen, dan correlaties en regressieanalyses van de voorspellers voor rekenvaardigheid, en als laatste de ultieme test voor de voorspellers van rekenvaardigheid.

Voordat er aan de analyses werd begonnen, werden outliers verwijderd. Dit gebeurde enerzijds op basis van plus of min drie keer de standaarddeviatie van het gemiddelde per taak. Anderzijds werden er scatter plots gemaakt voor de reactietijd op stippen tellen en de totale tijd voor tellen, omdat in eerste instantie voor deze taken een extreem hoge correlatie werd gevonden. Op basis van de scatter plots werden ook outliers verwijderd, waardoor er bij alle taken een normale verdeling ontstond. In groep 4 ging het om twee outliers die op meerdere taken uitvielen en in groep 7 ging het om één outlier die op meerdere taken uitviel.

Vervolgens werden de gemiddelden en standaarddeviaties van iedere taak per groep berekend. Dit is weergegeven in Tabel 1. Zoals werd verwacht, waren de verschillen tussen de gemiddelden op de taken van groep 7 en groep 4 significant. Opvallend was dat groep 4 een hoger gemiddelde had op de normscore van de één-minuut-leestest dan groep 7. Dit betekende dat groep 4 relatief een hoger leesniveau heeft dan groep 7. Als er absoluut wordt gekeken naar de score op de één-minuut-leestest dan scoorde groep 7 hoger dan groep 4.

Tabel 1

Gemiddelden en Standaard Deviaties per groep

Groep 4 Groep 7 Taken N M SD N M SD t p Eén-minuut-leestest Ruwe score 44.67 11.47 28 72.61 11.09 9.18 .000 Norm score 27 11.70 2.43 28 10.14 2.34 2.43 .019 Tempo-toets-rekenen Ruwe score (+) 27 17.04 3.88 28 29.89 4.39 11.49 .000 Norm score (+) 27 22.15 8.49 28 61.93 13.13 13.29 .000 Ruwe score (-) 27 13.59 4.10 28 26.39 4.80 10.63 .000 Norm score (-) 27 20.15 9.55 28 59.68 14.85 11.70 .000 Ruwe score (x) 27 11.93 3.33 28 24.29 5.26 10.38 .000 Norm score (x) 25 22.04 4.72 28 50.11 14.29 9.81 .000 RAN Discreet letters 27 1.61 .23 28 1.86 .22 4.21 .000 Discreet cijfers 27 1.49 .30 27 1.63 .28 1.80 .077

Discreet simpele som 27 .53 .17 28 .88 .21 6.72 .000

Discreet complexe som 25 .27 .07 28 .59 .20 7.77 .000

Serieel letters 25 1.65 .19 28 2.16 .30 7.33 .000

Serieel cijfers 27 1.73 .23 28 2.11 .38 4.36 .000

Serieel simpele som 26 .46 .16 27 .96 .21 9.69 .000

Serieel complexe som 26 .20 .07 28 .53 .20 8.04 .000

Stippen tellen Reactie tijd 27 2679 447 28 2042 315 6.13 .000 Luisterspan Goede woorden 27 17.13 8.33 28 35.96 10.26 7.46 .000 Goede volgorde 27 3.41 2.69 28 9.11 3.07 7.31 .000 Goede reeksen 27 2.19 .79 28 3.68 .95 6.36 .000 Klankdeletietest 27 9.07 2.25 28 10.36 1.28 2.38 .012 Getallenlijnen

Tijd nummer invullen 27 92.91 34.29 28 64.95 16.08 3.90 .000

Som verschilscore 27 56.85 31.95 28 23.71 7.19 5.35 .000

Tijd lijn trekken 27 69.27 26.33 27 58.83 13.68 1.83 .073

Som verschilscore 27 59.63 27.40 28 32.75 13.90 4.61 .000

Tellen

0 tot 20 27 7.07 2.70 27 5.73 1.52 2.23 .029

45 tot 65 27 17.44 3.69 28 13.34 2.10 5.09 .000

0 tot 20 (stap van 2) 27 6.51 3.50 28 4.75 1.93 2.32 .024

30 tot 0 27 21.18 6.86 27 16.20 2.70 3.51 .001

Automatiseren

Door middel van correlatiepatronen werd onderzocht of simpele en complexe sommen geautomatiseerd zijn. Verwacht werd dat rekenen geautomatiseerd is wanneer er een significante correlatie is tussen het discreet snelbenoemen van cijfers of letters en het discreet snelbenoemen van de antwoorden op simpele en complexe sommen. De correlaties tussen het discreet en serieel snelbenoemen van cijfers, letters, simpele en complexe sommen zijn per groep weergegeven in Tabel 2. Zoals verwacht, werd er een verschil in het correlatie patroon tussen groep 4 en groep 7 gevonden. In groep 4 werden geen significante correlaties gevonden tussen het discreet en serieel snelbenoemen van simpele of complexe sommen en cijfers en letters. In groep 7 werden wel significante correlaties gevonden. Het snelbenoemen van simpele sommen correleerde hoger met het snelbenoemen van cijfers dan met het snelbenoemen van letters. Daarom werd in dit onderzoek verder gekeken naar de correlaties met cijfers.

