Examen digitale Wiskunde
Professor A. Dooms, juni 2017
Voor het gehele examen werd twee uur tijd voorzien, theorie met optie mondelinge toelichting.
Theorie
Beantwoord twee van de drie vragen.
Vraag 1
1. Uit de approxiamtiestelling volgt dat er een niet lege volledige deelruimte C van de pre-Hilbertruimt V bestaat. ∀ x ∈ V: ∃! y op minimale afstand. Geef de naam van y en bewijs (x − y) ⊥ C en V = C ⨁ C⊥.
2. Geef de definitie van een orthonormale basis (𝜙n) in een Hilbertuimte H. Pas deelvraag 1 toe
op C = Span(𝜃)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. Waarom? We kunnen door deelvraag 1 x schrijven in functie van basisblokken 𝜙n, bewijs dit.
Vraag 2
1. Geef de definitie van Pn en een orthonormale basis hiervan.
2. Beschrijf de basisblokken hiervan.
3. Bij deze vraag kreeg je de plot van een signaal en de plot van een discrete Fourier Transformatie ( van elk 2), je moest het juiste signaal aan de juiste DFT linken en uitleggen waarom deze bij elkaar hoorden.
4. Geef de Shannon-Whittaker-Kotelnikov Sampling stelling. Wat is de Nyquist Sampling rate voor beide signalen?
Vraag 3
1. Geef de definitie van Vj en geef hier een orthonormale basis van.
2. Geef en beschrijf de basisblokken.
3. Waarom geldt V1 = V0⨁W0? Als s ∈ V1 beschrijf dan aan de hand van vraag 1.2 projV0(s).
Bewijs dat 𝑝𝑟𝑜𝑗W0(s) = ∑ 𝑎𝑘 2𝑘(𝜙(2𝑡 − 2𝑘) − 𝜙(2𝑡 − 2𝑘 − 1)).
4. Wat stelen projV0(s) en projW0(s) voor?
Oefeningen
Oefening 1
Laat 𝛼 eender welk reëel getal zijn dat niet geheel is 𝛼 ∈ ℝ\ℤ. Zij f(x) = cos(𝛼𝑥), x ∈ [−𝜋, 𝜋]. Toon aan dat de Fourier reeks van f gegeven wordt door sin (𝛼π)𝛼𝜋 + 1
𝜋 ∑ [ sin (𝛼+n)π (𝛼+n)𝜋 + sin (𝛼−n)π (𝛼−n)𝜋 ] ∞ n=1 cos(n𝑥) Oefening 2
Gebuik Parseval’s identitiet en de Fourier reeks uit oefening 1 om aan te tonen dat ∑∞n=1(1−4n1 2)2=
𝜋2−8 16 .
Beschouw de vector (f[0], f[1], f[2], f[3]) met DFT (F[0], F[1], F[2], F[3]).Wat is de DT van volgende vector (f[0], f[0], f[1], f[1], f[2], f[2], f[3], f[3]) in termen van 𝜔 = e−i𝜋8 .
Oefening 4
f ∈ L2[0,4] met f(t) = t, bepaal de waveletcoëfficiënten a−2,0, bepaal een algemene formule voor