Het discreet snelbenoemen van simpele sommen en discreet snelbenoemen van cijfers correleerde in groep 7 hoog en significant. Daarnaast werd geen significante correlatie gevonden tussen het discreet snelbenoemen van simpele sommen en het serieel snelbenoemen van cijfers. In groep 4 werd er voor beide formats van RAN geen significante correlatie gevonden. Maar de correlatie tussen het discreet snelbenoemen van simpele sommen en het serieel snelbenoemen van cijfers is ongeveer gelijk aan de correlatie tussen het discreet snelbenoemen van simpele sommen en discreet snelbenoemen van cijfers. Dit betekent dat de samenhang tussen beide formats ongeveer even sterk is en dus sprake is van een trend.

Daarnaast werd er in groep 7 een significante correlatie gevonden tussen het serieel snelbenoemen van simpele en complexe sommen en het serieel snelbenoemen van cijfers. Opvallend was dat het discreet snelbenoemen van complexe sommen wel significant correleerde met het serieel snelbenoemen van cijfers, terwijl voor het discreet snelbenoemen van simpele sommen en serieel snelbenoemen van cijfers er geen significante correlatie gevonden werd in groep 7.

Voorspellers rekenvaardigheid

Met regressie analyses werd onderzocht welke voorspellers significant zijn voor rekenvaardigheid. Ten eerste werd gekeken of getalbegrip een significante voorspeller is voor rekenvaardigheid. Ten tweede werd onderzocht of het werkgeheugen een significante voorspeller is voor rekenvaardigheid. Ten derde werd gekeken of fonologische vaardigheden een significante overlappende voorspeller is voor rekenvaardigheid en leesvaardigheid. Ten slotte werd bepaald wat de belangrijkste voorspeller voor rekenvaardigheid is, door de belangrijkste voorspellers in één regressie analyse te stoppen.

Getalbegrip

Een stapsgewijze regressie analyse maakte het mogelijk om te achterhalen of getalbegrip rekenvaardigheid kan voorspellen. Om rekenvaardigheid te meten werd de tempo-toets-rekenen (TTR) gebruikt. Onder getalbegrip vielen de reactietijd op stippen tellen (StippenRT), de totale tijd op de getallenlijnen (Getallenlijn tijd), de totale verschilscore op de getallenlijnen (Getallenlijn verschil) en totale tijd op tellen (Tellen tijd). De correlaties tussen de voorspellers en rekenvaardigheid werden eerst berekend, deze zijn weergegeven in Tabel 3. Voor groep 4 bleek dat de reactietijd op stippen tellen significant samen hing met de tempo-toets-rekenen. Verder werd er een significante correlatie gevonden van de totale verschilscore op de getallenlijnen met zowel de reactietijd op stippen tellen als de TTR. Voor groep 7 bleek dat zowel de reactietijd op stippen tellen als de totale tijd op tellen significant correleerden met de TTR.

De variabelen werden in verschillende volgordes toegevoegd in een regressie analyse. De resultaten hiervan zijn weergegeven in Tabel 4. Er is gekeken wat de verschillende

Tabel 2

Correlaties tussen Discreet en Serieel Benoemen in Groep Vier en Groep Zeven

Discreet Serieel Discreet Serieel Discreet Serieel Discreet Serieel

Simpele som Discreet .36 .35 .27 .22 .58** .37 .30 .19 Serieel .10 .01 .13 -.01 .27 .67** .28 .50** Complexe som Discreet .13 -.07 .23 -.16 .33 .47* .28 .28 Serieel -.04 -.09 -.14 -.09 .23 .49** .17 .28 Note. **p < .01. *p < .05.

Cijfers Letters Cijfers Letters

variabelen doen als deze als eerste en als laatste in het model worden toegevoegd. Op deze manier werd onderzocht of een variabele ook als vierde in het model nog een deel van rekenvaardigheid voorspeld. Het effect van getalbegrip op rekenvaardigheid werd onderzocht door te kijken naar de verklaarde variantie. Er werd daarbij onderscheid gemaakt tussen groep 4 en groep 7. Voor groep 4 werd rekenvaardigheid voor 39% verklaard door getalbegrip. In groep 7 werd rekenvaardigheid voor 63% verklaard door getalbegrip. Voor beide groepen was dit significant. Voor groep 7 bleek de totale tijd op tellen een significante voorspeller van rekenvaardigheid. Dit kwam zowel naar voren bij het als eerste toevoegen als bij het als laatste toevoegen in het model. Wanneer de totale tijd op tellen als eerste werd toegevoegd verklaarde het 45% van de rekenvaardigheid en wanneer het als laatste werd toegevoegd verklaarde het nog 38% van de rekenvaardigheid. Kortom, tellen is een belangrijke voorspeller van rekenvaardigheid in groep 7. Daarnaast kwam de reactietijd op stippen tellen ook naar voren als significante voorspeller als het als eerste werd toegevoegd in het model. Uit de regressie analyse van groep 4 kwam naar voren dat de reactietijd op stippen tellen een significante voorspeller is wanneer de variabele als eerste wordt toegevoegd in het model. Verder bleek ook de totale verschilscore op de getallenlijnen een significante voorspeller als het als eerste in het model wordt toegevoegd. Wanneer deze voorspellers als laatste in het model werden toegevoegd waren ze niet meer significant, wat betekent dat de totale verschilscore op de getallenlijnen en de reactietijd op stippen tellen hetzelfde deel van rekenvaardigheid verklaren in groep 4. De overige variabelen hadden geen toevoeging voor het voorspellen van rekenvaardigheid.

Ten slotte werd het verschil tussen groep 4 en groep 7 met een interactie effect getest. Dit werd gedaan door eerst de groep toe te voegen in de regressie analyse, daarna de variabele en ten slotte een nieuwe variabele. De nieuwe variabele is de interactie tussen de groep en de voorspeller. Het interactie effect werd onderzocht voor de reactietijd op stippen tellen, de totale tijd op tellen. De totale verschilscore op de getallenlijnen werd niet onderzocht op een interactie effect, omdat deze voorspeller alleen voor groep 4 significant was en niet meer in groep 7. De reactietijd op stippen tellen kwam als significante voorspeller naar voren, maar het interactie effect bleek echter niet significant. Dat betekende dat de reactietijd op stippen tellen voor zowel groep 4 als groep 7 een even belangrijke voorspeller is, het effect is niet anders in groep 4 dan in groep 7. De totale tijd op tellen bleek geen significante voorspeller, maar het interactie effect tussen de groep en de totale tijd op tellen was wel significant. Kortom het effect van de totale tijd op tellen is in groep 4 anders dan in groep 7. In groep 7 is tellen namelijk wel een voorspeller van rekenvaardigheid, maar in groep 4 niet.

Werkgeheugen

Ook voor het werkgeheugen werd er gekeken of het een significante voorspeller is voor rekenvaardigheid. Om het werkgeheugen te meten werd het aantal genoemde items in de goede volgorde meegenomen. Er werd gekeken of er een significante correlatie is tussen het werkgeheugen en de TTR. Voor groep 4 werd er een correlatie gevonden van .155 gevonden en voor groep 7 werd er een correlatie van -.179 gevonden. Hieruit kwam naar voren dat er voor zowel groep 4 als groep 7 geen significante correlatie is. Hieruit kan afgeleid worden dat het werkgeheugen geen voorspeller is voor rekenvaardigheid.

Tabel 3

Correlatie Tabel Voorspellers Getalbegrip op Rekenvaardigheid

TTR score Stippen RT Getallenlijn tijd Getallenlijn verschil Tellen tijd

TTR score -.569** -.316 -.438* -.118

Stippen RT -.543** -.361 .439* .450*

Getallenlijn tijd -.361 .460* .062 -.113

Getallenlijn verschil -.163 .492* .156 -.035

Tellen tijd -.668** -.003 -.241 -.103

Note. ** p<.01. * p<.05. Boven de diagonaal geeft de correlaties weer voor groep vier. Onder de diagonaal geeft de correlaties weer voor groep zeven

Tabel 4

Regressie Analyse Voorspeller Getalbegrip op Rekenvaardigheid Rekenvaardigheid Groep 4 (N=27) Groep 7 (N=23) Step Model β Δ R ² β Δ R ² 1 Stippen RT -.569 .323** -.418 .175* 4 Stippen RT -.446 .087 -.305 .060 1 Getallenlijn tijd -.316 .100 .116 .013 4 Getallenlijn tijd -.133 .013 -.012 .000 1 Getallenlijn verschil -.438 .191* -.236 .056 4 Getallenlijn verschil -.232 .038 -.176 .023 1 Tellen tijd -.118 .014 -.672 .452** 4 Tellen tijd .060 .002 -.688 .384** Totale R² .390* .630** Note.** p<.01. * p<.05.

Fonologische vaardigheden

Ten slotte werd er in het huidige onderzoek gekeken naar de overlappende voorspellers voor rekenvaardigheid en leesvaardigheid. Er werd onderzocht of de fonologische vaardigheden een significante voorspeller zijn voor rekenvaardigheid. Daarvoor is ook eerst gekeken naar de correlaties (Tabel 5) tussen klankdeletie, serieel snelbenoemen van cijfers, de TTR en de EMT. Hieruit bleek dat er tussen klankdeletie en de TTR geen significante correlatie werd gevonden voor zowel groep 4 als groep 7. Voor groep 7 werd wel een significante correlatie gevonden tussen het serieel snelbenoemen van cijfers en de TTR. Vervolgens kwam uit de regressie analyse (Tabel 6) ook naar voren dat het serieel snelbenoemen van cijfers een significante voorspeller is voor groep 7, ongeacht de positie in het model. Voor groep 4 werd rekenvaardigheid voor 4% verklaard door fonologische vaardigheden. Voor groep 7 werd rekenvaardigheid voor 29% verklaard door fonologische vaardigheden, dit was significant. Hierbij kwam serieel snelbenoemen van cijfers naar voren als significante voorspeller.

Leesvaardigheid werd gemeten door middel van de één-minuut-leestest (EMT). In dit onderzoek zijn de fonologische vaardigheden meegenomen als overlappende voorspellers. In Tabel 6 worden de correlaties weergegeven. Uit de correlaties blijkt voor zowel groep 4 als voor groep 7 een significant verband tussen de TTR en de EMT. Verder werd voor beide groepen een significante correlatie gevonden tussen klankdeletie en de EMT.

Vervolgens werd er een regressie analyse uitgevoerd voor de voorspellers op leesvaardigheid. Dit is weergegeven in tabel 7. Hieruit kwam naar voren dat in groep 4 de totaal verklaarde variantie van de voorspellers op leesvaardigheid 29% was. Voor groep 7 was de totaal verklaarde variantie 25%. Voor beide groepen was dit significant. Hierbij bleek klankdeletie de significante voorspeller. Voor beide groepen was klankdeletie significant wanneer het als eerste in het model werd toegevoegd en als laatste. Kortom klankdeletie komt wel naar voren als significante voorspeller van leesvaardigheid, maar niet als significante voorspeller van rekenvaardigheid. Voor beide groepen kwam RAN niet als significante voorspeller naar voren voor leesvaardigheid.

Tabel 5

TTR score EMT score Klankdeletie

TTR score .596** -.015

EMT score .450** .512**

Klankdeletie .298 .414

.497** .346 .176

Note. ** p<.01. * p<.05. Boven de diagonaal geeft de correlaties weer voor groep vier. Onder de diagonaal geeft de correlaties weer voor groep zeven

RANcijferSerieIPS

RANcijferSerieIPS

Correlatie Tabel Voorspeller Fonologische vaardigheden

.190 .110 .266 Step Model β Δ R ² β Δ R ² 1 Klankdeletie -.036 .001 .298 .089 2 Klankdeletie -.057 .003 .217 .046 1 .190 .036 .497 .247** 2 .197 .038 .458 .204** Totale R² .039 .292** Tabel 6

Regressie Analyse Voorspeller Fonologisch Vaardigheden Rekenvaardigheid Groep 4 (N=26) Groep 7 (N=28) Note.** p<.01. * p<.05. Rekenvaardigheid RANcijferSerieIPS RANcijferSerieIPS Leesvaardigheid Step Model β Δ R ² β Δ R ² 1 Klankdeletie .491 .241** .414 .171* 2 Klankdeletie .468 .216* .364 .128* 1 RANcijferSerieIPS .266 .071 .346 .120 2 RANcijferSerieIPS .215 .045 .281 .077 Totale R² .287* .248* Tabel 7

Regressie Analyse Voorspeller Fonologische Vaardigheden Leesvaardigheid

Note.** p<.01. * p<.05.

Groep 7 (N=28) Groep 4 (N=26)

De ultieme test

Ten slotte werd er in het huidige onderzoek nog een ultieme test uitgevoerd om te kijken welke voorspellers het belangrijkst zijn voor rekenvaardigheid. De voorspellers die zowel significant zijn wanneer ze als eerste in het model worden toegevoegd als wanneer ze als tweede in het model worden toegevoegd, zijn belangrijk voor rekenvaardigheid. In tabel 8 wordt de regressie analyse van de ultieme test weergegeven.

Uit de analyse komt naar voren dat rekenvaardigheid voor het grootste gedeelte voorspeld wordt door getalbegrip. Waarbij de totale tijd op tellen en de tijd op stippen tellen belangrijke componenten zijn van getalbegrip als het gaat om het voorspellen van rekenvaardigheid. Echter blijkt in groep 4 dat vooral de tijd op stippen tellen van belang is, terwijl in groep 7 zowel de totale tijd op tellen als de tijd op stippen tellen van belang zijn.

Het serieel snelbenoemen van cijfers speelt geen belangrijke rol meer in het voorspellen van rekenvaardigheid wanneer het samen met getalbegrip in een analyse wordt gestopt. Hieruit kan geconcludeerd worden dat getalbegrip de belangrijkste voorspeller is voor rekenvaardigheid. Step Model β Δ R ² β Δ R ² 1 .172 .340** -.579 .776** Stippen RT -.634 -.475 2 .238 .324* -.517 .577** Stippen RT -.628 -.475 1 RANcijferSerieIPS .190 .036 .447 .200* 2 RANcijferSerieIPS .160 .021 .035 .001 Totale R² .361* .777** Note.** p<.01. * p<.05. Tabel 8

Regressie Analyse Voorspellers op Rekenvaardigheid

Rekenvaardigheid

Groep 4 (N=26) Groep 7 (N=24)

Tellen tijd Tellen tijd

Discussie

In de huidige studie werd gekeken hoe we kunnen vaststellen wanneer kinderen rekenen automatiseren en welke voorspellers van belang zijn voor rekenvaardigheid.

Automatiseren

Om vast te stellen of rekenen geautomatiseerd is werd er gebruik gemaakt van een methode die komt uit het leesonderzoek van de Jong (2011), namelijk de relaties met RAN. In het huidige onderzoek werd RAN gebruikt om te kunnen vaststellen wanneer kinderen rekenfeiten geautomatiseerd hebben.

Uit de analyse kwam naar voren dat in groep 7 meer geautomatiseerd was dan in groep 4. Er werd gevonden dat in groep 7 het discreet snelbenoemen van simpele sommen significant correleert met het discreet snelbenoemen van cijfers, meer dan met serieel snelbenoemen. Hieruit kan geconcludeerd worden dat het opnoemen van enkel een cijfer op dezelfde manier gaat als het opnoemen van het antwoord van een simpele som en dus dat de rekenfeiten geautomatiseerd zijn. Dit kwam overeen met de verwachting van het automatiseren van rekenen, want groep 7 is verder in de rekenontwikkeling dan groep 4. In groep 4 was er nog geen sprake van automatiseren van rekenen. Er is geen significante correlatie gevonden, maar hier is sprake van een trend. Wanneer kinderen gebruik maken van een rekenstrategie wordt verwacht dat het serieel benoemen hoger is en wanneer er sprake is van geautomatiseerd rekenen wordt verwacht dat discreet benoemen hoger is. In dit geval hangen beide RAN formats ongeveer even sterk samen en een mogelijke verklaring zou kunnen zijn dat sommige kinderen wel geautomatiseerd hebben en andere kinderen nog niet.

Bovenstaande bevindingen sluiten aan bij het onderzoek van de Jong (2011). In dat onderzoek werd RAN gebruikt om het automatiseren van lezen te meten. Daarnaast werd in het onderzoek van Koponen et al. (2012) verondersteld dat er mogelijk een verband is tussen RAN en het automatiseren van rekenen. De resultaten van het huidige onderzoek wijzen in die richting en laten zien dat RAN ook gebruikt kan worden om vast te stellen wanneer kinderen rekenfeiten geautomatiseerd hebben.

In groep 7 werd er bij de complexe sommen een significante correlatie gevonden tussen het serieel snelbenoemen van complexe sommen en het serieel snelbenoemen van cijfers. Daarnaast werd er ook een significante correlatie gevonden tussen het discreet snelbenoemen van complexe sommen en het serieel snelbenoemen van cijfers. Hieruit blijkt dat het benoemen van het antwoord van een som anders is dan het benoemen van een cijfer, en meer

lijkt op het benoemen van meerdere cijfers. Hieruit kan afgeleid worden dat er gebruik gemaakt wordt van een rekenstrategie om tot het antwoord te komen. Als gekeken werd naar het correlatiepatroon in groep 4 bij de complexe sommen was er geen sprake van een trend, deze sommen zijn nog niet geautomatiseerd. Het huidige onderzoek sluit aan bij de studie van Fanget et al. (2011). Uit dat onderzoek kwam namelijk naar voren dat bij kinderen van tien jaar het gebruik van rekenstrategieën toe nam wanneer de sommen groter waren dan tien. Dit zou verklaren dat er geen significante correlatie werd gevonden voor het discreet snelbenoemen van complexe sommen en cijfers. De complexe sommen zijn nog niet geautomatiseerd in groep 7. Echter werd er wel verwacht dat kinderen in groep 7 de complexe sommen geautomatiseerd zouden hebben. Voor de ontwikkeling van rekenvaardigheid is het belangrijk dat de basisvaardigheden geautomatiseerd worden. Aangezien dit nog niet het geval lijkt te zijn, is het van belang dat er dagelijks veel aandacht wordt besteed aan rekenbasisvaardigheden. Daarnaast is dagelijkse herhaling en het inoefenen van de rekenbasisvaardigheden ook van belang voor de ontwikkeling van getalbegrip. Het doel van het dagelijks herhalen en inoefenen is de snelheid en accuratesse te bevorderen. Het wordt makkelijker om complexere rekensommen op te lossen wanneer de basisvaardigheden beheerst worden.

Voorspellers rekenvaardigheid

De tweede vraag die in het huidige onderzoek centraal stond was de vraag welke voorspellers van belang zijn voor rekenvaardigheid. Getalbegrip, fonologisch werkgeheugen en fonologische vaardigheden werden als voorspellers voor rekenvaardigheid meegenomen.

Ten eerste werd er gekeken naar getalbegrip. Er werd gevonden dat getalbegrip een belangrijke voorspeller is voor rekenvaardigheid in groep 4 en groep 7. Dit komt overeen met het onderzoek van Locuniak en Jordan (2008), waaruit ook blijkt dat getalbegrip rekenvaardigheid zou voorspellen. Voor zowel groep 4 als groep 7 kwam de reactietijd op stippen tellen naar voren als belangrijke voorspeller. Kinderen kunnen allemaal tellen en zullen dus niet snel een fout maken. Dit bleek ook in het huidige onderzoek zo te zijn, want de accuratesse kwam erg hoog uit. De variatie in reactie snelheid was echter voorspellend voor rekenvaardigheid. Hiermee wordt bevestigd dat het van belang is dat het testen van getalbegrip moet worden getimed, zoals werd aanbevolen in het onderzoek van Locuniak en Jordan (2008). Daarnaast bleek voor groep 7 tellen een belangrijke voorspeller voor rekenvaardigheid te zijn, zoals ook verondersteld en aangetoond werd in het onderzoek van Jordan et al. (2006). In het onderzoek van Locuniak en Jordan (2008) werd tellen als een

vaardigheid gezien die valt onder getalbegrip en in het huidige onderzoek is dat ook aangenomen. Echter bleek er een verschil tussen het effect van tellen op rekenvaardigheid in groep 4 en groep 7. In groep 7 was het effect van tellen op rekenvaardigheid groter dan in groep 4. Een mogelijke verklaring hiervoor zou kunnen zijn dat bij kinderen in groep 7 de fonologische verwerking beter ontwikkeld is dan in groep 4.

Verder bleek in groep 4 de totale verschilscore op de getallenlijnen een significante voorspeller voor rekenvaardigheid wanneer het als eerste in model wordt toegevoegd. In groep 7 bleek de totale verschilscore op de getallenlijnen geen significante voorspeller voor rekenvaardigheid. Dit kan verklaard worden uit het feit dat in groep 4 de plaatsing op de getallenlijn tot en met 100 nog een belangrijke en veel geoefende vaardigheid is, terwijl in groep 7 deze vaardigheid minder van belang lijkt te zijn. Er wordt dagelijks in de schoolpraktijk veel aandacht besteed aan deze vaardigheid om getalbegrip te stimuleren. In groep 7 is dit minder het geval omdat deze leerlingen verder zijn in de rekenontwikkeling. Hieruit kan geconcludeerd worden dat plaatsing op de getallenlijn een belangrijke vaardigheid is in de vroege ontwikkeling van getalbegrip en voor rekenen. Dit sluit aan bij het onderzoek van Landerl et al. (2009), zij vonden ook dat plaatsing op de getallenlijn van belang is voor getalbegrip en de ontwikkeling van rekenvaardigheden bij kinderen van acht tot tien jaar oud.

Als tweede werd het fonologisch werkgeheugen meegenomen als voorspeller. Uit verschillende onderzoeken werd het werkgeheugen als belangrijke voorspeller genoemd voor rekenvaardigheid (De Smedt et al., 2009; Geary, 1993; Jordan et al., 2006; Locuniak & Jordan., 2008). In tegenstelling tot deze onderzoeken werd in het huidige onderzoek geen verband gevonden en dus komt het werkgeheugen niet naar voren als voorspeller voor rekenvaardigheid. Het feit dat in het huidige onderzoek het werkgeheugen niet naar voren komt als voorspeller zou verklaard kunnen worden door de test keuze. In het huidige onderzoek is enkel gebruik gemaakt van een luisterspan taak. Het werkgeheugen omvat meerdere functies en het is vaak niet duidelijk welke functies met welke testen te meten zijn. Verder onderzoek is nodig om te achterhalen welke componenten van het werkgeheugen van belang zijn voor rekenvaardigheid. Hierbij kan gedacht worden aan uitgebreide werkgeheugen testen zoals genoemd in het onderzoek van De Smedt et al. (2009), waarbij zowel het werkgeheugen, de fonologische lus als de centrale executieve functies gemeten worden. In het onderzoek van De Smedt et al. (2009) werd gevonden dat het visio-spatieel kladblok en de centrale executieve functies rekenvaardigheden voorspellen. Waarbij het visuo-spatieel kladblok taken omvat met ruimtelijk inzicht en het leggen van patronen. In toekomstig onderzoek zijn dit taken die meegenomen dienen te worden. De centrale executieve functies

zijn gemeten met een luisterspan taak, telspan taak en een cijferspan achterwaarts. In het huidige onderzoek is de luisterspan taak op dezelfde manier gemeten als in het onderzoek van De Smedt et al. (2009), maar was het geen voorspeller voor rekenvaardigheid. Een mogelijke verklaring zou kunnen zijn dat de manier van scoren anders is verlopen. In het huidige onderzoek werd alleen de score van de goede volgorde van de luisterspan meegenomen, terwijl in het onderzoek van De Smedt et al. (2009) luisterspan als geheel is meegenomen, dat wil zeggen de score van het aantal goede woorden en de score voor de goede volgorde van de reeksen. Daarnaast was de steekproef groter in het onderzoek van De Smedt et al. (2009) dan in het huidige onderzoek. In toekomstig onderzoek lijkt het daarom van belang om het werkgeheugen uitgebreid te testen met een grotere steekproef.

Fonologische vaardigheden als voorspeller voor rekenvaardigheid en leesvaardigheid

Ten slotte werd in het huidige onderzoek gekeken naar het effect van fonologische vaardigheden op rekenvaardigheid en leesvaardigheid. RAN en fonologisch bewustzijn werden hierbij meegenomen.

Eerst werd gekeken of fonologische vaardigheden een voorspeller zijn voor rekenvaardigheid. In groep 7 bleken de fonologische vaardigheden een significante voorspeller voor rekenvaardigheid. Voor groep 4 kwamen zowel het serieel snelbenoemen van cijfers als klankdeletie niet naar voren als significante voorspeller. Voor groep 7 bleek het serieel snelbenoemen van cijfers significant, maar klankdeletie niet. Een verklaring voor het verschil tussen groep 4 en groep 7 zou mogelijk kunnen zijn dat in groep 7 de fonologische verwerking verder ontwikkeld is dan in groep 4. Hieruit kan geconcludeerd worden dat fonologische vaardigheden geen direct effect hebben op rekenvaardigheid, maar dat voornamelijk RAN effect heeft op rekenvaardigheid. Zoals in het onderzoek van Koponen et al. (2012), zij veronderstellen dat RAN behoort tot de fonologische processen, want het weerspiegelt de mogelijkheid van kinderen om makkelijk en snel fonologische informatie op te halen. Dit proces is van belang bij rekenen. Het feit dat serieel snelbenoemen van cijfers rekenvaardigheid meer voorspelt in groep 7, komt mogelijk ook doordat de associatie tussen de visuele vorm en fonologische vorm van cijfers beter ontwikkeld is. De snelheid waarmee dat gaat is van belang voor het rekenen (Koponen et al., 2012).

Vervolgens werd er gekeken naar het effect van fonologische vaardigheden op leesvaardigheid. Zowel voor groep 4 als voor groep 7 bleken fonologische vaardigheden significante voorspellers voor leesvaardigheid. Waarbij het fonologisch bewustzijn een significante voorspeller was voor leesvaardigheid zowel in groep 4 als groep 7. Hieruit kan

afgeleid worden dat fonologisch bewustzijn in het huidige onderzoek alleen een voorspeller is voor leesvaardigheid en niet voor rekenvaardigheid. Dit was in overeenstemming met de verwachting aangezien uit verschillende onderzoeken naar voren kwam dat het fonologisch bewustzijn een belangrijke voorspeller is voor lezen (De Smedt et al., 2010; Hecht et al., 2001; Koponen et al., 2012). Als deze uitkomst vergeleken werd met de regressie analyse met dezelfde voorspellers op rekenvaardigheid, werd er aangetoond dat vooral het serieel snelbenoemen van cijfers rekenvaardigheid voorspelt. Als er gekeken wordt naar de correlatie analyse komt er ook naar voren dat het serieel snelbenoemen van cijfers significant samenhangt met de TTR score (rekenvaardigheid) en niet met de EMT score (leesvaardigheid). Hieruit kan geconcludeerd worden dat RAN in het huidige onderzoek alleen een voorspeller is voor rekenvaardigheid en niet voor leesvaardigheid. Dit komt overeen met de bevindingen uit het onderzoek van Koponen et al. (2012), namelijk dat RAN een belangrijke voorspeller is voor rekenvaardigheid. Echter, uit het onderzoek van De Jong (2011) bleek dat RAN ook een belangrijke voorspeller is voor leesvaardigheid. Dit werd niet gevonden in het huidige onderzoek. Dit is te verklaren doordat er in het onderzoek van De Jong (2011) een vergelijking werd gemaakt tussen het discreet en serieel snelbenoemen van één lettergrepige woorden en letters en cijfers. Hierbij werd vooral gebruik gemaakt van hoog frequente Nederlandse woorden en in het huidige onderzoek wordt gebruik gemaakt van de één-minuut-leestest, waarbij de moeilijkheidsgraad oploopt. RAN lijkt het sterkst samen te hangen met de hoog frequente Nederlandse woorden.

Beperkingen van het onderzoek

Het huidige onderzoek bevat beperkingen waardoor de bevindingen met voorzichtigheid gegeneraliseerd moeten worden. Ten eerste bevat het onderzoek een relatief kleine steekproef. Om sterkere correlaties te vinden zou een grotere steekproef gewenst zijn. Hierdoor ontstaat er meer power in de analyses. Ten tweede zijn bepaalde voorspellers, zoals werkgeheugen, gemeten met één bepaalde taak waardoor het effect moeilijk te vergelijken is met de resultaten uit andere studies. In vervolg onderzoek zou het werkgeheugen uitgebreider getest moeten worden om een duidelijker beeld te krijgen van de rol van het werkgeheugen bij het rekenen. Het zou wenselijk zijn dat alle onderdelen van het werkgeheugen getest worden, zoals gedaan in het onderzoek van De Smedt et al. (2009). Als laatste is er meer onderzoek nodig om het effect van fonologisch bewustzijn op rekenvaardigheid vast te stellen. In het huidige onderzoek is hiervoor ook één bepaalde taak gebruikt. Een uitgebreidere test voor fonologisch bewustzijn zou in vervolg onderzoek gebruikt kunnen worden.

Conclusie

De resultaten van het huidige onderzoek laten zien dat door middel van RAN automatiseren van rekenen kan worden vastgesteld. Namelijk, wanneer het discreet snelbenoemen van één cijfer op dezelfde manier gaat als het discreet snelbenoemen van het antwoord van een simpele som is sprake van automatiseren van rekenen. Dit was het geval bij groep 7. Zodra het over complexe sommen gaat, worden er nog rekenstrategieën gebruikt om tot het antwoord te komen.

Verder kan er geconcludeerd worden dat getalbegrip een belangrijke voorspeller is voor rekenvaardigheid. Met name de componenten stippen tellen en tellen bleken belangrijke vaardigheden die rekenvaardigheid voorspellen. Wanneer een kind beschikt over een goed getalbegrip, en dan vooral het herkennen van hoeveelheden zoals bij het stippen tellen, zal het waarschijnlijk ook goed presteren op rekenvaardigheid en uiteindelijk ook het rekenen eerder automatiseren. Uit het huidige onderzoek komen fonologisch werkgeheugen en fonologische vaardigheden niet naar voren als voorspellers voor rekenvaardigheid. Verder werd er geen gezamenlijke voorspeller gevonden voor rekenvaardigheid en leesvaardigheid.

Getalbegrip heeft een belangrijke invloed op rekenvaardigheid, waarbij stippen tellen en tellen een grote rol spelen. Dit zijn vaardigheden die te oefenen zijn. Voor de ontwikkeling van rekenvaardigheid is het daarom belangrijk dat er in de dagelijkse schoolpraktijk aandacht wordt besteed aan de basisvaardigheden van rekenen, waardoor het automatiseren van rekenen op gang komt en rekenbasisvaardigheden ingezet kunnen worden bij de verdere rekenontwikkeling.

Literatuurlijst

Baddeley, A. (2003). Working memory: Looking back and looking forward. Nature Reviews Neuroscience, 4, 829–839. doi:10.1038/nrn1201

Berch, D. B. (2005). Making sense of number sense: Implications for children with mathematical disabilities. Journal of Learning Disabilities, 38(4), 333-339. doi: 10.1177/00222194050380040901

Berg, D. H. (2008). Working memory and arithmetic calculation in children: The contributory roles of processing speed, short-term memory, and reading. Journal of Experimental Child Psychology, 99, 288-308. doi:10.1016/j.jecp.2007.12.002

Brus, B. T., & Voeten, M. J. M. (1995). Eén-minuut-test [one-minute-test]. Nijmegen, The Netherlands: Berkhout B.V.

de Jong, P. F., & van der Leij, A. (2003). Developmental changes in the manifestation of a phonological deficit in dyslexic children learning to read a regular orthography. Journal of Educational Psychology, 95(1), 22-40. doi:10.1037/0022-0663.95.1.22

de Vos, T. (1992). Tempo-Toets-Rekenen. Nijmegen, The Netherlands: Berkhout B.V.

de Smedt, B., Taylor, J., Archibald, L., & Ansari, D. (2010). How is phonological processing related to individual differences in children’s arithmetic skills? Developmental Science, 13, 508-520. doi: 10.1111/j.1467-7687.2009.00897.x

de Smedt, B., Janssen, R., Bouwens, K., Verschaffel, L., Boets, B., & Ghesquière, P. (2009). Working memory and individual differences in mathematics achievement: A longitudinal study from first grade to second grade. Journal of Experimental Child Psychology, 103, 186-201. doi:10.1016/j.jecp.2009.01.004

Fanget, M., Thevenot, C., Castel, C., & Fayol, M. (2011). Retrieval from memory or procedural strategies for addition problems: the use of the operand-recognition paradigm in 10-year-old children. Swiss Journal of Psychology, 70(1), 35-39. doi: 10.1024/1421-0185/a000036

Geary, D. C. (1993). Mathematical disabilities: Cognitive, neuropsychological, and genetic components. Psychological Bulletin, 114, 345–362. doi:10.1037/0033-2909.114.2.345 Geary, D. C., Hoard, M. K., & Hamson, C. O. (1999). Numerical and arithmetical cognition:

Patterns of functions and deficits in children at risk for mathematical disability. Journal of Experimental Child Psychology, 74, 213–239. doi: 10.1006/jecp.1999.2515

Hecht, S. A., Torgesen, J. K., Wagner, R. K., & Rashotte, C. A. (2001). The relations between phonological abilities and emerging individual differences in mathematical computation

skills: A longitudinal study from second to fifth grades. Journal of Experimental Child Psychology, 79, 192-227. doi: 10.1006/jexp.2000.2586

Jordan, N. C., Kaplan, D., Nabors Oláh, L., & Locuniak, M. N. (2006). Number sense growth in kindergarten: A longitidunal investigation of children at risk for mathematics difficulties. Child Development, 77(1), 153-175. doi:10.1111/j.1467-8624.2006.00862.x Koponen, T., Aunola, K., Ahonen, T., & Nurmi, J. E. (2006). Cognitive predictors of

single-digit and procedural calculation skills and their covariation with reading skills. Journal of Experimental Child Psychology, 97, 220-241. doi:10.1016/j.jecp.2007.03.001

Koponen, T., Salmi, P., Eklund, K., & Aro, T. (2012). Counting and RAN: predictors of arithmetic calculation and reading fluency. Journal of Educational Psychology, 30, doi:10.1037/a0029285

Landerl, K., Bevan, A., & Butterworth, B. (2004). Developmental dyscalculia and basic numerical capacities: A study of 8–9-yearold students. Cognition, 93, 99–125. doi: 10.1016/j.cognition.2003.11.004

Landerl, K., Fussenegger, B., Moll, K., & Willburger, E. (2009). Dyslexia and dyscalculia: Two learning disorders with different cognitive profiles. Journal of Experimental Child Psychology, 103, 309 – 324. doi:10.1016/j.jecp.2009.03.006

Locuniak, M. N., & Jordan, N. C. (2008). Using kindergarden number sense to predict calculation fluency in second grade. Journal of Learning Disabilities, 41, 451–459. doi: 10.1177/0022219408321126

Schneider, W., Eschman, A., & Zuccolotto, A. (2002). E-prime: User's guide. Pittsburgh, PA: Psychology Software Inc.

Siegler, R. S., & Opfer, J. E. (2003). The development of numerical estimation: Evidence for multiple representations of numerical quantity. Psychological Science, 14, 237–243. doi: 10.1111/1467-9280.02438

Thevenot, C., Fanget, M., & Fayol, M. (2007). Retrieval or nonretrieval strategies in mental arithmetic? An operand recognition paradigm. Memory & Cognition, 35(6), 1344–1352. doi:10.3758/BF03193606

Wagner, R. K., & Torgesen, J. K. (1987). The nature of phonological processing and its causal role in the acquisition of reading skills. Psychological Bulletin, 101, 192–212. doi: 10.1037/0033-2909.101.2.192